天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 9.6双曲线
2018-2019年高考理科数学一轮二轮专题复习：9.6双曲线
关闭
2 3 3
答案
-11知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
解析
������2 如图,∵双曲线 9
−
������2 ������
2 =1(b>0),
过其右焦点 F 作圆 x2+y2=9 的两条切线,切点记作 C,D, 双曲线的右顶点为 E,∠CED=150°, ∴∠FOC=180°-2∠OEC=30°,∠OCF=90°,
������2 ������2 的标准方程为 − =1(m>0),其渐近线方程为 3������ 3
������y=±x,不妨选取右焦点 F( 3������ + 3,0)到其中一条
3������+3 ������+1
关闭
A 渐近线 x- ������y=0 的距离求解,得 d=
= 3.故选 A.
解析 答案
������2 − 2 =1(a>0,b>0)的离心 ������ 关闭
(
答案
)
-8知识梳理 双基自测
1
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4
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2.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一 条渐近线的距离为( )
A. 3
B. 3m
C.3
D.3m
关闭
双曲线 C y=±
������ x,即 ������
a,b,c c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 的关系
-6知识梳理 双基自测
1
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3
3.常用结论 (1)渐近线的斜率与离心率的关系
������2 ������2 ������ 双曲线������2 − 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率������ ������
高三数学一轮复习课件9.6 双曲线
长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长
为
.
答案: (1)B (2)44
考点1
考点2
考点3
-20-
解析: (1)由题意知a=1,b=1,c=2,
故|F1F2|=22. 在△PF1F2中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°
=|F1F2|2=8,
A(0, 2 ),则△APF周长的最小值为
.
思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形?
答案: (1)x2-���8���2=1(x≤-1) (2)34 (3)12 6
考点1
考点2
考点3
-16-
解析: (1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,
考点1
考点2
考点3
-19-
对点训练1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点 P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)已知F为双曲线C:
������2 9
−
1������62=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的
()
(4)等轴双曲线的离心率等于 2,且渐近线互相垂直. ( )
(5)若双曲线������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)与������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)的离心
率分别是 e1,e2,则���1���12 + ���1���22=1.
2021年高考数学总复习 第9章 第6节 双曲线课时跟踪检测 理(含解析)新人教版
2021年高考数学总复习 第9章 第6节 双曲线课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1．(xx·北京高考)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2解析：选C 该双曲线离心率e ＝1＋m1，由已知1＋m ＞2，故m ＞1，故选C.2．(xx·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B|sin A －sin C |为( ) A.32 B.23 C.54 D.45解析：选C 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝b |a －c |，由双曲线的标准方程和定义可知，A ，C 是双曲线的焦点，且b ＝10，|c －a |＝8.所以sin B |sin A －sin C |＝b |a －c |＝54.故选C.3．(xx·杭州质检)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线C 的离心率为5，则cos ∠PF 2F 1等于( )A.35B.34C.45D.56解析：选C 据题意可知PF 1⊥PF 2，设|PF 1|＝n ，|PF 2|＝m ，又由双曲线定义知m －n ＝2a ①；由勾股定理可得m 2＋n 2＝4c 2②；又由离心率e ＝c a＝5 ③，由①②③解得m ＝8a ，故cos ∠PF 2F 1＝|PF 2||F 1F 2|＝m 2c ＝8a 2×5a ＝45.故选C.4．(2011·山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：选A 由题意得x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay＝0，又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，所以a 2＋b 2＝32＝9，且|3b |a 2＋b 2＝2，解得a 2＝5，b 2＝4.所以该双曲线的方程为x 25－y 24＝1.故选A.5．(xx·皖南八校联考)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，且△F 1PF 2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．5解析：选D 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，且m >n ，|F 1F 2|＝2c ，由题可知△F 1PF 2为直角三角形且F 1F 2为斜边．由双曲线的性质和勾股定理得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2a ， ①m 2＋n 2＝4c 2， ②2m ＝n ＋2c ， ③由①③得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2c －2a ，n ＝2c －4a ，代入②得(2c －2a )2＋(2c －4a )2＝4c 2，整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，两边同时除以a 2，得e 2－6e ＋5＝0，解得e ＝5或e ＝1.又e ＞1，所以e ＝5.故选D.6．(xx·太原模拟)设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选C 设线段PF 1的中点为M ，由于|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝2c2－2a2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，根据双曲线的定义得4b －2c＝2a .所以2b －a ＝c ，所以(2b －a )2＝a 2＋b 2，化简得3b 2－4ab ＝0，所以3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝43x ，即4x ±3y ＝0.