动力响应理论

第2章 动力响应理论

2.1引言

机柜结构动力响应的计算机仿真分析是以设备动力响应理论为基础的，是进行设备结构动力响应研究的一种有效手段。论文中主要研究设备动力响应两个方面的内容：设备结构固有特性分析和结构在地震波作用下的响应分析。固有特性分析可以得到结构的固有频率和固有振型，是进行响应分析的基础；地震波响应分析将得到设备响应的时间历程变化。在使用有限元工具对结构进行建模、分析之前必须掌握结构动力响应的理论和相关的有限元基本原理。因此，本章重点叙述了与设备结构动力响应相关的机械振动学理论及其有限元仿真技术。

2.2结构动力响应分析相关理论

2.2.1结构固有特性分析理论

机柜设备结构的固有特性包括固有频率和振型，是响应分析的基础。通过进行结构的固有特性分析可以使设计有效地避开结构的共振频率。机柜设备是一个复杂振动系统，在理论分析过程中，常常可以把机柜设备简化为多自由度集中参数系统。

一般，多自由度系统的自由振动方程可以写成如下形式：

{}...

[]()[]{()}[]{()}{0}M x t C x t K x t ++= (21)a -

式中：[]M ， []C 和[]K 分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;()x t 、.()x t 、

..

()x t 分别为系统的位移列向量、速度列向量和加速度列向量。而多自由系统的无阻尼自由振动方程可以写成如下形式:

{}..

[]()[]{()}{0}M x t K x t += (21)b -

通常系统的自由振动是简谐振动，所以可以假设式 (21)b -的解为： {()}{}sin x t X pt = (22)- 式中：{}X 为系统的振幅列向量;p 为系统的自由振动频率。将(22)-代入(21)b -，就可以得到系统的振型方程，其具体形式如下：

2[][]{}{0}K M X p -= (23)- 可以看到，式(23)-是一个齐次线性方程组，根据线性代数知识，它具有非零解的充分必要条件为系数矩阵的行列式为零，亦即有下式成立。

2[][]0K M p -= (24)- 式 (24)-称为系统的特征方程或频率方程，他是关于

2p 的n 次代数方程。解之，我们可以得到n 个解。具体如下：

2222123n p p p p ≤≤≤≤ (25)- 若系统为正定系统，则有

20(1,2,3,,)i p i n ≥= (26)-

式中：i p 为系统的第i 阶固有圆频率。将

i p 分别代入系统的振型方程（2-3）中，可以解得与之对应的振幅列向量{}i X ，也称为系统的主模态或主振型。

注意：

（1）系统固有频率和模态的数目与系统拥有的自由度数相同，n 自由度系统必有n 阶固有频率和模态（主振型）。

（2）系统的固有频率仅与系统的质量矩阵和刚度矩阵有关，而与外界干扰力无关，它们是系统本身的固有性质。

（3）系统的主振型{}(1,2,3,,)i X i n =表示系统以频率i p 作自由振动时系统的各 个自由度的振幅的相对比值。

2.2.2结构冲击响应分析理论

通过系统的自由振动方程，可以解得系统得固有频率和主振型。在冲击激励作用下，多自由度系统振动将作受迫振动。利用激励响应理论可以解得系统受迫振动过程中系统的响应。

2.2.2.1 多自由度系统的受迫振动方程

多自由度系统的受迫振动方程可以写成如下形式：

...

[]{()}[]{()}[]{()}{()}M x t C x t K x t f t ++= (27)- 式中：{()}f t 为系统受到的激励力向量，如果系统受到基础加速度激励则激励力向量就是该加速度系统的等效惯性力；其他符号的意义同式（2-1）。通常情况下，系统的各个自由度之间存在耦合，方程（2-7）中的[]M 、[]C 和[]K 不是对角阵，方程难以求解。为了得到系统的响应必须选择适当的坐标系将（2-7）式解耦。

2.2.2.2振动方程的解耦

（1）正则振型与正则振型矩阵

在对振动方程解耦之前先介绍系统的正则振型与正则振型矩阵的概念。通过式（2-3）与式（2-4）已经求得系统的各阶固有频率

(1,2,3,,)i p i n =和相应的主振型{}(1,2,3,,)i X i n =。令

1

{}{}(1,2,3,,)i i i x X i n μ== (28)- 使得

{}[]{}1(1,2,3,,)T i i i M X M X i n === (29)- 式中：{}i X 为第i 阶正则振型；

i μ为待定系数。将（2-8）带入（2-9），可以得

到 (1,2,3,,)

i i M i n μ== (210)-

将（2-10）带入（2-8）可得到各阶正则振型，进而可以写出正则振型矩阵，具体如下：

~123[]{{}{}{}{}}n P X X X X = (211)- （2）振动方程解耦

由于各阶主振型关于[]M 、[]K 是正交的，各阶正则振型也是关于[]M 、[]K 正交的，可以利用正则振型矩阵来对振动方程进行解耦。选取一组广义坐标()q t 又称为主坐标，令

{()}[]{()}x t P q t = (212)-

将（2-12）代入（2-7）中，并且将方程两端左乘[]T P ，则可以得到解耦后的振

动方程：

..~.~

[]{()}[]{()}[]{()}{()}I q t C q t q t f t ++Λ= (213)a - 式中，[]I 为单位阵；[]Λ伪对角阵，其对角限元素为各阶固有频率的平方；~[]C 为对角化的阻尼阵，采用比例阻尼假设，其对角线上的第i 个元素为： ~

2i i c p αβ=+ (213)b - ~{()}f t 为外力对角阵，可进一步表示为：

~~{()}[]{()}T f t P f t = (213)c - 式（2-13a ）是一个非齐次线性方程组，其中第i 个方程可以写成：

..~2()()()()i i i i i q t c q t p q t f t ++= (214)- 式中，()i q t 为第i 个主坐标。

2.2.2.3单自由度系统对任意激励的响应