2020年高考数学圆锥曲线小题解题技巧
圆锥曲线小题秒杀技巧
圆锥曲线小题秒杀技巧
1. 熟记基本公式:圆锥曲线的标准方程和一些常用的性质、参数等,熟练掌握焦点、顶点、准线等重要点的位置和特点。
2. 掌握图像特点:熟悉各种圆锥曲线的图像特点,如椭圆的中心、直径等特征,在解题时可以通过观察图像进行判断和推断。
3. 运用对称性:利用圆锥曲线的对称性质,有时可以通过简单的对称判定来确定图像的性质或参数。
4. 灵活运用参数方程:对于参数方程而言,可以通过修改参数值来调整图像的大小、形状等,在解题时可以根据需要进行参数变换。
5. 注意特殊情况:注意圆锥曲线的特殊情况,如离心率等于1
时的抛物线,离心率小于1时的椭圆,离心率大于1时的双曲线等。
6. 利用直线与曲线的交点性质:通过计算直线与曲线的交点,可以得到一些额外的信息,例如直线方程和曲线方程代入求交点来确定未知参数等。
7. 题目分类解题:根据题目类型进行分类处理,例如焦点、准线、离心率、离心点等性质的问题,可以根据不同性质的定义和关系进行解题。
8. 参照解法思路:多看一些相关的解题方法和步骤,可以借鉴
他人的解题思路,丰富自己的解题经验,提高解题效率。
以上是一些解题技巧供参考,通过理解和掌握这些技巧,可以帮助提高在圆锥曲线小题中的解题速度和准确性。
但重要的是,真正的提高需要不断练习,多做题目来加深对知识点和技巧的理解和掌握。
高中数学圆锥曲线解题的十个大招(适用于2020高考)
1高中数学圆锥曲线解题的十个大招招式一:弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得ABE ∆是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。
解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+,0k ≠,11(,)A x y ,22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理,得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理,得:212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为:221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-,则211(,0)22E k - ABE ∆为正三角形,∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 32。
221212()()AB x x y y =-+-222141k k k -=+212k d k+=222314112k k k k -++=39k =053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】2这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程,往往是利用点差或者韦达定理........产生弦AB 的中点坐标M ,结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L 的方程,然后解决相关问题,比如:求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围,求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题,比如:弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
圆锥曲线解题技巧归纳(9篇)
圆锥曲线解题技巧归纳(9篇)化为一元二次方程,利用判别式求最值篇一如果能把圆锥曲线的最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程,利用,解得要求未知量的范围,然后确定其最值。
例3:直线,椭圆C:。
求以椭圆C的焦点F1、F2为焦点,且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的。
分析:因为直线l与所求椭圆有公共点,可以由方程组得到一个一元二次方程,再利用判别式确定所求椭圆长轴的`最小值。
解:椭圆C的焦点。
说明:直线l与椭圆有公共点,可得方程组,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,由一元二次方程有实根的条件得,构造参变量的不等式,确定的最小值,这种解法思路清晰、自然。
圆锥曲线的八大解题方法:篇二1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法(点参数、K参数、角参数)7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法圆锥曲线的解题方法:篇三一、求圆锥曲线方程(1)轨迹法:设点建立方程,化简证明求得。
例题:动点P(x,y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线x=—5的距离少2。
求动点P的轨迹方程。
解析:依题意可知,{C},由题设知{C},{C}{C}。
(2)定义法:根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。
上述例题同样可以由定义法求出曲线方程:作直线x=—3,则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等,所以点P的轨迹是以A为焦点,以x=—3为准线的抛物线。
(3)待定系数法:通过题设条件构造关系式,待定参数即可。
例1:已知点(—2,3)与抛物线{C}的焦点的距离是5,则P=_____。
解析:抛物线{C}的焦点为{C},由两点间距离公式解得P=4。
例2:设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同,离心率为{C},则椭圆的方程为_____。
解析:抛物线{C}的焦点坐标为(2,0),所以椭圆焦半径为2,故离心率{C}得m=4,而{C},所以椭圆方程为{C}。
一、化为二次函数,求二次函数的最值依据条件求出用一个参数表示的二次函数解析式,而自变量都有一定的变化范围,然后用配方法求出限制条件下函数的最值,就可得到问题的解。
高考数学圆锥曲线解题技巧
高考数学圆锥曲线解题技巧高考数学两类压轴大题是导数和圆锥曲线,难度大、综合性强,取得满分不容易,但要得到尽可能多的分数还是有方法可行的。
下面店铺为高考考生整理数学圆锥曲线解题技巧,希望对大家有所帮助!高考数学圆锥曲线解题技巧1.解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法.(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.2.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:(1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用基本不等式求出参数的取值范围;(5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.高考数学圆锥曲线基础知识点圆锥曲线定义圆锥曲线包括圆,椭圆,双曲线,抛物线。
其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当e>1时为双曲线,当e=1时为抛物线,当e<1时为椭圆。
椭圆,双曲线,抛物线这些圆锥曲线有统一的定义:平面上,到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当0<e<1时为椭圆:当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。
离心率这里的参数e就是圆锥曲线的离心率,它不仅可以描述圆锥曲线的类型,也可以描述圆锥曲线的具体形状,简言之,离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。
一个圆锥曲线,只要确定了离心率,形状就确定了。
特别的,因为抛物线的离心率都等于1,所以所有的抛物线都是相似图形。
准线在圆锥曲线的统一定义中:到定点与定直线的距离的比为常数e(e>0)的点的轨迹,叫圆锥曲线。