选C.7．(xx·苏锡常镇调研)若双曲线x 2－y 2a＝1(a ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于3，则此双曲线方程为______．解析：x 2－y 23＝1 双曲线x 2－y 2a＝1(a ＞0)的一个焦点(1＋a ，0)到一条渐近线ax －y＝0的距离为a 1＋a a ＋1＝3，解得a ＝3，故此双曲线方程为x 2－y 23＝1.8．(xx·陕西五校模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是______．解析：(5，＋∞) 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x有交点，则b a ＞2，从而b 2a 2＞4.所以c 2－a 2a 2＞4，解得e 2＝c 2a2＞5，故e ＞ 5.9．(xx·茂名质检)设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：3215 由条件知c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－6430，所以S ＝12×(5－3)×6430＝3215.10．(xx·湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析： 3 不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .由2a ＜2c ，得∠PF 1F 2＝30°， 由余弦定理得cos 30°＝2c2＋4a 2－2a 22×2c ×4a，整理得c 2＋3a 2－23ac ＝0，所以e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． (1)解：由e ＝2知a ＝b . 故设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵双曲线过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，解得λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，∴k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)解：在△F 1MF 2中|F 1F 2|＝43， 由(2)知m ＝± 3.所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， 从而S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．(xx·泰州质检)已知点N (1,2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A ，B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)．(1)求直线AB 的方程；(2)若过N 的另一条直线交双曲线于C ，D 两点，且CD →·AB →＝0，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？解：(1)由题意知直线AB 的斜率存在． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋2x 2－y 22＝1消去y 整理得(2－k 2)x 2－2k ·(2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根， 所以2－k 2≠0且x 1＋x 2＝2k 2－k2－k2. ∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1，∴k (2－k )＝－k 2＋2，解得k ＝1， 所以AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)将k ＝1代入方程(*)得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， 设A (－1,0)，B (3,4)．∵CD →·AB →＝0，∴CD 垂直平分AB . ∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0， 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点为M (x 0，y 0)， 则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11， ∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，∴y 0＝6，故点M (－3,6)．∵|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2x 3＋x 42－4x 3x 4＝410，∴|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210，又|MA |＝|MB |＝210， ∴A ，B ，C ，D 到M 的距离相等， ∴A ，B ，C ，D 四点共圆.1．(xx·辽宁五校联考)已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 210＝1(x ＞0)C ．x 2－y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)解析：选A 如图设过点P 的两切线分别与圆切于S 、T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．故选A.2．(xx·邯郸摸底考试)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点为M ，且有|MF 1|＝c ，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 2D ．2解析：选D 因为F 2关于渐近线的对称点为M ，又由双曲线的几何性质知焦点到渐近线的距离为b ，所以|MF 2|＝2b ，又|F 1M |＝c ，|F 1F 2|＝2c ，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2，所以3c 2＝4(c 2－a 2)，所以c 2＝4a 2，c ＝2a ，e ＝2.故选D.3．(xx·重庆质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且2a 2＝3c .若双曲线C 上的点P 满足PF 1→·PF 2→＝1，则|PF 1→|·|PF 2→|的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2332a 2＝3c，解得⎩⎨⎧a ＝3c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.设|PF 1→|＝r 1，|PF 2→|＝r 2，不妨令r 1＞r 2＞0，∠F 1PF 2＝θ，∵PF 1→·PF 2→＝1，∴r 1r 2cos θ＝1，又r 1－r 2＝23，∴r 21＋r 22－2r 1r 2＝12，∴r 21＋r 22＝2r 1r 2＋12，又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ，即16＝2r 1r 2＋12－2，∴r 1r 2＝3，即|PF 1→|·|PF 2→|＝3.故选C.4．(xx·大纲全国高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a 、b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．(1)解：由题设知c a ＝3，所以a 2＋b 2a2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，求得x ＝± a 2＋12.由题设知2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8. 