无锡新领航教育咨询有限公司高一数学备战期末解题技巧传播重点难点突破(五)(教师版)

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高一数学必修课程中的重点难点及突破策略

高一数学必修课程中的重点难点及突破策略在高一数学的必修课程中，学生们面临着新的知识体系和学习挑战。

了解其中的重点难点，并掌握有效的突破策略，对于学生们顺利完成学业、打下坚实的数学基础至关重要。

一、函数概念与性质函数是高一数学必修课程中的核心内容之一。

重点：理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系；掌握常见函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

难点：对于抽象函数的理解和应用，以及函数性质的综合运用。

突破策略：通过大量的实例来理解函数的概念，比如日常生活中的温度随时间的变化、路程与时间的关系等。

对于抽象函数，可以通过具体的函数模型进行类比和分析。

在学习函数性质时，要结合函数图像进行直观理解，多做练习题，从简单到复杂，逐步提高综合运用能力。

二、指数函数与对数函数这部分内容是函数的重要拓展。

重点：掌握指数函数和对数函数的图像与性质，理解它们之间的互逆关系。

难点：指数函数和对数函数的运算，以及它们在实际问题中的应用。

突破策略：熟练掌握指数和对数的运算规则，通过绘制函数图像，观察其特点，如定义域、值域、单调性等。

在实际应用方面，要学会将实际问题转化为数学模型，运用函数的知识进行求解。

三、三角函数三角函数是高中数学的重要组成部分。

重点：理解三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的图像和性质。

难点：三角函数的诱导公式、恒等变换以及解三角形。

突破策略：利用单位圆来理解三角函数的定义，通过周期性和对称性来记忆函数的性质。

对于诱导公式，要通过推导和反复练习来掌握。

在解三角形问题中，要灵活运用正弦定理和余弦定理，结合三角形的内角和定理进行求解。

四、向量向量为解决几何问题提供了新的方法和思路。

重点：向量的概念、线性运算和数量积。

难点：向量的共线、共面问题以及向量在几何中的应用。

突破策略：从物理中的矢量概念引入向量，理解向量的几何意义和代数运算。

通过练习来熟悉向量的运算规则，对于共线、共面问题，可以通过向量的线性表示来解决。

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧

１江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播：算法、数列、解三角形（五）易错题再现1．正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a使得14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是( ) A ．32B ．2C ．73D ．256【答案】A【解析】6542a a a =+Q ，2444a q a q a ∴=+，解得1(2q q =-=舍）或，14a =得，2221116m n a qa +-=，6m n ∴+=141141413()()(5)(54)6662n m m n m n m n m n ∴+=⋅++=++≥⨯+=（当2,4m n ==取等），故选A 2．若正数x ，y ，那么使不等式0x y m +->恒成立的实数m 的取值范围是_ ．【答案】m<9 【解析】x=2y=6时等号成立,由题意不等式0x y m +->恒成立，∴m<min ()x y +=9,考点：本题考查了基本不等式的运用点评：利用分离常数法的思想转化为求最值问题，然后利用基本不等式求解即可3．若以连续掷两次骰子得到的点数n m ,分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线4x y +=上的概率【解析】4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，24(1)n n S a =+，n N *∈．２（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}2nna 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）2332n nn S +=-。

【解析】试题分析：（Ⅰ）当1n =时，2111(1)4a a S +==，解得11a =，与已知相符。

当2n ≥时，2211(1)(1)44n n n n n a a a S S --++=-=-，整理得: 221(1)(1)0n n a a ---+=即11()(2)0n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以12n n a a --= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列所以21n a n =-（Ⅱ）由（Ⅰ）得2122n n n a n -= 所以21321222n nn S -=+++L231113232122222n n n n n S +--=++++L 两式相减得：2111111121222222n n n n S -+-=++++-L 1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332n nn S +=-。

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学-解题技巧传播-数列、解斜三角形(四)

