教案5__有限差分法

x
h
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差分与差商
前向差分
df f (x) f (x h) f (x)
dx x
h
后向差分
df f (x) f (x) f (x h)
dx x
h
中心差分
df f (x) f (x h) f (x h)
dx x
2h
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不同媒质分界面上的差分格L式
h3
h1
2 2
j+1
分界面与网格线重合的情况 h2 3
0
1
j
a1 a3 a4 a2 4a0 h2 Fa
b1 b3 b4 b2 4b0 0
h4 3
0
1
i-1
4 4
ai
b
i+1
j-1
两式中 a1和 b3 是假设“虚”电位，可以利用分界面上场
定解条件的离散化
L
3
h
y
D
o o' n
0
2
x
第二种情况，当结点不落于边界线L上时，只需要引入于 结 点 0 相 关 的 边 界 结 点 O‘ ， 点 的 外 方 向 n 作 为 结 点 0 处 的 “外方向n”，且近似地认为边界条件中给定的函数和均在 O’点上的取值。这样，此种情况下的第三类边界条件的离 散格式于式相似，
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定解条件的离散化
第三类边界条件的差分离散化
f1 (rv, t )
n
S
f2 (rv,t)
第一种情况，当结点刚好着落
于边界线L上时，这还取决于边
界结点处的外法线与网格线重合，
L
h
3
3
y
D
0n
0
x
0
f1(r0 ) 0
3
h
f2 (r0 )
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差分与差商
通过泰勒公式分析上面差分精度，在点上的一阶 导数的逼近度可由泰勒公式展开
f
( x0
h)
f
(x0 ) hf
' (x0 )
1 h2 2!
f
'' (x0 ) L
f
( x0
h)
f
(x0 ) hf
' (x0 )
1 h2 f 2!
'' (x0 ) L
两式相减
f
( x0
h)
f
( x0
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差分格式
一阶偏导数差分格式
x
x
0 0
1 0
h1
0 3
h3
O(h2 ) O(h2 )
h3
h2 3
h4 3
i-1
h1
2
2
0
1
0
1
4
4
i
i+1
j+1 j
j-1
可采用待定系数的方法，提高差分格式的精度， 它的思路： 1、3结点与0结点在x方向的差分用泰 勒公式展开，它们各自占有一定的权系数，以截 断误差来计算系数
0
f1
(r0
'
)
3
0
h
cos
0
பைடு நூலகம்
2
h
sin
f2 (r0' )
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定解条件的离散化
第二类边界条件的差分离散化 / n 0
第二类齐次边界条件为第三类边界条件的特殊情况，即。
我们这里讨论最常见的一种情况
f1(r) f2 (r) 0
加一层虚拟边界
L
1 3
2 h
1
0
x
0
h1
1 2!
2
x2
0
h12
1 3!
2
x2
0
h13
L
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差分格式
(1
0
)
(3
0
)
x
0
(
h1
h3
)
1 2!
2
x2
0
(
h12
h32
)
L
忽略h3以上的高次幂的项，并且令 2 / x2 项的系数为零，
这样处理可以保证得到的差分格式误差为h3量级。系数为
hh1
2
x2
0
2h h h1
1
2h1 h h1
3
20
同理，在0结点处关于y方向的二阶偏导的差分格式
hh2
2
y2
0
2h h h2
2
2h2 h h2
4
20
代入给定的泊松方程，得到通常第一类边界条件的差分格
式
1 (1
)
1
1
(1
) 2
1
1
3
1
1
4
1
1
0
1 2
h2F
h1 / h, h2 / h
0
1 4
2 1 K
b1
2
2K 1 K
a3
4
K 1 K
h2 Fa
K a / b cem@uestc.edu.cn
不同媒质分界面上的差分格式
分界面与网格线呈对角线的情况
a1 a3 a4 a2 4a0 h2 Fa
b1 b3 b4 b2 4b0 0
h3
h1
a 2 2
L j+1
1 x
df dx
xx
df dx
x
前向差分 前向差分
1 h
f
(x
h) h
f
(x)
f
(x) f h
(x
h)
f (x h) 2 f (x) h2
f (x h)
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差分与差商
对偏导数，可仿照上述方法，将表示为：
u u(x h, y, z) u(x, y, z)
x
h
2u x2
u(x
h,
y,
z)
2u(x, y, h2
z)
u(x
h,
y,
z)
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差分格式
二维Possion方程差分格式
2 ( x,
y)
2
2x
2
2 y
F ( x,
y)
有限差分法的网格划分，通常采用完全有规律的 分布方式，这样可使每个离散点上得到相同形式 的差分方程，有效的提高解题速度。对能填满平 面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六 边形）的划分方式，经常采用的是正方形网格划 分，
前处理
差分方程组（代数方程组） 计算方程组（迭代法）
数据计算
离散解
插值计算其他值或可视化显示结果
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后处理
有限差分法格式特点
仔细分析离散的差分方程组，例如泊松方程，从离散方程
式不难看出，该方程组的系数一般是有规律的，且方程都 很简单，每个方程的项数不多（待求量最多不超过5项）
2
0
1 4
21 2 4 h2F
3
3
上面也是对称边界条件的离散公式
0
1
D
0
1
4
4
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有限差分法的求解
综上所述，对场域D内各结点（包括所有场域内结点和边
界结点）逐一列出对应的差分计算格式，即构成以这些离
散结点上的位函数 为待求量的差分方程组（代数方程 组）。求解这些代数方程组，得到场域中的电位值 计算步骤通常是： 离散场域，采用一定的网格剖分方式离散化计算区域。 离散化场方程，即基于差分原理的应用，对场域内场的
n
b
b
n
a
aM
aN
b bM
bN
对M、N结点应用线性插值
aM
a1 a4
2
bN
b2
b3
2
aN
a2
a3
2
bM
b1 b4
2
a 2
N 30
L j+1 1 1 j
4
M
b j-1
i-1 i i+1
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不同媒质分界面上的差分格式
把前面的 a1 ＋ a4 和 b2 ＋ b3 代入上式，得网格线
量遵循的边界条件，削去它们
ai bi i
(i 0, 2, 4)
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不同媒质分界面上的差分格式
其次，假设在分界面上没有自由电荷
a
a
n
b
b
n
Boundary
:
nv
v (D1
v D2
)
s
中心差分格式表示
a a1 a3 b b1 b3
把前面关于 a1和 b3式子代入上式
呈对角线的差分格式：
0
1 4
2 1 K
(b1
b4 )
2K 1 K
(a 2
a
3
)
1
K K
h2 Fa
K a /b
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定解条件的离散化 L
2
第一类边界条件的差分离散化 应用多元函数的泰勒公式，
h
2 h2
3
3
0
0
1 1
结点1、3的位函数值和可通过0 表示为 D
h1
4 4
LL
LL
i1, j1 i, j2 4i, j1 i, j i1, j1 h2Fi, j1
定解条件的离散化
外法线与网格线不重合情况，边界结点上的外向法向方向
与水平夹角为ā，其法向导数显然是在x和y方向的导数在
法向的投影组合，
L
n
0
x
cos
y
sin
0
3
h
n
0
0
0 3 cos 0 2 sin
2
h
h
y
D
0
f1
(r0
)
3
0
h
cos
0
2
h
sin
f2 (r0 )
x
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1
0
x
0
h1
1 2!