设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |＜22，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －38x 2－y 2＝8消去y 整理得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，且x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1·x 2＝9k 2＋8k 2－8.所以|AF 1|＝x 1＋32＋y 21＝x 1＋32＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝x 2＋32＋y 22＝x 2＋32＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1， 所以x 1＋x 2＝－23，故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1·x 2＝－199.由于|AF 2|＝x 1－32＋y 21＝x 1－32＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝x 2－32＋y 22＝x 2－32＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．28799 707F 灿 31478 7AF6 競840770 9F42 齂 D26205 665D 晝€28353 6EC1 滁C31563 7B4B 筋38260 9574 镴20485 5005 倅n。
天津塘沽区紫云中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析
天津塘沽区紫云中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中a，b的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，可得，∴，可得，双曲线的渐近线方程为：y=±．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．2. 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切(为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B3. (1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则(A) (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]参考答案：D4. 如图是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 设是方程的两个根，则的值为（）A. -3B. -1C. 1D. 3参考答案：A试题分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）=-3，故选A.考点：两角和与差的正切函数公式点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．6. 如果，且是第四象限的角，那么=（）A．B．C．D．参考答案：D略7. 定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，当时，，且在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的零点的个数为_______.参考答案：20得，f(x)-sin x=0T f(x)=sin x=g(x)，只要考虑y=f(x)与y=g(x)的交点个数.由题设，f(x)的值域为(0,1)，故当g(x)=sin x>0时两者才有交点.令sin x>0T2kπ<x<2kπ+π，又x?[-10π,10π]，∴k=-5,-4,…,4,即有10个正值区间，而第个正值区间上有2个交点，故共有20个零点.【答案】【解析】8. 函数的图像Ａ．关于y轴对称Ｂ．关于x轴对称Ｃ．关于直线y=x对称Ｄ．关于原点对称参考答案：D略9. 已知点A为半径为3的球O1上任意一点，BC为半径为2的球O2的任意一条直径，若两球的球心重合，则=（）A．4 B．5 C．6 D．13参考答案：B略10. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. (几何证明选讲选做题) 如图（3）所示，是半圆周上的两个三等分点，直径，，垂足为，与相交于点，则的长为．参考答案：略12. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且，则（cosA ﹣cosC ）2的值为．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a+c=2b ，由正弦定理可得，进而由三角函数公式可得．【解答】解：∵a，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b， 由正弦定理可得，∵（cosA ﹣cosC ）2+（sinA+sinC ）2=2﹣2cos （A+C ），∴，故答案为：．【点评】本题考查等差数列的性质，涉及正弦定理和三角函数公式，属中档题． 13. 若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则其外接球的体积为__________．参考答案：；14. （几何证明选讲选做题）如图ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．下面的结论正确的 是 ．①CE·CB=AD·DB;②CE·CB=AD·AB; ③AD·AB=CD 2参考答案：15. 设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为 ．参考答案：第3次首次测到次品，所以第1次和第2次测到的都是正品，第3次测到的是次品，所以第3次首次测到次品的概率为，故填.16. 一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为.参考答案：17. 设函数f （x ）=﹣3x+7，g （x ）=lg （ax 2﹣4x+a ），若?x 1∈R，?x 2∈R，使f （x 1）=g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．参考答案：[0，2]【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】对任意的x ，f （x ）的值域为R ，要使，?x 2∈R，使f （x 1）=g （x 2），则g （x ）的值域也应为R ，则ax 2﹣4x+a 能取遍所以正数，对a 进行分类讨论，得出a 的范围． 【解答】解：?x 1∈R， ∴f（x ）=﹣3x+7∈R， ?x 2∈R，使f （x 1）=g （x 2），∴g（x ）=lg （ax 2﹣4x+a ）的值域也应为R ， 当a=0时，g （x ）=lg （﹣4x ），显然成立， 当a≠0时，∴ax 2﹣4x+a=0有实根，且a ＞0， ∴△=16﹣4a 2≥0， ∴0＜a ＜2，∴a 的范围为[0，2]． 故答案为[0，2]．【点评】考查了对数函数值域为R 时对x 的取值范围的转化问题．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
【新人教A版】2024版高考数学一轮总复习第9章解析几何第6节双曲线课件
时,点P的轨迹是双曲线;
(2)当
2a=|F1F2|
时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当
2a>|F1F2|
时,点P不存在.
微点拨若2a=0,则点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
,两焦
微思考若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,
则点的集合是双曲线的哪一支?
第九章
第六节 双曲线
内
容
索
引
01
强基础•固本增分
02
研考点•精准突破
课标解读
1.了解双曲线的实际背景,感受双曲
线在刻画现实世界和解决实际问题
中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和
标准方程,以及它们的简单几何性质.
