数字滤波器的有限字长效应2

[ x]补
x 0 x 1 2 x 1 x 0
二、量化及量化误差 理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示
x 0 n 2 n
n 1
符号位
有效数字位
实际中，只能用有限位近似表示(b+1)位)，这种 过程称为量化。
量化方式
截尾量化
Q[x] 3q 2q q 4q 3q 2q q x 3q 2q q x

z pr 1 pr

N l 1 l r
k pr 1 pl p r )
(1

N k pr
( p r pl )
l 1 l r
N
极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低 极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高 对级联或并联型，每个子系统最多只有两个共轭极 点，故对系数量化影响较小。
三、 FIR系数量化效应
系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题， 但会影响频率特性。 若要求频响误差为E(ej)，则所需字长为
E (e
j
( N 1)q ) ( N 1)2 (b 1) 2
实际中，需要在估计字长的基础上加上3~4位
数字滤波器的定点运算误差
IIR DF的极限环振荡 IIR DF乘积量化误差的统计分析 FIR DF中乘积量化的影响 溢出问题
2
IIR DF级联结构乘积量化误差分析
e1[k] x[k] z1 z1
eL[k]
01 11 21 11 21
z1 z1 z1 z1
0L 1L 2L 1L 2L
ˆ[ k ] y
z1 z1
2 v

i 1
L
i2
1 2j C
l i 1

L
q 2b
正数和补码负数截尾误差范围为
原码负数和反码负数截尾误差范围为
0 ET q
舍入误差范围
q 2 ER q 2
区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。
滤波器输入信号量化效应
问题的提出
量化误差统计假设
信噪比和字长的关系
一、问题的提出
模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即
e[k] x[k] z1 b0 b1 b2
ˆ[ k ] y


a1 a2
z1
z1
z1

z1

bM



aN

z1
直接I型结构乘积量化误差联合噪声源模型
直接I型结构乘积量化误差分析
e[k]通过系统的平均噪声功率
2 q 1 2 1 1 v (M N 1) H ( z ) H ( z ) z dz e e 12 2j C
2 v

i 1
L
2 e i
hi [k ]
2
三、FIR DF中乘积量化的影响
x[k]
z1
h[0]
z1
h[1]
z1
h[2] h[N1]
y[k] e0 e1 e2 eN1
乘积量化噪声的输出平均功率
2 2 q q 2 v ( N 1) d 2 [k ] ( N 1) 12 k 0 12
字长增加一位，SNR增加6db
滤波器系数量化效应
问题的提出
IIR系数量化效应
FIR系数量化效应
一、问题的提出
设系统只有单极点，理想DF的系统函数可表示为
B( z ) H ( z) A( z )
k 0 N k b z k k M k 0 N k b z k M
1 ak z
一阶IIR DF输出

y[0] x[0] Q{ y[1]} 7 8 0.111



y[1] Q{ y[0]} Q[0.0111 ] 0.100 y[2] Q{ y[1]} Q[0.010] 0.010 y[3] Q{ y[2]} Q[0.001 ] 0.001 y[4] Q{ y[3]} Q[0.0001 ] 0.001 1 8
二、IIR DF乘积量化误差的统计分析
乘积的舍入用噪声源e[k]表示，对其做如下假设：
1) 各噪声源均为白噪声序列；
2) 各噪声源统计独立，互不相关；
3) 在量化噪声范围内，各噪声源都视为等概率密度 分布。
直接I型结构乘积量化误差分析
单个噪声源方差
x[k] z1 b1 z1 b2 b0
2 q 2 0 E ei2 [k ] 12
ˆ[ k ] y


e0[k]
a1
eM+1[k]
z1
e1[k]
z1
a2

z1 bM

e2[k]


eM+2[k]

aN

z1
eM[k]
eM+N[k]
直接I型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接I型结构乘积量化误差分析
联合噪声方差
2 q 2 e E e 2 [k ] ( M N 1) 12
ea[k] b0 eb[k]
x[k]
ˆ[ k ] y
a1 a2
z1 b 1 z1 b2


aN


z1 bM

直接II型结构乘积量化误差联合噪声源模型
2b 2 ea[k]和eb[k]通过系 2 v N 统的输出噪声方差 12
k 0


2 2b h[k ] (M 1) 12
n
H l ( z ) H l ( z 1 )
Ai ( z ) Ai ( z 1 )
z 1dz
IIR DF并联结构乘积量化误差分析
e1[k]
01
z1 z1
11 21
11 21
ˆ[ k ] y
x[k]


