期末冲刺讲义(一)

p2 q2
2 3
p6 q6
6
p2 q2
2
3p4 q4
2 ，这与根号
2
是无理数矛盾
【知 3】除了常见的平方差公式，和的平方等公式以外，还有一些常用的公式：
x3 y3 (x y)(x2 xy y 2 );(x y z)2 x2 y 2 z 2 2xy 2 yz 2xz.
此外，这两个因式分解请务必熟练： xn 1 x 1 xn1 xn2 1 ；
求证这 2017 个有理数均为 0.
设其中有 k 个正，去绝对值求和，设连等为 m 0, k m 2017 k (m) 0 m 0 ai 同号，则均为 0.
【知 6】对一元一次方程，既要能按部就班，严格按步骤正确解方程，要熟悉一元一次方程无解、唯一解、
无穷解的条件；对于特殊的类型，也要能随机应变，巧解方程。应用题也是如此.
期末冲刺讲义（一）：实数、绝对值与一次方程组
【知 1】每一个十进制循环小数能化为整数或分数，任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数（假
定后面没有数了算作 0 的循环）.（请自行证明）
【例 1】
已知无限循环小数 0.a b 0.a b c
33 , 求 abc.
37
10a b 100a 10b c 33 221(10a b) 11c 992 , 0 11c 99,10a b 44, c 7.
5
20
5
【知
7】二元一次方程组的解：对于
a1x a2 x
b1 y b2 y
c1 c2
,
当
a1b2
a2b1
时，方程组有唯一一组解： x
y
b2c1 a1b2 a1c2 a1b2
b1c2 a2b1 a2c1 a2b1
, .
当 a1b2 a2b1;a1c2 a2c1;b1c2 b2c1 中任两个成立时，方程组有无穷多组解；通常来说，不考虑 0 的情况，我
【例 7】求 x 1 2x 3 4x 8 的最大值.
x 1 2x 3 4x 8 x 1 (x 2) 2x 3 (2x 4) x 2 10. 且 x = 2 时能取到.
【例 8】已知有理数 a1, a2 ,, a2017 满足和为 0，且 a1 2a2 a2 2a3 a2016 2a2017 a2017 2a1 .
2
2
2
x an1 时，取到最小值： an an1 an3 an1 a1.
2
2
2
当 n 为偶数时， x a1 x a2 x an x a1 an x x a2 an1 x x an an 1 x .
2
2
an x an 1 时，取到最小值： an an1 an 1 an a1.
x2n1 1 x 1 x2n x2n1 1 i x2ni x 1
【例 4】 3 3 2 1 1 1 3 2 3 4 , 求 a. 3a
3
2
1
(3
3
2) 2
3 1
1
3
a
27 a
(3
2
1)(3
2
1)3
(3
2
1)(3 33
2
33
4)
3
a
9.
【知 4】下例是绝对值的和的经典结论，务必掌握其基于数轴的几何意义的原理.注意证明过程中绝对值不
2017
2018
2019
（备选）有十个人要从 A 地前往 12 千米外的 B 地，但自行车不足人手一个，已知步行速度 5 千米/小时，
骑行速度 20 千米/小时，忽略换车的时间，所有人尽量快地到达 B 地共用了一个半小时，那么有几辆自行
车？
(10 x) 12 x 12 10 1.5 9 9x x 5.
们用 a1 b1 c1 来判定. a2 b2 c2
当 a1b2
a2b1 , a1c2
a2c1 时，方程组无解.通常来说，不考虑
0 的情况，我们用
a1 a2
b1 b2
c1 c2
来判定.
【例
11】
2a
(3a
3b 4b
1x a b
5)x (2 2b
1y 3,
99
999
37
【例 2】求
1
1
2
3
1 1
1
2018
1 1
3
1 1 1
4 1
1
________.
2018
设
1
3
1
1
x，
1 2
x
1
1 1
1 x
1.
2018
【知 2】一个正整数若不是完全平方数，则其平方根为无理数.
【例 3】求证： 2 3 3 为无理数.
若否，设为 p , q
2
3
3
p2 q2
3
等式 x y x y , x y x y 的应用.
【例 5】设 a1 a2 a3 an ，求 x a1 x a2 x an 的最小值.
看作数轴上点 x 到这 n 个点的距离之和，当 n 为奇数时，
x a1 x a2 x an x a1 an x x a2 an1 x x an1 an3 x x an1 .
【例
9】解关于
x
的方程ax n源自xmbx xm
n
a
bm
n.
ax n
xm
a
bx m
xn
b
0
m
n
x
b
n
x
a
m
0
bx
m
ax
nx
m,n
a bx bm an; a b 0 时， bm an ，无解； a b 0 时，x 为非 m,n 的任意实数;
a
b
时，
x
bm a
an b
.
【例
10】解方程：
2
2
2
2
【例 6】 x 2 1 x 9 y 5 1 y z 2 , 求 x + y + z 的最大值和最小值.
由上例可知：9 3 6 0, 等号全部取到，2 x 1,1 y 5, z 2, x + y + z 的最大值为 8，,最小值为 5. . 【知 5】对于含绝对值的式子，我们可以讨论变量的取值范围解题；也可以利用绝对值不等式配凑常数以 获得一步到位求得最大值或最小值的效果.
1
1
1
1
x
2
2
2
2
2
0
（共
2018
层括号）
2 2 2 2
1 2 2019
x
1 2 2017
1 2 2016
1 2 0
x
22020
22019
8 4 22021
4.
（备选）解方程 x 2 x x 2 6. 2017 2018 2019
x 4036 x 4036 x 4036 0 x 4036.