两角和与差的正余弦公式教案
数学示范教案：第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)
第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时导入新课思路1。
(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．思路2。
（问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．1．化简下列各式：（1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β；（2）错误!－错误!－sin x －cos x ；（3）sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＋错误!。
答案：（1）cos α；（2）0；（3）1。
2．证明下列各式:（1）sin α＋βcos α－β＝错误!； (2）tan(α＋β)tan(α－β)（1－tan 2αtan 2β)＝tan 2α－tan 2β；(3）错误!－2cos(α＋β）＝错误!.答案：证明略．教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由此展开新课．推进新课错误!错误!①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式。
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊到一般的数学思想方法．教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时,还要注意角的相对性，如α＝（α＋β)－β，错误!＝(α－错误!)－(错误!－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔S（α±β）〕;cos(α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ〔C(α±β)〕；tan（α±β)＝错误!〔T（α±β)〕．讨论结果：略．错误!思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值．（1)sin72°cos42°－cos72°sin42°;（2)cos20°cos70°－sin20°sin70°；(3)错误!。
两角和与差的正弦公式与余弦公式
【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正切公式，了解二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是二倍角公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】考虑到学生继续学习的需求，介绍两角和与差的正切公式。
例7是应用两角和正切公式的基本题目．例8的两道题目，对学生来说是比较困难的，但是这两道题目是非常关键的．要以他们为载体，提升学生的数学思维能力．对例8（2），要引导学生思考，将两个地方的1用tan45︒替换，就可以利用两角和正切公式了．本例题所使用的方法，在三角式变形中经常使用．明确二倍角的概念．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．二倍角余弦公式的三种形式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．例9中，要想利用正弦二倍角公式，必须首先求出余弦函数值．求cos2α时，使用的公式有利用同角三角函数关系、利用cos α和利用sin α的三类公式可供选择．选用公式2cos212sin αα=-的主要原因是考虑到sin α是已知量．例10中，讨论2α角的范围是因为利用同角三角函数关系求sin 2α时需要开方．旨在让学生熟悉：只要具备二倍角关系，就可以使用公式．教材在求sin4α时，利用了升幂公式，由讨论2α角的范围来决定开方取正号还是负号．虽然这里就是实际上使用半角公式，但是教材与大纲中，都没有引入半角公式的要求，因此，不补充半角公式，只作为二倍角余弦变形的应用来介绍．例11是三角证明题．证明的基本思路是将角用半角来表示，再进行三角式的化简．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】75的值，可以将75°角看作tan 30tan 4575tan(3045)1tan 30tan 45+=+=-31333233331++===+--． 25tan 3525tan 35+；（2）tan15tan15．）题可以逆用公式（）；（2）题可以利用451=进行转换．1）25tan 35tan(2535)25tan 35++＝tan 603==；tan15tan 45tan15tan151tan 45tan15+=- tan(4515)tan 603=+==．，从而使得三角式可以应用公式．要注意应用这种变形方法来解决问题．tan15的值．tan105的值．tan15tan15-的值．探索新知 ）中，令α=6730cos6730''''⋅； 22sin 75．整体建构 思考并回答下面的问题：的值．22.5活动探究【教师教学后记】。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿 教案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x -解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=分别等于12和2的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.。
5.5.1两角和差的正弦余弦公式第一课时课件(人教版)
- =-
-()
=-.
因为 tan β=- ,β∈(0,π),所以β∈(,π)且 sin β=- cos β.
2
2
由 sin β+cos β=1 知 sin β=,cos β=-.
所以 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×=.
sin cos cos sin
sin cos cos sin .
故两角差的余弦公式为：
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
3、两角和与差的正弦、余弦角公式：
sin sin cos cos sin
13
13
13
所以 cos( ) cos cos sin sin
3
5
4
12
33
( ) ( ) ( ) .
5
13
5
13
65
思考：由 cos( ) cos cos sin sin 如何
求: cos( ) ?
分析：注意到 （ ）
所以 cos α=- - =- ,sin β= - = ,
所以 tan α=
=- ,tan β=
=- ,所以 tan(α-β)=
-
+
= .
[例 2] 已知 0<α<β<π,且 cos(α-β)=,tan β=,求 tan α的值.