而这条定直线就叫做准线。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义:第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。
若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时2222bx a y +=1(0a b >>)。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。
若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,22y x +的最小值是___(答:)(2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:2222bx a y -=1(0,0a b >>)。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么(ABC ≠0,且A ,B异号)。
如设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=)(3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时22(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。
高考数学二级结论快速解题:专题14 圆锥曲线的切线问题(解析版)
专题14圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法,代数法:比如求圆的切线,常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题,也可以联立直线与圆的方程根据0 来求解;比如涉及到椭圆的切线问题,也常常联立直线与椭圆的方程根据0 来求解;对于抛物线的切线问题,可以联立,有时也可以通过求导来求解.而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式:1.过圆C:222()()x a y b R上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .2.过椭圆22221x y a b 上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p 和直线l :00()y y p x x .(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1.(2021·安徽·六安一中高二期末(文))已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 222210x y a b a b ,则椭圆在其上一点 00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b ,试运用该性质解决以下问题;椭圆221:12x C y ,点B 为1C 在第一象限中的任意一点,过B 作1C 的切线l ,l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点,则OCD 面积的最小值为()A .1BCD .2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y ,由题意得,过点B 的切线l 的方程为:1112x xy y ,令0y ,可得12(,0)C x ,令0x ,可得11(0,)D y ,所以OCD 面积111112112S x y x y,又点B 在椭圆上,所以221112x y ,所以121111121111122x y S x y x y x x y y 当且仅当11112x yy x,即111,2x y 时等号成立,所以OCD故选:C【反思】过椭圆 222210x y a b a b上一点 00,A x y 作切线,切线方程为:00221x x y y a b ,该结论可以在小题中直接使用,但是在解答题中,需先证后用,所以在解答题中不建议直接使用该公式.2.(2020·江西吉安·高二期末(文))已知过圆锥曲线221x y m n上一点 00,P x y 的切线方程为001x x y y m n .过椭圆221124x y 上的点 3,1A 作椭圆的切线l ,则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()A .30x yB .-20x yC .2330x yD .3100x y 【答案】B 【详解】过椭圆221124x y 上的点 3, 1A 的切线l 的方程为 31124y x ,即40x y ,切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1,过A 点且与直线l 垂直的直线方程为 13y x ,即20x y .故选:B【反思】根据题中信息,直接代入公式,但是在代入切线方程为001x x y ym n注意不要带错,通过对比本题信息,12m ,4n ,03x ,01y ,将这些数字代入公式,可求出切线l ,再利用直线垂直的性质求解.3.(2022·江苏南通·一模)过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线交坐标轴于点A 、B ,则PA PB_________.【答案】2 【详解】圆C 的圆心为 0,0C ,10110CP k,因为22112 ,则点P 在圆C 上,所以,PC AB ,所以,直线AB 的斜率为1AB k ,故直线AB 的方程为 11y x ,即20x y ,直线20x y 交x 轴于点 2,0A ,交y 轴于点 0,2B ,所以, 1,1PA , 1,1PB ,因此,112PA PB.故答案为:2 .另解:过圆C :222()()x a y b R 上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .可知01x ,01y ;0a b ,22R ,代入计算得到过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线为:(10)(0)(10)(0)2x y ,整理得:20x y ,直线20x y 交x 轴于点 2,0A ,交y 轴于点 0,2B ,所以, 1,1PA , 1,1PB ,因此,112PA PB.故答案为:2 .【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法,特别提醒同学们,二级结论的公式代入数字时,最忌讳代入错误,所以需要特别仔细。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习:圆锥曲线常用解法、常规题型与性质
圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质(有相应例题详解) 总论:常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法(点参数、K 参数、角参数)7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型(1)中点弦问题(2)焦点三角形问题(3)直线与圆锥曲线位置关系问题(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 (5)求曲线的方程问题1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2.曲线的形状未知-----求轨迹方程(6) 存在两点关于直线对称问题 (7)两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法(1)椭圆有两种定义。
第一定义中,r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
(2)双曲线有两种定义。
第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02020=+k b y a x 。
2020年高考山东版高考理科数学 10.4 圆锥曲线的综合问题
(1)求C的方程; (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的 中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
解析
(1)由题意有
a2 a
b2
= 2 2
, a42 + b22 =1,解得a2=8,b2=4.
