高中数学北师大版选修2-1课件：第三章1.1 椭圆及其标准方程

方法归纳 (1)利用椭圆定义可判断动点的轨迹是否为椭圆或椭圆的一部 分． (2)过椭圆焦点的弦问题，常利用定义解决． (பைடு நூலகம்)焦点三角形(以椭圆上一点及两焦点为顶点的三角形)问题, 利用椭圆定义和三角形有关知识(如正、余弦定理)求解．
2.(1)如图，F1、F2 分别为椭圆xa22＋by22＝1 的左、右焦点，点 P 在 椭圆上，
2.椭圆的标准方程 椭圆上任意一点的 坐标都是方程xa22＋yb22＝ 1 (a>b>0)的解， 以方程xa22＋yb22＝ 1(a>b>0)的解
为坐标的点都在椭 圆上，我们将方程 ___xa_22_＋_yb_22_＝__1_(a>b>0)叫作焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，焦点 坐标是 F1(－c，0)，F2(c，0)，其中__c2_＝__a_2_－__b_2___．
同样地，我们将方程__ya_22_＋__xb_22_＝__1_(a>b>0)叫作焦点在y轴上的
椭圆的标准方程．焦点坐标是F1(0，－c)，F2(0，c)，其中 __c_2＝__a_2_－__b_2__．如图所示．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0 且为常数)是P点的轨迹为椭圆的必要不充分条件( √ ) (2)椭圆标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴 上，且两焦点关于原点对称( √ ) (3)椭圆的特殊形式是圆，这时焦点重合( × ) (4)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2 ＝b2＋c2( √ )
|PC|＋|CC1|＝10.又 P(3，0)，C1(－3，0)，且|PC1|＝6<10.可见 C
点是以 P，C1 为两焦点的椭圆，且 c＝3，2a＝10，∴a＝5，从 而 b＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x2 ＋y2 ＝1.
25 16
易错警示
椭圆问题的四种常见错误
(1)已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|
解析：(1)因为 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点，点 P 在椭圆上， 且正三角形 POF2 的面积为 3，所以 S△POF2＝12·|OF2|·|PO|sin
60°＝ 3c2＝ 3，所以 c2＝4. 4
∴点
P
的坐标为c2，
3c 2
，即
(1，
3)，∴a12＋b32＝ 1，
又
b2＋
c2＝
a2，所以ba22＋＝
体会坐标法的应用，养成严谨的科学态度.
1.椭圆的定义
(1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于_常__数___大于|F1F2|) 的点的集合叫作__椭__圆____． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的_焦__点___，两个焦点F1，F2间的 距离叫作椭圆的___焦__距___．
(2)椭圆的集合表示 设M是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭 圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为 __{M__|_|M__F_1_|＋__|_M_F__2|_＝__2_a_，__2_a_>_|F__1F__2|_，__a_为__常__数__}_．
△POF2 是面积为 3的正三角形， 则 b2 的值是__2__3____． (2)(2014·南京市高二期末)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 y42＋x32＝1 的上焦点为 F，直线 x＋y－1＝0，x＋y＋1＝0 与椭圆 分别相交于点 A，B，C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝ ____8____．
C．(0，12)
D．(12，1)
解析：由题意知 m>2m－1>0，∴1<m<1. 2
4．椭圆x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2， 点 P 在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝___2_____． 解析：a＝3，|PF1|＝4，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF2|＝6－|PF1|＝6－4＝2.
所以（－a25）
2（ ＋
3） b2
2
＝
1，即a52＋b32＝
1
②.
由①②得 b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y2 ＋x2 20 4
＝ 1.
法二：设所求椭圆
方程为
y2
λ＋
＋ 25
x2
λ＋
＝ 9
1(λ>－
9)，
把( 3，－ 5)代入有λ＋5 25＋λ3＋9＝1，
解得 λ＝－5 或 λ＝－21(舍)． 故所求椭圆方程为y2 ＋x2＝1.
