2020-2021 学年初三数学上册同步练习：圆
2020-2021学年数学新人教九年级上册同步测控优化训练：(24.3-正多边形和圆)
2020-2021学年数学新人教九年级上册同步测控优化训练24.3 正多边形和圆5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没有变化.答案：D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 思路解析：如图，设正三角形的边长为a ，则高AD=23a ，外接圆半径OA=33a ，边心距OD=63a ， 所以AD ∶OA ∶OD=3∶2∶1.答案：A3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.思路解析：正n 边形的对称轴与它的边数相同.答案：5 64.中心角是45°的正多边形的边数是__________.思路解析：因为正n 边形的中心角为n ︒360，所以45°=n︒360，所以n=8. 答案：85.(2020上海静安检测)已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.思路解析:由切线长定理及三角形周长可得.答案:610分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 思路解析：因为正n 边形的外角为n︒360，一个内角为n n ︒•-180)2(， 所以由题意得n ︒360=32·n n ︒•-180)2(，解这个方程得n=5. 答案：52.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26B.43C.36D.34思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A.答案：A3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 3 思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案：B4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图24-3-1思路分析：求作⊙O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O 的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE 是⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于360°÷12＝30°.(1)作法：①作直径AC;②作直径BD ⊥AC;③依次连结A 、B 、C 、D 四点,四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形;④分别以A 、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G;⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点.六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形.(2)证明：连结OE 、DE.∵∠AOD ＝4360︒＝90°，∠AOE ＝6360︒＝60°， ∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝30°.∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边.快乐时光有一位爱鸟人士,他特别喜欢鹦鹉,有一天,他经过一间鸟店发现里面正在拍卖一只鹦鹉,他见那只鹦鹉毛色很好决定要买,于是他喊道:“我愿意出10美金买下这只鹦鹉!”接着有人喊价:“我愿意出20美金!”那位爱鸟人士不愿把那只鹦鹉拱手让人,于是他又喊了30美金.可是另一个声音像在跟他作对,一直到那位爱鸟人士叫了200美金时才停.那人买到鹦鹉很高兴,可是他突然想到:我花了那么多钱才买到这鹦鹉,如果它不会说话那我不就亏大了吗?于是他就去问老板:“老板,你这只鹦鹉会不会说话啊?”接着他听到鹦鹉大叫:“不会说话?!你以为刚刚是谁在跟你喊价啊?!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.63 B.43 C.332 D.33 思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为33. 答案：D2.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形C.正六边形D.正十二边形思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B.答案：B3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P 6＝6a n 求出周长.答案：184.(2020上海浦东新区模拟)正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.答案：144.5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-2思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R 3与R 6的平方比即可.解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为R 3，正六边形外接圆⊙O 2的半径为R 6，由题意得R 3=33AB ，R 6=AB ，∴R 3∶R 6＝3∶3.∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3. 6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求.解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为n n ︒•-180)2(，外角为n︒360，依题意得n n ︒•-180)2(-n︒360＝100°.解得n ＝9. 7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三。
【九年级数学《圆》同步练习题含答案
九年级数学上册《圆》同步练习一、选择题1．圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则（）A.当d=8 cm，时，直线与圆相交B.当d=4.5 cm时，直线与圆相离C.当d=6.5 cm时，直线与圆相切D.当d=13 cm时，直线与圆相切2．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）A.80°B.70°C.60°D.50°3．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．102 B．20 C．18 D．202 4．如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=700，则∠AOC为（）（A）1400 （B）1200（C）900 （D）3505．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O 的位置关系为（）A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定6．（3分）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（3分）（2015•牡丹江）如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）．A．32° B．38° C．52° D．66°8．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A．24cm B．48cm C．96cm D．192cm二、填空题9．用半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于 cm．10．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的表面积为．（结果保留π）11．如果一个扇形的圆心角为120°，半径为6，那么该扇形的弧长是．12．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为 cm．13．（3分）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径．14．（3分）边长为1的正三角形的内切圆半径为．15．（3分）（2015•郴州）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．16．（4分）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC= ．三、解答题17．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C ，若AB=2，∠P=30°，求AP 的长（结果保留根号）．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A.18．求证： BC 是⊙O 的切线；19．若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长. O EDA20．如图，已知⊙O 与BC 相切，点C 不是切点，AO ⊥OC ，∠OAC=∠ABO ，且AC=BO ，判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由．21．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O的直径，DE 切⊙O于点D，且DE⊥MN于点E．（1）求证：AD平分∠CAM．（2）若DE=6，AE=3，求⊙O的半径．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E 在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧AC的长（结果保留π）．参考答案1．C2．B．3．B．4．A5．B．6．D．7．B．8．B．9．310．24π．11．4π．12．4．13．1．．14．3615．3π．16．43．17．23．18．证明：（1）∵AB为⊙O的直径∴D=90°, A+ABD=90°∵∠DBC =∠A∴∠DBC+∠ABD=90°∴BC⊥AB∴BC是⊙O的切线19．∵OC∥AD，D=90°，BD=6∴OC⊥BDBD=3∴BE=12∵O是AB的中点∴AD=2EO -∵BC⊥AB ，OC⊥BD∴△CEB∽△BEO，∴2=•BE CE OE∵CE=4，∴9OE=4∴AD=9220．直线AB与⊙O的位置关系是相离．理由见解析．21．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为7.5．22．（1）证明见试题解析；（2）2π．《圆》的练习一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等2．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°3．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．124．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN ⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为485．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3 B．2.5 C．4 D．3.56．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm7．图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B D．无法确定8．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm9．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm10．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= ．12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．13．如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm 为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA 的位置关系是．14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为．15．已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为cm．16．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（共8题，共72分）17．圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，求圆锥母线长．18．在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．19．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD 于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．20．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．21．△ABC是⊙O的内接三角形，BC=．如图，若AC是⊙O的直径，∠BAC=60°，延长BA到点D，使得DA=BA，过点D作直线l⊥BD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由．22．如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．23．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．24．如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【考点】圆的认识．【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．故选B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．2．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°【考点】圆的认识；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】利用半径相等得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=∠AOC进行计算即可．【解答】解：连结OD，如图，∵OB=DE，OB=OD，∴DO=DE，∴∠E=∠DOE，∵∠1=∠DOE+∠E，∴∠1=2∠E，而OC=OD，∴∠C=∠1，∴∠C=2∠E，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，∴∠E=∠AOC=×84°=28°．故选B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．3．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC，根据题意OE=OC﹣1，CE=3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，∴OE=OC﹣1，CE=3，∴OC2=（OC﹣1）2+32，∴OC=5，∴AB=10．故选C．【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径OC的长度．4．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN ⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理．【分析】过圆心O作OE⊥CD于点E，则OE平分CD，在直角△ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OE?CD即可求得．【解答】解：过圆心O作OE⊥CD于点E，连接OD．则DE=CD=×6=3．在直角△ODE中，OD=AB=×10=5，OE===4．则S四边形DMNC=OE?CD=4×6=24．故选A．【点评】本题考查了梯形的中位线以及垂径定理，正确作出辅助线是关键．5．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3 B．2.5 C．4 D．3.5【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=AB，利用勾股定理得到答案．【解答】解：连接OA，∵AB⊥OP，∴AP==3，∠APO=90°，又OA=5，∴OP===4，故选C．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．6．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】根据题意可得出AO=5cm，AC=4cm，进而得出CO的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，水的最大深度为CD，∴DO⊥AB，∴AO=5cm，AC=4cm，∴CO==3（cm），∴水的最大深度CD为：2cm．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据构造出直角三角形是解答此题的关键．