5,向量综合应用(一)
专题5.4 平面向量的综合应用(重难点突破)(解析版)
专题5.4 平面向量的综合应用一、考情分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.二、经验分享考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。
考点二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。
考点三 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。
三、题型分析重难点题型突破1 平行与垂直例1、.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 【变式训练1-1】、（山东省德州一中2018-2019学年期中）若，且，则实数的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-2【答案】D 【解析】由得，，∴，故．【变式训练1-2】、（河北省示范性高中2019届联考）已知向量a ，b 满足2(1,2)a b m +=，(1,)b m =，且a 在b 25，则实数m =（ ） A 5B ．5±C ．2 D ．2±【答案】D【解析】向量a ，b 满足()21,2a b m +=，()1,b m =，所以0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22m a b ⋅=，()2225cos 152m b a m θ=+=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=， 解得2m =±.重难点题型突破2 平面向量与三角形例2、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.【变式训练2-1】、在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形．( ) A . 等边 B . 等腰 C . 直角 D . 等腰直角 【答案】C .【解析】 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形． 【变式训练2-2】、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 内心B . 外心C . 重心D . 垂心 【答案】C .【解析】 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD(D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【变式训练2-3】、如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O . 若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC= 重难点题型突破3 平面向量与三角函数结合例3．（河北省保定市2018-2019学年期末调研）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】因为过ABC ∆内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ，则0AD =，有0BE CF +=. 如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点， 所以点M 是ABC ∆的重心，故选B 。
函数与向量的综合应用
函数与向量的综合应用在数学中，函数和向量是两个非常重要且广泛应用的概念。
函数是一种将一个或多个自变量映射到一个或多个因变量的规则，而向量则是一种具有大小和方向的量。
本文将探讨函数和向量在不同领域中的实际应用，并介绍它们的综合应用。
一、经济学领域中的函数与向量应用经济学是应用函数和向量的典型领域之一。
函数在经济学中常用于描述供求关系、价格和需求之间的变化规律等。
例如，供给函数可以用来描述不同价格下市场上的提供量，需求函数则可以用来描述不同价格下市场上的需求量。
向量在经济学中的应用也很广泛，例如，向量可以用来表示商品的价格和数量，进而进行经济模型的建立和分析。
二、物理学领域中的函数与向量应用函数和向量在物理学领域中也有着重要的应用。
函数可以用于描述物体的运动规律、力的大小和方向等。
例如，位移函数可以用来描述物体在不同时间下的位置变化，速度函数可以用来描述物体在不同时间下的速度变化。
向量在物理学中的应用也十分广泛，用于描述物体的位移、速度、加速度等。
向量的方向和大小可以表示物体在空间中的位置和运动状态。
三、计算机科学领域中的函数与向量应用函数和向量在计算机科学领域中扮演着重要的角色。
函数的应用包括算法设计、数据处理、图像处理等。
例如，排序算法是计算机科学中常用的一类算法，通过函数的应用可以对数据进行排序。
向量在计算机图形学中有广泛的应用，可以用来表示图形的位置、方向、颜色等。
通过向量的变换和运算可以实现图像的旋转、缩放和平移等操作。
四、统计学领域中的函数与向量应用函数和向量在统计学领域中也发挥着重要的作用。
统计学通过函数的应用进行数据分析、模型建立和预测等。
例如，回归分析中的模型可以通过函数来描述自变量和因变量之间的关系。
向量在统计学中的应用包括多元统计分析、因子分析等。
通过向量的运算和变换可以对多个变量之间的关系进行描述和分析。
综上所述，函数与向量在不同领域中都有广泛的应用。
无论是经济学、物理学、计算机科学还是统计学，函数和向量都是不可或缺的工具。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：平面向量的综合应用
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
A．等腰直角三角形
√B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
在△ABC 中，|O→B－O→C|＝|O→B＋O→C－2O→A|， 即|C→B|＝|(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)|， 即|A→B－A→C|＝|A→B＋A→C|， 所以(A→B－A→C)2＝(A→B＋A→C)2， 即A→B2－2A→B·A→C＋A→C2＝A→B2＋2A→B·A→C＋A→C2， 得 4A→B·A→C＝0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.在△ABC 中，A＝π3，G 为△ABC 的重心，若A→G·A→B＝A→G·A→C＝6，则△ABC 外接圆的半径为
A. 3
43 B. 3
√C.2
D.2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
由A→G·A→B＝A→G·A→C，可得A→G·(A→B－A→C)＝A→G·C→B＝0，则有 AG⊥BC， 又在△ABC 中，A＝π3，G 为△ABC 的重心，则△ABC 为等边三角形. 则A→G·A→B＝23×12(A→B＋A→C)·A→B＝13|A→B|2＋|A→B|2cos π3＝12|A→B|2＝6， 解得|A→B|＝2 3，
方法一 由题意得|a|＝1，|b|＝2， a·b＝sin θ－ 3cos θ＝2sinθ－π3， 所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4×12＋22－8sinθ－π3＝8－8sinθ－π3. 所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16， 故|2a－b|的最大值为 4此时θ＝2kπ－π6，k∈Z.