2．椭圆x92＋y32＝1 的焦距等于( D ) A．4 3 C. 6
B．2 3 D．2 6
解析：c2＝a2－b2＝9－3＝6，c＝ 6，焦距 2c＝2 6.
3．已知方程xm2＋2my－2 1＝1 表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆，
则实数 m 的取值范围为( D ) A．(0，1)
B．(12，＋∞)
法 一 ： 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ （4－0）2＋（3 2＋2）2 ＋
（4－0）2＋（3 2－2）2＝12，∴a＝6. 又 c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，所以椭圆的标准方程为y2 ＋x2 ＝1.
36 32
法二：由于椭圆过点(4，3 2)，∴1a82 ＋1b62 ＝1①.
又 c＝2，∴a2－b2＝4②， 由①②解得 a2＝36，b2＝32，所以椭圆的标准方程为y2 ＋x2 ＝
36 32
1. (2)因为所求椭圆与椭圆y2 ＋x2＝1 的焦点相同，所以所求椭圆
25 9 的焦点在 y 轴上，且 c2＝25－9＝16.
法一：设所求椭圆的标准方程为ya22＋xb22＝1(a>b>0)．因为 c2＝16，
且 c2＝a2－b2，所以 a2－b2＝16 ①.又所求椭圆过点( 3，－ 5)，
＋|MF2|＝4，则动点M的轨迹是( D )
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
(2)若方
程 x2 7－
＋ k
y2 k－
＝ 5
1
表 示椭圆 ，则实 数
k
的取值范围是
___(_5_，__6_)_∪__(6_，__7_)____．
(3)已知椭圆的标准方程为2x52 ＋my22＝1(m>0)，并且焦距为 6，则
相垂直，则△PF1F2 的面积为( D ) A．20
B．22
C．28
D．24
[解析] (1)2c＝|F1F2|＝8，c＝4，a2＝b2＋c2＝25＋16＝41，a
＝ 41，
故△ABF2 的周长为|AB|＋|F2A|＋|F2B|＝4a＝4 41. (2)c2＝ a2－ b2＝ 49－ 24＝ 25，c＝ 5，|F1 F2 |＝ 10，设 |PF1|＝ r1，|PF2 | ＝ r2， 由题意知 r21＋r22＝100，① 又根据椭圆定义，知 r1＋r2＝14，② 由①②易得 r1r2＝48.故 S△PF1F2＝12r1r2＝24.
20 4
(3)设椭圆的一般方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两
点(2，－
2)，(－1，
14)代 2
4A＋2B＝1
入一般方程，得
A＋14B＝1，解 4
得A＝18，
B＝
1 4
所以所求椭圆的标 准方程为x2＋y2 ＝ 1. 84
方法归纳 求椭圆的标准方程必须先判断焦点的位置，进而确定所求方程 的形式．如果焦点的位置不确定，一般要分类讨论，或设为一 般式 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．与xa22＋yb22＝1(a>b>0)共焦
3a2＝ a2b2 4＋b2 ，解得
b2＝ 2
3.
(2)如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接 AF1、 FD.由椭圆的对称性可知，四边形 AFDF1(其中 F1 为椭圆的下焦 点)为平行四边形，∴|AF1|＝|FD|，同理|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF| ＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8.
与椭圆有关的轨迹问题
如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q 为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求 点M的轨迹方程． (链接教材第三章1.1例1)
[解] ∵M 在线段 CQ 上，∴|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又 M 在 AQ 的
垂直平分线上，连接 MA，则|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|
＝5>|CA|.又 A(1，0)，C(－1，0)，
∴点 M 的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，其中 2a＝5，
则
a＝5，则 2
b2＝52
2－
12＝21.故点 4
M
的轨迹方程为x2 ＋y2 ＝1. 25 21
44
方法归纳 (1)此类问题有两种常见思路： 一是通过条件中的等量关系列出等式，化简得出方程(直接 法)；二是分析图形的几何性质，判断动点是否符合椭圆的定 义(定义法)． (2)此类问题注意三点：一是若需建立坐标系时，要考虑建系 不同得出的方程不同；二是不在轨迹上的点要挖去(可对方程 加上限制条件)；三是求轨迹要根据所求方程说明其轨迹图 形．
[解析] (1)∵|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|， ∴动点 M 的轨迹是线段 F1F2.
