高中数学：凸函数及其应用
函数的凹凸性在解题中的应用
函数的凹凸性在解题中的应用作者：李慷慨来源：《中学教学参考·理科版》2014年第10期函数的凹凸性是函数的一个重要性质，在各地质检和高考中经常考到函数的凹凸性的应用，若能灵活应用函数的凹凸性，则在解决高中数学有关导数的问题时就能起到事半功倍的效果.本文简单介绍一下函数的凹凸性及其简单应用.一、函数的凹凸性定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有：f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f为I上的凸函数.反之，如果总有：f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f为I上的凹函数.定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.定理2 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是：f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.二、函数的凹凸性在解题中的应用【例1】（2013年蚌埠二质检第15题）已知点A（x1，x21），B（x2，x22）是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论x21+x222>（x1+x22）2成立.运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈（0，+∞））的图像上的不同两点，则类似地有成立.分析：本题考查类比推理及函数的凹凸性，主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容.根据题意和函数的凹凸性易知答案为lgx1+lgx22【例2】（2012年蚌埠一质检第21题）已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）.（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最大值；（3）若函数f（x）的最小值为φ（a），m、n为φ（a）定义域A内的任意两个值，试比较φ（m）+φ（n）2与φ（m+n2）的大小.（责任编辑钟伟芳）。
凸函数的性质及其应用
高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。
凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。
凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。
为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，丁是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research,economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words : Convex function； Inequality; Economics； Optimization problem摘要 (I)Abstract .................................................................................................................... I I..第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (9)2.4 几种常见的不等式 (10)第3章在数学中的应用 (12)3.1.初等不等式的证明 (12)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (15)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (19)4.1.1线性规划下的最优化问题 (19)4.1.2非线性规划下的最优化问题 (21)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。
凸函数及其在证明不等式中的应用
本科毕业论文题目凸函数及其在证明不等式中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师吴开腾评阅教师班级2004级2班姓名冀学本学号200402410642021 年５月２７日目录摘要 ................................................................................................................................. 错误!未定义书签。
Abstract........................................................................................................................ 错误!未定义书签。
1引言 ............................................................................................................................. 错误!未定义书签。
2 凸函数的等价定义 .......................................................................................... 错误!未定义书签。
2.1凸函数三种定义的等价性的讨论 ............................................................. 错误!未定义书签。
2.1.1定义1⇔定义2...................................................................................... 错误!未定义书签。
函数凹凸性与拐点在高中数学中的应用
函数凹凸性与拐点在高中数学中的应用作者：聂桂明来源：《教学管理与教育研究》2018年第11期摘要：虽然函数凹凸性在高中的课程中没有给出明确定义，但是集合与函数是高中数学的重点部分，作为函数的一个重要的性质，了解一些函数凹凸性的知识可以加深学生对函数题的理解。
此外，函数的凹凸性在不等式的证明等方面也有很多应用。
此文将结合实例，从定义、性质到应用对函数的凹凸性进行分析。
关键词：函数凹凸性应用一、概念介绍1. 凹凸函数的定义（1）下凸函数的定义①几何定义：在区间G上有定义的函数f ，考察它的图形：y=f （x）如果图形上任意两点（x1，f （x1））和（x2，f （x2））之间的曲线都在这两点弦的下方（这意味着图形是向下方凸的），则f 是一个下凸函数.②数学定义：在区间G上有定义的函数f .如果对任意的和任意的≥，都有≤，那么称函数f 在区间G上是下凸的。
（2）上凸函数的定义可以类似地给出：①几何定义：在区间G上有定义的函数f，考察它的图形：y=f （x）如果图形上任意两点（x1，f （x1））和（x2，f （x2））之间的曲线都在这两点弦的上方（这意味着图形是向上方凸的），则f是一个上凸函数。
②数学定义：在区间G上有定义的函数f，如果对任意的和任意的≥，都有≥，那么称函数f在区间G上是上凸的。
一般判断函数的凹凸性我们可以取.图1、图2分别表示了下凸函数和上凸函数的图像.几何特征（切线斜率特征）如图3所示，下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而增大；如图4所示，上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而减小；简记为：斜率下凸增上凸减。
2.下凸函数的性质分析：此题和前面的经典的均值不等式的推广都用到了一个重要的函数y =ln x的凹凸性。
因此，巧妙地运用一些基本初等函数的凹凸性可以使很多不等式的证明变得简单起来。
参考文献[1]张嫣. 函数凹凸性在高中数学中的应用探究[D].西北大学，2014.[2]李国成，郭铁卫. 函数凹凸性在不等式中的应用[ J ]. 科教文汇（下旬刊），2013（05）：52，54.[3]王新奇. 利用函数的凹凸性证明一类三角不等式[ J ]. 西安文理学院学报（自然科学版），2005（03）：37-40.。
(完整word版)高中数学函数的凸凹性例讲
高 中 数 学 函 数 的 凸 凹 性 例 讲山西忻州五寨一中 摄爱忠函数凹凸性问题是高考中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质.①掌握增量法解决凹凸曲线问题 ②函数的凹凸性定义及图像特征一、凸凹函数定义：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（b a ,）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（b a ,）上的下凸函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（b a ,）上的上凸函数。
二、凹凸函数的几何特征：1.形状特征图1（下凸函数） 图2（上凸函数）下凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方;上凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
2切线斜率特征图3（下凸函数） 图4（上凸函数）下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而增大；上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减．．．．．．。
3增量特征：图5（下凸函数） 图6（凸函数）下凸函数的增量特征是：i y ∆越来越大；上凸函数的增量特征是：i y ∆越来越小； 简记为：增量下大上小．．．．．．。
弄清了上述两类凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凸的曲线问题． 三、凸函数与导数的关系定理1（可导函数与凹凸函数的等价命题）：（1） 设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔)(x f '为I 上的增函数；（2） 设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔)(/x f 为I 上的减函数；定理2（可导函数与二阶导数的关系）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔0)(≥''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔0)(≤''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.四、函数凹凸性的应用题型1：图形与图像问题◇题目：一高为Ｈ满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图7所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数)(h f V =的大致图象可能是图8中的（ ）．解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．练一练：◇题目：向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深ｈ的函数关系的图象如图9所示，那么水瓶的形状是（图10中的）图7图8（）．（1998年全国高考题）图9 图10解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V 的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．讲一讲：◇题目：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是（）．Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．②③Ｄ．①③解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先上凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．练一练：◇题目：（06重庆理）如下图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（）C图17解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=ｘ-sinｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是上凸的，在［π，2π］上是下凸的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是下凸的，后来在［π，2π］上是上凸的，故选D．◇题目：（07 江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1解：设内空高度为H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V1（h）、V2（h）、V3(h)、V4（h），根据酒杯的形状可知函数V1（h）、V2（h）、V4（h）的图象可为上右图.因为函数V 1（h ）、V 2（h ）为下凸函数, V 1（h ）当h 从Ｏ→H ，Δh 增加一个单位增量， ΔV ｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h 1> 0.5H =h 4；同理V 2（h ）当h 从Ｏ→H ，Δh 增加一个单位增量，ΔV ｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h 2> 0.5H =h 4；所以h 1> h 4、 h 2> h 4；由V 1（h ）、V 2（h ）图象可知，h 从H →h 2，ΔV 1（h ）>ΔV 2（h ）,而0.5 V 1（h ）>ΔV 1（h ）,ΔV 2（h ）=0.5 V 2（h ）,则当ΔV 1（h ）=0.5 V 1（h ）时h 1> h 2，所以答案为A.题型2：函数与图像问题◇题目： 在x y x y x y y x2cos ,,log ,222====这四个函数中,当210x x <<时，2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 恒成立的函数的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3【分析】：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1<x 2,当f(x)总满足2)()()2(2121x f x f x x f +>+时,函数f(x)在区间I 上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x ,y=x 2,y=cos2x ，应选B 。