7．图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B D．无法确定【考点】圆的认识．【专题】应用题．【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）=π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．【解答】解：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）=π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．故选C．【点评】本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式．8．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD 是等边三角形，则⊙O的半径长为BC=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【解答】解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．又OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA=AD=4cm，∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD 是等边三角形．10．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据等边对等角即可求得∠OAB的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求解．【解答】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=40°，∴∠AOB=180°﹣40°﹣40°=100°．∴∠C=∠AOB=×100°=50°．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理，正确理解定理是关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 80°．【考点】圆周角定理；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠C=80°．故答案为80°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3＜r＜5 ．【考点】点与圆的位置关系．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．13．如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm 为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA 的位置关系是相离．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】常规题型．【分析】作MH⊥OA于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=OM=，则MH大于⊙M的半径，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解．【解答】解：作MH⊥OA于H，如图，在Rt△OMH中，∵∠HOM=30°，∴MH=OM=，∵⊙M的半径为2，∴MH＞2，∴⊙M与直线OA的位置关系是相离．故答案为相离．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 2 ．【考点】正多边形和圆．【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT △OEM中利用30度角的性质即可解决问题．【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=90°，∴AC是直径，AC=4，∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，在RT△OME中，∵OE=2，∠OEM=∠GEF=30°，∴OM=，EM=OM=，∴EF=2．故答案为2．【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．15．已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为4πcm．【考点】弧长的计算．【分析】在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=nπR÷180．【解答】解：∵扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，∴扇形的弧长为： =4πcm；故答案为：4π．【点评】本题考查了弧长的计算．解答该题需熟记弧长的公式l=．16．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】由CD∥AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S 扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵弦CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD=?π?=×π×=．故答案为：．【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．三、解答题（共8题，共72分）17．圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，求圆锥母线长．【考点】圆锥的计算．【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．【解答】解：设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×3，解得x=6．故圆锥的母线长为6m．【点评】本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．18．在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．【考点】圆柱的计算．【专题】计算题．【分析】设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据水的体积不变和圆柱的条件公式得到π?（）2?x=π?（）2?18，解得x=12.5，然后把12.5与10进行大小比较即可判断能否完全装下．【解答】解：设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据题意得π?（）2?x=π?（）2?18，解得x=12.5，∵12.5＞10，∴不能完全装下．【点评】本题考查了圆柱：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长；圆柱的侧面积=底面圆的周长×高；圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积；圆柱的体积=底面积×高．19．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD 于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．【解答】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中，CN==，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=2，∵OM⊥AB，∴AM=AB=x，在△AOM中，OM==，∴OM=CD．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．20．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．【考点】垂径定理的应用；矩形的性质．【分析】先根据垂径定理求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．21．△ABC是⊙O的内接三角形，BC=．如图，若AC是⊙O的直径，∠BAC=60°，延长BA到点D，使得DA=BA，过点D作直线l⊥BD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】作OF⊥l于F，CE⊥l于E，设AD=a，则AB=2AD=2a，只要证明OF是梯形ADEC的中位线即可解决问题．【解答】解：图形如图所示，直线l与⊙O相切．理由：作OF⊥l于F，CE⊥l于E，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∵l⊥BD，∴∠BDE=90°，∵OF⊥l，CE⊥l，∴AD∥OF∥CE，∵AO=OC，∴DF=FE，∴OF=（AD+CE），设AD=a，则AB=2AD=2a，∵∠ABC=∠BDE=∠CED=90°，∴四边形BDEC是矩形，∴CE=BD=3a，∴OF=2a，∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2a，∴AC=4a，∴OF=OA=2a，∴直线l是⊙O切线．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、图形中位线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，要证明切线的方法有两种，一是连半径，证垂直，二是作垂直，正半径，此题则是运用第二种方法．22．如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=x+6得出关于a的方程，求出即可．【解答】解：（1）直线OB与⊙M相切，理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4．∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上，又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；，（2）解：连接ME，MF，如图2，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6，∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，得﹣a=a+6，得a=﹣，∴点M的坐标为（﹣，）．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O 到直线l的距离是，当d=r时，直线l和⊙O相切．23．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC 中的60°的三角函数值可求得FG长．【解答】（1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∵∠FAG=60°，∴FG=AFsin60°=．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．24．如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．【考点】点与圆的位置关系；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．【专题】探究型．【分析】（1）由平行易得△BFE是等边三角形，那么各边是相等的；（2）当点E是BC的中点时，△PEC为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC是平行四边形，再有EF=EC 可证为菱形；（3）根据各点到圆心的距离作答即可．【解答】解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠A=∠C=60°．又∵EF∥AC，∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，∴△BFE是等边三角形，PE=EB，∴EF=BE=PE=BF；（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；∵E是BC的中点，∴EC=BE，∵PE=BE，∴PE=EC，∵∠C=60°，∴△PEC是等边三角形，∴PC=EC=PE，∵EF=BE，∴EF=PC，又∵EF∥CP，∴四边形EFPC是平行四边形，∵EC=PC=EF，∴平行四边形EFPC是菱形；（3）如图所示：当点E是BC的中点时，EC=1，则NE=ECcos30°=，当0＜r＜时，有两个交点；当r=时，有四个交点；当＜r＜1时，有六个交点；当r=1时，有三个交点；当r＞1时，有0个交点．【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点．注意圆和线段有交点，应根据半径作答．。
圆综合练习(提优)-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)
圆综合练习（提优）一．选择题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°【解答】A【解析】连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝30°，故选A．2．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，那么圆O的面积估计值是（）A．√3B．2√3C．πD．2π【解答】B【解析】根据题意画出图形，如图所示，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ABO是等边三角形，∵圆O的半径为1，∴OM＝1，∴BM＝AM=√33，∴AB=2√33，∴S＝6S△ABO＝6×12×2√33×1＝2√3．答：圆O的面积估计值是2√3．故选B．3．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．3π【解答】C【解析】∵正方形ABCD的边长为3，∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，即DCB̂的长是3+3＝6，∴扇形DAB的面积是12×6×3＝9，故选C．4．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（）A．33°B．56°C．57°D．66°【解答】A【解析】如图，连接OC，OB．∵OA⊥BC，̂=AĈ，∴AB∴∠AOC＝∠AOB＝66°，∠AOC＝33°，∴∠ADC=12故选A．5．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（）A．6 B．8 C．3 D．4【解答】C【解析】延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段OG的长是点O 到弦AB的距离，∵∠COD和∠DOE互补，∠COD和∠AOB互补，∴∠DOE＝∠AOB，∴DE＝AB，OF＝OG，∵OH⊥DC，CD＝6，OH过O，DC＝3，∠OHD＝∠OHC＝90°，∴DH＝HC=12由勾股定理得：OH=√OD2−DH2=√52−32=4，∵OC＝OE，DH＝HC，OH＝4，∴DE＝2OH＝8，∵OF⊥DE，OF过O，DE＝4，∴DF＝EF=12在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF=√OD2−DF2=√52−42=3，∴OG＝OF＝3，即点O到AB的距离是3，故选C．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（）A．2√2−1 B．2√2C．√2+1 D．2√2−12【解答】C【解析】如右图所示，连接OE、OF，∵⊙O与AC、BC切于点E、F，∴∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝90°，∴四边形CEOF是正方形，∴OE∥BC，又∵以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，OE＝OF，∴O在∠ACB的角平分线上，∵AC＝BC，∴O是AB中点，∴AE＝CE，又∵AC＝2，∴AE＝CE＝1，∴OE＝OF＝CE＝1，∴OH＝1，∵OE∥CD，∴△OEH∽△BDH，∴OEOH =DBBH，又∵AB=√AC2+BC2=2√2，∴OB=√2，∴11=√2−1，∴BD=√2−1，∴CD＝2+BD=√2+1，故选C．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD=√3，则AD+CD的值为（）A ．3B ．2√3C ．√3+1D ．不能确定【解答】A【解析】如图，过点B 作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥DC 交DC 的延长线于F ．∵AB ＝BC ，∴AB̂=BC ̂， ∴∠BDE ＝∠BDF ，∵∠DEB ＝∠DFB ＝90°，DB ＝DB ，∴△BDE ≌△BDF （AAS ），∴BE ＝BF ，DE ＝DF ，∵∠AEB ＝∠F ＝90°，BA ＝BC ，BE ＝BF ，∴Rt △BEA ≌Rt △BFC （HL ），∴AE ＝CF ，∴AD +DC ＝DE +AE +DF ﹣CF ＝2DF ，∵∠BDF ＝∠BAC ＝30°，BD =√3，∴BF =12BD =√32， ∴DF =√BD 2−BF 2=√(√3)2−(√32)2=32，∴DA +DC ＝3，故选A ．8． 