所以C的方程为x 2 +y 2 =1.
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(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代
入x 2 +y 2 =1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
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故xM=x1 x2
2
= 2kb
2k 2 1
,yM=k·xM+b=2 k 2b1
.
于是直线OM的斜率kOM=xy MM =-2 1k ,即kOM·k=-12 .
消去y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
得xM= 12 · 4k82k2
3
= 4k 2
4k 2
3
,yM=k(xM-1)=-4 k32k
3
,
同理可得xN= 4
4 3k
2
,yN=- 1 (xN-1)= 3k
k
4 3k
2
,
若M,N关于x轴对称后得到M',N',
则得到的直线M'N'与MN关于x轴对称,
是k>0,k≠3.
由(1)得OM的方程为y=- 9 x.
k
设点P的横坐标为xP.
由
y
9 k
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容,在高考中常常出现,并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有:直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型,题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下:1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线,确定直线方程和圆锥曲线方程;2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中,解方程得出交点坐标;3. 特别要注意,当圆锥曲线为椭圆或双曲线时,有两个交点,需要分别求解;4. 当圆锥曲线为抛物线时,还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力,解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下:1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示,将已知的参数方程代入题目求解;2. 注意参数方程的参数范围,有时需要根据范围重新调整参数;3. 对于给出的参数方程,需要将参数代换替换变量,进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质,以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下:1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质,例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等;2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程;3. 对于应用问题,需要在掌握了基本性质的前提下,将问题转化为数学模型,进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧,希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间,建议大家多做练习题,加深对圆锥曲线知识的理解,提高解题能力。
多思考,灵活运用各种解题技巧,相信大家一定能在高考中取得好成绩!。
圆锥曲线的解题技巧和方法2020完美打印版
圆锥曲线的解题技巧三、常规七大题型:(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法)入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。
如:(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02020=+k b y a x 。
(2))0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 过A (2,1) 的中点P 的轨迹方程。
(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P典型例题 设P(x,y)(1)求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ; (2 (3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。
典型例题 (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A 、B ,且OA ⊥OB ,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。
(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。
高考数学圆锥曲线及解题技巧汇总
高考数学圆锥曲线及解题技巧汇总高考数学圆锥曲线及解题技巧汇总在高中数学圆锥曲线知识点学习中,很多同学都遇到难题,说圆锥曲线难,也是高考必考之一在选择、填空、解答这几种题型中,都有圆锥曲线的身影, 接下来小编总结了高考数学圆锥曲线及解题技巧,希望对你有用。
高考数学圆锥曲线及解题技巧1:牢记核心知识点核心的知识点是基础,好多同学在做圆锥曲线题时,特别是小题,比如椭圆,双曲线离心率公式和范围记不清,焦点分别在x轴,y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清,在做题时自然做不对。
高考数学圆锥曲线及解题技巧2:计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些,计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程,然后得到判别式,两根之和,两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧,加快运算速度。
高考数学圆锥曲线及解题技巧3:思维套路拿到圆锥曲线的题,很多同学说无从下手,从表面感觉很难。
老师建议:山重水复疑无路,没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题,都有共同的三部曲:一设二联立三韦达定理。
一设:设直线与圆锥曲线的两个交点,坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线方程为y=kx+b。