凸函数的性质及其应用
即 证f在 （上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １ ， x ＝ （∨x３得x∈ ［ ａ ， ｂ ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２ ２) －－ fx （１ x １) ，
３ 、应用举例：
例 １：用凸函数方法证明 ｙｏｕｎｇｅｒ 不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ ｙ ）≥２f（ x ）f（ y ） ，故（Ｄ）式成立，结论得证。 另：设 f （ x )=e－２x＞０ 为 Ｒ 上的凸函数，但 f（ １x ） =e－２x 仍为凸函数 定理 ６：若 f （ x )为区间 Ｉ 上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为 Ｉ 的 内点，则单侧导数f （ ＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间 Ｉ 上的凸函数，则f（ x ）在区间 Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ ，有 n f （ ∑ i＝ １ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１） 推论 １：若 f （x ）在区间 Ｉ 上为凸函数，则对 Ｉ 上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２） 注：若 f （x ）在 Ｉ 上连续，则上述定义 １，２，３ 等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ） 为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１ ）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １） ＋
１－λ f （x２）
………
17.凸函数及其应用
编号学士学位论文凸函数及其应用学生姓名：艾木拉姑丽·吐尔逊学号：20060101025系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006-1班指导教师：托乎提·塞都拉完成日期：2011 年 5 月10 日1摘要函数凸是一种非常重要的函数.它是研究函数，作出函数图象的基础，因此论文中首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，然后讨论凸函数的充要条件或充分条件.提出凸函数的9种常用的判别法，并给出每一个定理的证明，最后应用凸函数概念证明几个重要不等式.关键词：有界；单调；连续；可导；凸函数；Lagrange 定；Lepshitiz 条件；Jensen 不等式；2目 录摘要 .............................................................................................................................1 引言 .............................................................................................................................1 1.凸函数的定义与几何意义 .....................................................................................1 2.凸函数的判别法 .. (3)定理1............................................................................................................................ 3 定理2............................................................................................................................ 4 定理3............................................................................................................................ 5 定理4............................................................................................................................ 6 定理5............................................................................................................................ 6 定理6............................................................................................................................ 8 定理7............................................................................................................................ 9 定理8............................................................................................................................ 9 定理9.. (10)3.凸函数的应用 ....................................................................................................... 11 总结 ...........................................................................................................................17 参考文献 ...................................................................................................................18 致谢 (19)1引言讨论函数()y f x =的性态，仅仅知道函数()y f x =在区间I 严格增加还不够.因为函数()y f x =在区间I 严格增加还有不同的方式.函数的凹，凸性是研究函数性质（形态）的重要方法，且证明有些不等式的有力工具.为了掌握好函数的所有性质，首先要讨论函数凸性的充分条件与充要条件，因此本文中提出了凸函数的几种常用的判别法. 1.凸函数的定义与几何意义设函数()f x 在区间I 上有定义、从几何上来看、若()y f x =的图像上任意两点()()11,x f x 和()()22,x f x 之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上）、则称该函数是凸（凹）.参见图1.这个概念用解析的语言可以表述成 定义1；定义2：设函数()f x 在开区间I 有定义，若()12,,0,1x x I λ∀∈∀,有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦〈1〉则称()f x 在区间I 是下凸函数或简称函数()f x 在区间I 是凸的﹒()121x x x λλ=+-若定义中则221,x x x x λ-=-1211x x x x λ--=-则不等式〈1〉可以改写为()()()()1212fx f x fx f x x x x x--≤--2这就是凸函数的另一种定义﹒ 凸函数的几何意义： 当()0,1λ∈时点()()122211x x x x x x λλλλ=+-=--表示了区间()12,x x 中的某一点，即()12,x x x λ∈﹒在下图中弦12A A 的方程是：()()()12121fx f x y f x x x +=+-将x x λ=代入上式得()()()3231BA f x f x λλ=+-但()4BA f x =因此不等式〈1〉在几何上表示为34BA BA ≥也就是说，曲线()y f x =在弦12A A 下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状﹒（图1）除了凸函数上面的定义意外，还可以给出连续函数()f x 在区间I 上为凸函数的的等价性定义；定义1'：()f x 在区间I 上有定义且连续()f x 称为I 上的凸函数，如果21,x x ∀I ∈,有⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+≤221x f x f f将“≤”改为“〈”.定义2'：()f x 在区间I 上有定义且连续()f x 称为I 上的凸函数，如果Ix x x n ∈∀,...,,21，有()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫⎝⎛+++n x f x f x f f n x x x f n n (2121)x)x ()()21f x λ-图13例1： 证明()2f x x =在R 上是严格凸函数﹒ 证明：事实上()1212,,,0,1x x R x x λ∀∈≠∀∈且有()()()()()()()()()()()()()()22221211222222222212121122222212221212121121111111f x x x x x x x x x x x x x x x x x x fx f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-=+-+-⎡⎤⎣⎦<+<+-++-⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦=+-=+-即函数()2f x x =在R 上是严格凸函数﹒2.凸函数的判别法定理1设()f x 于(,)a b 上可微 ，则()f x 严格下凸⇔()f x '是严格增加﹒ 证明：()⇐根据Lagrange 中值定理对一切()1212,,,x x a b x x ∈≠及01t <<必存在()()1122,,t t x x x x ξξ∈∈和使得()()()()121t f x tf x t f x ---()()()()()121t t t f x f x t f x f x =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()112212211(1)0t t t f x x t f x x t t f f x x ξξξξ''=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=---<⎡⎤⎣⎦（ ()()12f f ξξ''<）()()()()121t f x tf x t f x ∴<+-由凸函数定义()f x 在(),a b 是函数﹒()⇒任取()12,,x x a b ∈满足12x x <我们来证明4()()()()12,f x f x f x a b '''<及在严格增加，设ξη<从(),x ξη∈知存在数01t <<使得()11t x t ξη=-+，根据()f x 的严格下凸条件得】()()()()1f t f x tf ξη<-+即()()()()f fx f f x xxξηξη--<--上式表明λ的函数()()()f fx xλψλλ-=-在()12,x x 严格增加.