数学物理方程学习报告

会遇到非齐次方程的问题。在解决非齐次方程或者非齐次边界条件时，都可以
用其次化的方法将方程及边界条件化为齐次，如令U (x,t) V (x,t) W (x,t) ，化 为齐次后在用分离变量法求解。
若是在圆域中的问题，如圆域内的稳定问题，则利用
x cos , y sin.
将其化为极坐标下的方程，如：
n1
( An
Bn ) sin
n x
a
u0
n 1
(
Ane
n a
b
n b
Bne a ) sin
n x
a
U
将等式右边展开为傅里叶级数并比较得
An
Bn
2 a
a
0 u0
sin
n x a
dx
2u0 (1 (1)n ) n
n b
Ane a
n b
Bne a
2U (1 (1)n ) n
联立求解得：
从理论上讲，分离变量法之所以成功，要取决于下列几个条件：
1.特征值问题有解；
2.定解问题的解一定可以按照特征值函数展开，也既是说，特征值函数是完备
的；
3.特征值函数一定具有正交性。
下面以两端固定的弦的自由振动问题来具体的说明分离变量法的使用步骤
定解问题：考虑长为 l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条
由 Y Y 0 代入特征值解得：
n y
n y
Yn ( y) Ane a Bne a
根据叠加原理有：
un (x,
y)
n
( Ane a
y
n
Bne a
y
) sin
n x a
u ( x,
y)
n
(Ane a
n1
y
n
Bne a
y
) sin
n x
a
为确定叠加系数，将 u(x,y)代入边界条件有：
An
(1
(1)n )(U
n b
u0e a
nsh( nb)
)
a
n b
Bn
(1
(1)n )(u0e a nsh( nb)
U
)
a
则原问题的解为：
u ( x,
y)
n1
n
(Ane a
y
n
Bne a
y
) sin
n x a
n1
2(1 (1)n ) n sh n b [Ush
n y a
u0sh
n (b a
其在极坐标下的表示形式：
2u 0,
x2
y2
2 0
,
u x
2
y
2
2 0
f.
1
(
u )
1 2
2u 2
0,
0, 0
2 ,
u(0 , ) f ( ), 0 2 .
利用 u(, ) R()( ).
R''()( )
1 2
R( )'' (
)
1
R'()( )
0,
2 R'' () R' () '' ( ) ,
l
l
0 Dn n 1
na sin n
l
l
x sin m l
xdx
l
(x)
sin
m
0
l
xdx.
C n Dn
2
l
(x)
sin
n
l0
l
2
l
(x) sin
na 0
dx, n dx l
这样就完成了应用分离变量法解决两端固定的弦的自由振动问题。
在上面所举的例子中，方程为齐次方程，然而在我们应用的过程中，经常
方程中含有待定常数 ，定解条件是齐次边界条件，与一般的常微分方程
的初值问题不同：并非对任一的 ，都有既满足齐次方程有满足边界条件的非
零解，只有当 取某些特定值时，才有既满足方程又满足边界条件的非零解。
有非零解的 称为该问题的特征值；相应的非零解称特征函数；而 X (x) 满足的
常微分方程的定解问题称特征值问题。 第二步：求解特征值问题 若 0 ，方程的通解形式为
un (x,t)
(Cn
cos n l
at
Dn
sin
n l
at ) sin
n l
x,
(n 1,2,3,...)
这样的特解有无穷多个，每个特解都满足齐次方程和齐次边界条件
把全部特解叠加起来
n
n
n
u(x,t) (Cn cos
n1
l
at Dn sin
l
at ) sin
l
x,
我们知，只要级数收敛，并且二次可微，则 u(x,t) 也满足齐次边值问题。
首先来总结利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤：
1.分离变量：这一步所以能够实现，先决条件使偏微分方程和边界条件都是齐
次的。而分离变量的结果是得到含有待定常数的齐次常微分方程和齐次边界条
件，即特征值问题；
2.求解特征值问题；
3.求出全部特解，并进一步叠加出一般解（形式解）；
4.利用特征函数的正交性确定叠加系数。
下面选择合适的 Cn , Dn 使 u(x,t) 满足初始条件，即
Cn sin
n 1
n l
x
(x),
Dn
n 1
na sin l
n l
x
(x).