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播：数列、解斜三角形（四）1已知函数)1,0(23≠>-=+a a a y x 且过定点A ，且A 在直线01=++ny mx )0,0(>>n m 上，求nm 31+ 的最小值试题分析：函数)1,0(23≠>-=+a a a y x 且的图像恒过定点A ，由x y a =过()0,1可知()3,1A --，代入直线得31m n +=，()131393662912n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9n m m n=时等号成立，所以nm 31+的最小值为12 考点：指数函数性质均值不等式求最值点评：指数函数xy a =过定点()0,1，对数函数log a y x =过定点()1,0，利用均值不等式2a b ab +≥求最值要注意条件：,a b 为正数，若乘积是定值则和取最值，等号成立条件a b = 2一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是【解析】试题分析：因为，一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，所以，11,23-是方程220ax bx ++=的两实根，所以，11112,,02323b a a a-+=--⨯=<，解得a=－12,b=－2, a b +=－14 考点：本题主要考查一元二次不等式的解法，韦达定理的应用。

点评：简单题，“三个二次问题”是高考考查的重点之一，应熟知它们的关系，灵活应用。

右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值。

若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ( )A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个【答案】C 【解析】试题分析：观察程序框图可知，其算法功能是，随输入的x 值的不同，计算函数值。

若2,x ≤则由2x x =，得，x=0或1；若25,x <≤由24x x -=，得，x=4; 若5x >，则由1x x=，得，1x =±，不合题意。

江苏省无锡市高一数学数列重点难点突破五(含解析)苏教版

高一数学数列重点难点必考点串讲五课前抽测（基础题课后作业+学霸必做题课堂集训） 1．设,n n S T 分别是等差数列{},{}n n a b 的前n 项和，若）A【答案】D【解析】试题分析：根据等差数列的前n 项和公式知和为：2An Bn +，所以22,2n n S n T n n ==+，所以当2n ≥时，1121,41n n n n n n a S Sn b T T n --=-=-=-=-，所D. 考点：1.等差数列的前n 项和；2.通项公式.2．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，的值为 A【答案】D【解析】考点：等差数列的性质3设数列{n a }的前n 项和为Sn ，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是______.【答案】[2,3] 【解析】试题分析：当n为偶数时，，所以由，因此m i n，因为m i n339[]121)(232当n为奇数时，所以由，因此m i n，因为m a x113[]121)(232综上实数p3][,3][2,3].2=考点：数列求和4．已知数列{}n a的首项11a=，前n项和为nS，且满足()122n na S n N++=∈，则满足2100111100010nnSS<<的n的最大值为【答案】9【解析】试题分析：由122n n a S ++=，得122,(2)n n a S n -+=≥，两式相减得12n n a a +=，又212122,2a a a a +==，所以数列{}n a 为首项11a =，公比为12的等比数列，12(1)2n n S =-，2100111100121111021000491000101000210n n n n n S n S +<<⇒<<⇒<<⇒≤≤，n 的最大值为9 考点：等比数列不等式5.已知函数()21f x x mx =--+，若对于任意[],1x m m ∈+，都有()0f x >成立，则实数m 的取值范围是（）AD【答案】B【解析】试题分析：函数()21f x x mx =--+的图象开口向下，且过点()0,1，所以为使对于任意[],1x m m ∈+，都有()0f x >成立，须()()222101(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=--+>⎪⎨+=-+-++>⎪⎩，即选B . 考点：1.二次函数的图象和性质；2.简单不等式（组）的解法.6．已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2- 【答案】D【解析】试题分析：()x f 为R 上的减函数，故()()x a a x x a f a x f -<+⇔->+22，从而a x <2，所以()a a <+12，得2-<a .考点：函数单调性，不等式恒成立问题. 7.的解集为 .【解析】试题分析：原不等式等价应用数轴标根法，可知解集为考点：分式不等式的解法，数轴标根法解不等式.8．已知函数 22,0,()2,0x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式 (())3f f x ≤的解集为______.【解析】试题分析：由题意得：考点：分段函数性质9．已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则的取值范围为．【解析】试题分析：由题意可设：cos ,sin a c b c θθ==则因此2cos sin y y θθ=+，考点：三角函数最值10恒成立，则实数m 的取值范围是 A. 42m m ≥≤-或 B. 24m m ≥≤-或C. 24m -<<D. 42m -<< 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得：m m 22+的最大值应小于，所以24822<<-⇒<+m m m 故答案为D. 考点：基本不等式即恒成立问题.11．已知0,2b a ab >>=，则）A ．(],4-∞-B ．(),4-∞-C ．(],2-∞- D ．(),2-∞- 【答案】A 【解析】试题分析：因为0b a >> 所以0b a ->所当且仅当2b a -= 时等号成立；故选A.考点：基本不等式.12已知,a b 为正实数，且2a b +=，则的最小值为 .【解析】试题分析：因为，，所以考点：基本不等式求最值13．已知正实数,a b 满足2291a b +=，则3aba b+的最大值为【答案】12【解析】试题分析：121311=11366266123ab b a a b b a+⨯≤⨯≤==++，当且仅当3b a =时，取等号考点：基本不等式求最值14．设0,0>>b a ,4222=-+b a b a ，则的最小值是 .【解析】，利用基本不等式即可求出最小值．2a b a +-22ab+炒取等号；考点：基本的不等式 15．若0,y 0x >>,则65x y +的最小值为___________．【解析】试题分析：因为0,y 0x >>，则044,02>+>+y x y x ，，)44()2(56y x y x y x +++=+，则考点：1.均值不等式；2.1的妙用、做乘法；16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若B C ∠=∠且则ABC ∆面积的最大值为．【解析】试题分析：ABC∆面积∆面积取最小值时ABC考点：余弦定理，二次函数最值。