由此可见()()x x ψψ+<-记起()()11x f x ψ'+=并类次可()()22x f x ψ'+=∴()()()12f x f x f x '''<⇒在(),a b 严格增加﹒定理2函数()f x 在区间I 可导则()f x 在区间I 可导，则()f x 在I 是凸函数的充要条件是()()()()1221121,x x I f x f x f x x x '∀∈≥+-有证明：()⇒若()f x 在I 是凸函数，则由定理1有()f x '在I 上单调增加12,x x I∴∀∈ ()12x x <有()()()()2121f x f x f x x ξ'-=-()()()12121xx f x x x ξ'<<≥- ()()()()21121f x f x f x x x '∴≥+-同法可证明12x x >时也有()()()()21121f x f x f x x x '>+-()⇐若()()()()1221121,x x I f x f x f x x x '∀∈≥+-有令()3121x x x λλ=+- ()01λ<<则()()()131221211,x x x x x x x x λλ-=---=-∴对13,x x I∈有()()()()13313f x f x f x x x '≥+-()()()()33121f x f x x x λ'=+--5对()()()()()()()23233233321,x x I f x f x f x x x f x f x x x λ''∈≥+-=+-有从而()()()()()()()()()()()()()()()()()()133122332112312111111f x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x f x x λλλλλλλλλλλλ≥+--'-≥-+--∴+-≥=+-即()f x 在I 是凸函数. 定理3若函数()f x 在区间(),a b 上二阶可微且()0f x ''≥，则()f x 下凸. 证明：在区间(),a b 内任取两点()1212,x x x x <， 令120120202x x x x x x +=+-=即函数()f x 在0x 的泰勒公式是()()()()()()2000012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- ()0c x x 是与之间当1x x =时()()()()()()21001011012fx fx f x x x f c x x '''=+-+- ()10x c x <<当2x x =时()()()()()()22002022012fx fx f x x x f c x x '''=+-+-02x c x <<()()()()()()()()()()()()()()221200*********2201102201222122fx f x f x f x x x x f c x x f c x x fx f c x x f c x x ⎡⎤'''''∴+=++-+-+-⎣⎦⎡⎤''''=+-+-⎣⎦()()()()()()()()2212110220,00,00x a b f x f c f c f c x x f c x x ''''''''''∀∈>∴≥≥-+-≥ 有即于是()()()()()()1212022f x f x f x f x f x f x ++≥≤或因此()(),f x a b 在内是凸﹒6定理4设函数()f x 在开区间I 可导，函数()f x 在I 上是凸⇔曲线()y f x =位于它的任意一点切线的上方.证明：()⇒0x I ∀∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 的切线方程： ()()()()000y x f x f x x x '=+- 从而()()()()()()000f x y x f x f x f x x x '-=---()()()()()()()00000f x x f x x x f f x x x ξξ''=---''=--⎡⎤⎣⎦其中ξ在x 与0x 之间.若函数()f x 在I 是凸，根据定理1，则()()00f f x x x ξ''--与同号，于是x I ∀∈，有()()0f x y x -≥即曲线()y f x =在其上任意点()()00,x f x 的切线上方.()⇐若0,x x I ∈，有()()()()()()0000f x y x f x f x f x x x '-=---≥当0x x <时有()()()000fx f x f x x x -'≤- ，当0x x >时有()()()000fx f x f x x x -'≥-于是x I ∀∈且()()()()121212fx f x fx f x x x x x x x x--<<≤--有 因此函数()f x 在I 上凸.定理5()f x 在(),a b 上为下凸函数的充要条件是对一切()123,,,x x x a b ∈ ()123x x x <<恒有x7()()()()()()213132213132fx f x fx f x fx f x x x x x x x ---≤≤--- ；证明：如图所示在曲线()y f x =上自左至右任取三点,,P Q R 则两两相连所得线段的斜率满足PQ PR Q R K K K ≤≤ （ 图-2）()⇒设3221313111x x x x x x x x λλ--=<-=--则 ，令()2131x x x λλ=+- 则根据()f x 的凸函数有()()()()()131311fx f x x fx f x λλλλ=+-≤+-⎡⎤⎣⎦ （1）()()3221133131x x x x fx fx x x x x --=+-- （2）进而得到()()()()()()312321213x x f x x x f x x x f x -≤-+- （3）()()()()()()3213122130x x f x x x f x x x f x ∴---+-≥()()()()()()()()3112113122130x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥ 或 ()()()()()()()()3213222122130x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥ 从而()()()()()()31212132x x f x f x x x f x f x --≤--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()21312131fx f x fx f x x x x x --∴≤-- 同法可证 ()()()()31323132fx f x fx f x x x x x --∴≤--()⇐由123,,x x x 在(),a b 上任意性，可以得到凸函数的定义2故()f x 在(),a b 上为一凸函数.8定理6()f x 在区间I 上为凸函数x I ⇔∀∈，当12x x x <<时有 ()()()11221101x fx x f x x f x ≥.证明：()⇒()1212,,,x x x I x x x f x ∀∈<<且在区间I 上可导，由定义()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦（1）设()121x x λλλ=+- 1211x x x x λ--=- 不等式（1）可以改写为()()()21122121x x x x fx fx fx x x x x --=+-- （2） 设12x x x <<将不等式（2）不等号两边乘上210x x ->有()()()()()()21112120x x f x x x f x x x f x -+-+-≥ （3）或可以改写为行列式的形式()()()1122111x fx x f x x f x ≥ ，()⇐()()()11221101x fx x f x x f x ≥ 设12x x x <<由于()()2121x x x x x x -=-+-，（3）或改写为()()()()()()()()21121120x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥或()()()()1212fx f x fx f x x x x x--≤-- ∴函数()f x 是凸函数.9定理7若函数()f x ，()g x 在区间I 上为凸函数，则()()f x g x +也在I 上为凸. 证明：因为()(),f x g x 在区间I 上为凸函数.∴对定义区间内任意两点12,x x 及()0,1λ∀∈，有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦及()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦不等式两边分别相加得()()()()()()()12121122111f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦按定义()()f x g x +为凸函数.定理8若()f u 是单调增加的凸函数，且()u x ψ=为凸函数，则复合函数()f x ψ⎡⎤⎣⎦也是凸函数.证明：()u x ψ= 是凸函数，12,x x ∀有()()121222x x x x ψψψ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（由凸函数的定义）又因为()f x 是单调增加的凸函数，所以12,x x ∀有()()()()121212222f x f x x x x x f f ψψψψψ+⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎡+⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦≤≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（()()1212122x x x x ψψψ+⎛⎫+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭）所以复合函数()f u ψ⎡⎤⎣⎦也是凸函数.10定理9函数()f x 在区间I 上为凸⇔12,,n x x x I ∀∈ 有()()()112211221212n n n n n n t f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t +++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭其中 ()122,,,,0nn t t t ≥>证明：()⇐若12,,,n x x x I ∀∈ 有 ()()()112211221212n n n n n nt f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t +++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭()12,,,0nt t t > 则2n =时有()()112211221212t f x t f x t x t x f t t t t +⎛⎫+≤ ⎪++⎝⎭()12,0t t >令12,1t t t t ==- （0<t<1）有()()()()121211f tx t x tf x t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦ 由定义知函数()f x 在I 上为凸. 必要性()⇒若()f x 在I 为凸函数，则12,x x I ∀∈有()()()()121211f tx t x tfx t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦ ()01t << 12,0t t ∴∀>令112t t t t =+ 则2121t t t t -=+ 则()()112211221212t f x t f x t x t x f t t t t +⎛⎫+≤⎪++⎝⎭ 即2n =是不等式成立.设1n k =-时有11()()()112211112211121121k k k k k k t f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t ------+++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭()121121,,,,,,,0k k x x x I t t t --∀∈> ，n k =时有()()112211121112211121121121.()()k k k k k k k k k k k k k k t x t x t x t t t t x t x t x t x t x t t t f f t t t t t t t t --------+++⎡⎤++++⎢⎥⎡⎤+++++++⎢⎥=⎢⎥++++++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()112211*********.k k k k k k k kt x t x t x t t t ft x t t t t t t t -----⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭≤++++()()()112211121()k k k k k kt fx t f x t f x t f x t t t t ---++++≤++++即n k =是不等式成立，所以定理是正确的.3.凸函数的应用例2： ()f x 为区间I 上的凸函数,1,2,,x I n ιι∈= 10,1nιιιλλ=>=∑这时有()()()()11221122n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤+++ . 证明：（用数学归纳法） 当2n =是凸函数的定义 12λ=时112λλ==()()()11221122f x x f x f x λλλλ+≤+成立.当1n k =-时0a ι> 111k a ιι-==∑ 有12()()()()112211112211k k k k f x x x f x f x f x αααααα----+++≤+++ 成立当n k = 时 11nιιλ==∑时只各项 1kιιλαλ=-就有()()1122111122111.1k k k k k k k k k kx x x f x x x x f x λλλλλλλλλλ----⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11221111k k k k k kx x x f f x λλλλλλ--⎡⎤+++=-+⎢⎥-⎣⎦()()()()()1122111.k k k k k fx f x f x f x λαααλ--≤-++++⎡⎤⎣⎦()()()()112211k k k k f x f x f x f x λλλλ--=++++()()()()11221122n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ∴+++≤+++例3:设:()f x 在区间（a ，b ）内为凸函数，并且有界，试证()lim x af x +→与()5lim x f x →均存在.