3.通过双曲线的学习,进一步体会数
形结合的思想.
衍生考点
核心素养
1.直观想象
1.双曲线的定义及应用
0
=1.
2
F1,F2,点 P(x0,y0)为双曲线
上任意一点,且不与点 F1,F2 共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为
2
tan
2
2
3.若点 P(x0,y0)在双曲线 2 −
0
0
02
02
方程为 2 − 2 = 2 − 2 .
2
=1(a>0,b>0)内,则被点
(1)定义:实轴和虚轴的长相等的双曲线叫做等轴双曲线;
(2)性质:①两渐近线垂直且方程为y=±x,②离心率为e=
2.
常用结论
2
1.过双曲线 2
双曲线-高中数学复习
｜｜ MF 1｜－｜ MF 2｜｜＝2 a
0＜2 a ＜｜ F 1 F 2｜
结论1
M 点的轨
迹为双曲
线
结论2
F 1， F 2
焦点；
｜ F 1 F 2｜
为双曲线的
为双曲线
的焦距
提醒 （1）当2 a ＝｜ F 1 F 2｜时， M 点的轨迹是两条射线；
（2）当2 a ＞｜ F 1 F 2｜时， M 点不存在.
高中总复习·数学
2. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
高中总复习·数学
范围
性
质
对称性
顶点
渐近线
x ≥ a 或 x ≤－ a ， y
∈R
对称轴： 坐标轴
A 1（－ a ，0），
A 2（ a ，0）
y ≤－ a 或 y ≥ a ， x ∈R
；对称中心： 原点
A 1（0，－ a ）， A 2（0， a ）
2｜＝4或16.
高中总复习·数学
1. 双曲线方程的常见设法
2
2
（1）与双曲线 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）共渐近线的方程可设为
2
2
－ 2 ＝λ（λ≠0）；
2
（2）若渐近线的方程为 y ＝± x （ a ＞0， b ＞0），则可设双曲线
2
2
方程为 2 － 2 ＝λ（λ≠0）.
高中总复习·数学
2. 双曲线中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b ；
（2）若 P 是双曲线右支上一点， F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦
高三高考数学复习课件9-6双曲线
(4)已知双曲线 x2－y32＝1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为 双曲线右支上一点，则P→A1·P→F2的最小值为________．
【解析】 (1)如图，由题意知 A 点的纵坐标为ba2，若△ABE 是锐角三角形，则必有∠AEF<45° ，
b2 ∴tan∠AEF＝a＋a c<1，则 c2－ac－2a2<0， ∴e2－e－2<0，∴－1<e<2.又 e>1，∴1<e<2. (2)因为 e＝ac＝54，所以 c＝45a，设双曲线的一条渐近线方程 为 y＝abx，即 ax－by＝0，焦点为(0，c)，所以 ab2＋c b2＝b＝3，所
焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
1
3
A.4
B.5
3
4
C.4
D.5
(2)设双曲线x42－y22＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的
直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为
________．
【解析】 (1)双曲线方程可化为x22－y22＝1，
(2)(2018·武汉调研)双曲线 C：ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的离心率 为45，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的实轴长等于________．
(3)(2018·广州测试)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左 顶点为 A，右焦点为 F，点 B(0，b)，且B→A·B→F＝0，则双曲线 C 的离心率为________．
【解析】 由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±b2x，圆的方
程为 x2＋y2＝4，联立
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一、选择题(每小题7分，共35分)
1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( ) A.17 B.15 C.174 D.154 2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的实轴长是焦距的12
，则该双曲线的渐近线方程是( ) A ．y ＝±32x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±22x 3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12
x B ．y ＝±2x C ．y ＝±4x D ．y ＝±14
x 4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a
的最小值为( ) A.233 B.33 C ．2
D ．1 5．(2010·全国Ⅰ)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2
＝60°，则||PF 1·||PF 2等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212
＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．
7．已知中心在原点的双曲线C ，过点P (2，3)且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为______________________．
8．设点F 1，F 2是双曲线x 2－y 2
3
＝1的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积为________． 9．已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上一点，PF 1⊥PF 2，且tan∠PF 1F 2＝12
，则此双曲线的离心率e ＝________.
三、解答题(共41分)
10．(13分)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0.