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播重点难点突破(八)(教师版)

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学备战期末解题技巧传播重点难点突破（八）（教师版）易错题再现1．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为（）A ．6-B ．4-C ．2D ．3【答案】B【解析】试题分析：做出不等式对应的可行域如图，由32z x y =-得由图象可知当直线经过点(0,2)C 时，直线的截距最大，而此时32z x y =-最小值为4-，选B 。

考点：线性规划点评：主要是考查了线性规划的最优解的运用，属于基础题。

2．2012年学期末，某学校对100间学生公寓进行综合评比，依考核分数分为A,B,C,D 四种等级，其中分数在)70,60[为D 等级，有15间；分数在)80,70[为C 等级，有40间；分数在)90,80[为B 等级，有20间；分数在)100,90[为D 等级，有25间. 考核评估后，得其频率直方图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的中位数是A ．78.65B ．78.75C ．78.80D ．78.85 【答案】B【解析】x ）试题分析：根据题意，由于直方图可知，在[60，70]内的频率为0.15，和[70，80]的频率为0.40，其和为0.55，而可知中位数在区间[70,80]之间，设为x ，则可知(x-70)0.040.25⨯= ,x=78.75，可知满足题意的中卫数即为选B考点：直方图的运用点评：主要是考查了通过直方图来求解得分的中位数的求解，要利用该数字两边的频率相等来得到，属于基础题。