证明：不妨设()f x M ≤，根据()f x 的凸性知，()00,,x a b a x x ∀∈<<时()()()()()()00000fx f x fx f x fx Mk x x x x xx a---==>---是x 的单调有界函数，从而存在()()00lim ,x afx f x A x x +→-=-，而(),x a b ∈ ()()()()()0000fx f x f x x x fx x x -=-+-则()()()000lim x af x a x f x →=-+例4：设0i a >，0i b >（1,2,...,i n =）证明：11111nnnp qp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑其中110,,1p q qp<<+∞+=此不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当2p q ==时，13又称为始瓦茨（Schwarz ）不等式或柯西不等式；证明：令 ()16f x x =则()()0;011121''>∀<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x xq q x f q 因此()f x 为()0,+∞上的严格凹函数，于是若10,,1ni i i i x t o t =>>=∑ 则有()q n n q nn q qx t x t xt xt xt 1111122111......++≤+++ 现取1pii np ii a t a==∑，q i i pib x a =并且代入不等式，得()q p i ni qq nqni nn a bbb a b a 1111111......⎪⎭⎫ ⎝⎛∑++≤∑++==整理即得q p i ni p p i ni i i ni b a b a 11111⎪⎭⎫⎝⎛∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∑<∑==-；例5：由()ln f x x = 的凸性,利用Jensen 不等式来导出平均值不等式. 解:由于()210,f x x=-<故()fx 在()0,+∞上是凹函数,对于凹函数詹森不等式()()()()1...............1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ 应取反向,设()0,0,1,2,,;i x i n >=⋅⋅⋅并取()1,1,2,,i i n nλ==⋅⋅⋅显示有11ni i λ==∑把它们代入反向的（1）式，得到()111lnln ln lnnn x x x x nn+⋅⋅⋅+≥+⋅⋅⋅+=由于()ln f x x =是递增函数，因此得到1nx x n⋅⋅⋅≤再由()1ln ln g x x x=-=为—凹函数，类似地又有1111111ln ln ln ln nn x x nn x x +⋅⋅⋅+⎛⎫-≤-+⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭又得14111nn x x ≤+⋅⋅⋅+1111nnx x n nx x ⋅⋅⋅≤≤+⋅⋅⋅+例6：设()f x 为区域(),a b 内的凸函数，试证：()f x 在I 的一内闭区间[](),,a b αβ⊂上满足来布尼兹（Lipschitz ）条件.证明：首先我们要清楚来布尼兹（Lipschitz ）条件，称()f x 在[],αβ满足 来布尼兹（Lipschitz ）条件，是存在L ，使[]12,,x x αβ∀∈有()()1212fx f x L x x -≤-即()()1212f x f x Lx x -≤-曾有凸函数关于增量比值的性质：()()1212fx f x x x --是关于x 的增函数实际上，有关增量的结论，一般还有如下四个结论是等价的()123x x x <<（1）()f x 在[],αβ上凸函数； （2）()()()()21312131fx f x fx f x x x x x --≤--；（3）()()()()31322131fx f x fx f x x x x x --≤--；（4）()()()()21322132fx f x fx f x x x x x --≤--；15上面式（1）（2）（3）均表明()()00fx f x x x --对固定的1x 而言，是关于x 的增函数的结论的变形形式.则由于[](),,a b αβ⊂，故有在0h >使得[](),,h h a b αβ-+⊂ 12x x <且[]12,,x x αβ∈时，取32x x h =+尤式（4）知()()()()213221fx f x fx f x M m x x hh---≤≤-，其中,M m 分别表示f 在[],h h αβ-+上的上，下确界，则()()1221..................M m f x f x x x h--≤-（1）12x x >，则可取32x x h =-，有()()()()21212121fx f x M m M m fx f x x x x x hh---≤⇒-≤--当21x x = 21x x =时不等式（1）成立.变换21,x x 的位置，不等式（1）成立，故[]12,,x x αβ∀∈有()()1221M m fx f x x x h--≤-；例7：设()f x 是区间[],a b 上的凸函数，则()()()122b af a f b a b f f x dx b a++⎛⎫≤≤⎪-⎝⎭⎰证明：由()f x 的凸性保证了积分()ba f x ⎰有意义当,2a b x b +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2a b a b x a +⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦且有()()22a b f a b x f x f +⎛⎫+-+≥⎪⎝⎭因为()()2a b baaf x dx fx dx +=⎰⎰令x a b μ=+-，得16()()()22a bbb aa b bf x dx f a b d f a b dx μμμ++=-+-=+-⎰⎰⎰从而()()()()22222bbb aa b a ba ba b f x dx f a b x f x dx f dx a b f ++++⎛⎫⎛⎫=+-+≥=-⎡⎤⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰于是()12b aa b f fx dx b a+⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰作变换()()t b x b a =-÷-，则有()()()()()()()()()()()1111112b af a f b f x dx f a t b dt b a t a t b dt b a tf a t f b dt b a +=+-=-⋅+-≤-+-=-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰从而()()()12b af a f b f x dx b a+≤-⎰例8：设0,0,p q >>求证：当2o xπ<<时sin cos px qx <证：原式可以变形为22sin cos 1pqp qx x p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取对数又可变性为22sin cos 1ln ln ln px px p q p p q q p q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()ln g x x =的凹性，即证；17总结凸函数是研究函数性质的重要工具，作出函数图象与证明不等式的一种方法.因此本文中主要讨论凸函数概念与凸函数的9种常用的判别法.应用凸函数解决问题或证明一个不等式时首先选取本文中的适当的一种凸函数判别法，然后利用此种方法讨论已知函数的凸性，最后按照函数的凸性来证明原不等式.18参考文献[1] 毛羽辉.数学分析选论（上册）[M].北京：科学出版社.2004：66～72[2] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏．数学分析指导书[M]．高等教育出版社.2004：169～171[3] 谢惠民，恽自求，易法槐，钱定边．数学分析习题课讲义（上册）[M]．高等教育出版社.2004：243～245[4] 方企勤．数学分析（上册）[M]．北京大学数学系.1986：197～206[5] 欧阳光中，姚允龙．数学分析（上册）[M]．复旦大学出版社.1991：195～199[6]陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中．数学分析（上册）[M]．高等教育出版社.1978：193～200[7]刘玉璉，傅沛仁，林玎，刘宁 ．数学分析（上册）[M].高等教育出版社.2003：256～262[8]任胜健.数学分析（第一册）[M].北京大学出版社.2009:218～225[9]牛庆银.数学分析选论[M].科学出版社.2004:66～72[10]李胜宏.数学分析[M].浙江大学出版社.2009:197～20319 致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高.在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批准了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢他的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束.非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础.此致敬礼：艾木拉姑丽.吐尔逊 2011-5-10。
函数的凸凹性及其应用
函数的凸凹性及其应用定义:函数的凸凹性定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立．如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．定理1 （Jensen 不等式）若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ ;若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ,其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ ;类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ,当且仅当n x x x === 21时等号成立．定理3：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数; (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且若10<<a ，则为下凸函数；若1>a ，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且为下凸函数． （3）三角函数sin (0,)(,23cos (,)(,2222tan (,0)(022y x x x y x x x y x x x πππππππππ=∈∈=∈-∈=∈-∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数. （4）二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．（5）反比例函数:)0(≠=k xky当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．（6）双勾函数:)0,0(>>+=b a xbax y当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．T1 设()y f x =是(),a b 上的严格凸函数，则对于(),a b 内的任意n 个点12,,,n x x x ，都有()()()()12121n n x x x f f x f x f x n n+++⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭ ，当且仅当12n x x x === 时等号成立。
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用函数的凸性与拐点课件
(ii) (iii ) 对于任意 x1 , x2 I , 不妨设 x1 x2 . 则 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x1 x2 .
因为 f ( x ) 递增, 所以 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 ).
例 3 设函数 f (x)为 (a, b) 上的可导凸(凹)函数.
那么 f ( x0 ) 0 的充要条件是 x0 为 f ( x ) 的极值点. (本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的
极值点与稳定点是等价的.) 证 充分性是显然的(费马定理). 下面证明必要性. 设 f (x)是凸函数, x0 是 f (x) 的稳定点, 即f ( x0 ) 0. 由定理 6.14 的 (ii), f ( x ) 是递增的. 所以 (i) 当x (a, x0 )时，f ( x ) 0, f ( x ) 是递减的， 故
f ( x ) f ( x0 ), x (a , x0 );
(ii) 当 x ( x0 , b) 时,f ( x ) 0, f ( x ) 是递增的, 故
f ( x ) f ( x0 ), x ( x0 , b).