新人教版高中数学必修第二册-5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第2课时)教学设计
5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）(人教A 高中数学必修第一册第五章)一、教学目标1.掌握两角和与差的正弦、正切公式的推导，并进行简单的化简求值2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的变形推导，及相关的应用二、教学重难点1.两角和与差的正弦、正切公式的推导、逆用、变形及其应用2.两角和与差的正弦、正切公式的应用三、教学过程1.正弦公式正切公式的形成问题1：两角和与差的正弦根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式：S α＋β：sin(α＋β)＝S α－β：sin(α－β)＝【预设的答案】证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知：sin()cos[()]cos[()]22cos()cos sin()sin 22ππαβαβαβππαβαβ+=-+=--=-+-=βαβαsin cos cos sin +而且：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-=βαβαsin cos -cos sin 例如,sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=+=+=sin15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=-=-=【预设的答案】例如,sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=+=+122224+=⨯+⨯=sin15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=-=-122224=⨯-⨯=【对点快练】1．sin 75°＝____________.2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则____________.2.−【设计意图】两角和与差的正弦公式是可以由余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。
两角和与差的正、余弦公式教案
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计 富锦一中 陈金生教学目的：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2、了解公式间的内在联系，能用公式进行简单的求值.3、培养学生的创新意识与应用意识.教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其简单应用.教学难点：1、两角和余弦与两角差余弦之间的关系2，两角和差正弦与相应的余弦之间的关系.授课类型：新授课教 具：多媒体、导学案 教 法：合作探究、启发引导 教学过程：一、 复习巩固上节课我们学习了两角差的余弦公式，可以解决类似于cos15º=cos(45º-30º) 之类问题，而cos75º=cos(45º+30º) 之类问题我们又如何解决？我们能否由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，以及其他的三角函数公式？二、 公式推导借助于两角差的余弦公式cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β,则有： 思考途径一：把βα+转化为)(βα--cos(βα+)=cos[)(βα--]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.思考途径二：把任意角β换成-βcos(βα+)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 即：两角和的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β. 注意：1两角和差余弦公式的异同之处.2两角和、差余弦公式间的关系.3公式中的角具有任意性.4 cos(βα+)=cos α + cos β一定成立吗？练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值（1） cos75º （2） cos105º如何利用两角和与差的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β和 cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β推导出两角和与差的正弦公式？运用公式cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β及诱导公式有：sin()βα+=cos[)(2βαπ+-]=cos[βαπ--)2(] =cos(απ-2)cos β+sin(απ-2)sin β= sin αcos β+cos αsin β 即：两角和的正弦公式 sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β. 在上式中用-β代换β 得：sin()βα-= sin αcos （-β）+cos αsin （-β） 即：两角差的正弦公式 sin()βα-= sin αcos β-cos αsin β注意：1公式的推导应启发学生自己完成，老师做归纳总结.2 两公式间的关系、异同.3明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号.4牢记公式，熟练左右互化.练习2、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值(1) sin75º (2) sin105º如何根据两角和与差的正、余弦公式推导出利用两角和与差的正切公式？利用正切函数与正、余弦函数的关系，当cos(βα+)≠0时，将公式sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β 与cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β两边分别相除，有：βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若cos αcos β≠0 时，上式即为:两角和的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 用-β代换β，则有：两角差的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 练习3、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值(1) tan75º (2) tan105º注意：1、 和角公式: S )(βα+、 C )(βα+ 、 T )(βα+差角公式： S )(βα-、 C )(βα- 、 T )(βα-2、公式之间的内在联系.3、明确各三角函数的意义.4、公式的逆向变换、多向变换.5、理解公式推导中角的代换的实质.6、和差公式可看成是诱导公式的推广，诱导公式可看成是和差公式的特例 如：ααααπαπαπcos sin 0cos 1sin 2sin cos 2cos )2cos(=⋅-⋅=-=+7、形如asinx+bsinx(a 、b 不同时为0)的变化.三、例题例4：:课堂练习：1.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 2.已知sin α－sin β＝－31, cos α－cos β＝－31,求cos(α－β)的值。
高二数学 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案
第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：15012.P T T -。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝____________________________________， cos(α－β)＝____________________________________. (2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________. (3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________.(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z )其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝aa 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角．自我检测 1．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________．2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝________.3．cos π12＋3sin π12＝________.4．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是________．5．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________．探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1 求值： (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．变式迁移2 (2010·广州高三二模)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移3 若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．转化与化归思想例 (14分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．【答题模板】解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.[2分]又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1， a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.[7分](2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[9分]又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.[11分]故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365.[14分] 【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a －b |＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.本节主要应用转化与化归思想，即异角化同角．未知角向已知角转化，非特殊角向特殊角转化．【易错点剖析】|a －b |平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ∈(－π2，0)，sin α＝－45，则tan(α＋π4)＝______________.2．(2011·盐城模拟)已知cos(π6－α)＝33，则sin 2(α－π6)－cos(5π6＋α)的值是________．3．(2010·东北育才中学一模)已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.4．函数y ＝2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )的最大值为________．5．求值：sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________.6．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为________．7．函数f (x )＝a sin(x ＋π4)＋3sin(x －π4)是偶函数，则a ＝________.8．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．10．(14分)(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .11．(14分)(2010·济南高三三模)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
三维教学目标
1.知识与技能
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系. 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题.