3．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( )【答案】C【解析】试题分析：因为题目中是有放回的抽取，因此不是条件概率而是等可能性事件概率考点：等可能性事件概率点评：此类型概率的求解首先需要找到所有的基本事件种数与满足题意要求的基本事件种数，求其比值即可4．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知【答案】4【解析】试题分析：，结合余弦定理2222cos c a b ab C =+-得()22243a b ab a b ab =+-=+-得4ab = 4a b ∴+= 考点：解三角形点评：解三角形常用正余弦定理与三角形面积公式，本题中用到的公式2222cos c a b ab C =+-，5．在等比数列{}n a 中，已知1231a a a ++=，4562a a a ++=-，则该数列的前15项的和15=S __ __.【答案】11【解析】试题分析：等比数列中363961291512,,,,S S S S S S S S S ----构成等比数列，首项为1，公比为2-，各项依次是1,2,4,8,16--，求和得11考点：等比数列性质点评：等比数列中，前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比数列6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列的前100项和为______________【解析】所以33=a ，3213=+=d a a 即，又55=a ，所以1,11==d a ，所以n a n =，11+=+n a n ，所以故当100=n 时，前100考点：数列的求和点评：本题考查裂项相消法求和，解题的关键是知道如何列项，属中档题.7．当)4,1(∈x 时，不等式0222>+-x mx 恒成立，则m 的取值范围是__ __.【解析】()1,2x ∈时()0f x '>，当()2,4x ∈时考点：不等式恒成立点评：不等式恒成立求参数范围的题目常采用分离参数法，转化为求函数最值8__ __. 【解析】考点：均值不等式求最值点评：利用均值不等式求最值时要注意其应用的条件：,a b R +∈，当积为定值时和取最值，和为定值时积取最值，要验证等号成立条件a b =是否满足，满足时才能取最值9．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为【答案】3人【解析】试题分析：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150] 考点：频率分布直方图．点评：本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的.10．在A B C ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)s i n s i n ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→b 。

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播数列、解斜三角形(一)

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播：数列、解斜三角形（一）1 已知等比数列{a n }的前n 项和2n n S =-a ，则22212...na a a +++等于【解析】试题分析：∵等比数列{a n }的前n 项和2n n S =-a ，∴a=1，12n n a -=，∴214n n a -=，∴214n n a -=，22212...na a a +++等于考点：本题考查了等比数列的求和点评：熟练掌握等比数列的概念及求和公式是解决此类问题的关键，属基础题 2已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为【解析】试题分析：由()1212n n a a n -=+≥可知112(1)n n a a -+=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以151222,21,31.n n n n n a a a -+=⋅=∴=-∴= 考点：本小题主要考查数列递推关系的应用.点评：本小题也可以依次计算求5a ，但解析中由数列的递推关系式求通项公式的方法应用掌握，经常考查. 3已知等比数列{}n a 中，10112a a ⋅=，则1220a a a ⋅⋅的值为_______【答案】1024 【解析】试题分析：∵12021910112a a a a a a ⋅=⋅==⋅=，∴10122022221024a a a ⋅⋅=⋅⋅==考点：本题考查了等比数列的性质点评：熟练运用等比数列的性质解决此类问题的关键，属基础题4在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 . 【答案】52 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，有67873a a aa ++=，71374,1352S a a ∴=∴== ，故此数列的前13项之和为52.考点：本题考查了等差数列的性质及求和点评：熟练掌握等差数列的性质及前n 项和是解决此类问题的关键，属基础题 5设等比数列{}n a 的公比，前n 项和为n S ，则【答案】15【解析】试题分析：在等比数列中，各项顺序颠倒后，依然是等比数列，公比变为原来的倒数。

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播数列、解斜三角形(二)

１江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播：数列、解斜三角形（二）1．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在一次函数1y x =+ 的图象上，则1231111nS S S S ++++= 【答案】21nn + 【解析】试题分析：因为，数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在一次函数1y x =+ 的图象上，所以，11n n a a +=+，11n n a a +-=， n a =n ，n s =(1)2n n +，12112()(1)1n S n n n n ==-++，所以1231111n S S S S ++++=111112[(1)()......()]2231n n -+-++-+=21n n +，故选A 。

考点：本题主要考查直线，等差数列的通项公式、求和公式，“裂项相消法”。

点评：典型题，本题综合考查直线，等差数列的通项公式、求和公式，“裂项相消法”。

应该注意到“分组求和法”“错位相减法”均是常常考查的数列求和方法。

2．在等差数列{}n a 中，135246105,99,a a a a a a ++=++=以n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是【解析】20试题分析：因为，在等差数列{}n a 中，135246105,99,a a a a a a ++=++=所以，由等差数列的性质，得，34343105,399,35,33,a a a a ====公差d=－2，3(3),412n n a a n d a n =+-=-，因此，{}n a 是递减数列，前20项为正数，从第21项起，所有项均为负数，故使n S 达到最大值的n 是20，选C 。