含有向量的综合应用题
含有向量的综合应用题在数学和物理学中，向量是一种常见且重要的概念。
它不仅仅是一种数值，更是一个有方向和大小的量。
向量的应用广泛，可以用于解决各种实际问题。
本文将通过几个综合应用题，来探讨向量在实际问题中的运用。
问题一：风的影响某船沿着河流平行岸边行驶，船速为v米/秒。
当船行驶到一特定地点时，风使船受到了风压的侧向作用，导致船的速度相对于水流有一个斜角α。
已知风的速度为u米/秒，水流速度为w米/秒，请问船的速度v是多少？解析：为了解决这个问题，我们可以利用向量的方法。
以正北方向为y轴正方向，正东方向为x轴正方向，建立一个坐标系。
设船的速度v的向量表示为V，风速向量u表示为U，水流速度向量w表示为W。
由题目可知，船的速度相对于水流速度的角度为α，即向量V和向量W 之间的夹角为α。
由于船的速度受到了风的影响，船的速度与风速的向量和向量的和为零。
根据向量的性质，可以得到以下方程组：Vx + Ux = 0Vy + Wy = 0其中Vx，Vy分别表示向量V在x轴和y轴上的分量，Ux，Wy分别表示向量U和向量W在x轴和y轴上的分量。
又根据勾股定理可得：|V|^2 = Vx^2 + Vy^2|U|^2 = Ux^2 + Uy^2|W|^2 = Wx^2 + Wy^2利用向量的内积和模的定义，可以得到：Vx = -UxVy = -WyVx^2 + Vy^2 = (Ux + Wx)^2 + (Uy + Wy)^2将上述方程带入，再利用三角函数的关系，即可求得v的数值。
问题二：力的合成一个力的向量可以表示为F1 = 3i + 4j，另一个力的向量表示为F2 = 2i - 6j，若力F1和力F2的夹角为θ，求力的合成F。
解析：要求两个力的合成，可以使用向量的加法。
力F1和力F2的合成向量F可以表示为F = F1 + F2。
根据向量的加法运算，可以得到：F = (3i + 4j) + (2i - 6j)化简得：F = 5i - 2j力的合成F是一个向量，其中i和j分别表示x轴和y轴方向上的分量。
平面向量教案
A．a sin A=b sin B B．a cos A=b cos B C．a sin B=b sin A D．a cos B=b cos A2．△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形3．在△ABC中，较短的两边为,且A=45°，则角C的大小是（）A．15°B．75C．120°D．60°4．在△ABC中，已知，则·等于（）A．－2B．2C．±2D．±45．设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（）A．a≥3B．a＞－1C．－1＜a≤3D．a＞06．在△ABC中,三边长AB=7，BC=5，AC=6，则·等于（）A．19B．－14C．－18D．－197．在△ABC中,A＞B是sin A＞sin B成立的什么条件( ）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要8．若△ABC的3条边的长分别为3，4,6,则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（ )A．1∶1B．1∶2C．1∶4D．3∶49．已知向量，，若与垂直，则实数=（）A．1B．－1C．0D．210．已知向量a=，向量b=,则｜2a－b|的最大值是（）A．4B．－4C．2D．－211．已知a、b是非零向量，则｜a|=|b|是（a+b)与（a－b)垂直的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）A．1公里B．sin10°公里C．cos10°公里D．cos20°公里第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题13．在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=.14．在△ABC中,已知AB=l，∠C=50°，当∠B=时，BC的长取得最大值.15．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a｜=2，|b｜=4，则a与b夹角的余弦值等于。
空间向量的基本概念及其综合应用
空间向量的基本概念及其综合应用随着现代科技的飞速发展，空间向量的应用已经越来越广泛。
本文将介绍空间向量的基本概念以及其在各个领域的综合应用。
一、空间向量的基本概念1. 定义空间向量是指在三维空间中由起点和终点两个点确定的有向线段。
通俗地说，可以将其理解为箭头，箭头的起点和终点均在三维空间内。
2. 表示方法空间向量通常使用坐标表示法进行表述。
在三维直角坐标系中，每个向量可以表示为由三个实数 $(x,y,z)$ 组成的有序数组。
3. 运算法则空间向量的加、减、数量积、向量积等运算法则和二维向量（即平面向量）的运算法则一样。
其中，数量积得到的结果是一个实数，向量积得到的结果是一个向量。
二、空间向量的综合应用1. 三维建模在三维建模软件中，空间向量是非常重要的基本元素。
使用空间向量可以方便地表示各种形状的物体，并进行各种变换和操作，如平移、旋转、缩放等。
2. 物理学在物理学中，向量是描述物理量的重要工具。
例如，重力向量可以表示为指向中心的矢量。
还有一些物理量，如磁场和电场，也可以使用向量来表示。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，向量也是非常基础的概念。
例如，在三维空间中，图形元素（如点、线、面等）的坐标通常使用向量来表示。
4. 空间解析几何在空间解析几何中，向量是非常重要的基本元素。
通过向量的运算，可以求出线段的长度、两直线的夹角等问题。
5. 机器学习在机器学习中，向量是非常重要的数据表示方式。
通过向量表示数据，可以方便地使用各种算法进行分类、回归等任务。
总结：本文简单介绍了空间向量的定义、表示方法和运算法则，并介绍了空间向量的综合应用，包括三维建模、物理学、计算机图形学、空间解析几何和机器学习等领域。
在实际应用中，空间向量是非常重要的基础工具，值得深入学习和掌握。
向量在生活中的应用159661[整理版]
![向量在生活中的应用159661[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/a5aa2e3e657d27284b73f242336c1eb91a373366.png)
向量在生活中的应用159661在生活中向量也有一些具体表现形式，有关的问题也可以充分利用向量求解.应用问题的解决主要是建立数学模型.用向量、三角、解析几何之间的特殊关系，将生活与数学知识之间进行沟通，使动静转换充实到解题过程之中。
一、平面向量在位移与速度上的应用例1 以某市人民广场的中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单位表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向均速前进,6分钟时路过少年宫C,10分钟后到达科技馆B(-3,5).求：此人的位移向量(说明此人位移的距离和方向);此人行走的速度向量(用坐标表示);少年宫C点相对于广场中心所处的位置.(下列数据供选用:tan18°24?＝0.3327,tan18°26?= 13 ,tan2?＝0.0006)分析：⑴AB的坐标等于它终点的坐标减去起点的坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上单位取百米/小时，故需先将时间换成小时。
而速度等于位移除以时间，由三角知识可求出坐标表示的速度向量。
⑶通过向量的坐标运算及三角函数公式求解。
解：⑴ AB＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，|AB|＝(-5)2+52＝52，∠xOB＝135°⑵t＝10分＝ 16 小时，|V|＝ |AB|t ＝302∴Vx＝|V|cos135°＝－30，Vy＝|V|sin135°＝30，∴V＝(－30,30)⑶∵AC＝ 610 AB，∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)∴|OC|＝10，又tan(18°24?＋2?)＝0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13而tan∠COy＝ 13 ，∴∠COy＝arctan 13 ＝18°26?。
∴少年宫C点相对于广场中心所处的位置为“北偏西18°26?，10百米”处。