第四步：运用特征值函数的正交性定叠加系数
应用傅里叶级数展开有：
l
n
0 Cn sin n 1
l
x sin m l
wk.baidu.comxdx
l
(x)
sin
m
dx,
0
X (x) Ax B
由边界条件知 A 0, B 0 ，从而 X (x) 0 ，不符合要求。 若 0 ，方程的通解形式为
代入边界条件得
X (x) Acos x B sin x
A 0, B sin
l
0
A 0,
( n l
)2
,
n
1,2,3,...
从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数
以上便是分离变量法在几种常见的情况下的应用，下面解一个实际问题并 给出解的图像：
散热片的横截面为矩形。它的一边 y=b 处于较高温度 U,y=0 边处于冷却介 质中而保持较低的温度 u0,其他两边 x=0,x=a 温度保持为零,求解这横截面上的 稳定温度分布 U(x,y)
先写出定解问题定解问题
uxx uyy 0
R()
( )
从而可得常微分方程
2 R'' R' R 0, '' ( ) ( ) 0.
由有限性及周期边界条件知
( ) ( 2 ) ，| R(0) |
从而得定解问题
'' ( ) ( ) 0, ( ) ( 2 ).
解出特征值问题后，其后解题思路与在直角坐标系下基本相同。重点还要 要掌握欧拉方程等一般微分方程的解法。
等，就必须等于一个与 x,t 无关的常数。设为 ，则有
X '' (x) T '' (x) X (x) a2T (x)
T '' (t) a 2T (t)
X
''
(
x)
X
(
x)
0, 0.
将边界条件代入 u(x,t) 得
X (0)T (t) X (l)T (t) 0, 此时，必有
X (0) X (l) 0,
数学物理方程学习报告
在本学期学习数理方程的过程中，我再一次体会到了数学的精妙，复杂的
微分方程运用一些简单地方法就可以手工解出。我注意到，分离变量法是几乎
贯穿整个数理方程学习始终的一种方法，非常重要且应用非常广泛，所以我在
这份学习报告中将重点总结分离变量法的相关知识及其应用，希望能借此学习
报告更深刻的理解公式背后火热的思考。
y) ] sin
n x a
a
绘制解的图像为：
u u
6
5
4
6
3
5
2
4
1
3
2
0 3
2
2
1 2
1.5
0
1.5 1
1 Y
00
1 0.5
X
3 2.5
2 1.5
1 0.5
Y
0.5 X
00
a=2 b=3 U0=1 U=5 N=150
其中图 1 为精确解图，图 2 为瀑布图。
件为
分析：
2u a 2 2u , 0 x l, t 0,
t 2
x 2
u 0, u 0, t 0,
x0
xl
u t 0
(x),
ut
t 0
(x),
0
x
l.
方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。在解常微分方
程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通
解，而后用定解条件定出叠加系数。
第一步：分离变量 由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：
u(x,t) X (x)T (t)
将 u(x, t) 代入方程，可得
X (x)T '' (t) a 2 X '' (x)T (t)
X '' (x)
T '' (x)
X (x) a2T (x)
此式中，左端是关于 x 的函数，右端是关于 t 的函数。因此，左端和右端相
n
( n )2 , l
n
1,2,3,...
X
n
(
x)
Bn
sin
n l
x,
n
1,2,3,...
第三步：求特解，并叠加出一般解
求解了特征值问题后，将每特征值 n 代入函数T (t) 满足的方程可得出相应的解
Tn (t)
Cn'
cos
n l
at
Dn'
sin
n l
at,
n 1,2,3,...
因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的特解
这就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的第一步：分离变量 该步骤的目标是要分离变量形式的解 u(x,t) X (x)T (t) ，得到了函数 X (x) 满足
的常微分方程和边界条件以及T (t) 满足的常微分方程，
X '' (x) X (x) 0, X (0) X (l) 0.
接下来求解函数 X (x) 满足的常微分方程定解问题。
u 0 u 0 (0 y b)
x0
xa
u y0 u0
u U yb
(0 x a)
令 u(x, y) X (x)Y ( y)
求解特征值问题
X X 0
X
(0)
0
X (a) 0
特征值为： 特征函数为：
n
n2 a2
2
(n 1,2,.....)
X
n
(
x)
sin
n a
x
(n 1,2,.....)