考点：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，等差数列的性质。

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播重点难点突破(七)(学生版)(无答案)

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学备战期末解题技巧传播重点难点突破（七）（学生版）易错题再现1（2012德州一中二模）已知正项等比数列{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则2011201220092010a a a a ++=2（2012济南一中模拟）在等差数列}{n a 中，1a =-2 012 ，其前n 项和为n S ，若10121210S S -=2，则 2 012S 的值等于3已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值.4已知()2*1n 1n n 11x ,x x x n N .34+==+-∈ （1）求证：数列n 1lg x 2⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是等比数列；5已知,2)4tan(=+πx 则x x 2tan tan 的值为__________6在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，a ＝2，sin,552=B 且△ABC 的面积为4（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求边b 、c 的长。

7若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________.8不等式13x x+<的解为。

9为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数位12，则抽取的学生人数是__________。

9某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方39.5,43.5内图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1:2:3，则购鞋尺寸在[)的顾客所占百分比为______.x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于54的概率为（）10已知实数[0,8]11执行如右图所示的程序框图，其输出的结果是 .。

【备战期末】江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播重点难点突破(四)(教师版)

某某省某某新领航教育咨询某某高一数学备战期末解题技巧传播重点难点突破（四）1已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为【解析】试题分析：()11112233y xx y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2y x x y =是等号成立，此时,x y 值存在，所以最小值为223+ 考点：均值不等式点评：利用均值不等式a b +≥,a b 为正数，当和为定值时乘积有最值，当乘积为定值时和有最值，最后验证等号成立的条件是否满足 2若不等式()2210x a x +++≥的解集为R ，则实数a 的取值X 围是．【答案】[－4，0] 【解析】试题分析：由已知中关于x 不等式()2210x a x +++≥的解集为R ，由于对应函数()221y x a x =+++的开口方向朝上，故等式()2210x a x +++≥的解集为R ，可以转化为方程()221y x a x =+++=0至多有一个实根，根据方程根的个数与△的关系，构造关于a 的不等式，即可得到答案。

解：∵关于x 不等式()2210x a x +++≥的解集为R ，∴方程()221y x a x =+++=0至多有一个实根即△=4a 2-4≤0，解得：-4≤a≤0，，故答案为：[－4，0]考点：二次函数的性质点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中熟练掌握二次函数的性质及二次函数、二次方程与二次不等式是解答本题的关键 3若不等式220ax bx ++>的解集为11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b -＝________．【答案】－10【解析】试题分析：根据题意，由于不等式220ax bx ++>的解集为11,23⎛⎫-⎪⎝⎭，则说明了11,23-是方程220ax bx ++=的两个根，结合韦达定理可知，11122310112223b a a a b b a⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴∴-=-⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩，故答案为-10.考点：一元二次不等式的解集点评：主要是考查了一元二次不等式的解集的充要条件的运用，属于基础题。