综上,f ( x ) f ( x0 ), x (a, b). 即 f ( x0 ) 是 f ( x ) 的极小值.
我们在这里再一次强调，
函数 f 是凸函数的几何意 义是:曲线 y = f (x) 的弦位
y
B
于相应曲线段的上方;而它
的切线位于曲线的下方.
O
A
x
我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质. 对 于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定 理.
定理6.15
凸函数的性质及应用(0907142王波波).docx
目录1引言 (2)2凸函数的定义及性质 (2)2.1凸函数的几种不同定义及其关联 (2)2.2凸函数的判定定理及证明 (4)2.3凸函数的性质 (5)3凸函数的应用 (6)3.1詹森不等式及应用 (6)3.2凸函数在微分学的应用 (8)3.3凸函数在积分学的应用 (9)结论 (11)参考文献 (11)凸函数的性质及应用王波波，数学计算机科学学院扌商要：凸函数是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重要的作用•在本文中，我们分析总结了凸函数的性质及相关定理•最后用凸函数方法和詹森不等式推证几种重要的不等式，并对某些结论作一些讨论. 关键i司：凸函数;方法；不等式；推论Properties of Convex Function and Its ApplicationWangbobo , College of Mathematic and Computer Science Abstract：Convex function is a basic content of higher maths.lt plays an important role in proving more complex inequality. In this paper，we summarized some properties and theorem of convex function . And finally we proved some important inequality using the method of Convex function and Jensen inequality of convex function and discussed some conclusion.Key words：Convex function; Method; Inequality; Inference1引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、黎曼集合、最优化理论等当中•常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。
凸函数的性质及其应用
凸函数的性质及其应用摘要：凸函数是一重要概念，本文通过对凸函数的定义及其等价定义的介绍，重点讲述了凸函数的六种性质及其应用． 关键词：凸函数；定义；性质；应用Convex F unction’s Several Definitions and The Properties ofDerivableAbstract: Convex function is an important concept, based on convex function is defined and its equivalent definitions discussed, and an overview of convex functions six properties and its application.Key words : convex function ；properties ；the properties of derivable ；application前言凸函数是一类很重要的函数，它在数学许多领域中有着广泛的应用，现已成为许多数学分支的理论基础和有力工具．本文对凸函数基本内容作了概述，主要包括：凸函数几种不同的定义及其六种不同性质，并对凸函数的应用作了简单研究．有助于今后的数学学习．.1凸函数的定义1.1凸函数定义1 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意的两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+- （1）则称f 为I 上的凸函数．如果上述的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数．1.2 凸函数定义2若()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：12,x x I ∀∈，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． （2） 上式中“≤”改为“<”便是严格凸函数的定义．1.3 凸函数定义3若()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：12,,,n x x x I ∀⋅⋅⋅∈，有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭． （3） 上式中“≤”改为“<”便是严格凸函数的定义．1.4 凸函数定义4 若()f x 在区间I 上有定义．当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下，则称()f x 为凸函数．若除切点之外，曲线严格保持在曲线的下方，则称()f x 为严格凸函数．注：下面我们将证明定义2,3,4是等价的．当()f x 连续时定义1,2,3等价，当()f x 处处可导时，定义1,2,3,4都等价．2凸函数定义的等价性定理2.1 定义2与定义3等价．证 由式（1）知式（3）当2n =时成立．现证4n =时式（3）成立．事实上，1234,,,x x x x I ∀∈，由式（3），我们有341212342242x x x x x x x x f f ++⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭341222x x x x f f ++⎛⎫⎛⎫≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12344fx fx f x f x +++≤.此即式对4n =成立．一般来说，对任意以自然数k ，重复上面方法，应用（3）式k 次，可知()()()12122222k kk kf x f x f x x x x f ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭.这说明（3）式对一切 2k n =皆成立．下证（3）式对1n k =+成立时，必对n k =也成立．记 12kx x x A k++⋅⋅⋅+=，则12k x x x kA ++⋅⋅⋅+=,所以 121k x x x AA k ++⋅⋅⋅++=+．因为（3）式对1n k =+成立，故()121k x x x A f A f k ++⋅⋅⋅++⎛⎫= ⎪+⎝⎭()()()12()1k f x f x f x f A k ++⋅⋅⋅++≤+．不等式两边同乘以1k +，减去()f A ，最后除以k ，注意12kx x x A k++⋅⋅⋅+=，我们得到()()()1212k kf x f x f x x x x f k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭． 此式表示（3）对n k =成立．证毕． 定理2.2 若()f x 连续，则定义1,2,3等价． 证 在定义1中令12λ=， 则由式（1）得[]122(1)2x x f f x x λλ+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()()121f x f x λλ≤+-()()122f x f x +=()12,,x x I ∀∈. 3判定凸函数的方法定理 3.1 设()f x 是n R 到(),-∞+∞的实值函数，则()f x 是凸函数的充分必要条件是(),f x <∂()f y β<时，不等式 ()()11f x y λλλλβ-+<-∂+⎡⎤⎣⎦，01λ<<成立．定理3.2 设()f x 是n R 到(),-∞+∞的实值函数，则()f x 是凸函数的充分必要条件是,0,ni i x R λ∀∈≥ 1,i =…,,m11,mii λ==∑，不等式()1111()()m m m m f x x f x f x λλλλ+⋯+≤+⋯+成立．定理3.3 当且仅当对任意的x 和p ，,()x p g ∂是∂的凸函数时．则()f x 是凸函数． 证 设()f x 是凸函数，则当01λ≤≤时()(){},1212(1)1x p g f x pλλλλ-∂+∂=+-∂+∂⎡⎤⎣⎦=()()()121f x p x p λλ-+∂++∂⎡⎤⎣⎦()()()121f x p x p λλ≤-+∂++∂()()(),1,21x p x p g g λλ=-∂+∂故(),x p g ∂是凸函数．反之，设对于任意的(),,,x p x p g ∂是∂的凸函数．则()()(){}1110f x y f y x y λλλλ-+=+-⋅+⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(),110y x y g λλ-=-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦()()(),,110y x y y x y g g λλ--≤-+=()()()1f x f y λλ-+．故()f x 是凸函数．定理 3.4 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件是()()()''0''0f x f x ≥≤，x I ∈．注：定理3.4在凸函数应用中经常使用，须牢记.4 凸函数的性质关于凸函数的定义及其可导性，在上面已经作了详细叙述，下面介绍凸函数的一些性质，归纳为以下六点.定理4.1(割线斜率性质)：函数f 在区间I 上的凸函数⇔对123,,x x x I ∀∈，123x x x <<， 总有()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---.证 必要性 记3231x x x x λ-=-，则 ()2131x x x λλ=+-． 由f 得凸性知道()()()2131f x f x x λλ=+-≤()()()131f x f x λλ+-()()3221133131x x x xf x f x x x x x --=+--， 从而有()()()()()312321213()x x f x x x f x x x f x -≤-+-， 即()()()()()()()()322212321213x x f x x x f x x x f x x x fx-+-≤-+-， 整理后即得(1)式．充分性 在I 上任取两点()1313,x x x x ≤，在[]13,x x 上任取一点 ()2131x x x λλ=+-，()0,1λ∈，即3231x xx x λ-=-．由必要性的推导逆过程，可证得()()()()()()2131311f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-， 故f 为I 上得凸函数．同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点123x x x <<，有()()()()()()213132213132fx f x f x f x f x f xx x x x x x ---≤≤---.定理4.2 (导数及切线性质) 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价： 1.f 为I 上凸函数； 2.'f 为I 上的增函数； 3.对I 上任意的两点12,x x ，有()()()()21121'f xf x f x x x ≥=- ．（4） 证（1→2）任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h ．由于1122x h x x x h -<<<+，根据f 的凸性及引理有()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-， 由f 是可导函数，令0h +→时可得()()()()211221''f x f x f x f x x x -≤-，所以'f 为I 上的递增函数。
