“双勾函数”的性质及应用

“双勾函数”的性质及应用

问题引入

：求函数2y =

的最小值．

问题分析

：将问题采用分离常数法处理得，2y =

=，此时

如果利用均值不等式，

即2y =

，等式成立的条件

为

=

=

显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值

不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．

一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义

我们把形如()k

f x x x

=+

（k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()k

f x x x

=+

（k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．

2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像

3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质

①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x

二次函数图像

“双勾函数”图像

的增大而增大；当2b

x a

=-时，函数y 有最小值244ac b a - ．

②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x

的增大而减小．当2b

x a

=-时，函数y 有最大值244ac b a -．

（2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x >

时，在x =y 随着x

的增大而减小；在x =y 随着x

的增大而增大；当x =

y

有最小值．

②当0x <时，

在x =y 随着x 的增大而增大；

在x =y 随着x

的增大而减小．当x =y

有最大值-

综上知，函数()f x

在(,-∞

和)+∞

上单调递增，在[

和上单调递减．

下面对“双勾函数”的性质作一证明．

证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则

1212121212121212

()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x

x x x x ---=+

--

==--．

以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？

首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法

”，令120x x x ==，

2

010k

x -

=

可得到x =

因此又找到两个分界点

．这样就把()f x 的定义域分为(,-∞，[，，)+∞四个区间，再讨论它的单调性．

设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212

()()

()()0x x x x k k k f x f x

x x x x x x ---=

+

--=>，即12()(

)f x f x >． ∴()f x 在上单调递减．

同理可得，()f x 在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在[上

单调递减．

故函数()f x

在(,-∞

和)+∞

上单调递增，在[

和上单调递减．

性质启发：由函数()(0)k

f x x k x

=+

>的单调性及()f x 在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数()y f x =的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．

4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比 （1）“二次函数”的区间最值

设f x ax bx c a ()()=++≠2

0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b

a

=-2， ①当a >0时，抛物线开口向上．

若-

∈b

a m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉

b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a

=-2较远端

点处取得最大值，较近端点处取得最小值． ②当0a <时，抛物线开口向下．

若-

∈b

a m n 2[]，必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值； 若-∉

b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a

=-2较远端

点处取得最小值，较近端点处取得最大值． 以上，作图可得结论． ①当a >0时，

max

121()()()22()1()()()

22b f m m n a f x b f n m n a ⎧

-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩

如图如图，≥，；

min

345()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪

⎪

=--⎨⎪

⎪

-<⎪⎩

如图如图如图，，≤≤，．

图1 图2 图3 图4 图5