2.过程与方法
通过层层探究体会数学思维的形成特点.
3.情感目标与价值观
通过公式变形体会转化与化归的思想方法.
教学重点:推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,并能区别两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解和灵活运用．
突破措施：学生在前面诱导公式及两角差的余弦公式的基础上，比较自然的推出
两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式．
学情分析：三角函数是高考的重点内容，本节主要是公式的推导和应用，难度不大，要让学生加强记忆，且熟练应用．
教学设计：
=
cos15_____
情景导入
有了两角差的余弦公式，我们能解决一些问题，但范围有
限，因此自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的
72cos 42cos72sin 42
-20cos70sin 20sin 70-；（3）．1tan15
1tan15
+-
练习：求下列各式的值：
72
cos18cos72sin18
tan12tan 33tan12tan 33
++
34sin 26cos34cos 2620cos 40cos 20cos50
-+
)
131cos sin 22
x x - (2)cos x -
板书设计：。
两角和与差的正弦公式教案
两角和与差的正弦公式教案一、动机和引入1.引导学生回顾前面学过的正弦函数的基本性质：周期、最大值、最小值等。
2.提问学生：在求正弦函数的和或差的时候，我们有没有什么公式可以使用？3.引导学生分析：我们可以使用两角和与差的公式，类似于整数相加减，但是存在一些特殊性质。
二、学习公式1.提醒学生：求两角和与差的公式都是从公式角度出发，通过对三角函数的和差关系进行求解。
2. 教师板书公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB3. 解读公式：sin(A±B)等于sinA和sinB的乘积之和或差。
4. 引导学生根据公式推导cos(A±B)的公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB5.提醒学生：在公式推导的过程中，可以根据三角函数的诱导公式进行转换。
如：cos^2A+sin^2A=1三、例题实践1. 例题一：求sin(π/6+π/4)的值。
解法：根据公式sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB：sin(π/6+π/4)=sin(π/6)cos(π/4)+cos(π/6)sin(π/4)=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=√2/4+√6/4=(√2+√6)/4答案：(√2+√6)/42. 例题二：求cos(3π/4-π/3)的值。
解法：根据公式cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB：cos(3π/4-π/3)=cos(3π/4)cos(π/3)+sin(3π/4)sin(π/3)=-√2/2×1/2+√2/2×√3/2=-√2/4+√6/4=(√6-√2)/4答案：(√6-√2)/4四、练习与巩固1. 练习题一：求sin(π/3+π/2)的值。
2. 练习题二：求cos(5π/6-π/3)的值。
五、总结与归纳1.引导学生总结：两角和与差的正弦公式和余弦公式都是通过对三角函数的和差关系进行推导得到的。
公式延续,思维拓展——“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”教学设计
２０２４年３月上半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀公式延续,思维拓展两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式 教学设计◉江苏省宿迁中学㊀王嘉琨１教材分析两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式 是高中数学新教材(人教A版)必修第一册５．５．１的第２课时,是在第１课时 两角差的余弦公式 基础上的延续与拓展,也为后续三角恒等变换公式体系奠定基础．２学情分析学生在前面已经学习了诱导公式㊁两角差的余弦公式等,初步具备了三角函数式中 变角 与 变名 思维,这都为本节课研究两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式提供了知识㊁方法和思想上的准备．３教学目标(１)以两角差的余弦公式作为基础,自主发现推导两角和与差的正弦．余弦㊁正切公式,并理解这些公式之间的内在联系．(２)通过例题的训练,加深对公式的理解和应用．４重点㊁难点(１)教学重点:两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式的推导及其应用．(２)教学难点:灵活运用公式进行三角函数式的化简㊁求值等．５教学过程(１)复习回顾,问题引入问题１㊀上一节课我们学习了两角差的余弦公式C(α－β),你能说出这个公式以及它的推导过程吗?利用圆的旋转不变性来推导的,具体步骤如下:第一步,在坐标系中画出角度α,β,α－β与单位圆,并标出终边与单位圆的交点;第二步,根据三角函数的定义写出各点的坐标;第三步,利用圆的旋转不变性得到等量关系;第四步,代入化简得到公式．问题２㊀除了公式C(α－β)外,你还能提出一些新的研究问题吗?你打算如何研究这些问题?师生活动:教师引导学生提出新的研究问题,学生思考研究新问题的方法．引导语:对于其他几个公式,也可以利用单位圆来研究．不过,本书不采用这这种研究方法,而是利用公式C(α－β)来推导其他公式．数学上把这种将新问题转化成已经解决的问题的方法叫作化归与转化的思想方法．设计意图:通过问题１帮助学生回顾利用圆的旋转不变性推导两角差的余弦公式的过程,明确研究公式C(α－β)的方法．