7－k>0 (2)由题意可知k－5>0 ，
7－k≠k－5
∴ k∈ (5， 6)∪(6， 7)． (3)∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在 x 轴上时，由椭圆的标准 方程知 a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得 25＝m2＋9，∴m2＝16， 又 m>0，故 m＝4.当椭圆的焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准方 程知 a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得 m2＝25＋9＝34，又 m>0，
3.求过点P(3，0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心
的轨迹方程．
解：圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为 C1(－3，0)，
半径为 R＝10.设所求动圆圆心为 C(x，y)，半径为 r，依题意有
|PC|＝r，
消去
|CC1|＝R－r，
r
得
R－|PC|＝|CC1|⇒|PC|＋|CC1|＝R，即
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)、(0，2)，经过点(4，3 2)； (2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆y2 ＋x2＝1 有相同的焦点；
25 9 (3)经过两点(2，－ 2)和(－1， 14)．
2 (链接教材第三章 1.1 例 2)
[解] (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上，可设其标准方程 为ya22 ＋xb22＝ 1(a>b>0)．
点的椭圆可设为λx＋2 a2＋λy＋2 b2＝1(λ>－b2)．
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26. (2)经过点(2，－3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点．
解：(1)由题意知 2c＝10，2a＝26，所以 c＝5，a＝13，所以 b2 ＝a2－c2＝132－52＝144.因为焦点所在的坐标轴不确定，所以所 求椭圆的标准方程为 x2 ＋ y2 ＝1 或 y2 ＋ x2 ＝1.
∴ a2＝ b2＋ c2＝ 15. ∴所求椭圆的标准方程为 y2 ＋x2 ＝1.
15 10
椭圆的定义及其应用
(1)设 F1，F2 是椭圆xa22＋2y52 ＝1(a>5)的两个焦点，且|F1F2|
＝8，弦 AB 过点 F1，则△ABF2 的周长为(D )
A．10
B．20
C．2 41
D．4 41
(2)椭圆4x92＋2y42 ＝1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2 的连线互
169 144 169 144
(2)椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点坐标为(0，－ 5)，(0， 5)． 设所求椭圆的标准 方程为ya22＋xb22 ＝ 1(a>b>0)． ∵点 (2，－ 3)在椭圆上，∴a92 ＋b42 ＝ 1.①
又 c＝ 5，故 a2＝b2＋5，② 整理①②，解得 b2＝10，或 b2＝－2(舍去)，
第三章 圆锥曲线与方程
第三章 圆锥曲线与方程
§1 椭 圆
1．1 椭圆及其标准方程
第三章 圆锥曲线与方程
学习导航
1.了解椭圆的实际背景．
学习 目标
2．理解椭圆的定义和标准方程．(重点)
3．掌握由已知条件求椭圆的标准方程．(难点)
1.通过自己画椭圆的过程，发现椭圆形成条件，抽象
学法 出椭圆的定义，培养把握了解本质的能力． 指导 2．通过椭圆方程的推导、化简、等价性分析的过程，
实数 m 为__4__或___3_4_____．
(4)已知 B，C 是两个定点，|BC|＝6，且△ABC 的周长等于 16， 则顶点 A 的一个轨迹方程为
x2 ＋y2 ＝1(y≠0)(或y2 ＋ x2 ＝1(x≠0)) _2_5___1_6____________2_5___1_6______________．