人教版数学直线与方程知识点专题讲义

必修二直线与方程专题讲义
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
① 关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.
② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.
③ 倾斜角α的范围000180α≤<.
④ 090,tan 0k αα︒≤<︒=≥； 90180,tan 0k αα︒<<︒=<
（2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.
②经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式是211221
()y y k x x x x -=
≠-. ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.
2、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 )(11x x k y y -=- ),(11y x 为直线上一定点，k
为斜率 不包括垂直于x 轴的直线
斜截式 b kx y += k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的
直线
两点式 121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中
),(),,(2211y x y x 是直线上两
定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线
截距式 1=+b y a x a 是直线在x 轴上的非零截
距，b 是直线在y 轴上的非零
截距
不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式
=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A A ，B ，C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线
注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）
（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；
（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =；
（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示）
3、两条直线平行与垂直的判定
（1） 两条直线平行
斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有
121212//,l l k k b b ⇔=≠
注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行.
一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则
1212211221//,l l A B A B AC A C ⇔=≠
注：1212211221=,l l A B A B AC A C ⇔=与重合
1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A
（2）两条直线垂直
斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.
一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则
0212121=+⇔⊥B B A A l l
4、线段的中点坐标公式
若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 5、 直线系方程
（1）过定点的直线系
①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-
②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中
（2）平行垂直直线系
①平行于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Ax By C ++=
②垂直于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Bx Ay C -+=
6、两条直线的交点
设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++0
0222111C y B x A C y B x A 的解，
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.
7、几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P -+-=
特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=
（2）点到直线的距离
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200B A C By Ax d +++=
（3）两条平行线间的距离 两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212B A C C d +-=
注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； ②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能
套用公式计算.
8、有关对称问题
（1）中心对称
①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧-=-=1
122y b y x a x
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程.
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，
则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-∙--=++++1)(0)2()2(1
2122121B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x ？ 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线
0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f
②曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f
9、直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：
（1）在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值，
① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B , .)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A
② 若点B A 、位于直线的异侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点.
可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.
（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值，
方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”
① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点.
② 若点B A 、位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B , .)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A (3) 2
2PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”.
10、直线过定点问题
（1）含有一个未知参数，
12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y （1）
令202-=⇒=+x x ，将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(-
（2）含有两个未知参数 0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m
令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒73
71y x ，从而该直线必过定点)73,71(-.。