(２)公式探究,发现问题问题３㊀你能利用公式C(α－β)推导出两角和的余弦公式吗?师生活动:先让学生独立思考,然后请学生回答推导思路,鼓励学生用多种方法解决．方案一:注意到α＋β与α－β之间的关系,即α＋β＝α－(－β),再由公式C(α－β)推导;方案二:可以利用换元的观点来推导,用 －β 替换公式C(α－β)中的 β 也能获得公式c o s(α＋β)＝c o sαc o sβ－s i nαs i nβ．设计意图:从加减法的关系和整体代换的方法体现了数学中的化归与转化以及换元的数学思想方法．(３)深入拓展,公式推导问题４㊀由C(α＋β)能推导出s i n(α＋β)的公式吗?师生活动:学生独立思考后,教师可以根据学生的反应追问下列问题．思考１㊀如何建立正弦与余弦值之间的关系呢?预设答案:利用诱导公式五(或六),即可实现正弦㊁余弦之间的相互转化．思考２㊀如何得到s i n(α＋β)的公式呢?预设答案:s i n(α＋β)＝c o sπ２－(α＋β)éëêêùûúú＝c o s(π２－α)－βéëêêùûúú＝c o s(π２－α)c o sβ＋s i n(π２－α) s i nβ＝s i nαc o sβ＋c o sαs i nβ．设计意图:利用两角和的余弦公式和诱导公式推导两角和的正弦公式．问题５㊀如何得到s i n(α－β)的公式呢?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:用 －β 来替换s i n(α＋β)中的 β ,则有s i n(α－β)＝s i nαc o s(－β)＋c o sαs i n(－β)＝s i nαc o sβ－c o sαs i nβ．７２教学导航２０２４年３月上半月㊀㊀㊀引导语:把以上两角和的正弦公式和两角差的正弦公式分别记为S (α＋β)和S (α－β)．设计意图:通过整体化思维,以及化归与转化思想,利用两角和的正弦公式来推导两角差的正弦公式．问题６㊀已知任意角α,β的正切,你能推导出t a n (α＋β)和t a n (α－β)吗?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:由正切与正弦㊁余弦的关系,可知t a n (α＋β)＝s i n (α＋β)c o s (α＋β)＝s i n αc o s β＋c o s αs i n βc o s αc o s β－s i n αs i n β,分子㊁分母同时除以c o s αc o s β,整理得t a n (α＋β)＝t a n α＋t a n β１－t a n αt a n β．同理t a n (α－β)＝t a n α－t a n β１＋t a n αt a n β．引导语:把以上两角和的正切公式和两角差的正切公式分别记为T (α＋β)和T (α－β)．设计意图:利用正弦㊁余弦㊁正切之间的关系推导两角和与差的正切公式．问题７㊀和(差)角公式和我们以前学习的诱导公式之间有什么关系吗请用图示说明．师生活动:学生独立思考后,和同学交流自己的想法,教师展示图示,揭示它们之间的内在联系．诱导公式是和(差)角公式的特殊情况,如用S (α－β)推导诱导公式如图１所示．图１设计意图:比较和(差)角公式和诱导公式的异同,构建知识间的内在联系,加深对公式的理解．(４)公式应用,熟练掌握例１㊀已知s i n α＝－３５,α是第四象限的角,求s i n (π４－α),c o s (π４＋α),t a n (α－π４)的值．思考１:你打算如何求解?请说说你的思维过程．思考２:如果去掉 α是第四象限的角 这个条件,结果和求解过程会有什么变化思考３:在以上解答中我们可以看到,在本题条件下,s i n(π４－α)＝c o s (π４＋α),那么对于任意角α,上式还成立吗你能想到几种方法来证明?预设答案:方案一:等式左右两边均使用和差公式展开．方案二:寻找π４－α与π４＋α之间的内在联系,再结合诱导公式来转化与处理,即s i n (π４－α)＝s i n π２－(π４＋α)éëêêùûúú＝c o s (π４＋α)．例２㊀利用和(差)角公式计算下列各式的值:①si n ７２ʎc o s ４２ʎ－c o s ７２ʎs i n ４２ʎ;②c o s ２０ʎc o s ７０ʎ－s i n ２０ʎs i n ７０ʎ;③１＋t a n １５ʎ１－t a n １５ʎ．思考４:从例１和例２可以看出和(差)角公式有什么作用?(预设答案:求值或化简．)设计意图:例１步步递进,逐层深入,充分展示数学思维的发散性;例２强化公式的理解和应用,规范解题格式,训练有序思维和逆向思维．(５)系统归纳,总结提升问题８㊀你能用图式来回顾本节课５个和(差)角公式的推导过程吗?师生活动:学生独立完成(如图２)后与同学交流．图２问题９㊀在和(差)角公式的推导过程中用到了什么数学思想方法预设答案:化归与转化的思想整体代换的思想等．设计意图:用框图回顾推导过程,建立知识之间的内在联系,归纳总结本节课的数学思想方法等．６教学反思(１)公式延续,深入应用本节课以两角差的余弦公式为基础,利用角的变换和函数名之间的转换,将要推导的公式转化为熟悉的公式来解决．整个推导过程不但能够培养学生逻辑推理数学素养,还能让学生领悟知识之间的内在联系,初步体会三角恒等变换的特点以及转化与化归思想在数学研究中的应用价值．(２)关注应用,能力提升我们应该改变以往公式教学中 轻过程㊁重应用 的方式,在关注公式的理解和应用的同时,更应该让学生全程参与到公式的发现和推导中来,因为推导过程所承载的数学育人功能是不可能只通过 公式的应用 来实现的;还可以鼓励学生课后选择一个公式作为基础,采用不同的研究路径重新研究这一过程,再一次经历解决问题的过程．Z８２。
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案一、教学目标：1.知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
2.过程与方法目标：鼓励学生积极思考、合作学习，培养学生的逻辑推理能力。
3.情感与态度目标：培养学生的数学兴趣，增强对数学的自信心。
二、教学重、难点：1.教学重点：学习正弦、余弦、正切两角和与差的公式，能够正确地应用到解题中。