2
x2
0
h12
1 3!
2
x2
0
h13
L
1
0
x
0
h
1 2!
2
x2
0
h2
1
3!
2
x2
0
h3
L
以h和h1分别与以上两式相乘且相加，削去一阶偏导项，然 后截断与h的二次项，便得到关于结点0的二阶偏导数的差 分格式
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定解条件的离散化
介绍
有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年 代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方 法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的 有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点 在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种 数值方法。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型， 有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格 离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来 近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问 题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组 解出各离散点处的待求函数值——离散解。
差分格式
(1
0
)
(3
0
)
x
0
(
h1
h3
)
1 2!
2
x2
0
(
h12
h32
)
L
二阶偏导数的差分格式
令方程右边的一阶偏导数的系数为0，得到系数间的表达
式
h3
h1
代入上式得到精度为O(h3)的二阶偏导数的差分格式
2
x2
0
2 (1
0 ) h12
(3 h32
0 )
第5章 有限差分法
工程电磁场数值方法编程实验－有限差分法 电子科技大学 赖生建
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主要内容
一． 差分和差商 二． 有限差分格式 三． 不同媒质分界面上的差分格式及定解问题
的差分格式 四． 有限差分法的求解 五． 场强与电、磁积分量的计算 六． 典型算例分析
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偏微分方程以及定解条件进行差分化处理，得到方程的 差分格式。 计算离散解，建立的差分格式（与原定解问题对立的离 散数学模型—代数方程组），选用合适的代数方程组解 法，编写相应的计算程序，算出待求的结点上场值。
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有限差分法的求解
电磁场问题 离散化场域（网格剖分）
离散化方程（差分原理）
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1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。 这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于 零时，差分变成微分
f (x) f (x h) f (x)
lim f '(x) df
f (x)
dx x 0 x
f '(x) f (x) f (x h) f (x)
h 2
h4
33
N
a4
0
0
4 4
M
1 1
j j-1
b
i-1 i i+1
两式中 a1 a4 和 b2 b3 是假设“虚”电位，可
以利用分界面上场量遵循的边界条件，削去它们
ai bi i
(i 0)
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不同媒质分界面上的差分格式
其次，假设在分界面上没有自由电荷
a
a
j-1
(i+1,j-1)
i+1 i increase
有限差分法格式特点
LL
i1, j1 i1, j1 i, j i, j2 4i, j1 h2Fi, j1
i1, j i1, j i, j1 i, j1 4i, j h2Fi, j
j increase
i1, j1 i1, j1 i, j2 i, j 4i, j1 h2Fi, j1
2
h3
(1
0)
h1h3 (h1
h1 (3
h3)
0 )
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差分格式
当 h1 h3 h 时，上式可以简化为
2
x2
0
1
20
h2
3
Possion方程五点差分格式
i1, j i1, j i, j1 i, j1 4i, j h2Fi, j
i1, j i1, j i, j1 i, j1 4i, j 0
h)
2hf
' (x0 )
2 h3 3!
f
''' (x0 ) L
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差分与差商
前向、后向差分截断于h2 f '' (x0 ) / 2! ，具有h的一阶 精度，而中心差分法截断于2h3 f ''' (x0 ) / 3!，具有h的 二阶精度，中心差分的精度比较高。
d2 f dx2
零的条件
h12
h32
0
h32 h12
求出二阶精度精度为一阶偏导数差分格式
x
0
(1
0 ) h1
(3 h3
0 )
h32 (1
0 )
h1h3 (h1
h12 (3
h3)
0 )
y
0
h42 (2
0 ) h22 (4 0 )
h2h4 (h2 cehm4@) uestc.edu.cn
各离散结点上的方程组形式
j increase
（结点顺序按坐标先从y轴增加
、再x轴增加（从下到上、从左
(i-1,j+1) (i,j+1) (i+1,j+1) j+1
到右，即先列后行）排列
(i, j)
j
(i-1,j) (i,j)
(i+1,j)
(i-1,j-1)
i-1
(i,j-1)
i
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