二元一次方程组专题

二元一次方程组

知识结构图

考点一：代入消元法

将其中一个方程中的一个未知数(最好在方程中系数为1或者-1）用另一个未知数表示出来，再代入另一个方程中实现消元，从而转化成一元一次方程.

例题1.1：

变式1.1：

变式1.2

⎩⎨

⎧=+=-124953y x y x ⎩⎨

⎧=+=-94675x 2y x y ⎩⎨

⎧=-+=--20)3(3123)3(23y x x y x x

考点二：加减消元法 利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。 例题2.1（1） （2）

（2）

)(6441125为已知数a a y x a y x ⎩⎨

⎧=-=+

变式3.1，解下列方程组

（1）

（2）

考点四：已知方程组的解求系数

例4.1（1）．已知是方程组的解，则m 2－n 2的值为_________．

（2）．若满足方程组的x 、y 的值相等，则k ＝_______．

变式4.1：若方程组的解互为相反数，则k 的值为 。 变式 4.2 若方程组与有相同的解，则a = ，b= 。

⎩⎨⎧=-=-300020152013300020202018y x y x ⎩

⎨⎧=+=+399719971999399519991997y x y x ⎩⎨⎧==1

2y x －⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx ⎩

⎨⎧=-+=-6)12(423y k kx y x ⎩⎨

⎧=++=-10

)1(232y k kx y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y b ax y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5

243y x by x a

考点五：两个方程3个未知数，求含未知数代数式的值

把其中一个未知数当成已知数

例题5. 有铅笔，圆珠笔，钢笔三种学习用品，若购买铅笔3支，圆珠笔7支，钢笔1支共需要3.15元，若购买铅笔4支，圆珠笔10支，铅笔1支共虚4.2元。现购买铅笔，圆珠笔，钢笔，各一支共需要多少钱？

变式5.1已知(其中)求的值.

变式5.2，已知求的值

考点六：方程组有同解及看错系数问题

① 同解对方程组中每一个方程都成立，

② 看错解问题：将解代入系数未被看错的方程中，等式成立，求解出相关系数 例题6.1，已知方程组与方程组求的值

变式6.1：关于x,y 的方程组有解，求m+n 的值

⎩

⎨⎧=-+=--0283026y x z y x 0≠z ()222z y x -⎩⎨

⎧=+-=-+0243032z y x z y x z y x ::⎩⎨

⎧=-=+7220640y x n y x ⎩⎨⎧=-=+m y x y x 48950083n m +⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+=---=+9

)210(5965108)8(543y n m x y x y x m n y x

例题6.2甲、乙两人解方程组，甲因看错a ，解得，乙将其中一个方

程的b 写成了它的相反数，解得，求a 、b 的值．

变式 6.2：甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程①中的,

得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的,得到方程组的解为。试计算的

值.

考点七：方程组有解问题

知识点总结：

(1)若方程有唯一解，则;

(2)若方程无解，则;

(3)若方程有无穷解则;

若是二元一次方程组有无解问题，则先消元转化成一元一次方程，再利用以上结论。 例题7.1（1）关于x 、y 的二元一次方程组没有解时，m

（2）二元一次方程组 有无数解，则m= ，n=

⎩⎨⎧=+-=-5

14by ax by x ⎩⎨⎧==32y x ⎩⎨

⎧-=-=21y x ⎩⎨

⎧-=-=+ ②by x ①y ax 24155a ⎩⎨⎧-=-=13y x b ⎩

⎨⎧==45y x 20052004101⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a B Ax =0≠A 0,0≠=B A 0,0==B A ⎩⎨

⎧=+=-2312y mx y x 23

x y m x ny -=⎧⎨

+=-⎩

变式7.1， 已知关于x,y 的方程组 分别求出a 为何值时 （1）方程有唯一一组解

（2）无解

（3）有无穷多个解

考点八，二元一次方程整数解问题

例题8.1，关于x,y 的方程组的解为整数，且满足：

变式8.1，方程组的解是正整数，试求整数m 的值

变式8.2，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？

⎩⎨

⎧=-++=+3

)1(2212y a x a y ax 的值求y x y x y x ,,5)2)(23(=-+⎩⎨⎧=+=+11

35y x m y x

考点九：二元一次方程组的应用（中考常考）

设未知数——找等量关系---列方程组----解方程组---检验

例题9.1.某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育,到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人,求到两地的人数各是多少?设到井冈山的人数为x人,到瑞金的人数为y人,请列出满足题意的方程组

变式9.1.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：

“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组．

例题9.2.小华写信给老家的爷爷,问候“八一”建军节.折叠长方形信纸、装入标准信封时发现:若将信纸如图①连续两次对折后,沿着信封口边线装入时,宽绰有3.8 cm;若将信纸如图②三等分折叠后,同样方法装入时,宽绰1.4 cm.试求信纸的纸长与信封的口宽.