2.教学难点：正弦、余弦、正切两角和与差的公式的推导与应用。
三、教学准备：1.教师准备：教案、笔记、教辅资料、教学媒体等。
2.学生准备：学习笔记、作业本。
四、教学步骤：Step 1 引入新课1.教师展示一幅图形，引导学生观察图形中的三角形，并提问：对于一个任意的三角形ABC，如何求角A和角C的两角和与差的正弦、余弦和正切？2.引导学生思考，并提醒学生复习正弦、余弦、正切的定义和性质。
Step 2 探究与讨论1.教师以角A和角C的两角和为例，引导学生分析角A和角C的三角函数之间可能存在的关系，并引导学生探究和讨论。
2.学生合作讨论，提出各自的思考结果并互相交流。
Step 3 运用公式解题1.教师给出两具体的角A和角C的数值，并提问学生如何求其两角和与差的正弦、余弦和正切的值。
2.学生运用公式计算，并与他人交流讨论结果，互相纠正错误。
Step 4 归纳总结1.教师总结学生的讨论结果，整理归纳出正弦、余弦、正切两角和与差的公式。
2.指导学生将这些公式整理成归纳表格或表格。
Step 5 拓展应用1.教师给出一些拓展应用题目，要求学生利用所学知识解答。
2.学生独立完成练习题，并互相交流讨论。
Step 6 小结与反思1.教师对本节课的内容进行小结，并引导学生参与总结。
2.向学生征求反馈意见，以便以后教学改进。
五、教学评价：1.学生通过合作探究和讨论，积极参与课堂活动。
2.学生能够利用正弦、余弦、正切两角和与差的公式解决实际问题。
3.学生对角度与三角函数之间的关系有了更深入的了解。
4.学生对本节课的教学内容和方式进行评价。
《3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式》 教案
教学过程复习预习1、用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图的方法；2、函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤：法一法二知识讲解考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_βcos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_βtan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin_αcos_αcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan 2α＝2tan α1－tan2α三、例题精析【例题1】【题干】化简下列各式：(1)(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.【解析】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2cos α＝tan α2.(2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 2 10°＝2sin 210°. ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.【例题2】【题干】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．【解析】∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.【例题3】【题干】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1) 求tan 2α的值；(2)求β.【解析】 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.故tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.【例题4】【题干】 (天津高考)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．【解析】(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2. (2)法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.∴(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＝π6，即α＝π12. 法二：∵由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≠0.∴1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，π4＋α＝π3.即α＝π3－π4＝π12.课堂运用【基础】1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()A．－1B．－2 2C.22D．1解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝()A．－53B．－59C.59 D.53解析：选A将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53.3．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是() A．－1 B．1C．2 D．4解析：选C ∵α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.【巩固】4 . 3－sin 70°2－cos210°＝________.解析：3－sin 70°2－cos210°＝3－cos 20°2－cos210°＝3－210°－2－cos210°＝2.答案：25．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3，故a ＝±3.答案：±3【拔高】6．