如图，Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，半径为1的⊙O 与AC ，BC 相切，当⊙O 沿边CB 平移至与AB 相切时，则⊙O 平移的距离为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】B【解析】∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，∴OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，∴EG⊥BC，∵∠C＝90°，∴EG∥AC，∴∠FGE＝∠A，∵∠GFO′＝∠C＝90°，∴∠O′FG∽∠BCA，∴O′FBC =O′GAB，∴18=O′G10，∴O′G=54，∴EG=94，∵GE∥AC，∴△BGE∽△BAC，∴BEBC =EGAC，∴BE8=946，∴BE＝3，∴OO′＝HE＝BC﹣CH﹣BE＝8﹣1﹣3＝4，∴⊙O平移的距离为4，故选B．9．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC 并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（）A．100π3−25√3B．50π3C．64π3−16√3D．50π3−25√3【解答】B【解析】过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，DF＝OD•sin60°＝10×√32=5√3，S弓形ABD=120π⋅102360−12×10×5√3=1003π﹣25√3，当∠A＝60°时，过点D'作D'F⊥OA于F'，连接OD'，∠D 'OF '＝60°，D 'F '＝5√3，S 弓形ABD '=60⋅π⋅102360−12×10×5√3=503π﹣25√3， ∴S =1003π﹣25√3−（503π﹣25√3）=503π．故选B ．10．如图，在 O 中，AB̂=AC ̂，BC ＝6．AC ＝3√10，I 是△ABC 的内心，则线段OI 的值为（ ）A ．1B ．√10−3C ．5−√10D ．13√10【解答】C【解析】如图，连接AO ，延长AO 交BC 于H ，连接OB ．∵AB ̂=AC ̂，∴AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝3，∴AH =√AC 2−CH 2=√(3√10)2−32=9，设OA ＝OB ＝x ，在Rt △BOH 中，∵OB 2＝OH 2+BH 2，∴x 2＝（9﹣x ）2+32，∴x ＝5，∴OH ＝AHAO ＝9﹣5＝4，∵S △ABC =12•BC •AH =12•（AB +AC +BC ）•IH ，=√10−1，∴IH=6+6√10∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（√10−1）＝5−√10，故选C．11．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为（）A．3√5B．2√5−√3C．√10−√2D．3√2−√5【解答】C【解析】如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．∵AC是直径，∴∠APC＝90°，∵BE＝EA，BM＝MP，∴EM∥PA，同理FM∥PC，∴∠BME＝∠BPA，∠BMF＝∠BPC，∴∠BME+∠BMF＝∠BPA+∠BPC＝90°，∴∠EMF＝90°，̂，（EF为直径的半圆，图中红线部分）∴点M的轨迹是EF∵BC＝AC，∠ACB＝90°，AB＝8，∴AC＝BC＝4√2，∵AE＝EB，BF＝CF＝2√2，∴EF=12AC＝2√2，EF∥AC，∴∠EFB＝∠EFC＝∠ACB＝90°，OE＝OF＝OM=√2，∴OC=√OF2+CF2=√(√2)2+(2√2)2=√10，∵CM≥OC﹣OM，∴CM≥√10−√2故选C．12．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD=√2，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．√3B．√52C．√102D．√2+12【解答】C【解析】如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．∵∠AOD＝∠BOE，∴AD̂=BÊ，∴AD＝BE=√2，∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE=12（360°﹣90°）＝135°，∴∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝1，在Rt△ECF中，EC=√EF2+CF2=√12+22=√5，∵△OCE 是等腰直角三角形，∴OC =√2=√102． 故选C ．二．填空题13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD =√3，连接BD ，以点C 为圆心，CD 为半径作弧DF ，与BD 交于点E ，则图中阴影部分的面积是 ．【解答】112π−2−√34【解析】连接CE ，过C 作CF ⊥DE 于F ，∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD =√3，∴∠A ＝∠DCF ＝90°，DC ＝AB ＝1，BC ＝AD =√3，∴tan ∠BDC =BC CD =√31=√3，∴∠BDC ＝60°，∵CD ＝CE ，∴△DCE 是等边三角形，∴∠DCE ＝60°，DE ＝CD ＝CE ＝1，∵CF ⊥DE ，∴DF ＝EF =12DE =12×1=12，由勾股定理得：CF =√CD 2−DF 2=√12−(12)2=√32， ∴扇形DCE 和△DCE 围成的弓形的面积S ＝S 扇形DCE ﹣S △DCE =60π×12360−12×1×√32=16π−√34，∴阴影部分的面积＝S 扇形DCF ﹣S △DCF ﹣S 弓形=90π×12360−12×1×1−（16π−√34）=112π−2−√34， 故答案为112π−2−√34．14．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，分别以B 、C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，则阴影部分的面积为 ．【解答】2√3−23π【解析】∵在正方形ABCD 中，AB ＝2，分别以B 、C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，∴∠DCB ＝90°，BC ＝AB ＝2，弧对应的半径是2，如图，连接BE 、CE ，∵BC ＝CE ＝BE ＝2，∴△BEC 是等边三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ＝60°，∴∠DCE ＝30°，S 弓形＝S 扇形EBC ﹣S △EBC =60π×22360−12×2×√3=23π−√3， ∴阴影部分的面积S ＝2（S 扇形DCE ﹣S 弓形）＝2×[30π×22360−（23π−√3）]＝2√3−23π．15．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，点A 、B 为切点，连接AO 并延长交PB 的延长线于点C ，过点C 作CD ⊥PO ，交PO 的延长线于点D ．已知PA ＝6，AC ＝8，则CD 的长为 ．【解答】2√5【解析】连接OB，如图，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PB＝PA＝6，OB⊥PC，OA⊥PA，∴∠CAP＝∠CBO＝90°，在Rt△APC中，PC=√62+82=10，∴BC＝PC﹣PB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，在Rt△BCO中，42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OA＝3，OC＝5，在Rt△OPA中，OP=√32+62=3√5，∵CD⊥PO，∴∠CDO＝90°，∵∠COD＝∠POA，∠CDO＝∠PAO，∴△COD∽△POA，∴CD：PA＝OC：OP，即CD：6＝5：3√5，∴CD＝2√5．故答案为2√5．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．【解答】35【解析】如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝∠ADE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是．【解答】√10−√2【解析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连结OB，取OB中点M，连结MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．则MH＝BH＝1，AH＝3，OB=√2，由勾股定理可得MA=√10，MG=12∵AG≥AM﹣MG=√10−√2，当A，M，G三点共线时，AG最小=√10−√2，故答案为√10−√2．18．如图，正五边形ABCDE内接于半径为4的圆O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连结FA，FB，则FA•FB的值为．【解答】16【解析】连接OA，OB，OB交AF于J．∵OF⊥BC，̂=CF̂，∴BF∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，∴∠AOF＝108°，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝∠FOJ＝36°，∴OJ＝JF，∵AO＝AJ，OB＝OF，∠OAJ＝∠FOB，∴△AOJ≌△OFB（SAS），∴OJ＝BF，∵∠OFJ＝∠AFO，∠FOJ＝∠OAF，∴△FOJ∽△FAO，∴FOFA =FJOF，∴OF2＝FJ•FA，∵FJ＝OJ＝FB，∴FA•FB＝OF2＝16．故答案为16．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，与y轴相切的⊙M与x轴交于A、B两点，AC为⊙M直径，AC＝10，AB＝6，连结BC，点P为劣弧BĈ上点，点Q为线段AB上点，且MP⊥MQ，MP与BC交于点N．则当NQ平分∠MNB时，点P坐标是．【解答】（495，135）【解析】设⊙M与y轴相切于E，连接EM并延长交BC于H，过P作PF⊥x轴于F，延长FP交EH于D，∵AC为⊙M直径，∴BC⊥AB，∵AC＝10，AB＝6，∴BC＝8，∵⊙M与y轴相切，∴EM⊥y轴，∴四边形OEDF是矩形，∴OE ＝BH ＝DF ，ED ＝OF ，ED ∥OF ，∵AM ＝CM ，∴MH =12AB ＝3，BH ＝DF ＝4，∵MP ⊥MQ ，NQ 平分∠MNB ，∴MN ＝BN ，设MN ＝BN ＝x ，∴NH ＝4﹣x ，∵MH 2+HN 2＝MN 2，∴x 2＝32+（4﹣x ）2，解得：x =258，∴MN ＝BN =258， ∴HN =78， ∵HN ∥PD ，∴△MHN ∽△MDP ，∴MH MD =HN PD =MN MP ， ∴3MD =78PD =2585， ∴MD =245，PD =75， ∴DE ＝EM +MD =495，PF ＝DF ﹣PD =135， ∴点P 坐标是（495，135），故答案为（495，135）．20．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，连接OP 交AB 于点C ，交弧AB 于点D ，∠APB ＝70°，点Q 为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为．【解答】10°【解析】如图，连接OA．∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OPB＝∠OPA=1∠APB＝35°，PA⊥OA，2∴∠OAP＝90°，∴∠POA＝90°﹣35°＝55°，∵OQ∥PB，∴∠POQ＝180°﹣∠OPB＝145°，∴AOQ＝360°﹣145°﹣55°＝160°，∵OQ＝OA，（180°﹣∠AOQ）＝10°，∴∠OQA＝∠OAQ=12故答案为10°．21．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．【解答】2√3【解析】延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，∴∠CAT＝90°，∴AT＝CT•sin60°＝2√3，∵AD＝1，∴2√3−1≤DT≤2√3+1，∵CB＝BT，CE＝DE，∴BE=12DT，∴2√3−12≤BE≤2√3+12，∴线段BE的最大值与最小值之和为2√3，故答案为2√3．22．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是．【解答】2√5【解析】如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．∵BE∥AC，∴∠EBC+∠C＝180°，∵∠EBC+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠EOD＝2∠EAD，∴∠EOD＝2∠C＝定值，∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，∵AB＝AC＝6，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ＝4，∴AJ=√AC2−CJ2=√62−42=2√5，∵OK⊥DE，∴EK＝DK，∵AB＝6，∴OE＝OD＝3，∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，∴sin∠EOK＝sin∠C=√53，∴EK3=√53，∴EK=√5，∴DE＝2√5，∴DE的最小值为2√5．故答案为2√5．三．解答题23．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；（2）求证：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．【解答】（1）30°；（2）见解析；（3）2√2【解析】（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵点E是△ABC的内心，∠BAC＝30°，∴∠CAD＝∠BAD=12∴∠CBD＝∠CAD＝30°．答：∠CBD的度数为30°；（2）证明：如图，连接BE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2＝∠6，∴∠1＝∠6，∵∠5＝∠1+∠3，∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，∴∠5＝∠DBE，∴DB＝DE；（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∴ABAC =BFCF=32，∴BF＝3，CF＝2，∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，∴△BDF∽△ACF，∴BDDF =ACCF=42=2，BFAF=DFCF，∴DF=12BD，DF•AF＝BF•CF＝6，∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BDDA =DFBD，∴BD2＝DF•DA＝DF（AF+DF）＝DF•AF+DF2＝6+（12BD）2，解得BD＝2√2，∴DE＝BD＝2√2．答：DE的长为2√2．24．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE ∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．【解答】（1）见解析；（2）BD＝CF 【解析】（1）证明：如图，连接AO，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC=12∠BAC=30°，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，∴OA⊥AE，∴EA为⊙O的切线；（2）BD＝CF，理由如下：∵△ABC为正三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；∵A、B、C、D四边共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵DF＝DA，∴△ADF为正三角形，∴∠DAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD与△CAF中，{BA=CA∠BAD=∠CAF AD=AF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF．所以BD与CF的数量关系为相等．25．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：AĈ=CD̂；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）见解析；（2）√5【解析】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴AĈ=CD̂．（2）连接AC，如图，∵AĈ=CD̂，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴ACBC =CEAC，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB=√AC2+BC2=√22+42=2√5，∴⊙O的半径为√5．26．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD 上一点，且BE＝DE．（1）证明：BE为⊙O的切线；（2）若AM＝8，AB＝8√5，求BE的长．【解答】（1）见解析；（2）BE＝15【解析】（1）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∵AC＝BC，BE＝DE，∴∠A＝∠ABC，∠D＝∠DBE，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°＝90°，∴CB⊥BE，∴BE为⊙O的切线；（2）连接BM，∵BC为⊙O的直径，∴BM⊥AC，∵AM＝8，AB＝8√5，∴BM=√AB2−AM2=16，∵AC＝BC，∴CM＝BC﹣AM＝BC﹣8，∵BC2＝BM2+CM2，∴BC2＝162+（BC﹣8）2，∴BC＝20，∴AC＝BC＝20，∵BM⊥AC，AC⊥CD，∴BM∥CD，∴∠MBC＝∠BCE，∵∠BMC＝∠CBM＝90°，∴△BMC∽△CBE，∴CMBE =BMBC，∴12BE =1620，∴BE＝15．