0L
z1 z1
eL[k]
1L 2L
1L 2L
z1 z1
7 1 k y[k ] ( ) u[k ] 8 2



7 4 2 1 1 1 ˆ[k ] { , , , , , , } y 8 8 8 8 8 8
极限环震荡
无限精度输出
产生极限环震荡的原因
量化使下式成立
Q[ y[k 1]] y[k 1]

( 0取, 0取)
[ x]原 [ x ]反
x 0. X 1 X 2 X b 1 x 1. X 1 X 2 X b
0 x 1 1 x 0
0 x 1 x 0. X 1 X 2 X b 1 x 1. X 1 X 2 X b 1 x 0
1 a k z k a k z k 0
k 1 N
为了保持稳定，设极点在单位圆内接近z=1
a k 1 a k
k 1
N
保持稳定性的IIR DF系数的最小字长
ak q 2 (b1) max{ ak } 2
系统对系数量化的灵敏度
将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作为 对系数量化灵敏度的度量。 量化后极点
e[k]所通过系统的系统函数 He(z)=1/A(z)
直接II型结构乘积量化误差分析
x[k] z1
b0
ˆ[ k ] y
a1
eM+1[k] z1
b1
e0[k]
a2
b2
e1[k]

eM+2[k]

aN

z1 bM
e2[k]
eM+N[k]
eM[k]
直接II型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接II型结构乘积量化误差分析
ˆ[k ] x[k ] e[k ] x
精确抽样值 量化误差
分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适 的字长，以满足信噪比指标。
二、e[k]统计假设
1) e[k]是平稳随机序列 2) e[k] 是白噪声，且e[k1]和e[k2]不相关 3) e[k]和x[k]不相关
4) e[k]等概率分布
问题的提出
数字系统，存储单元的容量有限。
有限字长的影响，主要表现在以下三方面 (1) 输入信号经A/D变换而产生的量化误差。
(2) 滤波器的系数量化误差。
(3) 运算误差。
截尾和舍入效应
定点二进制数的表示
量化及量化误差
一、定点二进制数的表示
定点二进制数x有原码、反码和补码三种表示形式 若x=0.X1 X2 Xb，则其原码、反码和补码分别定义为
ˆ r pr pr , r 1, N p
pr
k 1
N
p r ak a k
位置误差
第r个极点对第k个系数变化的敏感度 pr /ak越大，ak对pr的影响越大，反之亦然。
系统对系数量化的灵敏度
D( z ) a k p r D( z ) a k p r
即系统的差分方程变为

y[k ] x[k ] y[k 1]

极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而产生 等幅序列形式的极限环震荡。
消除限环震荡方法
1. 适当地增加字长

2 (b1) y[k 1] 1
源自文库
死区 在一定时，增加字长b，死区也减小。 2. 在滤波器的输入端加入高频脉冲，使输出跳出死 区，回到零。
k 1

1 ( 1 p z ) r r 1
因字长有限，滤波器系数ak、bk量化后将产生误差 1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。 2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。
二、IIR系数量化效应
{ak}量化后的值 量化后极点位置
ˆ k ak ak , k 1, N a
四、溢出问题
产生原因：
y[k ] h[n]x[k n]
n
x[k]的最大绝对值
y[k ] max xmax h[n]
n
xmax h[n] 超出了表示范围，就会产生溢出。
n
避免溢出的方法:
1. 适当增加字长
2. 将输入信号乘以小于1的比例因子A，使下式成立
Axmax h[n] 1
舍入量化
Q[x]
q
q
2q 3q 4q
4q 3q 2q q
q
q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
截掉b位后数据
Q[ x] 0 n 2 n
n1 b
视b+1位后数据的大 小决定b位数据的值
量化误差
截尾误差
ET Q[ x] x q ET 0
一、IIR DF 的极限环振荡
由于字长有限，IIR DF零输入下也有固定不变 的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
分析：
y[k ] y[k 1] x[k ]

乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为
y[k ] x[k ] Q{ y[k 1]}

设： y[1]=0 b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
P{e[k ]}
1q
q 2
0
e[k ]
q 2
舍入量化误差的概率密度函数曲线
三、信噪比和字长的关系
2 信号x[k]的平均功率为 x
量化误差方差
e2
q E e [k ] 12
2


2
输入信号的信噪比SNR为
2 x 2 6.02b 10.79 10 log 10( x SNR 10 log 10 ) dB 2 e