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ－2cos θ＝0，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵sin(θ－φ)＝1010，∴cos(θ－φ)＝31010或－31010.当cos(θ－φ)＝31010时，cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θ·cos(θ－φ)＋sin θ·sin(θ－φ)＝55×31010＋255×1010＝22.当cos(θ－φ)＝－31010时，cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θ·cos(θ－φ)＋sin θ·sin(θ－φ)＝－55×31010＋255×1010＝－210＜0.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos φ＜0不合题意，舍去．∴cos φ的值等于22.7．(2013·岳阳模拟)已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．解：(1)依题意有f (x )＝a·b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)．∵函数f (x )的最小正周期为2π，∴2π＝T ＝2πω，解得ω＝1.将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32代入函数f (x )的解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝32. ∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2.故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，sin β＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513， ∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725，∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝－725×1213＋2425×513＝36325.课程小结1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
两角和与差的余弦、正弦、正切教学目标知识目标：两角和的正切公式；两角差的正切公式能力目标：掌握T (α＋β)，T （α－β）的推导及特征；能用它们进行有关求值、化简情感态度：提高学生简单的推理能力；培养学生的应用意识；提高学生的数学素质 教学重点两角和与差的正切公式的推导及特征教学难点灵活应用公式进行化简、求值。
教学过程Ⅰ。
复习回顾首先，我们来回顾一下前面所推导两角和与差的余弦、正弦公式.（学生作答，老师板书）sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β（S （α＋β）)sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β（S (α－β））cos(α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C （α＋β）)cos(α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β(C （α－β））要准确把握上述各公式的结构特征.Ⅱ.讲授新课一、推导公式［师］上述公式结合同角三角函数的基本关系式,我们不难得出:当cos （α＋β）≠0时tan （α＋β)＝βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(a -+=++ 如果cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0，我们可以将分子、分母都除以cos αcos β，从而得到：tan （α＋β)＝βαβαtan tan 1tan tan -+ 不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系。
同理可得：tan （α－β）＝βαβαtan tan 1tan tan +- 或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系。
所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式,简记为T （α＋β），T (α－β）。
但要注意：运用公式T （α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于2π＋k π（k ∈Z )。
(完整版)两角和与差的正余弦公式教案
一、情境引入
探究已知 ， ,下列各式是否成立？
（1） ．
（2) ．
你能得出什么结论？
二、新课讲授
1．两角和与差的余弦公式
如图1—1所示，设角 的终边与单位圆的交点为 ，角 的终边与单位圆的交点为 。
记向量 ,向量 ，则
。
应用向量数量积的坐标公式，可得到
。
因此，有
。 (1。1)
2掌握两角和与差的正弦、余弦公式,会运用公式求非特殊角的三角函数值、化简三角函数式,体会三角变换的思想与方法.
3初步学会运用两角和与差的正弦、余弦公式解决简单的专业问题。
(二）方法与过程：经历公式推导过程，感受和体会实际问题中体会思想方法。通过对比观察、公式多方面应用培养辩证思维解决问题的能力．
(三）情感态度与价值观：感受大自然的变化发展的内在规律
探究在前面的公式“问题解决",中，若将 换成 ，你能得出什么结果？
由上述探究,可得
。 (1。3）
我们把（1.3)叫做两角和的正弦公式.
由公式（1。3）可得
,
即 。 （1。4)
公式（1。4）叫做两角差的正弦公式.