平面向量的综合应用
2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量的综合应用1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s 的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．概念方法微思考1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示 (1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．2．如何用向量解决平面几何问题？提示 用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形．( √ )(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )题组二 教材改编2．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3，4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)，∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62，∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，∴△ABC 为直角三角形．3．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________．答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4.题组三 易错自纠。
空间向量的应用综合练习题
空间向量的应用综合练习题空间向量是解决空间几何问题的重要工具，具有广泛的应用。
本文将为大家提供一些空间向量的应用综合练习题，帮助大家熟悉空间向量的使用方法。
1. 设A(1, 2, 3)，B(4, -1, 2)，C(-1, 3, 5)为空间中的三个点，求向量AB和向量BC的和。
解答：首先计算向量AB，AB = (4-1, -1-2, 2-3) = (3, -3, -1)；然后计算向量BC，BC = (-1-4, 3-(-1), 5-2) = (-5, 4, 3)；最后计算向量AB和向量BC的和，(3, -3, -1) + (-5, 4, 3) = (-2, 1, 2)。
2. 已知空间中一点A(1, 2, 3)和向量a(2, -1, 3)，求点A向量a的倍数为4时的点的坐标。
解答：点A向量a的倍数为4时，乘以4，得到坐标为(8, -4, 12)的点。
3. 已知向量a(-2, 1, 3)，向量b(4, -1, -2)，求向量a和向量b的点积以及它们的夹角。
解答：向量a和向量b的点积为a·b = (-2)(4) + (1)(-1) + (3)(-2) = -8 - 1 - 6 = -15。
向量a和向量b的模分别为|a| = √((-2)² + 1² + 3²) = √4 + 1 + 9 = √14，|b| = √(4² + (-1)² + (-2)²) = √16 + 1 + 4 = √21。
根据点积公式，可以计算出它们的夹角cosθ = (a·b) / (|a||b|) = -15 / (√14 * √21) ≈ -0.782，从而夹角θ ≈ arccos(-0.782) ≈ 139.2°。
4. 已知向量a(3, 2, -1)和向量b(-1, 1, 4)，求向量a和向量b的叉积以及它们的模。
解答：向量a和向量b的叉积为a × b = (2)(4) - (-1)(1), (-1)(-1) - (3)(4), (3)(1) - (2)(-1) = (11, -13, 7)。
《平面向量》第5讲 平面向量的综合应用
求证：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)= 0
应用三、用向量方法解决代数问题
例题3. 证明：对任意的实数a,b,c,d，恒有
2
ac bd a 2 b2 c 2 d 2 成立. 证明：设 m a, b , n c , d .
例题4. 证明：两角差的余弦公式：
cos cos cos sin sin
☆课堂小结☆
一个 转化 问题
向量 问题 + 翻译 向量 运算
回答 问题
课题：
平面向量的综合应用
☆主要方法☆
一个 转化 问题
向量 问题 + 翻译 向量 运算
回答 问题
应用一、用向量方法证明共线与相交问题 例题1.如图，已知△ABC的三条高是
AD，BE，CF，用向量方法
证明：AD，BE，CF相交于一点．
思路设计：
解析：设 AD，BE 交于一点 H， → → → BC＝a，CA＝b，CH＝h， → → 则BH＝a＋h，AH＝h－b,
→ → 分析：通过证明BA· CA＝0. 解析：证明：如图所示， → → → → → → ， BA· CA＝(BO＋OA)· OA －OC → → → ＝ → ， ∵BO＝OC且 OA OC → → →2 →2 ∴BA· CA＝OA －OC ＝0. ∴∠BAC＝90° .
( ) | | | |
训练： 已知: 一个圆的直径的端点是A (x1, y1)，B (x2, y2).
应用一、用向量方法证明共线与相交问题
→ → ∵BH⊥AC， ∴(a＋h)· b＝0.① 同理∴(h－b)· a＝0.② ①＋②得 h· b＋h· a＝0， → → ∴CH· BA＝0. ∴三条高线 AD，BE，CF 相交于一点．
向量的应用
向量的应用向量是近代数学中最基本、最重要的概念之一，就来源而言，向量的概念来自对物理学中的力、速度以及加速度这一类矢量的研究。
由于向量具有大小和方向，而我们的学生对数及其运算较为熟悉，而在学了向量后，思维得以开阔，可使学生增长知识，对数及其运算的认识加深了一步，更重要的是由于向量具有的几何形式与代数形式的双重身份，使它成为中学数学的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。
向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。
是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。
为学习三角、复数、几何等作了准备。
1、向量在三角中的应用当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。
利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。
由于用向量解决问题时常常是以三角形为载体的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。
2、向量在代数中的应用向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。
用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。
但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。
根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。
这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容。
因而变选学内容也就不难理解了。
另外我们在求一元函数的取值范围时，往往利用重要不等式或一元二次函数的性质，而当函数中含有根式时，问题就要复杂得多，这时巧妙运用“向量数量积小于等于向量的积”这一性质，可得到求解的新方法。
在不等式的证明、求解无理函数的最值中运用向量性4、向量在平面解析几何中的应用由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。
向量的综合的应用与概率