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１江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学重点难点高频考点串讲五1．设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的值域为（）A ．9[,0](1,)4-+∞U B ．[0,)+∞ C ．9[,)4+∞ D ．9[,0](2,)4-+∞U【答案】D 【解析】试题分析：作出函数2()2()g x x x R =-∈及y x =的图象，根据图象确定()g x 与x 的大小，从而可得()f x 的解析式及图象.()f x 的解析式为：222,(1,2)()2,(12)x x x x f x x x x ⎧++<->⎪=⎨---≤≤⎪⎩ ，作出图象如图所示. 由图可得其值域为9[,0](2,)4-+∞U . 422510y = g (x )2-1O1086422510152-1O考点：分段函数及函数的图象、值域以及数形结合思想. 2．函数0.5xf(x)=2|log x|-1的零点个数为（） A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】试题分析：令0.5xf(x)=2|log x|-1=0,得0.50.51()2x x =2|log x|=1,|log x|，结合函数２的图象可知，函数0.5x f(x)=2|log x|-1的零点有两个，故选B .考点：函数的零点，对数函数的图象和性质. 3．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当取得最大值时，2x y z +-的最大值为( ) A.0 B. C.2 D.【答案】C【解析】当且仅当2x y =时成立，因此22224642,z y y y y =-+=所以()22242212 2.x y z y y y +-=-=--+≤【考点定位】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想. 基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，中的ab. 4．已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆P 为椭圆上221c PF PF =⋅，则此椭圆离心率的取值范围是 ( ) A【答案】C 【解析】试题分析：由椭圆的定义得：12|PF ||PF |2a +=，平方得：2221212|PF ||PF |2|PF ||PF |4a ++=．①又∵221c PF PF =⋅，∴21212|PF||PF |cos F PF c ⋅∠=，② 由余弦定理得：222212121212|PF ||PF |2|PF ||PF |cos F PF |F F |4c +-⋅∠==，③，则此椭圆离心率的取值范围考点：椭圆的标准方程，余弦定理的应用.３5．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（） A. （∞+，3） B. （1，3） C. （∞+，2）D. （1，2）【答案】D.【解析】试题分析：由题意设直线2a x c =与x 轴的交点为D ，因三角形ABF 为钝角三角形，且BFD ∠与AFD ∠相等，则4AFD π∠>，又因22a b DF c c c =-=，双曲线的渐近线方程为by x a=±，可得A 、B 两点坐标分别为2(,)a ab c c 、2(,)a ab c c -，所以2tan 1abAD ac AFD b DF bc∠===>，即b a <，则22222c a b a e a a a+==<=，即(1,2)e ∈. 考点：双曲线的性质.6．已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线32:C y ax bx d =++（,,a b d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++=_________．【答案】7 【解析】试题分析：设32()f x ax bx d =++，∵'2()32f x ax bx =+，∴'(1)32f a b =+，'(1)32f a b -=-．根据题意得 3232a b a b +=-，∴0b =．又点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C 上， ∴解得：，∴327a b d ++=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 7．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线22y x =-+与曲线x x m +1y y n =的交点个数为【答案】2 【解析】试题分析：∵121(0,0),m n m n+=>>1222m n mn +≥，∴11mn88mn≤≥，，当且仅当1212m n＝＝，即m2n4==，时，mn取得最小值8，故曲线方程为124x x y y+＝，x0y0≥≥，时，方程化为22124x y+＝；当x0y0＜，＞时，方程化为22124x y-+＝，当x0y0＞，＜时，方程化为22124x y-＝，当x0y0＜，＜时，无意义，由圆锥曲线可作出方程124x x y y+＝，和直线22y x=-+与的图象，由图象可知，交点的个数为2.考点：基本不等式，直线与圆锥曲线的位置关系.评卷人得分三、解答题（题型注释）8．设命题P：函数3()1f x x ax=--在区间[-1，1]上单调递减；命题q：函数2ln(1)y x ax=++的值域是R.如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围. 【答案】(,2][2,3)a∈-∞-⋃【解析】试题分析：由函数3()1f x x ax=--在区间[-1，1]上单调递减转化为其导函数'()0f x≤在[-1，1]上恒成立，分离变量可求解；由函数2ln(1)y x ax=++的值域是R转化为210y x ax=++>对任意的实数x有意义，因此其判别式0∆≥.再结合两命题的真假分类讨论求解a的取值范围.