(1)若双曲线经过P (6，2)，求双曲线方程；
(2)若双曲线的焦距是213，求双曲线方程；
(3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程．
11．(14分)求适合下列条件的双曲线的离心率．
(1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32
x ； (2)过焦点且垂直于实轴的弦与双曲线的交点与另一焦点的连线所成角为90°；
(3)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34
c . 12．(14分)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线23
3-=x y 与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使t OM =+,求t 的值及点D 的坐标．
答案
1．A 2. C 3. A 4. A 5. B 6. 4 7. x 23－y 29＝1或y 253－x 25＝1 8. 315 9. 5
10. 解 方法一 由双曲线的渐近线方程y ＝±2
3x ，
可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ (λ≠0)．
(1)∵双曲线过点P (6，2)，
∴6
9－4
4＝λ，λ＝－1
3，
故所求双曲线方程为34y 2－13x 2
＝1.
(2)若λ>0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ.
c 2＝a 2＋b 2＝13λ.
由题设2c ＝213，∴λ＝1，
所求双曲线方程为x 29－y 2
4＝1.
若λ<0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ，c 2＝a 2＋b 2＝－13λ.
由2c ＝213，∴λ＝－1，
所求双曲线方程为y 24－x 2
9＝1.
所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 2
9＝1.
(3)若λ>0，则a 2＝9λ，由题设2a ＝6，∴λ＝1.
所求双曲线方程为x 29－y 2
4＝1，
若λ<0，则a 2＝－4λ，由题设2a ＝6，∴λ＝－9
4，
所求双曲线方程为y 29－4x 2
81＝1.
故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 2
81＝1.
方法二 (1)由双曲线渐近线的方程y ＝±2
3x ，
可设双曲线方程为x 2
m －y 2
n ＝1 (mn >0)．
∵双曲线过点P (6，2)，∴m <0，n <0.
又渐近线斜率k ＝±23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6m －4n ＝1
－n －m ＝2
3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－3n ＝－43， 故所求双曲线方程为3
4y 2－13x 2
＝1.
(2)设双曲线方程为
x 2a 2－y 2
b 2＝1或y 2a 2－x 2
b 2＝1 (a >0，b >0)．
∵c 2＝a 2＋b 2，∴13＝a 2＋b 2， 由渐近线斜率得b
a ＝2
3或a
b ＝2
3，
故⎩⎪⎨⎪⎧ b
a ＝23a 2＋
b 2＝13或⎩⎪⎨⎪⎧
a b ＝23a 2＋b 2＝13. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2
＝9b 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4b 2＝9.
∴所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 2
9＝1.
(3)由(2)所设方程
可得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝232a ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧
a b ＝232a ＝6，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3
b ＝92
.
故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1. 11. 解(1)若焦点在x 轴上，则b
a ＝3
2，
∴e ＝b 2a 2＋1＝13
2；
若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝2
3，
∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上，双曲线的离心率为132或133. (2)如图所示，∠AF 1B ＝90°， ∴|F 1F 2|＝1
2|AB |，
∴2c ＝b 2a ，即2c a ＝b 2
a 2，
∴2e ＝e 2－1，即e 2－2e －1＝0，
∴e ＝1＋2(舍去负值)．
因此离心率为1＋ 2.
(3)方法一 由直线l 过(a,0)、(0，b )两点， 得直线l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.
由原点到直线l 的距离为3
4c ，得ab a 2＋b 2＝3
4c .
将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，
3⎝ ⎛⎭⎪⎫c
2a 22
－16×c 2
a 2＋16＝0，即3e 4－16e 2
＋16＝0. 即e 2＝4
3或e 2＝4，∴e ＝23
3或e ＝2，
∵0<a <b ，
∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b
2
a 2>2，∴离心率为2. 方法二 依题意得，直线l ：bx ＋ay －a
b ＝0. 由原点到直线l 的距离为3
4c ，
得ab
a 2＋
b 2＝34
c ，即ab ＝3
4c 2.
∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2，即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0，
∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫b
2a 22
－10⎝ ⎛⎭⎪⎫b
2a 2＋3＝0，解得b 2a 2＝13或b
2
a 2＝3.
又0<a <b ，∴b 2
a 2＝3.∴e ＝1＋
b 2
a 2＝2.
12. 解(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b
23x ，
即bx －23y ＝0，∴|bc |
b 2＋12＝3，
∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2
12－y 2
3＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，
将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则 x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0y 0＝43
3，x 2012－y 203＝1， ∴
⎩⎨⎧ x 0＝4
3，
y 0＝3， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。