向量的综合应用举例与概率1. 设平面内的向量)7,1(=OA , )1,5(=OB , )1,2(=OM ，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PB PA ⋅取最小值时，OP 的坐标及∠APB 的余弦值．2. 已知向量→a =（2，2），向量→b 与向量→a 的夹角为43π，且→a ·→b =－2，（1）求向量→b ；（2）若)2cos2,(cos ,)0,1(2C A c t b t =⊥=→→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|→b +→c |的取值范围.3. 设x , y ∈R ，i 、j 为直角坐标系内x 、y 轴正方向上的单位向量，若a =x i +（y+2）j ，b =x i +(y－2) j 且a 2+b 2=16.（1）求点M （x, y ）的轨迹C 的方程；（2）过定点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，若不存在说明理由.1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ).A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；恰有2个白球D ．至少有一个白球；都是红球 2.如果事件A ，B 互斥，那么( ).A ．A ＋B 是必然事件 B ．B A 是必然事件C ．A 与B 一定互斥D ．A 与B 一定不互斥 3.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为X ，Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( ).A ．61 B ．365 C ．121 D ．214.向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S ”的概率为 ．5.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28．若红球有21个，则黑球有 个．6.一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率7.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1) 求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．8.设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2 ＝0．若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．。
2021-高考-立体几何的向量方法-综合应用-含答案word
2021-高考-立体几何的向量方法-综合应用-含答案word一、解答题1. 如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1//平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.2. 如图，在四棱锥(Ⅰ) 求证：当(Ⅱ) 当中，底面时，平面时，求二面角面为矩形，；的大小。
面，。
3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,AB= PA=1,AD=3，F是PB中点，E为BC上一点．（1）求证：AF⊥平面PBC；（2）当BE为何值时，二面角C－PE－D为45．o4. 已知等腰直角三角形ABC中，?BAC?90?，D为AC的中点，正方形BCC1B1与ABC所在的平面垂直，AB?2．1（1）求证AB1平行平面DBC1；（2）求DC1与平面ABC1夹角的正弦值．5. 如图, 四边形ABCD为正方形, PD⊥平面ABCD, PD∥QA, QA=AB=PD. (Ⅰ) 证明:平面PQC⊥平面DCQ; (Ⅱ) 求二面角Q-BP-C的余弦值.6. 如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B―AC―D的余弦值．7. 如图,在四棱柱P―ABCD中,底面ABCD为直角梯形,?BAD?90?,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,PA?平面ABCD,PD与平面ABCD成30?角. (1)若AE?PD,E为垂足,求证:BE?PD; (2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.28. 如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点．(I) 求证：CE//平面PAF；(II) 在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．9. 如图，三棱锥P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90?，PB?BC?CA?2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF?FA. （1）求证：平面PAC?平面BEF；（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.10. 如图所示的几何体中,四边形PDCE为矩形,ABCD 为直角梯形,且?BAD = ?ADC= 90°,平面PDCE?平面ABCD,AB?AD?12,PD?2(1)若M为PA的中点,求证:AC?平面MDE;3(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.11. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD 的体积.12. 已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（I）证明：BN⊥平面C1B1N;（II）设直线C1N与CNB1所成的角为?，求cos?的值.13. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，如图Ｅ、Ｆ分别是BB1，ＣＤ的中点，（1）求证：D1F?平面ADE；（2）cosEF,CB1．zD1A1B1EFBCyC1DAx?14. 如图,在四棱锥P?ABCD中,底面为直角梯形,AD//BC,?BAD?90,PA?底面ABCD,PA?AD?AB?2BC,M,N分别为PC,PB的中点.4(Ⅰ)求证:PB?DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值.15. 如图所示，正四棱锥P-ABCD中，异面直线PD与AE夹角的余弦值为65，点E是PB的中点. 13（1）求二面角P-AC-E的大小；（2）在侧面PAD上是否存在一点F，使EF?侧面PBC．若存在，试确定F点的位置，并加以证明；若不存在，试说明理由.16. 如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2.（1）若点E为AB的中点，求证：BD1∥平面A1DE；（2）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1?EC?D的大小为在，请说明理由. 17. 如图甲，是边长为6的等边三角形，，点G为BC边的中点，线段AG?？若存在，求出AE的长；若不存6交线段ED于点F.将ΔAED沿ED翻折，使平面AED�A平面BCDE，连结AB、AC、AG形成如图乙的几何体.(I)求证:BC�A平面ATG;(II)求二面角B―AE―D的大小.5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
平面向量的综合应用
2、向量数量积： a b a b cos a， b 若a x1，y1 、 b x 2，y 2 则a b x1x 2 y1y 2 3、 a与b的夹角： cos a， b a b ab x1x 2 y1 y 2 x 21 y 21 x 2 2 y 2 2
2
2
2
C
3、已知向量OA 1, 2 , OB 2, m ，若OA OB，则向量OA与 AB
C
3 2 A、 B、 C、 D、 4 4 3 3 重 心。 4、已知在 ABC中， OA OB OB OC OC OA, 则O是 ABC的____
1
y
2
6、平移公式：
x xh
'
y yk
'
或
x x h
'
y y' k
基础检测
1、已知正方形ABCD的边长为1， AB a、 BC =b、 AC =c，则a b c 的模等于
C
2
A、 0 B、 3 C、 2 2 D、
2、设a、是两个非零向量，则 b a b a b 是a b的 A、充分不必要 C、充要条件 夹角为 B、必要不充分 D、既不充分也不必要条件
1、求函数的正周期. 2 、若x 0,2 ,当OP OQ
1时，求x的取值范围.