27．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．【解答】（1）见解析；（2）4√3−4π3【解析】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∵AE ＝AB ，∴∠AEB ＝∠ABC ，∴∠DAE ＝∠ABC ，∴△AED ≌△BAC （SAS ），∴∠DEA ＝∠CAB ，∵∠CAB ＝90°，∴∠DEA ＝90°，∴DE ⊥AE ，∵AE 是⊙A 的半径，∴DE 与⊙A 相切；（2）∵∠ABC ＝60°，AB ＝AE ＝4，∴△ABE 是等边三角形，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝60°，∵∠CAB ＝90°，∴∠CAE ＝90°﹣∠EAB ＝90°﹣60°＝30°，∠ACB ＝90°﹣∠B ＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE ＝∠ACB ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝BE ，∴S △ABC =12AB •AC =12×4×4√3=8√3，∴S △ACE =12S △ABC =12×8√3=4√3， ∵∠CAE ＝30°，AE ＝4，∴S 扇形AEF =30π×AE 2360=30π×42360=4π3，∴S 阴影＝S △ACE ﹣S 扇形AEF ＝4√3−4π3．28．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，⊙O过点D，与AB相切于点A，与CD相交于点E，且AB＝DE．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为5，求四边形ABCD的面积．【解答】（1）见解析；（2）50+50√33【解析】（1）连接AE，∵∠D＝90°，∴AE是⊙O的直径，过O作OF⊥BC于F，∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝90°，∴∠OAB＝∠B＝∠OFB＝90°，∴四边形ABFO是矩形，∴AB＝OF，∵∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，∴∠DAB＝120°，∴∠DAE＝30°，∴DE =12AE ＝AO ， ∵AB ＝DE ，∴OF ＝OA ，∴BC 与⊙O 相切；（2）由（1）知，AB ＝AO ＝5，AE ＝10，过E 作EH ⊥BC 于H ，则BH ＝AE ＝10，EH ＝AB ＝5，∵∠C ＝60°，∴CH =√33EH =5√33， ∴BC ＝10+5√33， 在Rt △ADE 中，∵DE ＝AB ＝5，∴AD =√3DE ＝5√3，∴四边形ABCD 的面积=12×5√3×5+12（10+10+5√33）×5＝50+50√33．29．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE 、OE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由．（2）若⊙O 半径r ＝3，DE ＝4，求AD 的长．【解答】（1）相切；（2）AD =185【解析】（1）连接OD 、BD ，如图所示．∵点O 为AB 的中点，点E 为BC 的中点，∴OE∥AC，且AC＝2OE，∴∠A＝∠BOE．又∵∠BOD＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＝∠BOE．在△BOE和△DOE中，{OB=OD∠BOE=∠DOE OE=OE，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴ABAD =ACAB，∵AB＝6，BC＝2DE＝8，∴AC＝10，∴AB2＝AD•AC，∴62＝AD×10，∴AD=185．30．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离．【解答】（1）见解析；（2）①25；②53【解析】（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF∵AF是直径∴∠ACF＝90°∴∠F+∠FAC＝90°，∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC∴∠EAC＝∠F∴∠EAC+∠FAC＝90°∴∠EAF＝90°，且AO是半径∴直线AE是⊙O的切线．（2）①如图，连接AO，∵D为AB的中点，OD过圆心，∴OD⊥AB，AD＝BD=12AB＝8，∵AO2＝AD2+DO2，∴AO2＝82+（AO﹣6）2，∴AO=253，∴⊙O的半径为253；②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，∵OD⊥AB，AD＝BD∴AC＝BC，且AD＝BD∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB∴MH＝NH＝DH在Rt△ACD中，AC=√AD2+CD2=√82+62=10=BC，∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，∴12×16×6=12×10×MH+12×16×DH+12×10×NH，∴DH=83，∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），∴OH=253−（6−83）═5．。
圆综合练习(基础)-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)
圆综合练习（基础））一．选择题1．下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D．长度相等的弧是等弧【解答】D【解析】A、直径是最长的弦，说法正确；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；D、长度相等的弧是等弧，说法错误；故选D．2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【解答】B【解析】∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选B．3．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（）A．10°B．14°C．16°D．26°【解答】C【解析】连接BD ，如图，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠BDC ＝∠ADC ﹣∠ADB ＝106°﹣90°＝16°，∴∠CAB ＝∠BDC ＝16°．故选C ．4． 一个圆锥的底面半径是4cm ，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（） A ．8cm B ．12cm C ．16cm D ．24cm【解答】B【解析】圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm ，即为展开图扇形的弧长，由弧长公式得120×π×R 180=8π，解得，R ＝12，即圆锥的母线长为12cm ．故选B ．5． 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠AOC ＝120°，点B 是AC ̂的中点，则∠D 的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【解答】A【解析】连接OB ，如图，∵点B 是AC ̂的中点，∴∠AOB =12∠AOC =12×120°＝60°，∴∠D =12∠AOB ＝30°．故选A ．6． 如图，⊙O 中，AB̂=AC ̂，∠ABC ＝70°．则∠BOC 的度数为（ ）A ．100°B ．90°C ．80°D ．70°【解答】C【解析】∵AB̂=AC ̂， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BOC ＝2∠A ＝80°．故选C ．7． 如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上的一点，OD ⊥AC ，垂足为D ，延长OD 与半圆O 交于点E ．若AB ＝8，∠CAB ＝30°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43π−√3B ．43π﹣2√3C ．83π−√3D ．83π﹣2√3 【解答】D【解析】∵OD ⊥AC ，∴∠ADO ＝90°，AÊ=CE ̂，AD ＝CD ， ∵∠CAB ＝30°，OA ＝4，∴OD =12OA ＝2，AD =√32OA ＝2√3， ∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOE ﹣S △ADO =60⋅π×42360−12×2√3×2=8π3−2√3，故选D ．8． 如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，若∠ABC ＝30°，则AC ̂的长为（ ）A ．5B ．56πC ．53D ．53π【解答】D【解析】连接OC 、OA ，∵∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∴AC ̂的长=60π×5180=53π，故选D ．9． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．∠CDB ＝30°，⊙O 的半径为6cm ．则弦CD 的长为（）A ．3cmB ．6cmC ．3√3cmD ．6√3cm【解答】D【解析】∵∠CDB ＝30°，∴∠COB ＝2∠CDB ＝60°，∵CD ⊥AB ，⊙O 的半径为6cm ，∴CE ＝DE ，∠OCE ＝90°﹣60°＝30°，OC ＝6cm ，∴OE =12OC ＝3cm ，CE =√3OE ＝3√3cm ，∴CD＝2CE＝6√3cm；故选D．10．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（）A．30°B．20°C．40°D．35°【解答】D【解析】如图，连接BF，OE．∵EF＝EB，OE＝OE，OF＝OB，∴△OEF≌△OEB（SSS），∴∠OFE＝∠OBE，∵OE＝OB＝0F，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，∠AOF＝20°，∵∠ABF=12∴∠OFB＝∠OBE＝20°，∵∠OFB+∠OBF+∠OFE+∠OBE+∠BEF＝180°，∴4∠EFO+40°＝180°，∴∠OFE＝35°，故选D．11．如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（）A．36°B．44°C．54°D．72°【解答】C【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝36°，∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，故选C．12．如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【解答】D̂相对，【解析】∵∠D＝30°，圆周角∠D和∠B都与AC∴∠B＝∠D＝30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，故选D．二．填空题13．如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，若AP ＝5，BP ＝4，CP ＝3，则DP 为 ．【解答】203【解析】由相交弦定理得，PA •PB ＝PC •PD ，∴5×4＝3×DP ，解得，DP =203， 故答案为203．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且四边形OABC 是平行四边形，则∠D ＝ ．【解答】60°【解析】∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠AOC ＝∠ABC ，∵∠D +∠ABC ＝180°，∠D =12∠AOC =12∠ABC ，∴设∠D ＝x ，则∠ABC ＝2x ，∴x +2x ＝180°，解得：x ＝60°，故∠D ＝60°．故答案为60°．15．如图，AD 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BCA ＝50°，则∠ADB ＝ °．【解答】50【解析】∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，故答案为50．16．已知圆锥的底面半径为1cm，高为√3cm，则它的侧面展开图的面积为＝cm2．【解答】2π【解析】根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h=√3cm，∴圆锥的母线l=√r2+ℎ2=2，∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．故答案为2π．17．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝115°，则∠α＝．【解答】130°̂所对的圆周角∠APB，如图，【解析】作ACB∵∠C+∠P＝180°，∴∠P＝180°﹣115°＝65°，∴∠AOB＝2∠P＝130°，即∠α＝130°．故答案为130°．18．一个圆柱体的侧面积是188.4dm2，底面半径是2dm，它的高是dm．（π≈3.14）【解答】15【解析】∵底面半径是2dm，∴圆柱的底面周长为：4πdm，∵圆柱体的侧面积是188.4dm2，∴高为：188.4÷4π≈15dm，故答案为15．19．圆锥的母线长为9cm，底而圆的直径为6cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【解答】120°【解析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，，根据题意得，6π=nπ×9180解得，n＝120，∴这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为120°，故答案为120°．20．如图，动点E、F分别在正方形ABCD的边AD、BC上，AE＝CF，过点C作CG⊥EF，垂足为G，连接BG，若AB＝4，则线段BG长的最小值为．【解答】√10−√2【解析】连接AC，交EF于O，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵AE＝CF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OA＝OC，∴O是正方形的中心，∵AB＝BC＝4，∴AC＝4√2，OC＝2√2，取OC中点M，连结MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，OC=√2，∵MC=12∴MH＝CH＝1，∴BH＝4﹣1＝3，由勾股定理可得MB=√32+12=√10，OC=√2，在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG=12∵BG≥BM﹣MG=√10−√2，当B，M，G三点共线时，BG最小=√10−√2，故答案为√10−√2．21．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是．【解答】66°【解析】∵正五边形ABCDE ，∴∠EAB =(5−2)×180°5=108°，∵△ABF 是等边三角形，∴∠FAB ＝60°，∴∠EAF ＝108°﹣60°＝48°，∵AE ＝AF ，∴∠AEF ＝∠AFE =12×（180°﹣48°）＝66°， 故答案为66°．22．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC ＝30°，AC ＝6，则AĈ的长为 ．【解答】2π【解析】连接OC ，OA ．∵∠AOC ＝2∠ABC ，∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AC ＝6，∴AC ̂的长=60⋅π⋅6180=2π，故答案为2π．23．如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过点A、B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D、E，连接AC、BC．若AD=√3，CE＝3，则弧AC的长为．【解答】2√33π【解析】连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∴Rt△ADC∽Rt△CEB，∴ACBC =ADCE=√33，在Rt△ACB中，tan∠ABC=ACBC =√33，∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，而OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴∠OCA＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE，∴∠ACD＝30°，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝2√3，∴OC＝AC＝2√3，∴弧AC的长=60⋅π⋅2√3180=2√33π．故答案为2√3π．3三．解答题24．已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．【解答】不正确，见解析【解析】证法错误；证明：连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC．25．如图，图①，图②均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形．