试题解析：p为真命题2()30f x x q'⇔=-≤在[]1,1-上恒成立，４５23a x ⇔≥在[]1,1-上恒成立3a ⇔≥ 4分q 为真命题240a ⇔∆=-≥恒成立 22a a ⇔≤-≥或 6分由题意p 和q 有且只有一个是真命题 P 真q 假3,22a a a ϕ≥⎧⇔⇔∈⎨-⎩p p p 假q 真32322a a a a a ⎧⇔⇔≤-≤⎨≤-≥⎩p p 或2或综上所述：(,2][2,3)a ∈-∞-⋃. 12分考点：1.命题的真值表；2.恒成立转化；3.导数判函数单调性.9．已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．（1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数t 的取值范围；（3）求证：()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑．【答案】（1）2(,1)3；（2）(,2]-∞；（3）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力和思维的严谨性.第一问，考查求导求极值问题；第二问，是恒成立问题，将第一问的()f x 代入，整理表达式，得出(1)(1ln )x x t x++≤，构造函数()g x ，下面的主要任务是求出函数()g x 的最小值，所以min ()t g x ≤；第三问，是不等式的证明，先利用放缩法构造出所证不等式的形式，构造数列，利用累加法得到所证不等式的左边，右边利用裂项相消法求和，再次利用放缩法得到结论.试题解析：（1）由题意()1ln x k f x x +==，0x >,所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭2分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值．因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值，所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，． 4分６（2）由()1tf x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤，令()()()11ln x xg x x ++=，则()2ln x xg x x -'=． 6分令()ln h x x x =-，则()111=xh x x x-'=-，因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增． 8分所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=所以实数t 的取值范围是(],2-∞． 10分（3）由(2) 知()21f x x ≥+恒成立, 即1ln 2122ln 11111x x x x x x x x+-≥⇔≥=->-+++ 12分令()1,x n n =+则()()2ln[1]11n n n n +>-+， 14分所以()2ln 12112⨯>-⨯， ()2ln 23123⨯>-⨯， ,()()2ln 111n n n n +>-+．将以上n 个式子相加得：()1111ln[(i 1)]212231ni i n n n =⎡⎤+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦∑12121n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭，故()*1ln[(i 1)]2ni i n n N =+>-∈∑． 16分考点：1.函数极值的求法；2.恒成立问题；3.求函数的最值；4.放缩法；5.裂项相消法. 10．已知函数1331(223+-+=x m mx x x f ），m ∈R . （1）当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）若)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）025315=--y x （Ⅱ）3m ≥或2m ≤-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数的导数,切线的斜率()2k f '= ,利用点斜式写出直线方程, （Ⅱ）求函数()f x 导数,解方程()0f x '= ,确定函数的单调区间M ,又有()2,3M m -⊆⇒ 的取值范围.７试题解析：（Ⅰ）当1=m 时，321()313f x x x x =+-+，又2'()23f x x x =+-，所以'(2)5f =.又5(2)3f =，所以所求切线方程为 55(2)3y x -=-，即153250x y --=.所以曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为025315=--y x . 6分（Ⅱ）因为2232('m mx x x f -+=），令'(0f x =），得3x m =-或x m =. 8分当0m =时，2'(0f x x =≥）恒成立，不符合题意. 9分当0m >时，()f x 的单调递减区间是(3,)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，则32,3.m m -≤-⎧⎨≥⎩解得3m ≥. 11分当0m <时，()f x 的单调递减区间是(,3)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，则2,3 3.m m ≤-⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-.综上所述，实数m 的取值范围是3m ≥或2m ≤-. 13分考点：函数的导数求法,及导数的几何意义及应用,直线点斜式方程,解方程不等式. 11．已知a b c ，，为ABC △的内角A B C ，，的对边，满足ACB AC B cos cos cos 2sin sin sin --=+()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,]3π上单调递增，在区间2[,]33ππ上单调递减.（Ⅰ）证明：a c b 2=+；（Ⅱ）若A f cos )9(=π，证明ABC △为等边三角形．【答案】（1）根据正弦定理和两角和差关系的运用来得到证明。