例2：已知向量a、 b、 c、，设实数 d x、y满足 a b 1， c a x 2 3 b d ya xb, 若a b、 c d，且 c 10
向量的综合应用（一）
娄底一中：刘瑞华
知识网络
概念
1 5730 p 2
高三数学教案： 平面向量的综合应用
课题：平面向量的综合应用学生情况分析天津市第五十一中学中学是市级重点中学，学生整体素质较高，思维活跃，课堂参与意识较浓，且高一学生已具有一定的理性分析能力和概括能力。
教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。
注重基本概念和基本运算的教学，对概念要理解深刻到位，运算要准确，尤其是向量互相垂直、平行的充要条件和平面向量基本定理（包括坐标运算），应当达到运用自如、熟练掌握的程度；其次教学中应把向量与其他知识内容进行整合，将几何问题、函数问题、三角问题、以后学到的解析几何问题等转化为向量运算，特别是坐标形式的向量运算问题，充分揭示数学中化归思想的深刻含义，同时也显示出向量的巨大威力。
由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题；加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性；因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想。
教学目标：（一）知识目标理解向量的有关概念，掌握向量的各种运算及其应用（二）能力目标1、培养学生的思维能力：包括观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括。
2．培养学生数形结合和化归转化的数学思想方法。
3．培养学生自主地获取知识的能力，并在所学知识的基础上进行再创新的能力。
（三）德育教育1．培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
2．培养学生联系实际的能力，使学生懂得数学是源于生活，服务于生活的数学特点。
3．培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃，又从一般到特殊，从抽象到具体，应用到实践中去。
教学重点：平面向量基础知识的掌握。
教学难点：平面向量基础知识的综合运用。
高中数学A版必修第二册专题一平面向量的综合应用-课件
3
3
m， ∠AOB 内，且∠AOC＝30°，所以设 C
3
m ，m>0，由O→C＝xO→A＋yO→B(x，y∈R)，可得 m，
3
m ＝
m＝x，
x＝m，
x(1，0)＋y(0，3)．由向量的坐标运算可得
3m＝3y，即 3
y＝
93m，所以yx＝
m 3 ＝3
m
9
3.故选 C.
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
k－λ＝0，
k＝1， k＝－1，
所以
解得
或
又因为λ>0，所以 k＝1.
λk－1＝0， λ＝1， λ＝－1，
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
13 ，
16．已知向量 a＝( 3，－1)，b＝ 2 2 .
(1)求与 a 平行的单位向量 c； (2)设 x＝a＋(t2＋3)b，y＝－k·ta＋b，若存在 t∈[0，2]，使得 x⊥y 成立，求 k 的取值范围．
3
3
2
2
1 cos∠DAB＝－ ，所以∠DAB＝120°.故选 C.
2
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
8．在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为边 BC 的中点，点 E 在线段 AB 上运动，则E→C·E→M的取值范围是
(C)
1 ，2
A. 2
3 0， B. 2
13 ，
C. 2 2
D．[0，1]
1 |C→D|的取值范围为__(_2_，__1__]．
解析
如图．∵E 为 Rt△ABC 中斜边 AB 的中点，AB＝2，∴CE＝1.∵C→D·C→E＝1，即|C→D|·|C→E|·cos∠ECD＝1，
平面向量的应用的综合应用题
平面向量的应用的综合应用题在数学学科中，平面向量是一个重要的概念，具有广泛的应用。
本文将通过综合应用题来展示平面向量的应用，并解决与之相关的问题。
【引言】平面向量是以箭头表示的有向线段，由起点和终点确定。
在实际问题中，平面向量可以用来描述和解决各种几何和物理问题，包括位移、速度、力等。
下面将通过一些实际问题，展示平面向量的应用。
【问题一：帆船比赛】在一场帆船比赛中，有三艘帆船A、B、C，它们的起点均为O点，终点分别为A点、B点、C点。
帆船A向东航行30千米，帆船B向北航行40千米，帆船C向东北航行50千米。
设D点为A点与B点连线的中点，请问C点与D点的距离是多少？【解答】首先，我们可以通过平面向量的法则来解决这个问题。
设向东为x轴正方向，向北为y轴正方向。
将帆船A的位移表示为向量$\vec{A}$，帆船B的位移表示为向量$\vec{B}$，帆船C的位移表示为向量$\vec{C}$。
根据题意，$\vec{A}=30\vec{i}$，$\vec{B}=40\vec{j}$，$\vec{C}=50\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}\right )$。
设向量$\vec{AD}$表示从A点到D点的位移，向量$\vec{BC}$表示从B点到C点的位移，向量$\vec{CD}$表示从C点到D点的位移。
由于D点是A点和B点连线的中点，所以向量$\vec{AD}=\frac{\vec{AB}}{2}$。
根据平面向量的加法性质，$\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}=40\vec{j}-30\vec{i}$。
将向量$\vec{AD}=\frac{\vec{AB}}{2}=20\vec{j}-15\vec{i}$。
向量$\vec{CD}=\vec{C}-\vec{D}=\vec{C}-\vec{A}+\vec{AD}=\vec{C}-\vec{A}+20\vec{j}-15\vec{i}$。
高中数学选择性必修一专题1 4 空间向量的综合应用 (解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典1.4空间向量的综合应用（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共18小题，8道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．（2020·全国课时练习）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．0【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,()3,0,0B ，)13,0,2B ，()0,1,0C ， 向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--， 11cos ,A B B C <>1111A B B C A B B C ⋅=⨯2222=⨯14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．（2020·全国课时练习）如图所示，在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )A 3B．23C．12D3【答案】B【解析】【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A在下底面的投影，进一步求出E在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果.【详解】在正四面体A BCD-中，设棱长为a，E为棱AD的中点，如下图所示过A做AO⊥平面BCD，则O为平面BCD的中心，延长DO交BC于G，过E做EF GD⊥，连接FC，所以ECF∠就是所求的CE与平面BCD的夹角．所以222GD CD CG =-，求得32GD a =， 所以33DO a =，利用222AO AD OD =-，解得63AO a =， 所以66EF a =，32CE a =， 在Rt EFC 中，2sin 3EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题． 3．（2020·全国课时练习）已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ） A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4．（2020·全国课时练习）圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．74【答案】C【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长． 【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03，M （0，03，P （x ，y ，0）．于是有AM =（0，1，32），MP =（x ，y ，32-）． 由于AM ⊥MP ，所以（0，1，32）•（x ，y ，32-0， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=． 故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题5．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在四面体P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AB BC CA PC ===，那么二面角B AP C --的余弦值为（ ）A ．22B ．33C 7D ．57【答案】C【解析】【分析】本题首先可作BD AP ⊥于点D 以及作CE AP ⊥于点E ，然后通过BC BD DE EC =++求出14EC BD ⋅=-，最后根据cos ,EC BD BD EC EC BD ⋅〈〉=⋅以及二面角B AP C --为锐二面角即可得出结果.【详解】如图所示，作BD AP ⊥于点D ，作CE AP ⊥于点E ，设1AB =，则易得22CE =，22EP =，2PA PB ==可以求得144BD =，24ED =.