请你只用无刻度的直尺，分别在图①（已知A，C两点在⊙O内，B，D两点在⊙O上），图②（已知A，C，D三点在⊙O外，点B在⊙O上，且∠A＝90°）中找出圆心O的准确位置．【解答】见解析【解析】如图①②，点O即为所求．26．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF=√10，求⊙O的半径．【解答】（1）见解析；（2）3【解析】（1）证明：连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CFA+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．27．如图，在△ABC中，BC＝4，且△ABC的面积为4，以点A为圆心，2为半径的⊙A交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝45°．（1）求证：BC为⊙A的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【解答】（1）见解析；（2）4﹣π【解析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC的面积为4，BC•AD＝4，∴12∴AD＝2，∵⊙A的半径为2，∴BC是⊙A的切线．（2）∵∠EPF＝45°，∴由圆周角定理可知：∠BAC＝90°，=π，∴S扇形AEF=90°π×4360°∴阴影部分的面积为4﹣π．28．如图，AB为⊙O的直径，在AB的延长线上，C为⊙O上点，AD⊥CE交EC的延长线于点D，若AC平分∠DAB．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）当BE＝2，CE＝4时，求AC的长．【解答】（1）见解析；（2）AC=12√55【解析】（1）连接OC，∵AC平分∠OAD，∴∠DAC＝∠OAC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠ADC＝∠OCE，∵AD⊥CE，∴∠ADC＝90°，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥ED，∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OCE中（r+2）2＝r2+42，∴r＝3，∵OC∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴OCAD =OEAE，∴3AD =58，∴AD=245，∴由勾股定理可知：DE=325，∴CD＝DE﹣CE=125，在Rt△ADC中，由勾股定理可知：AC=12√5529．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．【解答】（1）见解析；（2）7√2【解析】（1）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵∠EDA＝∠ACD，∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴直线DE是⊙O的切线．（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，∴AC＝10，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵sin∠ACB=AB，AC∴AB=sin45°⋅AC=5√2，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∵在Rt△ADF中，AD＝6，∵sin∠ADF=AF，AD∴AF=sin45°⋅AD=3√2，∴DF=AF=3√2，∵在Rt△ABF中，∴BF2=AB2−AF2=(5√2)2−(3√2)2=32，∴BF=4√2，∴BD=BF+DF=7√2．解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．∴∠DBH＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ABD＝90°﹣∠DBC∠CBH＝90°﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBH，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠BCH＝180°，∴∠BAD＝∠BCH，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBH（ASA），∴AD＝CH，BD＝BH，∵AD＝6，CD＝8，∴DH＝CD+CH＝14，在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2＝98，∴BD=7√2．30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2√5，BF＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）相切；（2）4【解析】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝OF＝R，在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，即（R+2）2＝（2√5）2+R2，解得：R＝4，即⊙O的半径是4．。
最新人教版九年级初三数学上册《圆》同步练习题含答案
九年级数学上册第24章《圆》同步练习一、选择题1．圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则（）A.当d=8 cm，时，直线与圆相交B.当d=4.5 cm时，直线与圆相离C.当d=6.5 cm时，直线与圆相切D.当d=13 cm时，直线与圆相切2．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）A.80°B.70°C.60°D.50°3．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．102 B．20 C．18 D．2024．如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=700，则∠AOC为（）（A）1400 （B）1200（C）900 （D）3505．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定6．（3分）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（3分）（2015•牡丹江）如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）．A．32° B．38° C．52° D．66°8．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A．24cm B．48cm C．96cm D．192cm二、填空题9．用半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于 cm．10．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的表面积为．（结果保留π）11．如果一个扇形的圆心角为120°，半径为6，那么该扇形的弧长是．12．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为 cm．13．（3分）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径．14．（3分）边长为1的正三角形的内切圆半径为．15．（3分）（2015•郴州）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为cm2．16．（4分）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC= ．三、解答题17．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C ，若AB=2，∠P=30°，求AP 的长（结果保留根号）．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A.18．求证： BC 是⊙O 的切线；19．若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长. O EDCB A20．如图，已知⊙O 与BC 相切，点C 不是切点，AO ⊥OC ，∠OAC=∠ABO ，且AC=BO ，判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由．21．已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是⊙O 的直径，DE 切⊙O 于点D ，且DE ⊥MN 于点E ．（1）求证：AD 平分∠CAM ．（2）若DE=6，AE=3，求⊙O 的半径．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧AC的长（结果保留π）．参考答案1．C2．B ．3．B ．4．A5．B ．6．D ．7．B ．8．B ．9．310．24π．11．4π．12．4．13．1．14 15．3π．16．17．18．证明：（1）∵AB 为⊙O 的直径∴∠D=90°, ∠A+∠ABD=90° ∵∠DBC =∠A∴∠DBC+∠ABD=90°∴BC ⊥AB∴BC 是⊙O 的切线19．∵OC ∥AD ，∠D=90°，BD=6∴OC ⊥BD∴BE=12BD=3 ∵O 是AB 的中点∴AD=2EO -∵BC ⊥AB ，OC ⊥BD∴△CEB ∽△BEO ，∴2BE CE OE =•∵CE=4， ∴94OE =∴AD=9220．直线AB 与⊙O 的位置关系是相离．理由见解析．21．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为7.5．22．（1）证明见试题解析；（2）2π．学习名言警句：1.在科学上面没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望到达光辉的顶点。
圆-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮(苏科版)(原卷版)
圆知识点一、圆的定义及表示1.圆的定义定义一、如图所示，将线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕端点O在平面上旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆，其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.定义二、圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.（1）圆上的各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.O”，读作“圆O”.2.圆的表示方法：以点OPS：确定一个圆需要两个要素，一个是圆心（确定圆的位置），一个是半径（确定圆的大小）.例：以已知点O为圆心，可以画个圆，以已知线段AB的长为半径，可以画个圆，以已知点O为圆心，已知线段AB的长为半径，可以画个圆.【解答】无数；无数；一【解析】确定一个圆的条件有两个，圆心和半径，缺一不可，前两问都只有一个条件，无法确定圆，最后一问两个条件都确定了，所以圆也就确定了.知识点二、点和圆的位置关系点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 例：如图所示，已知矩形ABCD 的边AB ＝3，AD ＝4. （1）以点A 为圆心，4，则点B 、C 、D A 的位置关系如何？（2）若以点A 为圆心作，使B 、C 、D 的半径r 取值范围如何？【解答】见解析【解析】（1）连接AC ，如图所示：∵AB ＝3＜4，AD ＝4， 由勾股定理得AC ＝5＞4， ∴点B 内，点D 上，点C 在A 外；（2）当点B在上时，r＝AB＝3，当点C上时，r＝AC＝5，∴3＜r＜5.知识点三、与圆有关的概念.1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图所示的弦AC；直径：经过圆心的弦叫做直径，如图所示的直径AB.弦与直径的关系：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径；2.弧、半圆、优弧、劣弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧；（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图所示的（绿色部分）；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图所示的（蓝色部分）.①弧与弦的区别：弧上圆上两点间的部分，是一条曲线，弦是圆上两点间的线段；②半圆是弧，但弧不一定是半圆.3.圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角，如图所示的∠AOB.（1）在同一个圆中，圆的两条半径所夹的角就是圆心角；（2）一条弧所对的圆心角只有一个.4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（半径相等的两个圆就是等圆），等圆和圆心的位置无关；5.等弧：能够互相重合的弧叫做等弧（长度相等的弧不一定是等弧）.中，AB的弦，C、D是直线AB上的两点，且AC＝BD，求证：△OCD为等腰三角形.【解答】见解析【解析】连接OA、OB，如图所示：∵OA、OB O的半径，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD，∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形.巩固练习一．选择题1．到定点的距离等于定长的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆2．到圆心的距离大于半径的点的集合是（）A．圆的内部B．圆的外部C．圆D．圆的外部和圆3．下列说法正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．直径是圆中最长的弦D．半圆是圆中最长的弧4．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆5．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm7．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm8．如图，图中的弦共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．对于以下图形有下列结论，其中正确的是（）A．如图①，AC是弦̂组成半圆B．如图①，直径AB与ABC．如图②，线段CD是△ABC边AB上的高D．如图②，线段AE是△ABC边AC上的高10．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（）A．36°B．30°C．18°D．24°11．如图，在⊙O中，弦的条数是（）A．2 B．3C．4 D．以上均不正确12．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，点D是弧ACB上的动点（不与A、B、C重合），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，则EF长度（）A．变大B．变小C．不变D．无法确定13．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）A．1 B．3C．2 D．√22二．填空题14．参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都，这个距离就是这个圆的．15．圆的半径为3cm，则该圆的周长是cm．16．平面内，到定点O的距离等于3 cm的点集合是．17．过圆内一点（非圆心）有条弦，有条直径．18．两端都在圆上的线段叫做直径．（判断对错）19．如图，在⊙O中，是直径，是弦，以E为端点的劣弧有，以A为端点的优弧有．20．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝°．21．如图，若点O为⊙O的圆心，则线段是圆O的半径；线段是圆O的弦，其中最长的弦是；是劣弧；是半圆．三．解答题22．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．23．已知，如图，CD为⊙O的直径，∠A＝22°，AE交⊙O于点B、E，且AB＝OC，求：∠EOD的度数．24．如图，⊙O的半径r＝5，圆心O到直线l的距离OD＝3，在直线1上有P，Q，R三点，并且PD＝4，QD ＞4，RD＜4，点P，Q，R与圆的位置关系分别是怎样的？25．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．26．如图所示，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD＝78°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．27．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．。
2020_2021学年九年级数学上册同步练习下圆pdf