高考必考高中数学函数的凹凸性
高考必考-----函数的凹凸性在高考中的应用目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。
②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。
教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征教学过程：一、课题导入1.2013届高三第一次月考试题12得分统计表班级考试人数答对人数答错人数正确率高三（1）班（理）54193535.1%高三（11）班（文）61124919.7%2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题———题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》．函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。
二、新课讲授图1 图21、凹凸函数定义及几何特征⑴引出凹凸函数的定义：如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。
但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。
不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。
⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。
凸函数的性质及其应用
中文题目：凸函数的性质及其应用英文题目：The Property and Applications of ConvexFunctions完成人：指导教师：系（院）别：数学与信息科技学院专业、班级：数学与应用数学0602班完成时间：二〇一〇年六月河北科技师范学院数信学院制目录中文摘要 (1)1 引言 (1)2 预备知识 (1)2.1 凸函数的定义 (2)2.2凸函数的运算性质 (2)2.3 Jesen不等式 (2)3 本文的主要结果 (3)3.1 凸函数的连续性 (3)3.2 凸函数的微分性质 (3)3.3 凸函数的积分性质 (6)3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 (7)结束语 (12)参考文献 (12)英文摘要 (13)致谢 (13)凸函数的性质及其应用(河北科技师范学院数学与信息科技学院 数学与应用数学专业0602班)指导教师：摘 要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。
本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发,讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。
并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。
关键词: 凸函数；不等式；证明1 引言凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出【3】。
对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数有着十分重要的作用【4】。
人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究,凸函数的性质也有所发展。
函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。
对数性凸函数的性质及应用解读
对数性凸函数的性质及应用王传坚(楚雄师范学院数学系2003级1班)指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。
关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用.The research and application on some properties oflogarithmatic convex functionWang Chuanjian(Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000)Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function bystudying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic.Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application.导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用.受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用.王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.对数性凸函数的性质及其应用前 言凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。
高考题中的凸函数题型及其应用
厂 （ ） （ ） 厂 （ 是 定 义 在 ［ ，］上 的 四个 函 ２ｚ ， ｚ ， ４ｚ） ０１ 数 ， 中满 足 性 质 ： 对 ［ ，］中 任 意 Ｘ 其 “ ０１ 。≠ Ｘ ， ｚ
总之 ， 解决 好数 学题 目中 的计算 问题 ， 先‘ 要 首 要 设计 好算法 流 程 ， 择 好计算 方 式 ， 四则 运 算 选 对 要 熟练 和准 确． 平 时解题 时 要注 意 观 察 、 析 、 在 分 总结 ， 好 基 本 功 ， 能 解 决 好 数 学 中 的计 算 问 练 才
题．
我们 知道 ， 做解 析几何 问题 时 ， 在 将题 目中 的 几 何 条件转 化为 代数 式 （ 或方 程 ）是关 键 的一 步 ， 而 转化 得简 单 ， 可能使 后续 的计 算方 便 ， 才 避免算
不 出 ， 计 算 错。 例 的几 何 条件 是 有 内切 圆 ， 或 此 如
ｌ
（ ）口＜ ｂ＜ Ｃ Ａ ． （ Ｃ）Ｃ＜ 口 ＜ ｂ ．
分 析 简 解 ： 题 本
ｒ （ ）
ｌ
一
一
， 。 ×
若对 凸 函数 的理解不
深刻 则 很 难 人 手 ， 可 构 造 上 凸 函 数 ｙ — ０
ｌｘ， 取 ｎ Ａ（ ，ｎ ） ２ ｌ２ ，
Ｃ（ ４， Ｂ（ ｌ ３ ， ３，ｎ ）
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（ 。，断 ［ ＋（） 厂 ｏ 。判 专， ）厂。与 （ ） ，） ＋ （ ］
的大 小 ， 加 以证 明． 并
第
称 Ｙ＝ ， ）为［ ，］ 的下 凸 函数 （ ２ ． （ ｎ６ 上 图 ）
简证：当 ｎ＞ 时，妻［ （ ）＋ ｆｘ） ， （ ］＝
丛 土
凸函数及其应用
§2 凸函数及其应用 凸函数定义及其等价形式： 设f(x)在区间I 上有定义,若对任意x 1 、x 2∈I ，λ∈[0，1]成立不等式：f(λx 1+(1-λ)x 2)≤ λf(x 1)+ (1-λ)f(x 2)则称f(x)是区间I 上的凸函数。
f(x)是区间I 上的凸函数当且仅当对任意x 1 、x 2 、x 3∈I ，x 1 < x 2 < x 3，下列不等式之一成立:13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- ， 23231313)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- 。
事实上，设λ=1312x x x x --，则0 < λ < 1 ,且x 2 = λx 3+(1-λ)x 1 ,代入上面任意一式,变形后即得定义形式。
定理：若f(x)在区间I 上连续，则f(x)是区间I 上凸函数的充要条件为：对任意x 1 、x 2∈I 成立 2)()()2(2121x f x f x x f +≤+ 。
证：只须证明充分性。
设n = k ≥ 2 时成立：())()()(21)2(221221k kx f x f x f x x x f kk+++≤+++ 。
考察n = k+1的情形：))22(21()2(1121221121kk k k k k k x x x x f x x f ++++++=++++ 1112212122121()()222111(()())(()())222kk k k k k k k k k x x x x f f f x f x f x f x ++++++++⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭⎛⎫≤++++ ⎪⎝⎭())()()(2112211++++=+k x f x f x f k 。
设λ＝n m2∈[0，1]，则1-λ＝nn m 22-。
注意到kx = kx x x +++，所以由上可知 )(22)(2)2)2(())1((212121x f mx f m x m mx f x x f nn n n n -+≤-+=-+λλ 。