因为BC BD DE EC =++，所以2222222BC BD DE EC BD DE DE EC EC BD =+++⋅+⋅+⋅， 则14EC BD ⋅=-，7cos ,7EC BD BD EC EC BD ⋅〈〉==-⋅， 因为二面角B AP C --为锐二面角，所以二面角B AP C --的余弦值为77， 故答案为：C .【点睛】本题考查二面角的余弦值的求法，考查向量的数量积公式的灵活应用，考查向量加法法则的几何应用，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.6．（2020·全国高二课时练习）如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于点E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A DE B --为45︒，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为（ ）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．180︒【答案】B【解析】【分析】 首先根据题意，建立空间直角坐标系，设出边长，求得点的坐标，进而求得向量的坐标，利用向量数量积等于零，得到两向量的夹角为90︒，进而得到异面直线所成角的大小.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：由题意知ABE △为等腰直角三角形.设1CD =，则1BE =，1AB =，2AE =设2BC DE a ==，则(0,0,0)E ，(1,0,1)A ，(1,,0)N a ，(0,2,0)D a ，11,,22M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11,0,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,0,1)AE =--， 所以11,0,(1,0,1)022MN AE ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭.故AE MN ⊥，从而MN 与AE 所成的角为90︒.故选：B.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求异面直线所成角，属于简单题目.7．（2020·全国高二课时练习）已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是255⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 与BC 55D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)-【答案】D【解析】【分析】根据向量的相关性质判断.【详解】对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB 的单位向量为255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以B 项错误； 对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-，所以55cos ,11AB BC AB BC AB BC ⋅==-⋅，所以C 项错误； 对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确.故选:D.【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.8．（2020·浙江余杭·高三学业考试）如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（ ）A ．56πB ．23πC ．2πD ．4π 【答案】B【解析】【分析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值.【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点 则22,0,,,0,3333r a r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =,解得11cos 2,sin r y z a θθ=-=- 所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos 1m nm n α⋅==⋅+设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33r a B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ 则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r r a x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ 令21x =,解得221cos 2,sin r y z a θθ--==- 所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足 cos 1k hk h β⋅==⋅⎛+由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥即≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<< 所以203πθ<≤ 所以θ的最大值是23π 故选:B【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．（2020·全国单元测试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】 【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=,显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以11116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB 【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.10．（2020·全国单元测试）（多选题）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】找到AF 在平面11ADD A 内的射影，由三垂线定理可知AF 与1DD 不垂直，故A 错误；易证：平面1//A MG 平面AEF ，由面面平行的性质可得1//AG 平面AEF ，故B 正确；通过延展平面AEF 可得截面四边形1AEFD ，经过计算可知，C 正确；通过反证法，假设成立，推出矛盾，从而证明D 不正确. 【详解】取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取11B C 的中点为M ，连接1,A M GM ，则1//,//A M AE GM EF ，易证：平面1//A MG 平面AEF ，从而1//AG 平面AEF ，选项B 正确； 连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且15D H AH ==，12A D =，所以1221232(5)()222∆=⨯⨯-=AD H S ， 而113948∆==AEFD AD H S S ，从而选项C 正确； 假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于点O ，易知O 不是CG 的中点，故假设不成立，从而选项D 错误. 故选：BC 【点睛】本题以正方体为载体，考查了空间中线线、线面的位置关系、点到面的距离、截面面积等立体几何基本知识，考查了运算求解能力和空间想象能力，属于中档题目.11．（2020·山东高三其他）在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡⎤∈⎣⎦，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,333D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.三、填空题（3道小题，每小题满分5分）12．（2018·上海市控江中学）写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．【答案】()21，【解析】 【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案． 【详解】由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为12-（，），所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为21（，） 【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题． 13．（2020·全国高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为________.25【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，找到1D E 、1CC 法向量，用异面直线1D E 与1CC 的距离公式求得即可. 【详解】点P 到直线1CC 距离的最小值就是异面直线1D E 与1CC 的距离，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)D ，(1,2,0)E ，(0,2,0)C ，1(0,2,2)C ，1(1,2,2)D E ∴=-，1(0,0,2)CC =，设1n D E ⊥，1n CC ⊥，(,,)n x y z =， 则12D x y E =+20z -=，120n CC z ⋅==，0z ∴=，取1y =-，则2x =，∴(2,1,0)n ∴=-，又(1,0,0)CE ∴=，异面直线1D E 与1CC 的距离22|||2100|255||2(1)0n CE d n ⋅⨯++===+-+即点P 到直线1CC 距离的最小值为255. 故答案为：255【点睛】求异面直线之间的距离，关键是建立空间直角坐标系，找到法向量，正确运用公式. 14．