例3不用计算器，求 和 的值.
解
。
.
例4已知 ， ，并且 为第二象限角， 为第三象限角，求 的值。
练习
1．不用计算器，求下列各式的值：
（1） ； (2) ；
(3) ；
(4) .
2．已知 ， ，求 ， 的值.
三、课堂小结
通过具体实例，强化学生对公式的理解与记忆
我们把（1.1)叫做两角差的余弦公式。
由公式（1.1）可得,
，
即 。 (1。2)
我们把（1。2）叫做两角和的余弦公式.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(两角差的余弦公式)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修
第五章三角函数5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）（1课时）【教学内容】两角差的余弦公式推导；两角差的余弦公式；两角差的余弦公式的应用.【教学目标】1.经历探索两角差余弦公式的过程.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行简单的化简、求值.(数学运算、数学建模)【教学重难点】教学重点：得到差角的余弦公式；公式的形式与符号的特征；公式的简单应用（正用）.教学难点：发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系.【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）一、引入本节我们主要的研究内容是：三角恒等变换，即在不改变含有三角函数的式子的值的前提下，对式子变形．三角恒等变形在求值、化简、证明中有着十分广泛的应用．之前我们学习过的同角三角关系和诱导公式，都是三角恒等变换的重要工具．今天我们在此基础上学习新的恒等变换公式．问题1：如何计算cos15︒？如何求cos(α-β) ？cos(α-β) = cosα- cosβ成立吗？利用单位圆推导cos(α-β) 的公式.二、新知探究问题2：首先在单位圆中画出角α、β、α-β，为了简便起见，我们首先不妨先看0 <β<α< 2π的情况.(x - x )2 + ( y - y )2 2 1 2 1 PA = P 1 A 1流程图：追问 1：由三角函数的定义，点 A ，P 1，A 1，P 的坐标如何表示？ 答 案 ：A (1, 0) ， P 1(cos α,sin α) ， A 1(cos β, s in β) ，P (cos(α- β), sin(α- β)) ．追问 2：我们的目标是cos(α- β) = 点 P 的横坐标，已知的是点 A 、A 1、P 1 的坐标，如何用已知来表 示目标？——利用距离建立等式 AP = A 1P 1 ．已知平面直角坐标系任意两点 P 1 ( x 1 , y 1 ) ，P 2 ( x 2 , y 2 ) ，则点 P 1 , P 2 之间的距离 P 1P 2 = ．目标：cos(α- β) 定义 cos(α- β) = 点 P 的横坐标 能否利用已知点 A ，P 1，A 1的坐标来表示目标？ 距离-α α+ α 追问 3：借助以上“两点间的距离公式”， 结合 AP = A 1P 1 ，你能得到什么结论？根据两点间距离公式，结合 P 1 A 1 = PA ，有 ，=整理得cos(α- β) = cos αcos β+ sin αsin β ．当α，β的终边相同时，容易证明上式仍然成立.事实上，对于任意角都有 PA = P 1 A 1 ，从而对于任意角α,β有cos(α- β) = cos αcos β+ sin αsin β此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α- β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C (α-β) = C αC β + S αS β ．三、典型例题例１ 利用公式C (α-β) 证明：(1) cos( π-α)= sin α; (2) cos(π-α)= - cos α2 证明：(1) cos( π π π)=cos cos sin sin 2 2 2= 0 + 1⨯ sin α= sin α.(2) cos(π-α)=cos πcos α+ sin πsin α= (-1) ⨯cos α+ 0= - cos α例 2 借助公式C (α-β) ，解答以下题目：（1） 计算cos15 的值； （2） 已知sin α= 4，α∈ ⎛ π , π ⎫ ， cos β= - 5， β是第三象限角，求cos(α- β) 的值． 5 2 ⎪ 13⎝ ⎭(cos α- cos β)2 + (sin α-sin β)2[cos(α- β) -1]2 +[sin(α- β) - 0]22 3 2 6 + 2 2 3 2 2 + 6 1 1 cos ( + 答案：对于（1），我们可以把15 化成我们熟悉的30 , 45 , 60 等特殊角之中某两角的差的形式，再借助公式C (α-β) 求解；对于（2），可以借助同角三角关系求出 cos α, sin β，进而利用公式C (α-β) 求解 cos(α- β) ．