工程力学第六章(重心)
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V
yc V
ydV
V
zc V
zdV
V
5
体积重心
xc
V x
i 1
n
i i
V
yc
V y
i 1 i
n
i
V
zc
V z
i 1
n
i i
V
薄板
xc
Vi Si
z
Mi
zc
S x
i 1
n
i i
S
yc
S y
i 1 i
n
i
S z
i 1
n
C
y
i i
O
S
S
z zC Pi i x P yi
B
F1
P
Pa F2l
b
a
A
C P
F2
B
a
F1 l P
F2 b l P
15
i 1
n
平行力系合力位置由合力矩定理 确定
zC z i O xi yi
Pi
Mi Vi
C
y
x
yC
P
xC
2
由合力矩定理得：
z
M y ( P ) M y ( Pi )
i 1
n
Pxc Pi xi
i 1
n
xc
Px
i 1
n
i i
M x ( P ) M x ( Pi )
i
连续体
xc
x
S yc
yC
xdS
S
ydS
S
V
zc
zdS
S
xC
S
6
薄板
xc
S x
i 1
n
i i
S
yc
S y
i 1 i
n
i
S
zc
S z
i 1
n
i i
z
O
S
细长线段
xc
Mi
C
y
li xi
i 1
n
l
yc
li yi
i 1
n
l
zc
li zi
yC
C
y
1 yC h 3 h 3 xC a 5
z
r
C
3 zC r 8
zC
z
y
a
C
x
h
C
yC
b
3 yC b 8
1 zC h 4
zC
xC
x
y
x
8
2、组合法
将复杂形状物体分割成几个形状简单的物体 ， 用有限形式的重心坐标公式
9
10
例1 图示平面图形，求其形心。 解：分割成两部分：
S1 S 2 3010 300
R2
12
4、实验法
工程中的一些形状复杂和质量分布不均匀的物体，重 心是难以计算的，这时可用实验法确定重心。
1）悬挂法：
求一个物体的重心，由于悬挂点 给物体的力和物体受的重力满足 二力平衡条件，重心必在过悬挂 点的铅直线上。 可以画一经过重心的直线，更换 悬挂点。
F
C
F
C
可以画另一经过重心的直线。 用这种方法，可以求出直线的交 点既为重心，如图所示。
n
i i
P
4
重心公式：
xc
Px
i 1
n
i i
P
yc
Py
i 1 i
n
i
P
zc
Pz
i 1
n
i i
P
当物体的单位体积重量为常数γ
P i Vi
体积重心
xc
V x
i 1
n
i i
V
yc
V y
i 1 i
n
i
V
zc
V z
i 1
n
i i
V
连续体
xc V
xdV
i 1
n
z x
O Mi i z i V yi Oy Pi z i Cx x i i V
i
x
i i
Mi xCPi
zC z C x yiC y C Βιβλιοθήκη Baidu P P
C
y y
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重心公式
Pz
i 1
n
P
xc
Px
i 1
n
i i
P
yc
Py
i 1 i
n
i
P
zc
Pz
i 1
G
G
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2） 称重法
实例说明，例如一个不均匀的木 料 可以先将B点放在 地面，称A点，得 到F1 将A点放在地面,称B 点，得到F2
A
a
C
b
F1
P
B
a
A
b
C P
F2
14
B
设两次抬起得角度相同。 根据平衡关系可列出：
A
M B (F ) 0
a
C
b
Pb F1l
M A (F ) 0
1 4R 1 4R R12 1 R2 2 ( 2 ) 3 2 3 2 1 1 R12 R2 2 (R3 2 ) 2 2 2 (1003 503 ) 1 3 2 1 33 cm 2 2 ( 2 100 2 100 25 )
R1 R3
形心位置查表
i 1
n
P
x
zC z i O xi yi xC P yC
Pi
Mi Vi
C
y
Pyc Pi yi
i 1
n
yc
Py
i 1 i
n
i
P
3
z
重心在物体中一个固定位置。可 以将物体连同坐标系绕旋转900
M z ( P ) M z ( Pi )
i 1
n
Pzc Pi zi
1
§ 6-3 重心
一、重心坐标公式
一个物体可以看成是许多微小部分构成。 重力作用于物体的每个微小部分。 如图，每个微小物体的重力视为空间平行力系。整个物体 的重力是这个空间力系的合力。 物体无论如何放置，其合力作用线都通过物体上一个确 z 定点。这一点称为物体的重心。 平行力系合力为：
P Pi
i 1
n
l
z zC Pi i x P yi
i
连续体
x
yC
xC
xc
xdl
l
l
yc
ydl
l
l
zc
zdl
l
l
7
二、确定重心方法
1、查表法
对于均质物体，或有对称轴，对称中心的物体的重心在相应对称轴 ，对称中心上。如圆锥，圆柱重心在其轴线上，球体重心在其几何中心 上。简单形体的重心可以由工程手册查出。也可以进行计算.