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函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨摘要在高中数学课本中，凹凸函数这一概念虽未曾出现，但观察近儿年全国各地高考试题及一些有难度的高中题，涉及凹凸函数知识的题目已频繁出现.事实上，让高中生掌握一些凹凸函数的简单应用，能起到承上启下，启辿学生思维，增强学生数形结合能力的作用.例如有些对数函数，指数函数以及一些三角不等式的计算或证明，往往看起来很复杂，甚至无从下手，但如果利用凹凸函数的性质给予计算或证明，则会起到简捷明了、事半功倍的效果.本文通过对函数凹凸性定义和相关性质定理的介绍，探讨运用这些定理去证明一些较复杂的不等式，求取值范围，求最值以及解数形结合类的题目，以使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，进一步提高运用这些性质定理去解决相关题目的数学能力和应用能力.这体现了函数的凹凸性在高中数学解题中的巧妙作用.关键词：上凸函数；下凸函数；单调性；不等式Exploring the Concavity and Convexity of Function and its Application ofMathematics in Senior Middle SchoolAbstract: Although the concept of the concavity and convexity of function has not been introduced in the high school textbook of mathematics,many difficult questions involved in the concavity and convexity of function had appeared frequently in the College Entrance Examination.In fact.to some high school students, mastering a simple application of the concavity and convexity of function can play a connecting,enhanceing the capacity of figures and graphics.For example,the calculation and proof of some logarithmic function, exponential function,as well as the triangle function often looks very complicated,even impossible to start,but the problem can be solved simply, clearly and effectively using the concavity and convexity of function.In this paper.the basic definitions ,the character and theorem of the concavity and convexity of function are introduced.The application in proving some complex inequalities, solving the rang of the figure and figures-graphics are discussed. So that the student can have a more comprehensive,more systematic and deeper understanding and further enhance the ability of using these theorems to solve some related problems.This reflect the clever role of the Concavity and Convexity of Functionof ma由ematics in high school.Keywords: convex function; concave function; monotonicity; inequality1引言 (1)2文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (2)2. 3 提出问题 (2)3凹凸函数基础知识 (2)3.1凹凸函数的定义 (3)3.2凹凸函数的相关定理 (3)3. 高中数学中常见函数的凹凸性函数凹凸性在高中数学解题中的应用4. 1 函数凹凸性在证明不等式中的应用4. 利用函数凹凸性求取值范围4.3函数凹凸性在数形结合中的应用 (11)4. 4 利用函数凹凸性求最值 (12)5 结论 (13)5.1主要发现 (13)5. 2 启示 (13)5. 3局限性 (13)5. 4努力方向 (13)参考文献 (15)1 引言函数的叫凸性主要用于高等数学中，例如凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用，而高中课本中没有相关的概念.虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质，但它的身影在高考中频频出现, 充分说明了高考命题源于课本，乂高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.在求解高中涉及函数的凹凸性的相关问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大和繁锁，产生厌学数学的情绪.为了解除这种困惑，培养与提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握函数凹凸性及其在高中数学中的应用是很必要的.因此本毕业论文从凹凸函数的基础知识和函数凹凸性在高中数学解题中的应用两个大方面，对函数凹凸性定义、相关定理及其应用进行进一步的分析，探讨函数凹凸性在证明不等式、求取值范围以及求最值、解数形结合合问题方面的应用，皆在为解决高中有关函数凹凸性的相关问题提供比较清晰的解题思路和解题方法.2 文献综述2. 1国内外研究现状根据所查到的相关文献资料可知，目前有关函数凹凸性在高等数学和初等数学中的研究甚多，学者们从不同的方面和角度对其进行了较为广泛的探讨，比如：唐才祯、莫玉忠、李金继的《凹凸函数在不等式证明中的巧用》一文⑴和张建平的《琴生不等式的应用》一文⑵主要介绍了函数凹凸性的定义和詹生不等式的证明过程；谢晓强的《函数凹凸性的儿个应用》一文&和魏远金的《函数凹凸性在高考中的应用》一文"［主要论述了函数凹凸性在初等数学中的应用，解决了一些用初等数学知识难以解决的初等不等式；王强芳、魏远金的《函数凹凸性在解题中的应用》一文⑸探讨函数的凹凸性在高考数学中的应用；周再禹的《巧用函数凸性证明不等式》一文⑹探讨了用函数的凸性巧妙的来证明中学代数中的一些不等式；尚亚东、游淑军的《凸函数及其在不等式证明中的应用》一文⑺和刘海燕的《凸函数在不等式证明中的应用》一文⑻介绍了凸函数的定义性质及其在证明不等式的一些应用；郝建华的《凸函数的性质及其在不等式证明中的应用》一文⑼主要介绍了两个重要的不等式——霍尔德不等式和闵可夫斯基不等式；刘大谨的《凶函数与不等式》一文"探讨了/'⑴在区间/是四函数的充要条件；江炳新的《构造凸函数证一类不等式》一文“针对目前高考数学的部分压轴题中体现的高等数学思想方法提出在教学中要引导学生进行函数凹Hi性的探究；傅拥军的《函数I，性在不等式证明中的应用》一文”针对在中学数学中不等式的证题方法较多，技巧性强的这一特点，通过例题说明函数凸性是函数在区间变化的整体形态，对于一些不等式，可以巧妙地构造凸函数，利用凸函数加以证明；夏红卫的《凸函数与不等式》一文邱从凸函数的定义出发，得到函数的连续性，推导出Jensen不等式，并由此得到n个正数的算术平均与儿何平均之间的不等式关系；张景丽、陈蒂的《凸函数在不等式证明中的应用》一文「逐论述可导凸函数的儿何特征和性质，并举例说明它们在不等式证明中的应用；晏忠红的《凸函数的应用》一文h主要论述了用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证儿种重要的不等式，并对某些结论作一些探讨，等等；朱庆喜的《函数凹凸性的应用举例》'⑺一文主要根据函数凹凸性的定义形式通过例子反映出函I数凹凸性的简捷有效应用；王萍珠的《例说高考函数图像题的解法》-文⑻是针对高考中的函数图像题这类问题该如何解决而提出应从学会看图和学会作图两方面着手；罗志斌，曾菊华的《关于函数凹凸定义的一个注解》用一文针对不同教材的函数凹凸定义进行比较,对函数凹凸性的相关性质进行讨论，并对函数凹凸性的应用进行研究；赵春燕的《构造函数，利用函数性质证明不等式》地一文论述在构造函数的背景下运用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等，将不等式问题转化为函数问题，等等.2.2国内外研究现状评价综合国内外研究现状可以看出，关于函数凹凸性在高中数学中的应用的研究，仁者见仁、智者见智.其中，较大多数只对一个或儿个题目研究某一方面的问题，对高中出现的有关函数凹凸性的问题没有给出系统的归纳和分类.因此函数凹凸性在高中数学中的应用还有许多问题值得研究和探索.2. 3提出问题经过查阅了国内外的参考文献以及对近儿年高考试题的分析，发现函数凹凸性在解决高中题时有巧妙作用，而IR前文献对用函数凹凸性来解决高中题乂没具体给出应用的归纳和分类.于是本文在查阅了相关资料后，在前人研究的基础之上，对函数凹凸性的应用做了归纳和分类，总结出函数凹凸性在证明不等式、求取值范围、解数形结合问题以及求最值方面的应用，进而培养与提高学生学习数学的兴趣，为学生解决这些问题提供史广的解题思路和解题方法.3凹凸函数基础知识3.1凹凸函数的定义函数凹凸性在高中数学中有巧妙的作用，往往能起到事半功倍的效果，下面先介绍一下它的定义.定义1：如果函数，（尤）对其定义域中任意的玉,心都有如下不等式V | ［/（xj + f（x2）］（1）成立，则称/（尤）是下凸（凸）函数（如图1所示），当且仅当明=互时等号成立.如果函数/.（］）对其定义域中任意的明，心都有如下不等式/（^±^）＞_L［/（X I）+/（X2）］（2）成立，则称丁⑴是上凸（凹）函数（如图2所示），当且仅当玉=互时等号成立.从儿何意义来看，不等式（1）表示定义域中任意两点羽，尤2的中点M所对应的曲线上的点Q位于弦上对应点P的下面.不等式（2）则有相反的意义.3. 2凹凸函数的相关定理以下儿个有关凹凸函数相关定理在解题中非常重要，为了使以后的解题过程更加的方便，下面做一个归纳总结.定理1 （詹生不等式）⑹若函数/（W在区间I是上四函数，则有不等式：/'筋玉+02心+・・・ + 0,/〃）20|/。
(完整word版)高中数学函数的凸凹性例讲
高中数学函数的凸凹性例讲山西忻州五寨一中摄爱忠、凸凹函数定义：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对( a, b )上任意两点x1、x2 ，恒有：(1) f(x1 x2)f(x1) f ( x2 )，则称f 为( a, b )上的下凸函数；(2) f(x1 x2)f(x1) f (x2)，则称f为(a, b)上的上凸函数。
22、凹凸函数的几何特征：1. 形状特征图1(下凸函数) 图 2 (上凸函数)下凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点A1与A2 之间的部分位于弦A1A2的下方;上凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点A1与A2 之间的部分位于弦A1 A2的上方。