2020-2021学年初三数学上册同步练习：圆1．下列命题中，不正确的是( )A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对【答案】D【解析】【分析】利用圆的基本性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、圆是轴对称图形，正确；B、圆是中心对称图形，正确；C、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；D、以上都不对，错误，故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的对称性，属于基础题，难度不大．2．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的( ) A．倍B．倍C．倍D．倍【答案】B【解析】【分析】利用圆的面积公式列式求解即可．【详解】由题意得π（）2÷[π（）2]=．故选B．【点评】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是熟记圆的面积公式．3．如图，O 的半径为1，分别以O 的直径AB 上的两个四等分点1O ，2O 为圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．πB ．12πC ．14πD ．2π【答案】B 【解析】【分析】把阴影部分进行对称平移，再根据半圆的面积公式计算即可.【详解】211111222πππ⨯⨯=⨯⨯=,∴图中阴影部分的面积为12π.故选B. 【点评】本题考查了圆的知识点，解题的关键是熟练掌握半圆的面积公式，注意对称平移思想的应用． 4．如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是( )A ．三个小圆周长之和B ．大圆周长C ．一样长D ．不能确定【答案】C 【解析】【分析】如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,根据圆的周长公式即可解答.【详解】如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,则大圆周长为πd;三个小圆周长之和为πd'+πd″+πd‴=π(d'+d″+d‴).因为d=d'+d″+d‴,所以三个小圆周长之和与大圆周长一样长.【点评】本题考查了圆的周长之间的大小比较，解决本题关键是表示出四个圆的周长，再利用乘法分配律的解决．5．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③正六边形是轴对称图形．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】试题解析：直径是弦，所以①正确；经过不共线的三个点一定可以作圆，所以②错误；正六边形是轴对称图形，所以③正确.故选C.6．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A．C1＞C2B．C1＜C2C．C1=C2D．不能确定【答案】B【解析】【分析】首先设出圆的直径，然后表示出半圆的弧长和三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案．【详解】解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：12aπ，4个正三角形的周长和C2为：3a，∵12aπ＜3a，∴C1＜C2故选B．【点评】本题考查了圆的认识及等边三角形的性质，解题的关键是设出圆的直径并表示出C1和C2．7．过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是______．【答案】以A为圆心，半径为3cm的圆【解析】【分析】根据圆的定义即可得答案.【详解】∵所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于3厘米的点的集合，∴是一个以A为圆心，半径为3cm的圆．故答案为：以A为圆心，半径为3cm的圆【点评】本题考查圆的定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合.8．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．【答案】3cm或7cm【解析】设⊙O的半径为r，当点P在圆外时，r=1042-=3cm；当点P在⊙O内时，r=10472+=cm.故答案是：3cm或7cm．9．下列图形中：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形．其中四个顶点在同一圆上的有___________（只填序号即可)．【答案】②④⑤【解析】①∵平行四边形的对角不互补，∴平行四边形的四个顶点不在同一个圆上，故本选项错误；；③∵菱形的对角不互补，∴菱形的四个顶点不在同一个圆上，故本选项错误；；②④⑤矩形、正方形、等腰梯形的对角互补，∴矩形、等腰梯形的四个顶点在同一个圆上，故本选项正确；故本题答案为：②④⑤．10．说出下列点的轨迹是什么图形，并画出图形．（1）在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹．（2）以已知点A为端点的线段AB=10cm，这线段的另一个端点B的轨迹．（3）已知直线l上有两点A、B，且AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2的三角形的点的轨迹．【答案】（1）x轴、y轴所构成的四个角的平分线；（2）以点A为圆心，半径长为10cm的圆；（3）平行于直线l且与直线l的距离为2cm的两条直线.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质即可得答案；（2）根据圆的定义即可得答案；（3）根据等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等的性质即可得答案.【详解】（1）如图：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹是x轴、y轴所构成的四个角的平分线；（2）如图，∵到定点的距离为定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，∴点A为端点的线段AB=10cm，另一个端点B的轨迹为以点A为圆心，半径长为10cm的圆，（3）如图，∵AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2，∴AB边的高为2cm，∵等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等，∴另一个点的轨迹为平行于直线l且与直线l的距离为2cm的两条直线.【点评】本题考查的是点的轨迹，熟练掌握角平分线的性质、圆的定义及平行线的性质是解题关键.11．如图，长方形ABCD的面积为300cm2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由．【答案】不能，说明见解析.【解析】【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm，结合长方形ABCD的面积为300cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积147cm2，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论．【详解】解：设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm．由题意，得3x•2x=300，∵x＞0，∴x=，∴AB=，BC=cm．∵圆的面积为147cm2，设圆的半径为rcm，∴πr2=147，解得：r=7cm．∴两个圆的直径总长为28cm．∵382428<=⨯=<，∴不能并排裁出两个面积均为147cm2的圆．。
圆(基础练)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练
24.4弧长和扇形面积（基础练）1．如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．2π【答案】D【解析】【分析】先求出六边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可得．【详解】设六边形的六个角的度数分别为123456,,,,,x x x x x x则123456180(62)720x x x x x x +++++=︒⨯-=︒ 由扇形的面积公式得：222222356124111111360360360360360360x x x x x x S ππππππ⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯=+++++︒︒︒︒︒︒阴影 123456()360x x x x x x π=+++++︒720360π=⨯︒︒2π=故选：D ．【点评】本题考查了六边形的内角和、扇形的面积公式，掌握内角和公式和扇形的面积公式是解题关键． 2．半径为3cm ，圆心角为120°的扇形的面积为（ ）A．6πcm2B．5πcm2C．4πcm2D．3πcm2【答案】D【解析】【分析】扇形面积公式为：nπr2360，代入求值即可．【详解】利用面积公式可得120π×9360=3πcm2．故选D．【点评】本题主要考查了学生的扇形面积公式．3．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，120AOB∠=︒，则阴影部分面积是_______.【答案】π【解析】【分析】阴影部分的面积=大扇形-小扇形，所以依面积公式计算即可．【详解】阴影部分的面积=() 12041360π⨯-=π．【点评】根据扇形面积公式计算即可．4．如图，圆心角AOB∠=_______.圆O的面积是_______，扇形OAB的面积为_______.【答案】90° 4π π【解析】【分析】根据图形可知圆心角是直角，利用圆的面积公式可求出圆的面积，扇形OAB 是14圆，从而可得出结论.【详解】由所给图形可知，圆心角AOB ∠是直角，所以AOB ∠=90°；因为圆O 的半径为2，所以圆的面积为：S=πr 2=π×22=4π；因为扇形OAB 是14圆，所以扇形OAB 的面积为：14×4π=π. 故答案为：90°，4π，π.【点评】此题主要考查了对圆的认识，掌握圆的面积计算公式：S=πr 2是解此题的关键.5．如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90︒，连接AB ，则图中阴影部分的面积是________.【答案】π-2.【解析】【分析】由∠AOB 为90°，得到∠OAB 为等腰直角三角形，于是OA=OB ，而S 阴影部分=S 扇形OAB -S ∠OAB ．然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可．【详解】解：S 阴影部分=S 扇形OAB -S ∠OAB =2902360π⨯⨯−12×2×2 =π-2故答案为π-2.【点评】本题考查了扇形面积的计算，是属于基础性的题目的一个组合，只要记住公式即可正确解出．关键是从图中可以看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积．6．用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r ()cm 的扇形，设扇形的面积为y ()2cm，求扇形的面积y 与它的半径r 之间的函数解析式.这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围.【答案】y 是r 的二次函数，其中020r <<.【解析】【分析】根据题意和扇形的面积公式将扇形的面积y 与它的半径r 之间的关系式表示出来即可.【详解】由题意，得弧长为()402r -cm ， 则()21402202y r r r r =-⋅=-+. 04020r r >⎧⎨->⎩解得020r << 故y 是r 的二次函数，其中020r <<.【点评】本题主要考查扇形面积公式及二次函数的应用，掌握扇形的面积公式是解题的关键.7．小明和小亮去野炊，带了一顶简易帐篷，帐篷收起来时伞面的长度是4m ，撑开后帐篷高2m ，求帐篷撑好后的占地面积.【答案】212m π【解析】【分析】根据题意可知圆锥的母线长为4米，高2米和地面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径，再求出底面面积.【详解】解：在Rt AOB ∆中，因为90AOB ︒∠=，所以222OA OB AB +=.所以222224212OB AB OA =-=-=.所以OB =.所以22212(m )n S OB πππ=⋅=⨯=.故帐篷撑好后的占地面积为212m π【点评】主要考查了圆锥的特点．解此题的关键是要知道圆锥的母线，高和地面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径，再求出底面面积，是一个常用的方法．8．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，4CA CB ==，分别以点A ，B ，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是多少？【答案】82π-【解析】【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积=S ∠ABC -三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S ∠ABC =12×4×4=8，然后代入即可得到答案． 【详解】∠∠C=90°，CA=CB=4， ∠12AC=2，S ∠ABC =12×4×4=8， ∠三条弧所对的圆心角的和为180°，三个扇形的面积和=12×π×22=2π，∠三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积=S ∠ABC -三个扇形的面积和=8-2π．故答案为8-2π．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，得出阴影部分的面积=S ∠ABC -三个扇形的面积和是解题关键． 9．如图，正方形ABCD 的边长为1，依次以A ，B ，C ，D 为圆心，以AD ，BE ，CF ，DG 为半径画扇形，求阴影部分的面积.【答案】152π 【解析】【分析】由图可知,扇形的半径分别为1，2，3，4，圆心角为90°,再由四分之一圆的面积公式即可得出结论.【详解】 解：222211111151234(14916)444442S ππππππ=⨯+⨯+⨯+⨯=+++=阴影 【点评】本题考查了扇形面积的计算,解决本题的关键是要弄清每个扇形与圆的面积关系.10．如图所示，当半径为30cm 的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A 平移的距离为多少厘米？(保留π)【答案】20πcm【解析】【分析】传送带上的物体A 平移的距离为半径为30cm 的转动轮转过120°角的扇形的弧长，根据弧长公式可得．【详解】12038001π⨯ =20πcm ． 故答案为：20πcm ．【点评】此题考查弧长的计算，解题关键在于掌握运算公式.11．如图，OA ，OD 是∠O 半径．过A 作∠O 的切线，交∠AOD 的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交∠O 于点E ，交CD 的延长线于点B ．(1)求证：直线CD 是∠O 的切线；(2)如果D 点是BC 的中点，∠O 的半径为 3cm ，求DE 的长度．(结果保留π)【答案】（1）证明见解析；（2）DE 的长度为π.【解析】【分析】【详解】（1）证明：∠AC 是∠O 切线，∠OA∠AC ，∠∠OAC=90°，∠CO 平分∠AOD ，∠∠AOC=∠COD ，在∠AOC 和∠DOC 中，∠∠AOC∠∠DOC，∠∠ODC=∠OAC=90°，∠OD∠CD，∠直线CD是∠O的切线．（2）∠OD∠BC，DC=DB，∠OC=OB，∠∠OCD=∠B=∠ACO，∠∠B+∠ACB=90°，∠∠B=30°，∠DOE=60°，∠DE的长度=π．。
