双正方形的旋转【图形变换公开课】

图形的变换

一、学情分析

初三学生在初二阶段就已经学过旋转这一节内容，大多数学生对旋转的相关特征应该还是比较熟悉的，同时在旋转中出现的一些相关的核心知识点（如正方形的性质）已经在前阶段的复习中涉及到，大多数学生已经初步具备一定的解决问题的综合能力.鉴于此课例习题既有基础性还有一定的综合性，故对于学生数学基础相对较好的班级可以安排在中考第一轮“基础+综合”复习阶段，而对于学生数学基础一般的班级则可以安排在中考第二轮“综合+基础”专题复习阶段.放在第一轮基础复习，只需解决两个例题即可；放在第二轮专题复习，可分成两个课时进行为好，以满足各个层次学生的不同需求.

二、教学任务和目标

通过本课的学习，学生能够进一步体悟解决双正方形旋转问题的核心知识点是旋转的特征（性质），即旋转角等于对应边的夹角；旋转前后的图形是全等形（对应边相等，对应角相等）.学生能够进一步理解并能熟练运用旋转的特征解决双正方形旋转的实际问题.同时，还要让学生通过双正方形的旋转领悟旋转过程中的变与不变，变就有可能存在函数关系，不变就可能存在相等关系（或定值），这就是旋转问题展现给学生的数学本质的魅力，也是数学所特有的哲学价值.数学学科的本位，数学学习的本质，数学思维的本色，在本节课的复习中可以得到充分的体现.

三、学法点拨

解决旋转问题的基本策略是“化静为动，以静制动”.所谓“化静为动”，即要搞清楚整个旋转过程中哪些元素（如边、角）发生了变化，哪些元素仍然没变，有时还要通过特殊位置图形的特征来判断不变的元素.所谓“以静制动”，即要把旋转过程中的各种图形的位置情况作为静止的图形进行研究，接下来的计算与证明和原先没啥两样，只不过赋予了旋转的背景而已.如果学生能够破译旋转背后的“密码”，那么以旋转为背景的几何问题就迎刃而解了.

四、教学过程设计

（一）预学尝试

如果条件许可，可以提前一天把3个例题的题设（教师预设的几个问题在预学稿上是隐去的）和图形发给学生预学，让学生根据已有的经验回家自主提出问题，在学案稿上写好.一方面把学习的主动权还给学生，激发学生学习的内在活力，方便在课上师生共同交流预学尝试提出的问题；另一方面让教师能够及时了解学情，便于及时调整预设，以取得更好的学习效果.

（二）互动反馈

由于学生预学尝试的原因，学困生对3个例题的题设有了初步的了解，中等生不仅了解题目的题设，而且会提出一些简单的问题（猜想），学优生

则不仅能够提出一些问题（猜想），甚至可以有自己的方法来证明自己的猜想.故在本课堂中的学情是极其丰富的，关键在于教师如何把握与引导，通过生生和师生之间的互动反馈，让各层次的学生通过复习都能够获得不同的进步，品尝成功的快乐.

例题1（中考试题改编）：把正方形ABCD绕着点A按顺时针方向旋转α(0°≤α≤90°)得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H.

（1）试问图中有哪些相等的线段吗请先观察猜想，然后再证明你的猜想；

（2）连结DG、BE，猜想DG与BE的关系，并证明；

（3）连结BG、CF，猜想BG与CF的关系，并证明；

（4）若AD＝3，∠DAG＝30°，则你能求出阴影部分的面积吗

A

E

功能分析：

本题的设计是一个正方形绕着另一个正方形的对角线的端点旋转，是涉及旋转相关知识的一个基础问题，学生曾经或多或少经历过类似的问题，情景比较熟悉，前3题都是比较基础的问题，学生比较容易上手，也有利于学生快速进入旋转情景中.（1）、（2）主要引导学生观察、猜想旋转过程中形成的哪些线段相等，哪些角相等（双正方形自身的边、角相等则是显而易见的，也是非常重要的条件），并能寻求证明的方法与途径（全等，等腰三角形知识）；（3）建立在（1）的基础上主要考查学生旋转过程中形成的线段存在平行关系，并能力求通过等腰三角形的性质或相似的判定来证明；（4）是一个比较综合的问题，建立在（1）的基础上，考查学生转化为解直角三角形及其面积的问题.

学法预设：

笔者在这里设计了4个问题，既有学生熟悉的问题，也有变式逐步提高的问题，对绝大多数学生来说应该都能解决.4个问题涉及旋转、全等、相似、等腰三角形、平行、解直角三角形、正方形等各种基础知识点，通过旋转把这些知识点串了起来.通过“化静为动”的策略找到∠DAG=∠BAE，∠ADC=∠AGH=∠ABC=∠AEF，AD=AG=AB=AE，GF=BC；通过“以静制动”发现等腰△HGB、△CHF，△AGH≌△ABH等等.

第1问，学生很容易猜想GH=BH，CH=HF.如何证明对于证明GH=BH，估计学生会有两种思路.一是连结BG，利用等腰三角形的性质和判定来证明；二是连结AH，利用△AGH≌△ABH来证明.

第2问，学生根据旋转的特征，利用△ADG≌△AEB很容易证明DG=BE，甚至于证明DG⊥BE.此问宜让学生自主解决.

第3问，学生可能也会有两种思路.一是利用第1问的结论可知△CHF 与△GHB都是等腰三角形，再利用等腰三角形顶角相等从而底角相等，从而易证BG∥CF；二是利用△CHF∽△GHB来证明平行，这一点学生可能不一定想到，因为方法一简便易行.

第4问，则是建立在第1问得基础上，先是要引导学生把阴影部分的面积转化为求四边形GABH的面积，再转化为△ABH的面积(或者先求直角梯形DAHC，再求直角三角形AGH的面积即可)，下面的问题就单纯是解直角三角形了.关键的问题是两次转化思想的自觉运用，这对于学困生还是有困难的，对中等及以上学生不是难事.

答案精要：

（1）GH=BH，CH=HF（双正方形自身的边、角相等除外）；

连接BG，由正方形的性质可知：AG＝AB、∠AGH＝∠ABH＝90°，

∴∠AGB＝∠ABG，∴∠AGH－∠AGB＝∠ABH－∠ABG即∠HGB＝∠HBG，∴GH=BH，又∵GF＝BC，∴CH=HF.

（2）DG=BE，DG⊥BE（证明DG⊥BE可在学生数学基础相对较好的班级进行）；

由旋转的特征可知：AD＝AG＝AB＝AE、∠DAG＝∠BAE，∴△ADG≌△ABE，