二联立:通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理:得到二次方程后立马得出判别式,两根之和,两根之积。
走完三部曲之后,在看题目给出了什么条件,要求什么。
例如涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化。
总结起来:找值列等量关系,找范围列不等关系,通常结合判别式,基本不等式求解。
高考数学圆锥曲线及解题技巧4:直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式,有△>0,直线与圆锥曲线相交;△=0,直线与圆锥曲线相切;△<0,直线与圆锥曲线相离.若且a=0,b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.注意:设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况,可单独提前讨论高考数学圆锥曲线及解题技巧5:圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等,平行,垂直去寻找坐标间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合应用,体现数形结合的思想,达到简化计算的目的。
高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧
高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧一、常规七大题型: (1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。
如:(1))0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有0220=+k b y a x 。
(2))0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β。
(1)求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ;(2)求|||PF PF 1323+的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程,直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A 、B ,且OA ⊥OB ,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支,涉及广泛且难度较大。
在高考中,经常出现各种关于圆锥曲线的问题,如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。
本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧,以供大家参考。
常见题型1. 判定方程类型判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。
同学们需要掌握二次型的知识,使用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。
其中,行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型:$AC-B^2>0$ 时,方程为椭圆方程;2. 求曲线方程通常给出几何条件,让同学们求出曲线方程。
此类问题需要根据情况选择不同的方法,在此介绍两种主要的解法:(1)通过几何条件确定曲线类型,再代入方程求解。
例如,已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标,可以用顶点公式和对称性解出对称轴和开口方向,进而确定方程。
(2)确定曲线焦点和准线,利用焦准式求解方程。
例如,已知一个双曲线的焦距和离心率,可以通过求出曲线的焦点和准线,利用焦准式求解方程。
3. 定位点通常给出一个几何条件,要求定位某个点的坐标。
此类问题有多种方法,例如利用坐标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置,或者利用直线方程、曲线方程的关系求解点的坐标等。
4. 证明定理此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。
需要掌握各种定理的证明方法,例如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。
5. 计算面积此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。
需要灵活运用面积公式、积分等方法,注意确定积分区间以及被积函数的形式。
解题技巧1. 建立坐标系建立坐标系是解决圆锥曲线问题的前提,可以帮助理清几何图形的关系和计算各种量的大小。
要注意选择坐标系的方向和起点,以便于计算和简化计算公式。
2. 利用几何条件圆锥曲线问题往往给出具体的几何条件,同学们需要认真理解并灵活运用。
常见的几何条件有点的坐标、直线的方程、曲线类型、焦准距等等。
2020新课标高考数学讲义:圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题含解析
(2)设P、M、N为抛物线上不同的三点、且PM⊥PN、若P点的横坐标为8、判断直线MN是否过定点?若是、求出定点的坐标;若不是、请说明理由.
解:(1)由题意知、直线AB的方程为y=x+ .
由 、得y2-3py+ =0.
设A(x3、y3)、B(x4、y4)、则y3+y4=3p.
即(x1+2、y1)·(x2+2、y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=0、
所以 +2× +4+ =0、
所以7m2-16mk+4k2=0、
解得m1=2k、m2= k、且均满足3+4k2-m2>0、
当m1=2k时、l的方程为y=kx+2k=k(x+2)、直线恒过点(-2、0)、与已知矛盾;
高考真题
思维方法
(20xx·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)、直线l不过原点O且不平行于坐标轴、l与C有两个交点A、B、线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点 、延长线段OM与C交于点P、四边形OAPB能否为平行四边形?若能、求此时l的斜率;若不能、说明理由.
【关键2:用P点坐标表示|AN|】
所以|AN|·|BM|=|2+ |·|1+ |
=| |
=| |
=4.【关键3:计算|AN|·|BM|并化简得出定值】
当x0=0时、y0=-1、|BM|=2、|AN|=2、
所以|AN|·|BM|=4.【关键4:讨论特殊情况、并计算|AN|·|BM|】
综上、|AN|·|BM|为定值.
