97. 高一数学导学案频率的稳定性(解析版)

10.3.1频率的稳定性

导学案

【学习目标】

1.结合实例，会用频率估计概率

【自主学习】

知识点1 频率的稳定性

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率f n (A )会逐渐稳定于事件A 发生的概率P (A )．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率f n (A )估计概率P (A )． 知识点2 频率与概率的区别与联系

(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．

(2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n 次试验中发生了n A 次，当试验次数n 很大时，就将n A

n 作

为事件A 发生的概率的近似值，即P (A )＝n A

n

.

(3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A 的概率P (A )总介于0和1之间，即0≤P (A )≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.

知识点3 频率稳定性的作用

可以用频率f n(A)估计概率P(A)．

【合作探究】

探究一频率和概率的区别和联系

【例1】下列说法正确的是()

A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖

C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1

【答案】D[一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．]

归纳总结：理解概率与频率应关注的三个方面

(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．

(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．

(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．

【练习1】“某彩票的中奖概率为1

100”意味着() A．买100张彩票就一定能中奖

B．买100张彩票能中一次奖

C．买100张彩票一次奖也不中

D．购买彩票中奖的可能性为1

100

【答案】D[某彩票的中奖率为

1

100，意味着中奖的可能性为

1

100，可能中奖，也可能不中

奖．]

探究二用随机事件的频率估计其概率

【例2】某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：

(1)将各组的频率填入表中；

(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．

[思路探究]根据频率的定义计算，并利用频率估计概率．

【答案】(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.

(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.

所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是600

1 000＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.

归纳总结：

1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．

2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．

【练习2】某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

(1)

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．

【答案】(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，

以频率估计概率得P(A)＝150

1 000＝0.15，P(B)＝120

1 000＝0.12，

由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A 与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，

所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24

100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.

探究三游戏的公平性

【例3】某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划