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24.3正多边形和圆（重点练）1．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形(2)正五边形(3)正六边形(4)正八边形A．(1)(2)B．(2)(3)C．(1)(3)D．(1)(4)【答案】B【解析】【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°,据此解答即可.【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°．①3×60°＋2×90°＝360°，①能镶嵌平面；①正方形的每个内角是90°，正五边形每个内角是180°−360°÷5＝108°，90m＋108n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，不能镶嵌平面；①正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m＋120n＝360°，m＝4−43n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，不能镶嵌平面；①正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为180°−360°÷8＝135°，①90°＋2×135°＝360°，①能镶嵌平面．故选：B．【点评】本题主要考查的是图形的镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．2．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，则a3：a4：a6等于（）A．1B．1：2：3C．3：2：1D1【答案】D【解析】【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．【详解】解：设圆的半径是r，则多边形的半径是r，如图1，则内接正三角形的边长a3=2rsin60°=3r，如图2，内接正方形的边长是a4=2rsin45°=2r，如图3，正六边形的边长是a6=r，①半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比a3：a4：a6=3：2：1．故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．3．半径为3cm，圆心角为120°的扇形的面积为（）A．6πcm2B．5πcm2C．4πcm2D．3πcm2【答案】D【解析】【分析】扇形面积公式为：nπr2，代入求值即可．360【详解】利用面积公式可得120π×9360=3πcm2．故选D．【点评】本题主要考查了学生的扇形面积公式．4．如图，A、B、C、D为一个外角为40的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则OAD∠=__．【答案】30°【解析】【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出①AOD的度数，再由正多边形的半径OA=OD，根据等腰三角形的性质求解即可.【详解】多边形的每个外角相等，且其和为360，据此可得多边形的边数为：3609 40=，①①AOD=3×3609︒=120°，①OA=OD，①①OAD=①ODA=1801202︒-︒=30°，故答案为：30°.【点评】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角、半径，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.5．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，120AOB∠=︒，则阴影部分面积是_______.【答案】π【解析】【分析】阴影部分的面积=大扇形-小扇形，所以依面积公式计算即可．【详解】阴影部分的面积=() 12041360π⨯-=π．【点评】根据扇形面积公式计算即可．6．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________.【答案】cos1800π.【解析】【分析】先根据题意画出图形，再设圆的半径为R，由垂径定理及锐角三角函数的定义即可求解．【详解】解：如图所示，设圆的半径为R，①①AOF=360°2n =180°n①AB=2AF=2Rsin180°n；同理，①①DOF=360°2n =180°n，①CD=2DE=2Rtg180°n，①AB：CD=2Rsin180°n ：2Rtg180°n＝cos180°n．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是cos180°n．故答案为：cos180°n．【点评】本题考查的是正多边形和圆、垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合是解答此题的关键．7．如图，已知等腰①ABC，AB＝AC＝8，①BAC＝120°，请用圆规和直尺作出①ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径．【答案】见解析【解析】【分析】作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆可得①ABC的外接圆；再根据垂径定理得出①BAO=60°，得出①ABO为等边三角形，从而求得外接圆的半径．【详解】作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆，画图如下：①AB=AC=8，①弧AB=弧AC①①BAC=120°，AO①BC，①①BAO=60°，①OA=OB①①ABO为等边三角形，①OA=OB =AB=8①①ABC的外接圆的半径为8．【点评】本题考查三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图，解题的关键是掌握三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图.8．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．【答案】（1）90︒，108︒，120︒；（2）()2180 nn-︒.【解析】【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．【详解】解：（1）解：由正方形ABCD，可得：AC①BD，①4α＝90°；由正五边形ABCDE，可得：AB＝BC＝CD，①ABC＝①BCD＝108°，①①DBC＝①ACB＝180108362︒-︒=︒，①5α＝180°−①DBC−①ACB＝108°；同理：6α＝120°；（2）()2180nn-︒．【点评】本题主要考查了正多边形和圆的知识，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．9．如图五边形ABCDE内接于①O,①A=①B=①C=①D=①E．求证：五边形ABCDE是正五边形【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得出BDE CDA=，利用等式的性质，两边同时减去CDE，即可得到BC AE=，根据同弧所对的弦相等，得出BC＝AE．【详解】证明：①①A＝①B＝①C＝①D＝①E，①A对着BDE，①B对着CDA，①BDE CDA=，①BDE CDE CDA CDE-=-，即BC AE=，①BC＝AE．同理可证其余各边都相等，①五边形ABCDE是正五边形．【点评】此题考查了正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等，利用同弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答．10．已知：如图，①O是Rt①ABC的内切圆，①C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求①O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求①O的半径r．【答案】（1）r=3cm. (2) r=12（a+b-c）．【解析】【分析】首先设AC、AB、BC与①O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=12（AC+BC-AB），由此可求出r的长．【详解】（1）如图,连接OD，OF；在Rt①ABC中，①C=90°，AC=12cm，BC=9cm；根据勾股定理；四边形OFCD中，OD=OF，①ODC=①OFC=①C=90°；则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；则CD=CF=12（AC+BC-AB）；即：r=12（12+9-15）=3cm．（2）当AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：CD=CF=12（AC+BC-AB）；即：r=12（a+b-c）．则①O的半径r为：12（a+b-c）．【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．11．已知：如图，①ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求①ABC的面积S．【答案】S=12(a+b+c)r【解析】【分析】设①ABC与①O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S①ABC=S①AOB+S①OBC+S①OAC，即可求解【详解】如图，设①ABC与①O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．则OD①AB，OE①AC，OF①BC．①S①AOB=12AB•OD=12cr，同理，S①OBC=12ar，S①OAC=12br．①S①ABC=S①AOB+S①OBC+S①OAC，即S=12cr+12ar+12br=12(a+b+c)r【点评】本题考查了三角形的内切圆的计算，正确作出辅助线，把①ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.。
2021版九年级数学上册 第24章 圆 24.1.1 圆同步检测题(含解析)(全国通用版)(全国通用
国通用版）题（含解析）（全国通用版）（全国通用版）一、夯实基础1．下列命题正确的有( )(1)半圆是弧；(2)弦是圆上两点之间的部分；(3)半径是弦；(4)直径是最长的弦；(5)在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．A．1个B．2个C．3个D．4个2．以已知点O为圆心、已知线段a为半径作圆,可以作出圆的个数为( )A.1B.2C.3D.无数3.如图,AB和CD都是☉O的直径,∠AOC=50°,则∠C的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.50°4.等于23圆周的弧为( )A.劣弧B.半圆C.优弧D.圆5．如图所示，⊙O中点A，O，D以及点B，O，C分别在同一直线上，图中弦的条数为( ) A．2B．3 C．4 D．5国通用版）6．如图，P是⊙O内的一点，P到⊙O的最小距离为4 cm，最大距离为9 cm，则该⊙O的直径为( )A．6.5 cm B．2.5 cm C．13 cm D．不可求7．图中，__是⊙O的直径；弦有___；劣弧有__；优弧有__．8．如图所示，已知∠AOB＝60°，则△AOB是____三角形二、能力提升9.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,则BC=______.10.如图,圆中以A为一个端点的优弧有__________条，劣弧有___________条.国通用版）三、课外拓展11.如图所示：BD、CE是△ABC的高，求证：E、B、C、D四点在同一个圆上.12.已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O.求证：点A、B、C、D在以O为圆心的圆上.13.如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D为OA、OB上两点，且AC=BD求证：AD=BC14.如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D.求证：AC=BD国通用版）四、中考链接1．（xx 宁德）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝22°， 则∠COB 的度数等于____．2.（xx 江阴）若☉O 的半径是6cm,OP=4cm,求点P 到圆上各点的距离中最短距离_______，最长距离是_______.答案1．【答案】C. 2.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】C 2．【答案】 A 3．【答案】C4． __AC __ ；__AB ，BC ，AC __； __AB ︵，BC ︵__； __BAC ︵，BCA ︵__． 5． __等边 6． _44°__． 4.【答案】8 5.【答案】2或10 6.【答案】3；3 7.国通用版）证明：取BC 的中点O ， 连接DO 、EO ，∵BD 、CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF 、EF 分别为Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线， ∴DF=EF=BF=CF ，∴B 、C 、D 、E 四点在以点O 为圆心，12BC 为半径的圆上. 8、证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴OA=OB=OC=OD ，∴点A 、B 、C 、D 在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上. 9、证明：∵OA 、OB 为⊙O 的半径， ∴OA=OB ， 又∵AC=BD ， ∴OC=OD ，在△OAD 和△OBC 中，OA OB AOD BOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OAD ≌△OBC ， ∴AD=BC.10、证明：连接OA 、OC 、OD 、OB ，国通用版）∵OA=OB，OC=OD，∴△OAB和△OCD是等腰三角形，过点O作OE⊥AB，∴EC=ED，EA=EB，∴AE=CE=BE-DE，∴AC=BD.中考链接：1．【解析】∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝22°，∴∠BOC＝∠A＋∠C＝22°×2＝44°2.【答案】2或10【解析】试题分析：当直径恰好经过点O、P时，点P与圆上各点的距离中最短的是6-4＝2cm；最大距离是6+4=10cm.【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。
2020-2021学年九年级上数学《圆》练习题及答案 (36)
2020-2021学年人教版九年级上数学第24章《圆》练习题1．已知如图，Rt△ABC中，内切圆O的半径r＝1．求：S△ABC的最小值．解：∵Rt△ABC中，内切圆O的半径r，三角形三个边分别为：a、b、c，∴S△ABC=12ab，设S△ABC＝S△，∴ab＝2S△，∵2r＝a+b﹣c，∴c＝a+b﹣2r，∴a+b﹣2r=√a2+b2．两边平方，得a2+b2+4r2+2ab﹣4（a+b）r＝a2+b2，4r2+2ab﹣4（a+b）r＝0，将r＝1，ab＝2S△代入，得：4+4S△﹣4（a+b）＝0，a+b＝S△+1，∵ab＝2S△且a+b＝S△+1，∴a，b是方程x2﹣（S△+1）x+2S△＝0的两个根．∵a，b是正实数，∴△≥0，即[﹣（S△+1）]2﹣4×2S△≥0，S△2−6S△+1≥0．解得S△≥3+2√2或S△≤3﹣2√2，S△≤3﹣2√2不合题意舍去．∴S△ABC的最小值是3+2√2．2．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接BD，OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDF＝∠AEB＝90°，∴BD⊥CD，AE⊥BC，∵点D，A，B，E在⊙O上，∴∠ADE+∠ABE＝180°，∵∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠ABE＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABE＝∠CDE，∴DE＝CE，∵点F是CD中点，∴EF⊥CD，∵BD⊥CD，∴EF∥BD，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴CE＝BE，∵AO＝BO，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴四边形FDGE是矩形，∴OE⊥EF，又OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，BD∥EF，∴∠OGE＝90°，即OE⊥BD，∴DE＝BE，DÊ=BÊ，∴弓形BE的面积＝弓形DE的面积，∴阴影部分面积＝S△DEF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BOE＝60°，∴∠CAE＝30°，∵DE＝OA＝2，∴DF=12DE＝1，EF=√3，∴图中阴影部分的面积=12×1×√3=√32．3．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，I1为△ABC内切圆的圆心，⊙l2与BA，BC的延长线及AC边都相切（旁切圆）．（1）求⊙I2的半径；（2）求线段I1I2的长．解：（1）如图，过点I2作I2Q⊥AC于点Q，连接I2S，过点I1作I1M⊥BC于点M，I1N⊥AC于点N，交I2S于点H，可得四边形QCSl2，I1MCN均为正方形，I1HSM为矩形，设⊙I2的半径为R，则AQ＝AP＝3﹣R，CS＝CQ＝R，又因为BP＝BS，所以5+3﹣R＝4+R，解得R＝2．（2）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=√AC2+BC2=5，∵I1为△ABC内切圆的圆心，∴I1M＝I1N=a+b−c2=1，∴I1H＝3，∴I1l2=√32+12=√10．。
24.1.1圆(基础练)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练(解析版)