(1)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0、b≠0)、A(x1、y1)、B(x2、y2)、M(xM、yM).【关键1:设出直线方程及直线与椭圆交点坐标】
2020年高考数学秒杀技巧:圆锥曲线
2020年新高考数学秒杀技巧:圆锥曲线圆锥曲线历年都是高考的重点,难点,热点,考试分值占比17-27分,2020年新高考改革后,依然会作为热门考点,考试形式有:单项选择题,多项选择题,填空题,解答题,猜测2020年新高考数学数列知识板块会出现一道选择题,一道填空题,一道解答题,分值占比约22分。
圆锥曲线知识点计算量繁琐,很难拿取满分,较多的知识点有多种方法,选择合适的方法既快又准,高考尽量多拿分,如何快速准确地多拿分,需要对知识点了然于胸,并且熟练掌握秒杀技巧,下面我将从近三年高考真题及模拟题为蓝本,用解题技巧秒杀,相信同学们只要认真领会精髓,将技巧运用自如,必能获得满分。
课前知识储备椭圆的标准方程:(1)当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:12222by ax )0(b a ,其中222b ac;(2)当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:12222bx ay )0(b a ,其中222b ac;要点一、椭圆的简单几何性质我们根据椭圆12222by ax )0(b a来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程22221x y ab,把x 换成―x,或把y 换成―y,或把x 、y 同时换成―x、―y,方程都不变,所以椭圆22221x y ab是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆22221x y ab(a >b >0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A 1(―a,0),A 2(a ,0),B 1(0,―b),B 2(0,b )。
③线段A 1A 2,B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A 1A 2|=2a ,|B 1B 2|=2b 。
2020届高考数学(理)解析几何高频考点11圆锥曲线定值问题(含解析)
11 圆锥曲线 定值问题
【考点讲解】
一、 具体目标:了解直线与圆锥曲线的位置关系,圆锥曲线的位置关系,理解与圆锥曲线与关和定值,定
点问题,能解决与圆锥曲线有关的定值、定点问题
.
二、知识概述: 1. 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1) 求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值; (2) 求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求 得; (3) 求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
∴ x1+
x2=
3+8k42k2,
x1x2=
4k2- 12 3+ 4k2
,又由
→→ MA= λAF,
∴ (x1 ,y1+ k)=λ(1-
x1,-
y1),∴
λ=
1
x1 ,同理 - x1
μ= x2 , 1- x2
∴ λ+ μ= x1 + x2 = x1+ x2- 2x1x2 1- x1 1- x2 1-( x1+ x2)+ x1x2
=
3
+8k42k2-
2(
4k2-12) 3+ 4k2
1
-
3+8k42k2+
4k2- 3+ 4
12 k2
=-
8 3.
所以当直线
l 的倾斜角变化时,
λ+ μ的值为定值-
8 3.
( 2)与双曲线有关的定值问题:
已知点 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2
y2 b2
1 (b
0) 的左、右焦点,过
F2 作垂直于 x 轴的直线,在 x 轴上方交
高中数学圆锥曲线解题方法归纳
高中数学圆锥曲线解题方法归纳圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分,包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线通常通过平面截取圆锥的不同部分来形成。
为了更好地理解和解决这类问题,我们需要掌握一些基本的解题方法。
1. 定义法:根据圆锥曲线的定义来解题。
例如,椭圆和双曲线的定义是两个焦点到曲线上任一点的距离之和或差为一个常数。
抛物线的定义是一个点到固定点(焦点)和固定直线(准线)的距离相等。
2. 参数方程法:对于一些复杂的圆锥曲线问题,我们可以使用参数方程来表示曲线上点的坐标。
这样可以将几何问题转化为代数问题,便于计算。
3. 切线法:对于一些与圆锥曲线切线相关的问题,我们可以使用切线性质来解题。
例如,切线到曲线上任一点的距离在切点处达到最小值。
4. 极坐标法:将问题转化为极坐标形式,利用极坐标的性质来解题。
例如,在极坐标下,距离和角度的关系可以简化为数学表达式。
5. 几何法:利用圆锥曲线的几何性质来解题。
例如,椭圆的焦点到椭圆中心的距离等于椭圆上任一点到椭圆中心的距离减去椭圆半径。
6. 代数法:通过代数运算来解题。
例如,解联立方程来找到满足多个条件的点的坐标。
7. 数形结合法:结合图形和数学表达式来解题。
通过观察图形,可以更好地理解问题的本质,从而找到合适的解题方法。
以上是高中数学中圆锥曲线解题的一些基本方法。
需要注意的是,每种方法都有其适用的范围和局限性,需要根据具体问题选择合适的方法。
同时,这些方法也不是孤立的,有时需要综合运用多种方法来解决一个复杂的问题。
通过大量的练习和总结,我们可以提高解决圆锥曲线问题的能力。
【600分考点-700分考法】2020版高考数学(理科):专题(10)圆锥曲线课件(附答案)
考点一 椭圆 4.椭圆中的特殊量
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考点一 椭圆
对于椭圆
由焦半径公式
可得,椭
圆上任一点P到焦点F1的最小距离为a-c,最大距离为a+c,此时点P在长轴 的两端点处;由椭圆的对称性知,点P到焦点F2也有相同的结论.
