2020年高考数学圆锥曲线小题解题技巧

圆锥曲线高考小题解析

一、 考点分析

1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；

2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；

3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；

4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；

5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；

6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；

7. 定值问题；

8. 最值问题。 二、 真题解析

1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题

1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则

||AB =___________

解析：2222230(1)4x y y x y ++-=⇒++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r =

圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为

(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB =

（1）求l 的方程；

（2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。

解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8

sin p

AB θ

=

=

，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =-

（2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为

2(3)y x -=--，即5y x =-+

设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则

0022

0005

(1)(1)162

y x y x x =-+⎧⎪

⎨-++=

+⎪⎩ 解得0000

311

2-6x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或

通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：

在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，取AB 的中点M ，三点分别

向准线作垂线，垂足分别为,,C D N ，因为1

()2

MN AC BD =+，,AC AF BD BF ==，

所以11

()22

MN AF BF AB =+=，所以AB 为直径的圆与准线相切。

3.【2018北京理10】在极坐标中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________.

解析：cos sin (0)a a x y a ρθρθ+=>⇒+= 222cos (1)1x y ρθ=⇒-+=

直线与圆相切时1d r =

==

，解得1a =4.【2018天津理12】已知圆22

20x y x +-=的圆心为C

，直线1232

x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为

参数）与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为___________.

解析：222220(1)1x y x x y +-=⇒-+=

12232

x x y y ⎧=-+

⎪⎪⇒+=⎨⎪=-⎪⎩ 圆心(1,0)到直线20x y +-=

的距离为2

d =

，所以||AB ==

所以11||22

ABC S AB d ∆=

= 5.【2018天津文 12】在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为

__.

解析：(0,0),(1,1)两点的中垂线方程为10x y +-=，(0,0),(2,0)两点的中垂线方程为

1x =，联立10

1x y x +-=⎧⎨

=⎩

解得圆心坐标为(1,0)，半径1r = 所以圆的方程为22(1)1x y -+=

6.【2018江苏选修 C 】在极坐标中，直线l 的方程为sin()26

π

ρθ-=，曲线C 的方程

为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长。

解析：sin(

)2406

x π

ρθ-=⇒-=

224cos (2)4x y ρθ=⇒-+=，设直线与圆相交于,A B 两点

圆心(2,0)到直线40x --=的距离2

12

d ==

||AB ==

2. 椭圆，双曲线，抛物线中基础性的计算问题

7.【2018全国1 文4】已知椭圆22

2:14

x y C a +

=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为___________.

解析：2,2c b ==所以2228a b c =+=，

2

c e a =

==

8.【2018全国2 理5 文6】双曲线22

221x y a b

-=___.

解析：22

23c e a ==，则令223,1c a ==则22b =，所以渐近线方程为

b

y x a

=±=

9.【2018全国3 文10】已知双曲线22

22:1x y C a b

-=，则点(4,0)到C 的

渐近线的距离为_________.

解析：c

e a

=

=0bx ay -=