24.1.1圆（基础练）1．以3cm为半径画圆，这样的圆有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【答案】D【解析】【分析】半径确定，圆心不固定，可以画出无数个圆，由此选择答案解决问题．【详解】以3cm为半径画圆，可以画无数个等圆，故选D．【点评】此题考查：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小这一知识．2．等于圆周的弧为()A．劣弧B．半圆C．优弧D．圆【答案】D【解析】【分析】根据弧的命名方式分析.【详解】大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，直径所对的两条弧是半圆，等于圆周的弧叫做圆.故选：D.【点评】考核知识点：弧.3．下列说法中,正确的是()A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧【答案】B【解析】A.两个半圆的半径不一定相等，故错误；B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；C.长度相等的弧是等弧，错误；D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，故选：B.4．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（）A．4πr B．2πr C．πr D．2r 【答案】B【解析】【分析】一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离就是圆的周长．【详解】圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr.故选B.【点评】考查圆的认识，掌握圆周长的计算方法是解题的关键.5．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】B【解析】【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．【详解】图中的弦有AB，BC，CE共三条，故选B．【点评】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦．6．在直角坐标系中，⊙A、⊙B的位置如图所示，下列四个点中，在⊙A外部且在⊙B内部的是()A．(1，2)B．(2，1)C．(2，－1)D．(3，1)【答案】C【解析】由图可知：A选项：（1，2）都在两圆的外部，故与题意不符；；B选项：（2，1）在⊙A的内部，在⊙B的外部，故与题意不符；C选项：（2，－1）在⊙A外部且在⊙B内部，故与题意相符；D选项：(3，1)在⊙A上且在⊙B外部，故与题意不符.故选C.7．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的( )A．12B．14C．18D．116【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r，则面积S1=πr2，⊙半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211()416S r rππ==，⊙2221111616rSS rππ==.故选D．8．下列说法，正确的是( )A．半径相等的两个圆大小相等B．长度相等的两条弧是等弧C．直径不一定是圆中最长的弦D．圆上两点之间的部分叫做弦【答案】A【解析】A选项中，根据“半径确定圆的大小”分析可知，A正确；B选项中，根据“等弧的概念”分析可知：长度相等的两条弧不一定能够重合，故B错误；C选项中，根据“三角形的两边之和大于第三边”，可以证明直径是圆中最长的弦，故C错误；D选项中，因为“圆上任意两点间的部分叫弧”，故D错误．故选A．9．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．相等的圆心角所对弦相等D．直径为圆中最长的弦【答案】D【解析】【分析】画出反例图形即可判断A、C；根据当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，即可判断B，根据弦和直径的定义即可判断D．【详解】A. 如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误；B. 不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误；C. 如图，⊙AOB=⊙COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误；D. 直径是圆中最长的弦，故本选项错误.故选D.【点评】考查确定圆的条件，圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，属于基础题，难度不大. 10．一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（）.A．5cmB．3cmC．8cmD．4cm【答案】D【解析】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为3542+=cm.故选D.11．如图，分别以四边形ABCD(边长均大于4)的四个顶点为圆心，2为半径画圆，则图中四个阴影部分的面积之和是________．【答案】4π【解析】【分析】根据平行四边形的内角和等于360°可知，图中阴影部分的面积正好等于一个圆的面积，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：⊙平行四边形ABCD的边长均大于4，各弧的半径都是2，⊙图中阴影部分的面积等于一个圆的面积，即π•22=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查了平行四边形的内角和等于360°的性质，判断出阴影部分的面积等于一个圆的面积是解题的关键．12．如图,圆中以A为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条.【答案】3 3【解析】根据优弧、劣弧的概念，优弧有：AEC AEB ABC、、，共3条.、、，共3条；劣弧有：AB AC AE故答案为：3；3.13．圆是轴对称图形，它有______条对称轴，圆又是______对称图形，圆心是它的__________；【答案】无数中心对称中心【解析】【分析】根据轴对称图形的定义以及中心对称的概念解答即可.【详解】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形，对称中心是圆心.【点评】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且有无数条对称轴.14．如图，试表示到点P的距离等于2.5cm的点的集合．【答案】作图见解析.【解析】试题分析：根据圆的定义分析可知：平面内到定点P的距离等于2.5cm的点的集合是“以点P为圆心，2.5cm为半径的圆”，由此画出图形即可.试题解析：如图，到点P的距离等于2.5cm的点的集合是以点P为圆心，2.5cm为半径的圆.故答案为：到点P的距离等于2.5cm的点的集合是以点P为圆心，2.5cm为半径的圆.15．已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）.【解析】【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求.【详解】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A 和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【点评】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答.。
人教版九年级数学上册第二十四单元圆同步练习1带答案
人教版九年级数学上册第二十四单元《圆》同步练习1带答案 ◆随堂检测一、_____确信圆的位置,________确信圆的大小.二、已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，那么该圆的半径是（ ）A 、5B 、4C 、3D 、23、通过A 、B 两点的圆有几个？它们的圆心都在哪里？4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.◆典例分析 圆O 所在平面上的一点P 到圆O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？分析:题目中说到最大距离和最小距离，咱们第一想到的确实是直径，然后过点P 做圆的直径，取得圆的半径.通常情形下，咱们进行的都是在圆内的有关计算，这慢慢成为一种适应，使得咱们一看到题第一想到的确实是圆内的情形，而忽略了圆外的情形，因此常常会显现漏解的情形.这也是此题想要提示大伙儿的地址.解:如下图,分两种情形:(1)当点P 为圆O 内一点，过点P 作圆O 直径，别离交圆O 于A ，B ，由题意可得P 到圆O 最大距离为10，最小距离为2，那么AP=2，BP=10，因此圆O 的半径为62102=+.(2)当点P于A ，B ，由题可得P 到圆O 最大距离为10，最小距离为2，那么BP=10，AP=2，因此圆O的半径42210=-. 综上所述，所求圆的半径为6或4. 第4题◆课下作业●拓展提高一、如图，AB 是⊙O 的直径，C 点在⊙O 上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？二、以下轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）3、P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，那么通过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．4、求证矩形四个极点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．五、证明对角线相互垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.●体验中考一、（2020年,内江）以下几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）第1题C B A O Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． B O A二、（2020年，河北）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，那么⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：◆随堂检测一、圆心，半径.二、C.3、无数个，它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上.4、解:由题意得,OD是△ABC的中位线，∴OD=3cm.◆课下作业●拓展提高一、ABC、CAB是优弧，AC、BC是劣弧.二、B. 选项B中有6条对称轴,是最多的.3、8cm，10cm.4、证明：由矩形的性质知，矩形的四个极点到它的对角线的交点的距离相等，因此矩形四个极点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．五、证明：∵对角线相互垂直的四边形的各边的中点能组成一个矩形，∴由矩形的性质知，矩形的四个极点到它的对角线的交点的距离相等，因此对角线相互垂直的四边形的各边的中点在以中点矩形的对角线交点为圆心的同一个圆上.●体验中考一、D.二、C. 在弦AB的双侧别离有1个和两个点符合要求,应选C.。
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2020-2021学年初三数学上册同步练习：圆
1.下列命题中，不正确的是()
A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对
【答案】D
【解析】【分析】利用圆的基本性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、圆是轴对称图形，正确；
B、圆是中心对称图形，正确；
C、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
D、以上都不对，错误，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的对称性，属于基础题，难度不大．2.现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的() A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】B
【解析】【分析】利用圆的面积公式列式求解即可．
【详解】
由题意得π（）2÷[π（）2]=
．故选B．
【点评】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是熟记圆的面积公式．
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3.如图，O 的半径为1，分别以O 的直径AB 上的两个四等分点O ，O 为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）
122A ．πB ．1
πC ．1
πD ．2π
24【答案】B
【解析】【分析】把阴影部分进行对称平移，再根据半圆的面积公式计算即可.
【详解】
π⨯12⨯1=π⨯1⨯1=1
π,222∴图中阴影部分的面积为1
π.故选B.2
【点评】本题考查了圆的知识点，解题的关键是熟练掌握半圆的面积公式，注意对称平移思想的应用．4.如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是()
A ．三个小圆周长之和
B ．大圆周长
C ．一样长
D ．不能确定
【答案】C 【解析】【分析】如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,根据圆的周长公式即可解答.
【详解】
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如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,
则大圆周长为πd;三个小圆周长之和为πd'+πd″+πd‴=π(d'+d″+d‴).因为d=d'+d″+d‴,所以三个小圆周长之和与大圆周
长一样长.
【点评】本题考查了圆的周长之间的大小比较，解决本题关键是表示出四个圆的周长，再利用乘法分配律
的解决．
5.下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③正六边形是轴对称图形．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】试题解析：直径是弦，所以①正确；
经过不共线的三个点一定可以作圆，所以②错误；
正六边形是轴对称图形，所以③正确.
故选C.
6.如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和
C2的大小关系是（）
A．C1＞C2B．C1＜C2C．C1=C2D．不能确定
【答案】B
【解析】【分析】首先设出圆的直径，然后表示出半圆的弧长和三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案．【详解】
解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：1
aπ，2
4个正三角形的周长和C2为：3a，
∵1
aπ＜3a，2
∴C1＜C2
故选B．
【点评】本题考查了圆的认识及等边三角形的性质，解题的关键是设出圆的直径并表示出C1和
C2．7．过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是．
【答案】以A为圆心，半径为3cm的圆
【解析】【分析】根据圆的定义即可得答案.
【详解】
∵所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于3厘米的点的集合，
∴是一个以A为圆心，半径为3cm的
圆．故答案为：以A为圆心，半径为
3cm的圆
【点评】本题考查圆的定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合.
8.在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为．【答案】3cm或7cm
【解析】设⊙O 的半径为r ，
10-4当点P 在圆外时，r==3cm ；2当点P 在⊙O 内时，r=10+42
=7cm.故答案是：3cm 或7cm ．
9.下列图形中：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形．其中四个顶点在同一圆上的有
（只填序号即可)．
【答案】②④⑤
【解析】①∵平行四边形的对角不互补，
∴平行四边形的四个顶点不在同一个圆上，故本选项错误；；
③∵菱形的对角不互补，
∴菱形的四个顶点不在同一个圆上，故本选项错误；；
②④⑤矩形、正方形、等腰梯形的对角互补，
∴矩形、等腰梯形的四个顶点在同一个圆上，故本选项正确；
故本题答案为：②④⑤．
10.说出下列点的轨迹是什么图形，并画出图形．
（1）在平面直角坐标系内，到x 轴，y 轴距离相等的点的轨迹．
（2）以已知点A 为端点的线段AB=10cm ，这线段的另一个端点B 的轨迹．
（3）已知直线l 上有两点A 、B ，且AB=3cm ，与A 、B 构成面积为3cm 2的三角形的点的轨迹．
【答案】（1）x 轴、y 轴所构成的四个角的平分线；（2）以点A 为圆心，半径长为10cm 的圆；（3）平行于直线l 且与直线l 的距离为2cm 的两条直线.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质即可得答案；（2）根据圆的定义即可得答案；（3）根据等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等的性质即可得答案.【详解】
（1）如图：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹是x轴、y轴所构成的四个角的平分线；
（2）如图，∵到定点的距离为定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，
∴点A为端点的线段AB=10cm，另一个端点B的轨迹为以点A为圆心，半径长为10cm的圆，
（3）如图，∵AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2，
∴AB边的高为2cm，
∵等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等，
∴另一个点的轨迹为平行于直线l且与直线l的距离为2cm的两条直线.
【点评】本题考查的是点的轨迹，熟练掌握角平分线的性质、圆的定义及平行线的性质是解题关键.
5050641.如图，长方形ABCD 的面积为300cm 2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm 2的圆（π取3），请通过计算说明理由．
【答案】不能，说明见解析.
【解析】【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长DC 为3xcm ，宽AD 为2xcm ，结合长方形ABCD 的面积为300cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程即可求出x 的值，从而得出AB 的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积147cm 2，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB 的长进行比较即可得出结论．
【详解】
解：设长方形的长DC 为3xcm ，宽AD 为
2xcm ．由题意，得3x•2x=300，
∵x ＞0，
∴x =，
∴AB=350cm ，BC=2cm ．
∵圆的面积为147cm 2，设圆的半径为rcm ，
∴πr 2=147，
解得：r=7cm ．
∴两个圆的直径总长为28cm ．
∵3<3=3⨯8=24<28
，
50
∴不能并排裁出两个面积均为147cm2的圆．。