(2)椭圆的焦点弦
当直线和椭圆相交时,截在椭圆内的线段(包括端点)叫做椭圆的弦.当弦过
焦点时,称其为焦点弦.
设
是椭圆
上两点,若弦AB过左焦点F1,则
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考点一 椭圆
(3)椭圆的焦点三角形
设F1,F2为椭圆 则△PF1F2为焦点三角形. 如图所示,
的左、右焦点,P为椭圆上异于左、右顶点的点,
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考点一 椭圆
⑥焦点三角形的周长是2(a+c).
⑦若焦点三角形的内切圆圆心为I,延长PI交线段F1F2于点Q, (角平分线定理),
求椭圆方程一般采取“先定位,后定量”的方法.所谓定位,就是研究 一下此椭圆是不是标准形式的椭圆,其焦点在x轴上还是在y轴上;所谓定量就 是求出椭圆的a,b,c,从而写出椭圆的方程.
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考点一 椭圆 2.椭圆系方程
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考点一 椭圆
例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-12,0),(12,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和
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考点一 椭圆
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考点一 椭圆
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考点一 椭圆 方法2 椭圆定义的应用
椭圆定义的应用类型及方法
(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆;
(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题.利用定义和余弦定
理可求得|PF1|·|PF2|,再结合
进行转化,进而求得
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圆锥曲线高考小题解析一、 考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系;2. 直线与圆的位置关系判断,以及圆内弦长的求法;3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容,特别是参数之间的计算关系以及独有的性质;4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法(弦长公式和直线参数方程法);5. 通过研究第二定义,焦点弦问题,中点弦问题加深对图形的理解能力;6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题;7. 定值问题;8. 最值问题。
二、 真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点,则||AB =___________解析:2222230(1)4x y y x y ++-=⇒++=,圆心坐标为(0,1)-,半径2r =圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点,||8AB =(1)求l 的方程;(2)求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。
解析:(1)直线过焦点,因此属于焦点弦长问题,可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8sin pAB θ==,则sin 2θ=,tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =-(2)由(1)知AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--,即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得00003112-6x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论:在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切,证明过程如下:在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B 两点,取AB 的中点M ,三点分别向准线作垂线,垂足分别为,,C D N ,因为1()2MN AC BD =+,,AC AF BD BF ==,所以11()22MN AF BF AB =+=,所以AB 为直径的圆与准线相切。
3.【2018北京理10】在极坐标中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切,则a =__________.解析:cos sin (0)a a x y a ρθρθ+=>⇒+= 222cos (1)1x y ρθ=⇒-+=直线与圆相切时1d r ===,解得1a =4.【2018天津理12】已知圆2220x y x +-=的圆心为C,直线1232x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于,A B 两点,则ABC ∆的面积为___________.解析:222220(1)1x y x x y +-=⇒-+=12232x x y y ⎧=-+⎪⎪⇒+=⎨⎪=-⎪⎩ 圆心(1,0)到直线20x y +-=的距离为2d =,所以||AB ==所以11||22ABC S AB d ∆== 5.【2018天津文 12】在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为__.解析:(0,0),(1,1)两点的中垂线方程为10x y +-=,(0,0),(2,0)两点的中垂线方程为1x =,联立101x y x +-=⎧⎨=⎩解得圆心坐标为(1,0),半径1r = 所以圆的方程为22(1)1x y -+=6.【2018江苏选修 C 】在极坐标中,直线l 的方程为sin()26πρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长。
解析:sin()2406x πρθ-=⇒-=224cos (2)4x y ρθ=⇒-+=,设直线与圆相交于,A B 两点圆心(2,0)到直线40x --=的距离212d ==||AB ==2. 椭圆,双曲线,抛物线中基础性的计算问题7.【2018全国1 文4】已知椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为___________.解析:2,2c b ==所以2228a b c =+=,2c e a ===8.【2018全国2 理5 文6】双曲线22221x y a b-=___.解析:2223c e a ==,则令223,1c a ==则22b =,所以渐近线方程为by x a=±=9.【2018全国3 文10】已知双曲线2222:1x y C a b-=,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为_________.解析:ce a==0bx ay -=所以点(4,0)到渐近线的距离为4b d c==令1c a ==,则41,bb d c=====因为求的是比值,因此没必要求出,b c 具体的数字,因为无论,b c 是多少,其比值都是相同的。