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α的距离分别为2，2，则顶点D 到平面α的距离是______.5【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点,B C 到平面α的距离分别为2，2，利用空间点到平面距离公式，求出平面α的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ， 所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===， 设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =， 则点B 到平面α距离为1222|||3|2||BA n x d n x y z ⋅===++，①点C 到平面α距离为1222|||3|2||CA n y d n x y z⋅===++，②由①②可得5||||,||||2y x z x ==， 所以D 到平面α的距离为22253|||||3|253||||2x AD n z n x y z x ⋅===++. 故答案为:5.【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题.四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15．（2020·安徽高三其他（理））如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AD CD AB ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，若沿着EF 折叠使得2AD AE =如图2所示，连结BC ．（1）求证：平面CDEF ⊥平面ABFE ； （2）求二面角C -BF -D 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2121. 【解析】 【分析】（1）本小题先根据勾股定理判断线线垂直，再证明线面垂直，最后证明面面垂直.（2）本小题根据题意建立空间直角坐标系，再求二面角两个面的法向量，最后根据夹角公式求解即可. 【详解】 （1）E ，F 分别为AD ，BC 的中点，////EF AB CD ∴AB AD ⊥．EF AE ∴⊥，EF DE ⊥2AD =，AE DE =∴222AE DE AD +=DE EF ∴⊥DE ∴⊥平面ABFE DE ⊂平面CDEF∴平面CDEF ⊥平面ABFE ．（2）由（1）知，AE ，DE ，EF 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系，令1AE =则()0,0,1D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，30,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0.2,1C ．()1,1,1DB =-，30,,12DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,02FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,12FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面BDF 的法向量为(),,m x y z =，则0m DB m DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0320x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令2y =，则3z =，1x =，∴平面BDF 的一个法向量为()1,2,3m =． 设平面BCF 的法向量为(),,n x y z =，则0n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y y z -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则2y =，1x =，∴平面BCF 的一个法向量为()1,2,1n =-． ∴221cos ,21146m n m n m n⋅===⋅⋅ ∵二面角C BF D --为锐二面角设为θ， ∴21cos 21θ=． 【点睛】本题考查通过线线垂直证明面面垂直和借空间向量求二面角的余弦值，是较难题.16．（2020·湖南月考）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动. （1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，平面AEF ⊥平面PAD ； （2）若点F 为PC 的中点，求二面角C AF E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】 【分析】（1）本小题先证明ABC 是正三角形，从而证明AE AD ⊥，再证明PA AE ⊥，接着证明AE ⊥平面PAD ，最后平面AEF ⊥平面PAD .（2）本小题先建立空间直角坐标系，再明确AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角，求得2AM =、2AP =，并标点，接着求平面AEF 的一个法向量()0,2,1n =-，平面ACF 的一个法向量()3,3,0BD =-，最后求出二面角C AF E --的余弦值为155. 【详解】（1）因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， 又E 是BC 的中点，所以AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥， 又PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ， 又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD .（2）由（1）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.因为AEF ⊥平面PAD .，所以AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角， 在Rt AME △中，由15sin AME ∠=6tan AE AME AM ∠==， 由已知2AB =，则3AE =2AM =所以222PD AM AD AP ==+，即()222222AP =+， 从而2AP =，则()0,0,0A ，()3,1,0B -，()3,1,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，()3,0,0E ，31,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭F ， 所以()3,0,0AE =，31,,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF ， 设(),,n x y z =是平面AEF 的一个法向量，则30,310.22n AE x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩取1z =，得()0,2,1n =-.又BD ⊥平面ACF ，∴()3,3,0=-BD 是平面ACF 的一个法向量， 所以()()03231015cos ,5523n BDn BD n BD ⨯-+-⨯+⨯⋅===-⨯， 由图可知C AF E --为锐二面角，所以二面角C AF E --的余弦值为155. 【点睛】 本题考查利用线面垂直证明面面垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，是偏难题.17．（2020·甘肃城关·兰州一中高三三模（理））已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF ∥平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --的余弦值为55？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在点P 使之成立.见解析【解析】【分析】(1) 在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,进而得到MN PQ 与EF MN 即可.(2) 以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求解平面BPQ 的法向量与平面EFPQ 的法向量,再设BF a =,[]1,3a ∈,再根据二面角的计算方法分析是否存在[]1,3a ∈5即可. 【详解】解：（1）证法1：在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,易知四边形MNQP 是平行四边形,所以MN PQ ,联结,,FM MN NE , 则AE ND =,且AE ND所以四边形ADNE 为矩形,故AD NE ,同理,FM BC AD且NE MF AD ==,故四边形FMNE 是平行四边形,所以EFMN ,所以EF PQ 故,,,E F P Q 四点共面又EF PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .证法2：因为直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,∴AC BD ⊥,1AA ⊥底面ABCD ,设,AC BD 交点为O ,以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则有()2,0,0A ,()0,1,0B ,()2,0,0C -,()0,1,0D -,设BF a =,[]1,3a ∈,则()2,0,1E a -,()0,1,F a ,()2,0,1P a -+,()0,1,Q a -,()2,1,1EF =-,()2,1,1QP =-,所以EF PQ ,故,,,E F P Q 四点共面.又EF PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .（2）平面EFPQ 中向量()2,1,1EF =-,()2,1,1EQ =--,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,x y z ,则1111112020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩,可得其一个法向量为()11,0,2n =. 