2 切线斜率特征下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y 上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y f (x)随x 增大而增大；f(x)随x增大而减小；简记为：斜．率．凹．增．凸．减．下凸函数的增量特征是：y i越来越大；上凸函数的增量特征是：y i 越来越小；3 增量特征：图 5 （下凸函数）图6（凸函数）简记为：增．量．下．大．上．小．弄清了上述两类凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凸的曲线问题．三、凸函数与导数的关系定理1( 可导函数与凹凸函数的等价命题 )：1) 设f(x)为区间I 上的可导函数,则：f(x)为I 上的下凸函数 f (x) 为I 上的增函数；2) 设f(x)为区间I 上的可导函数,则：f(x)为I 上的上凸函数 f /(x) 为I 上的减函数；定理2(可导函数与二阶导数的关系) ：(1)设f(x)为区间I 上的可导函数,则：f(x)为I 上的下凸函数任一子区间上恒为零.(2)设f(x)为区间I 上的可导函数,则：f(x)为I 上的上凸函数f (x) 0 且f (x) 不在I 上的f (x) 0 且f (x) 不在I 上的任一子区间上恒为零四、函数凹凸性的应用题型 1：图形与图像问题高为Ｈ满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图 7 所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数 V f (h) 的大致图象可能是图 8 中的(◇题目： )．图7解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．练一练：◇题目：向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深ｈ的函数关系的图象如图9 所示，那么水形状是（图的））．（1998 年全国高考题）图9 图107解：因为容器中总的水量（即注水量） V 关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ， V 的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．讲一讲：◇题目： 在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图所示．现给出下面说法：①前 5 分钟温度增加的速度越来越快； ③5 分钟以后温度保持匀速增加；其中正确的说法是（ ）．解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先上凸后平行直线，即 5 分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ 相应的增量Δｙ越来越小，而 5 分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注： 本题也选自《中学数学教学参考》 2001 年第 1～2 合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看 图说画”．Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ．②③ Ｄ．①③②前 5 分钟温度增加的速度越来越慢； ④ 5 分钟以后温度保持不变．练一练：◇题目： ( 06 重庆 理)如下图所示，单位圆中弧 x ，f(x) 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积解：易得弓形 AxB 的面积的 2 倍为 f(x)= ｘ-sin ｘ．由于ｙ １ ＝ｘ是直线， 每当ｘ增加一个单位增量Δｘ， ｙ １的对应增量Δｙ不变；而ｙ ２ ＝sin ｘ是正弦曲线，在［ 0 ，π］上是上凸的，在［π，2π］上是 下凸的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ(ｉ =1 ， 2， 3 ，⋯)在［ 0，π］上越来越小，在［π， 2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的 f(x) 的变化，在ｘ∈［ 0，π］上其增量Δ f(x) ｉ(ｉ＝ 1， 2， 3 ，⋯)越来越大，在ｘ∈［π， 2π］上，其增量Δf(x) ｉ则越来越小，故 f(x) 关于ｘ的函数图象，开始时在［ 0 ，π］上是下凸的，后来在［π， 2 π］的２倍，则函数 y=f(x) 的图象是(A图 17CAB 的长为上是上凸的，故选 D ．◇题目： （ 07 江西） 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、A ． h 2>h 1>h 4B ．h 1> h 2> h 3C ．h 3> h 2>h 4D ．h 2>h 4>h 1解： 设内空高度为 H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次V 3（h ）、V 4（h ），根据酒杯的形状可知函数 V 1（h ）、 V 2（h ）、 V 4（h ）因为函数 V 1（h ）、V 2（h ）为下凸函数, V 1（h ）当h 从Ｏ→ H ，Δh 增加一个单位增量， ΔV ｉ（ｉ ＝ 1 ，2 ，3，⋯）增大，则 h 1> 0.5H =h 4；同理 V 2（h ）当 h 从Ｏ→ H ，Δh 增加一个单位增量，ΔV ｉ（ｉ＝1，2，3，⋯）增大，则 h 2> 0.5H =h 4；所以 h 1> h 4、 h 2> h 4；由 V 1（ h ）、 V 2 （ h ）图象可知， h 从 H →h 2，ΔV 1（h ）>ΔV 2（h ）,而 0.5 V 1（h ）>ΔV 1（h ）,Δ杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中 酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为 h1 ，h2 ，h3 ， h4 ，则它们的 大小关系正确的是（ ）为 V 1（h ）、 V 2（h ）、 的图象可为上右 图.V2（h）=0.5 V 2（h）,则当ΔV1（h）=0.5 V 1（h）时h1> h 2，所以答案为 A.题型2：函数与图像问题◇题目：在y 2x,y log2 x,y2x ,y cos2x 这四个函数中,当0 x1 x2 时，f (x1 x2) f (x1) f (x2 )恒成立的函数的个数是( ).22A.0B.1C.2D.3分析】：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x1<x2,当f(x)总满足f(x1 x2) f(x1) f(x2)时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定22y=2 x,y=x 2,y=cos2x ，应选B。
凸函数及其应用
程乐根
1
定义 函数 f x 如果对其定义域中任意的 x1 , x2 都有如下不等式成立，即 x x 1 f 1 2 f x1 f x2 (1) 2 2 则称 f x 是下凸函数.等号当 x1 =x2时成立.如果总有不等式 x x 1 f 1 2 f x1 f x2 2 2 则称 f x 是上凸函数.等号当 x1 =x2时成立. （2）
3
定理2
设函数 f x 在区间 I 内有定义，对于任何相异的
x1 , x2 I ,以及任意 , R , 且 + =1，若 f x1 + x2 f x1 + f x2 . 则称 f x 在 I 内上凸；若不等号的方向相反，则称 f x 在 I 内下凸. 定理3 若 f x 在区间 I 内上凸，则对任意 x1 , x2， ，xn I，以及任意
2
【证明】 1 n =2时，由下凸函数的定义成立.
2 假设
n k时命题成立. x1 +x2 + +xk 1 , k 1 x1 +x2 + =f +xk xk 1 k 1 ak 1 2k
对 n k +1，设ak 1
2
12
例7、若 a>0,b>0 且 a+2b=6， 求 lg a+2 lg b 的最大值。
解 由 y lg x 为上凸函数，由定理2得 2 1 a 2b lg a+2 lg b 3 lg a lg b 3lg 3lg 2. 3 3 3 3 当 a b 2 时，取最大值 3lg 2.
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高中数学：凸函数及其应用
()()()()()()()12121212121212,122=122=f x x x x x f f x f x f x x x x x f f x f x f x x x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
+⎛⎫≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝
⎭
定义 函数 如果对其定义域中任意的 都有如下不等式成立，即 (1)则称 是下凸函数.等号当 时成立.如果总有不等式 （2）则称 是上凸函数.等号当 时成立.
从几何意义来看，不等式(1)表示定义域中任()()()()1212121212,+++1
.
===.
n n n n x x M f x n x x x x x x f f x f x f x n n x x x ⎛⎫≤+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭意两点 ，的中点，
所对应的曲线上的 Q 位于弦上对应点 P 的下面，不等式（2）则有相反的意义。
定理1 若 是下凸函数，则对其定义域中点任意 个点 ，，，恒有 等号当 时成立
()()()()()()()12121212121211222,,,,+=1++.,,1,+n n n f x I x x I R f x x f x f x f x I f x I f x I x x x I R f x x λμλμλμλμλλλλλλλλ++∈∈≥∈∈++
+=+定理 设函数 在区间 内有定义，对于任何相异的
以及任意 且 ，若 则称 在 内上凸；若不等号的方向相反，则称 在 内下凸.定理3 若 在区间 内上凸，则对任意 ，，，以及任意
，，，必有
()()()()1112==
=n n n n n x f x f x f x I x x x λλλ+≥+
+；
若 在区间 内下凸，则不等号反向，其中等号均当且仅当
时成立.
()()()()()()()()()1=log 102=sin 03=0.
a x f x x a x f x x x f x a a π>>-<<>例1 证明：下列函数的凸性.
，是上凸函数；是下凸函数；是下凸函数
2sin sin sin A B C A B C ++例 已知、、是三角形的三个内角，求 的最大值.
3n n 例、证明：在圆内接 边形中，以正 边形的面积为最大.
4cos cos cos 222
A B C A B C
例、已知、、是三角形的三个内角，求的最大值.
()(
)
()()(
)
12
12121
112212
125101,2,
,2001,2,,.
n n
i n i i a a a n n a a a n
n
a i n a a a n
a x i n a x a x a x x x x
a a a +++>=+++≥>>=+++≥++
+例、 证明:
对 有
对 ，有
2
2
2
2
a b c d R a b c d a b c d ∈++++=+++例6、若 、、、，且 求 的最小值。
7lg lg a b a b a b 例、若 >0,>0 且 +2=6，求 +2 的最大值。
182122a b a b ++=例、若 ，求 +2 的最小值.
129i n n x x x x x ≥≤+≤例、若 0，且 +++=100，
求证：10()()()()
1110=++,11
1+2,3,2+2,3,
23
k k k k k k k k k ABC a b c S a b c a b c k a b c S k --∆>=+≥=例、的三边长为 、、，记 求证：
；。