高考圆锥曲线专题复习二(含答案详解)

高考圆锥曲线专题复习二

【高考考纲解读】

(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；

(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题. 【重点、难点剖析】 1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)；

(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2

b

2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)．

3．圆锥曲线的几何性质

(1)椭圆：e ＝c

a ＝

1－b 2

a

2；

(2)双曲线：①e ＝c

a

＝

1＋b 2a

2.

②渐近线方程：y ＝±b a

x 或y ＝±a b

x . 4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法

①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2

＝2ax 或x 2

＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；

②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2

n ＝1(m ＞0，n ＞0)；

双曲线方程可设为x 2m －y 2

n

＝1(mn ＞0)．

这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；

(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； (3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；

注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等. 6．有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2

|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝

1＋1

k

2|y 2－y 1|.

(2)弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 7．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原

点，则有 ①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2

，a 2

]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值

F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有

①|OP |≥a ； ②|PF 1|≥c －a . 8．定点、定值问题

定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

9．解决最值、范围问题的方法

解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 【题型示例】

题型1、圆锥曲线的定义与标准方程

【例1】【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段

A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）

A ．

6 B ．

3 C ．

23

D ．13

【答案】A

【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n

–y 2

=1(n >0)的焦点重合，

e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）

A ．m >n 且e 1e 2>1

B ．m >n 且e 1e 2<1

C ．m 1

D ．m

【解析】由题意知2211m n -=+，即22

2m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，

又222

12222222111111()(1)(1)(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++=4242

21

12n n n n

++>+ ，故121e e >．故选A ．