10.【2018北京 文10】已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴,若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________.解析::1l x =,代入到24y ax =得y =4=,1a =(a 只能为正数)11.【2018北京文 12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2,则a =_______.解析:22222222452,4c a b a b e a a a ++=====,解得4a = 12.【2018天津理 7】已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点,设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12,d d ,且126d d +=,则双曲线的方程为_______________.解析:如上图,12d d +为右焦点F 到渐近线by x a=的距离的2倍,故126d d =+=,又因为2ce a==,解得223,9a b == 所以双曲线的方程为22139x y -=13.【2018江苏8】在平面直角坐标系xoy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c,则其离心率的值是_________. 解析:双曲线的渐近线为0bx ay -=,d b ===所以2e === 14.【2018浙江2】双曲线2213x y -=的焦点坐标是_________. 解析:222223,1,4a b c a b ===+=,且焦点在x 轴上,所以焦点坐标为(2,0),(2,0)-15.【2018上海1】设P 为椭圆22153x y +=上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为__________.解析:25,a a ==,P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =16.【2018上海6】双曲线2214x y -=的渐近线方程为__________. 解析:224,1a b ==,所以渐近线方程为12b y x x a =±=±17.【2018全国1 理8】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点,则FM FN ⋅u u u u r u u u r=__________.解析:(1,0)F ,过点(2,0)-且斜率为23的直线方程为2433y x =+,设1122(,),N(,)M x y x y ,联立22121245405,42433y x x x x x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⇒+==⎨=+⎪⎩所以1212()18FM FN x x x x ⋅=-+++=u u u u r u u u r18.【2018江苏 12】在平面直角坐标系xoy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,(5,0)B 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D 。
若0AB CD ⋅=u u u r u u u r,则点A 的横坐标为__________.解析:因为AD BD ⊥,所以||BD 为点B 到直线2y x =的距离,所以BD ==ABD ∆为等腰直角三角形,所以AB ==设(,2)A m m =,且0m > 解得3m =3. 圆锥曲线的离心率问题19.【2018全国2 理12】已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过点A 12PF F ∆为等腰三角形,12120F F P ︒∠=,则C 的离心率为________.解析:如上图,212222,60,PF F F c PF Q F Q c PQ ︒==∠=⇒==所以(2)P c,因为(,0)A a -所以14AP K e ==⇒= 20.【2018全国2 文11】已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,且2160PF F ︒∠=,则C 的离心率是________.解析:因为12||2F F c =,12PF PF ⊥且2160PF F ︒∠=,则21||,||PF c PF =所以12||||(12PF PF c a +==,解得1ce a== 21.【2018全国3 理11】设12,F F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点,O 是坐标原点,过1F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P ,若1|||PF OP =,则双曲线的离心率为_______.解析:由题意知:2:()a PF y x c b=--联立()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即2(,)a ab P c c2222221|||()()6[()()]a ab a ab PF OP c c c c c=⇒++=+解得e =22.【2018北京理14】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>,双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为___________;双曲线的N 的离心率为____.解析:如上图,点P 在椭圆上,也在以12F F 为直径的圆上,所以12211290,30,F PF PF F PF c PF ︒︒∠=∠===,所以12(12PF PF c a +==,解得1e =在上图中,260QOF ︒∠=,所以2be a=⇒= 4. 最值和范围问题23.【2018 全国3 理6文8】直线20x y ++=分别于x 轴,y 轴交于,A B 两点,点P在圆22(2)2x y -+=上,则ABP ∆面积的取值范围是___________.解析:(2,0),(0,2),(2)A B P θθ--,(2,2),(4)AB AP θθ=-=+u u u r u u u r此处用到了三角函数方法和向量法求三角形面积的公式24.【2018北京理7】在平面直角坐标系中,记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离,当,m θ变化时,d 的最大值为__________.解析:题目中如果是按照常规的点到直线距离来算,则要同时面对两个变量,点P 在单位圆上,则d 最大时等于圆心(0,0)到直线的距离加半径,这样就可以不用考虑θ的变化对最值的影响。