40
y
10
10 30
x
10
3、负面积法
若在物体或薄板内切去一部分，此类物体重心，仍可应用分 割法相同的公式来求得，只是切去部分的面积或体积取负值。
11
例2：图示结构， R1 100cm, R2 50cm, R3 25cm 求重心。
解：
xc 0
y2 S 2 y1S1 y3 S3 yc S 2 S1 S 2
40 10 30
x2 15, y2 5 x1 5, y1 25
x2 S 2 x1S1 xc S 2 S1
15 300 5 300 10 300 300
y2 S 2 y1S1 yc S 2 S1 5 300 25 300 15 300 300
yc V
ydV
V
zc V
zdV
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体积重心
xc
V x
i 1
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V
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i 1 i
n
i
V
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i 1
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薄板
xc
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i 1 i
n
i
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i 1
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S
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z zC Pi i x P yi
B
F1
P
Pa F2l
b
a
A
C P
F2
B
a
F1 l P
F2 b l P
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i 1
n
平行力系合力位置由合力矩定理 确定
zC z i O xi yi
Pi
Mi Vi
C
y
x
yC
P
xC
2
由合力矩定理得：
z
M y ( P ) M y ( Pi )
i 1
n
Pxc Pi xi
i 1
n
xc
Px
i 1
n
i i
M x ( P ) M x ( Pi )
i
连续体
xc
x
S yc
yC
xdS
S
ydS
S
V
zc
zdS
S
xC
S
6
薄板
xc
S x
i 1
n
i i
S
yc
S y
i 1 i
n
i
S
zc
S z
i 1
n
i i
z
O
S
细长线段
xc
Mi
C
y
li xi
i 1
n
l
yc
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i 1
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yC
C
y
1 yC h 3 h 3 xC a 5
z
r
C
3 zC r 8
zC
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y
a
C
x
h
C
yC
b
3 yC b 8
1 zC h 4
zC
xC
x
y
x
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2、组合法
将复杂形状物体分割成几个形状简单的物体 ， 用有限形式的重心坐标公式
9
10
例1 图示平面图形，求其形心。 解：分割成两部分：
S1 S 2 3010 300
R2
12
4、实验法
工程中的一些形状复杂和质量分布不均匀的物体，重 心是难以计算的，这时可用实验法确定重心。
1）悬挂法：
求一个物体的重心，由于悬挂点 给物体的力和物体受的重力满足 二力平衡条件，重心必在过悬挂 点的铅直线上。 可以画一经过重心的直线，更换 悬挂点。
F
C
F
C
可以画另一经过重心的直线。 用这种方法，可以求出直线的交 点既为重心，如图所示。
n
i i
P
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重心公式：
xc
Px
i 1
n
i i
P
yc
Py
i 1 i
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Pz
i 1
n
i i
P
当物体的单位体积重量为常数γ
P i Vi
体积重心
xc
V x
i 1
n
i i
V
yc
V y
i 1 i
n
i
V
zc
V z
i 1
n
i i
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连续体
xc V
xdV
i 1
n
z x
O Mi i z i V yi Oy Pi z i Cx x i i V
i
x
i i
Mi xCPi
zC z C x yiC y C Βιβλιοθήκη Baidu P P
C
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重心公式
Pz
i 1
n
P
xc
Px
i 1
n
i i
P
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Py
i 1 i
n
i
P
zc
Pz
i 1
G
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2） 称重法
实例说明，例如一个不均匀的木 料 可以先将B点放在 地面，称A点，得 到F1 将A点放在地面,称B 点，得到F2
A
a
C
b
F1
P
B
a
A
b
C P
F2
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B
设两次抬起得角度相同。 根据平衡关系可列出：
A
M B (F ) 0
a
C
b
Pb F1l
M A (F ) 0
1 4R 1 4R R12 1 R2 2 ( 2 ) 3 2 3 2 1 1 R12 R2 2 (R3 2 ) 2 2 2 (1003 503 ) 1 3 2 1 33 cm 2 2 ( 2 100 2 100 25 )
R1 R3
形心位置查表
i 1
n
P
x
zC z i O xi yi xC P yC
Pi
Mi Vi
C
y
Pyc Pi yi
i 1
n
yc
Py
i 1 i
n
i
P
3
z
重心在物体中一个固定位置。可 以将物体连同坐标系绕旋转900
M z ( P ) M z ( Pi )
i 1
n
Pzc Pi zi
1
§ 6-3 重心
一、重心坐标公式
一个物体可以看成是许多微小部分构成。 重力作用于物体的每个微小部分。 如图，每个微小物体的重力视为空间平行力系。整个物体 的重力是这个空间力系的合力。 物体无论如何放置，其合力作用线都通过物体上一个确 z 定点。这一点称为物体的重心。 平行力系合力为：
P Pi
i 1
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z zC Pi i x P yi
i
连续体
x
yC
xC
xc
xdl
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l
yc
ydl
l
l
zc
zdl
l
l
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二、确定重心方法
1、查表法
对于均质物体，或有对称轴，对称中心的物体的重心在相应对称轴 ，对称中心上。如圆锥，圆柱重心在其轴线上，球体重心在其几何中心 上。简单形体的重心可以由工程手册查出。也可以进行计算.
40
y
10
10 30
x
10
3、负面积法
若在物体或薄板内切去一部分，此类物体重心，仍可应用分 割法相同的公式来求得，只是切去部分的面积或体积取负值。
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例2：图示结构， R1 100cm, R2 50cm, R3 25cm 求重心。
解：
xc 0
y2 S 2 y1S1 y3 S3 yc S 2 S1 S 2
40 10 30
x2 15, y2 5 x1 5, y1 25
x2 S 2 x1S1 xc S 2 S1
15 300 5 300 10 300 300
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