平面BPQ 中,()2,1,1BP a =--+,()0,2,BQ a =-,设平面BPQ 的一个法向量为()222,,n x y z =,则()2222221020x y a z y az ⎧--++=⎨-+=⎩,所以取其一个法向量()22,2,4n a a =+. 若()1212225cos ,5216n n n n a a ⋅==⋅+++则()2210548a a a +=++, 即有24230a a --=,[]1,3a ∈,解得[]2321,3a =±,故不存在点P 使之成立.【点睛】本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.18．（2020·全国高三其他（理））某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为2的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E2F2（包括端点）上的点P与B1的最短距离为2时，证明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．当点P在圆弧E2E2（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范围．【答案】（1）见解析，（2）32623[,]27+-- 【解析】【分析】 （1）以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，可得1120,0DB EF DB ED ⋅=⋅=，从而可证DB 1⊥平面D 2EF ； （2）设(,,4)P a b ，则222,0,0a b a b +=≥≥，所以[2,2]a b +∈，求出平面11PA C 的法向量4(1,1,)3a b n --=，而平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，则先求出cos θ，从而可得32tan 4a b θ=+-，再由[2,2]a b +∈可得tan θ的范围. 【详解】（1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上，因为2211PB PH HB =+，所以当1HB 取最小值时，1PB 最小，由圆的对称性可知，1HB 的最小值为42232-=，所以221142PH PB HB =-=如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则21(0,0,0),(0,0,142),(2,0,1),2,1),(4,4,1)D D E F B +，12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,42)DB EF ED ==-=-,因为112424200,420420DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-+=，所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =, 所以DB 1⊥平面D 2EF ，（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B ,设(,,4)P a b ，因为222,0,0a b a b +=≥≥， 设2,2,[0,]2a b πθθθ==∈ 所以2sin()[2,2]4a b πθ+=+∈，111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 令11x =，则4(1,1,)3a b n --=， 取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角， 则243cos cos ,42()3a b m n m n a b m n θ+-⋅=-=-=+-+， 220,sin 0,sin 1co 242()s 3a b θπθθθ≤≤∴>+-+=-=则3tan []427a b θ=∈--+-，所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3[]27--， 【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.。
向量的综合应用
向量的综合应用引言：向量作为数学中的重要概念，不仅在理论研究中有着广泛的应用，同时也被广泛运用于各个领域的实践中。
本文将从几个方面介绍向量的综合应用，包括向量的几何意义、向量与力的关系以及向量在导航系统中的应用等。
第一部分：向量的几何意义1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
在空间中，向量通常有三个分量：x、y和z。
2. 向量的运算向量的几何运算包括加法、减法、数量乘法以及向量的数量积和向量积等。
3. 向量的平行和垂直关系两个向量平行的充要条件是它们的方向相同或者相反；两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。
第二部分：向量与力的关系1. 力的概念和性质力是物体之间相互作用的产物，具有大小和方向。
力的作用可以改变物体的状态或者形状。
2. 向量描述力的特点根据牛顿第二定律，力可以用向量表示，即力的大小和方向有明确关系。
通过向量的运算，可以得到多个力合成后的结果。
3. 向量力的分解对于一个斜向上施加的力，可以通过向量的分解，将它拆分为与斜面平行和垂直的两个力，从而更好地理解力的作用。
第三部分：向量在导航系统中的应用1. GPS定位原理GPS定位系统通过卫星发射的信号，计算出接收器与卫星之间的距离，并利用向量的几何关系，确定接收器所在的具体位置。
2. 导航中的向量分析导航系统中，通过对当前位置和目标位置的向量进行分析，可以计算出最短路径，并指导行进方向，提高导航的准确性和效率。
3. 向量导航在现实生活中的应用向量导航不仅在汽车导航系统中得到广泛应用，同时也在航空、航海和无人机等领域中发挥着重要的作用，为人们提供方便和安全。
结论：通过上述内容，我们可以看到向量在几何、力学和导航系统等领域的广泛应用。
向量的综合应用不仅丰富了数学理论研究，同时也为我们日常生活中的各个方面提供了便利和解决问题的方法。
因此，理解和掌握向量的概念和运算是非常重要的。
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§5.3向量综合应用（一）
【复习目标】
1． 掌握线段的定比分点、中点坐标公式、平移公式的推导及简单应用；
2． 强化平面向量的工具意识，培养使用平面向量解决平几、解几、三角函数、物理学及某些应用问题的能力。
【课前预习】
1. 设线段MN 的端点M （x, 5）,N(－2, y), 点P （1，1）是直线MN 上的点且|MP |=2|NP |，
则点M 和N 的坐标分别是 .
2. 已知A （-1，-1），B （1，3），且C （x,5）在线段AB 的延长线上，若CB m AB =，则
m=__。
3. 函数y=log 2(2 x －1)+4的图象按向量a 平移得到y=log 2(2 x)的图象，则a = .
4. 按向量→a 将点)3,2(-平移到点)2,1(-，则按向量→
a 将点)3,2(-平移到 （ ）
A ．)4,3(-
B ．(1,2)-
C ．)3,4(-
D ．)1,2(-
5. 已知向量（
2,0）OB =,向量(2,2)OC =,
向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围为 （ ）
(A) [0,]4π (B) 5[,]412ππ (C) 5[,]122ππ (D) 5[,]1212ππ
【典型例题】
例1 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 边上，且|CF |=||31CD ，AE ⊥BF.
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（1） 试用向量的方法证明：|BE |=||31BC ；
（2） 若B （2，1），C （8，4），试求点E 的坐标.
例2 设向量0000(cos 23,cos 67),(cos 68,cos 22),()a b a tb t R μ===+∈
（1） 求a b ⋅；
（2） 求||μ的最小值。
例3 已知A(2,0),B(0,2),C(cos ,sin )αα(0)απ<<
（1） 若||7OA OC +=OB 与OC 的夹角；
（2） 若AC BC ⊥,求cos2α的值。
【巩固练习】
1． 将函数22y x =的图象按向量(2,2)a =-平移，得到的图象解析式
是 。
A D B
C F
实用文档 2． 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （3，1），B （-1，3），若点C 满足
OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为 （ ）
（A ） 3x+2y-11=0 （B ） (x-1)2+(y-2)2=5 （C ） 2x-y=0 （D ） x+2y-5=0 3． 已知AM 是ABC ∆的BC 边上的中线，若→-AB =→a 、=→-AC →b ，则→
-AM 等于 （ ） A.)(21→→-b a B.)(21→→--b a C.)(21→→+b a D.)(21→→+-b a
4． 点A 分→-BC 所成的比为2，则下列结论正确的是
（ ）
A. 点A 分→-CB 的比为2
B.点B 分→
-AC 的比为32
C.点C 分→-BA 的比为3
D.点C 分→-AB 的比为31- 【本课小结】
【课后作业】
1． 已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为)1,4(A 、)2,0(B 、)10,8(-C .
（1）若AD 是BC 边上的高，求向量→-AD 的坐标；
（2）若点E 在AC 边上，且ABC ABE S S ∆∆=31，求点E 的坐标。
2． 已知ΔABC 中，AB=2，BC=10，AC=3，（1）求AC AB ⋅的值；（2）设点O 是ΔABC 的外心，当AC q AB p AO +=时，求实数p 、q 的值.
3． 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x x x a b ==-,且[0,]2x π∈（1）求a b ⋅及||a b +；
（2）求函数()||f x a b a b =-+的最小值。