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司中考数学函数重点难点突破解题技巧传播五

函数重点难点突破解题技巧传播五课前集训1已知：434a b x x x ⋅=且()0347b a -+无意义，求4(49)9(4)5a a b b b a ---+的值. 【答案】33 【解析】试题分析：先根据434a b x x x ⋅=且()0347b a -+无意义可得434,3470.a b b a +=⎧⎨-+=⎩，然后对代数式4(49)9(4)5a a b b b a ---+去括号整理，最后整体代入求值即可.解:由题意得434,3470.a b b a +=⎧⎨-+=⎩()2222163636951695(43)435a ab ab b a b a b a b =-+-+=-+=+-+原式.434,437a b a b +=-=将代入上式，得(43)(43)528533.a b a b =+-+=+=原式考点：代数式求值点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分. 2如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（）A ．∠POQ 不可能等于90° BC ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称D ．△POQ【答案】D. 【解析】试题分析： A ．∵P 点坐标不知道，当PM=MQ 时，并且PM=OM ，∠POQ 等于90°，故此选项错误； B ．根据图形可得：k 1＞0，k 2＜0，而PM ，QMC ．根据k 1，k 2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；D ．∵|k 1|=PM•MO，|k 2|=MQ•MO，△POQ 的面积=MO•PQ=MO （PM+MQ ）=MO•PM+MO•MQ，∴△POQ故选：D ．考点：反比例函数综合题． 31．已知：0132=+-a a ，则）A ．1 C ．-1 D ．-5 【答案】B 【解析】试题分析：本题根据题意可得：2a +1=3a ，两边同除以a 得：，则2=3－2=1．考点：代数式求值的技巧．4 2．设，，，…，，S 4＝，S ＝（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．【解析】所以S ＝…考点：二次根式，有理数的运算.5【答案】－3. 【解析】试题分析：sin60°1－2.试题解析：原式=－1=－3. 考点：实数的计算.6【答案】－3. 【解析】试题分析：sin60°1－2.试题解析：原式=－1=－3. 考点：实数的计算.7阅读下面材料，并解答问题．解：由分母为2x 1-+，可设()()4222x x 3x 1x a b --+=-+++则()()()()422242242x x 3x 1x a b x ax x a b x a 1x a b --+=-+++=--+++=---++∵对应任意x ，上述等式均成立，∴a 11a b 3-=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1。

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高三数学《函数》重点难点高频考点串讲五

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学《函数》重点难点高频考点串讲五1若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.[答案] k ＝±1[解析] 解法1 若定义域中包含0，则f (0)＝0，解得k ＝1；若定义域中不包含0，则k ＝－1，验证得此时f (x )也是奇函数．解法2 由f (－x )＋f (x )＝0恒成立，解得k ＝±1.[点评] 解此题时，容易受习惯影响漏掉k ＝－1.熟悉的地方也有盲点，知识不全面、平时练习偷懒、保量不保质、解题后不注意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正原因．2设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7 5)等于解析 f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)=f (－0.5)=－f (0.5)=－0.53已知f (x )=xx a 2112+-⋅ (a ∈R )是R 上的奇函数，则a=解 (1）a =14(2011年高考浙江卷理科11)若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。

【答案】 0【解析】：：22()(),)f x f x x x a x x a -=--+=-+即(-，则,,0x a x a x R a -=+∈∴=5已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()cos f x x a x π=+⋅，若(1)2f =，则实数a = 3 。

6若()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a= . 【答案】4【解析】2()()(4)(4)4f x x a x x a x a =+-=+--,因为函数()f x 是偶函数,所以必有40a -=,即4a =.7(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(0,x x f x g x a a a -+=-+>且1)a ≠，若(2)g a =，则(2)f =A.2B.154C.174D.2a8已知函数22()(3)3,[2,]f x ax b x x a a =+-+∈-是偶函数，则a b +=___________．49已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2， f (2)<3，求a ，b ，c 的值．[解析] 由f (－x )＝－f (x )，得－bx ＋c ＝－(bx ＋c )， ∴c ＝0.又f (1)＝2，得a ＋1＝2b ，而f (2)<3，得4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，又a ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1.若a ＝0，则b ＝12∉Z ，应舍去；若a ＝1，则b ＝1∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.10（2007·宁夏、海南卷）设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．解：(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=⇒++=∴=-11（2007·江苏卷）设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞解：依题意，得)0(f ＝0，即)2lg(a +＝0，所以，a ＝－1，xxx f -+=11lg )( ，又()0f x <，所以，1110<-+<xx，解得：－1＜x ＜0，故选（A ）。

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高一数学必修课程中的重点难点及突破策略

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【备战期末】江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学 解题技巧传播重点难点突破(四)(教师版)