解：（1）(解法一) cos15 =cos(45 - 30 ) = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30= ⋅ + ⋅ = ； 2 2 2 2 4(解法二) cos15 =cos(60 - 45 ) = cos 60 cos 45 + sin 60 sin 45= ⋅ + ⋅ = ； 2 2 2 2 4 （2）因为α∈ ⎛ π , π ⎫ ，故cos α= - 1- sin 2 α = - 3 ， 2 ⎪ 5⎝ ⎭ 因为β是第三象限角，故sin β= - 1- cos 2 β = - 12 ， 13 因此cos(α- β) = cos αcos β+ sin αsin β= - 3 ⨯⎛ - 5 ⎫ + 4 ⨯⎛ - 12 ⎫ = - 33 ． 5 13 ⎪ 5 13 ⎪ 65⎝ ⎭ ⎝ ⎭π 3 π 例 3 已知cos( +α)= 4 5 ， 0 < α< ，求cos α的值. 2 π 解： 因为0 < α< ,故 π < π 3π +α< ， 2 4 4 4π π 4所以sin( +α) = 1- 2 α) = ， 4 4 5 π π π π π π 因此cos α= cos[( +α) - ] = cos( +α) cos + sin( +α) sin4 4 4 4 4 4= 3 ⨯ 2 + 4 ⨯ 2 = 7 25 2 5 2 10四、归纳小结1. 利用单位圆、三角函数定义、两点间的距离公式推导出cos(α- β) = cos αcos β+ sin αsin β公式.2. 已知一个角的正弦(或余弦)值，求该角的余弦 (或正弦)值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.熟悉角的拆分与组合，看到α+β，α，β想到凑角α=(α+β) -β，β=(α+β) -α等.五、答疑课程重点：得到差角的余弦公式；公式的形式与符号的特征；公式的简单应用（正用）.难点：发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系.思想方法：整体代换思想，转化思想数学核心素养：1.经历探索两角差余弦公式的过程体现数学抽象、逻辑推理、直观想象;2. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行简单的化简、求值体现数学运算、数学建模.易错点：已知一个角的正弦(或余弦)值，求该角的余弦(或正弦)值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.六、作业【目标检测题】（见资源包）。
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P(cos,sin) ，角 的终边与单位圆的交点为Q(Qco(sco,ssin,)sin ) .
O
x
学生思考、发言 教师总结、引出新课
图图4—11—1
记 向 量 a OP (sin , cos ) ， b OQ (sin , cos ) ,则
a b a b cos( ) cos( ) .
3 2 1 2 6 2 .
2 222
4
cos15 cos45 30
cos 45 cos30 sin 45 sin 30
2 3 21 6 2 .
2 2 22
4
例 2 已知 cos 3 ，且 为第二象限角，求 cos( ) 的值.
4
3
分析 先求出 sin 再运用两角差余弦公式即可求出值
能得出什么结果？
由上述探究，可得
sin( ) sin cos cos sin .
(1.3)
我们把(1.3)叫做两角和的正弦公式.
由公式（1.3）可得
sin( ) sin () sin cos cos sin
sin cos cos sin ,
即
sin( ) sin cos cos sin .
应用向量数量积的坐标公式，可得到
a b cos cos sin sin .
因此，有
cos( ) cos cos sin sin .
我们把(1.1)叫做两角差的余弦公式.
向量 (1.1)
由公式（1.1）可得，
cos( ) cos
cos cos sin sin ,
到 P 位 置 ， 设 点 P 的 坐 标 为
Px, y .
(1) 点 P 距 原 点 的 距 离 是 多
y
P
P
少？
(2) OP 与 x 轴 的 夹 角 是 多
Hale Waihona Puke 少？45(3) P点的坐标 x ，y 分别是
多少？
α
O
x
第2题
练习
1．不用计算器，求下列各式的值：
(1) sin105 ；
(2) sin 15 ；
（二）方法与过程：经历公式推导过程，感受和体会实际问题中体会思想方法。通过对比
观察、公式多方面应用培养辩证思维解决问题的能力． （三）情感态度与价值观：感受大自然的变化发展的内在规律
教 学 重 点 两角和与差的正弦、余弦公式及其应用
教 学 难 点 两角和与差的正弦、余弦公式及其应用
更新、补
充、删减
无
2
2
(1) cos105 cos 60 45 cos 60 cos 45 ． (2) cos15 cos 60 45 cos 60 cos 45 ．
你能得出什么结论？
二、新课讲授
y 1．两角和与差的余弦公式
如 图 1 — 1 所P示(co，s设,sin角) 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为
2 3 21 2 2 22
6
2
.
4
例 4 已知 sin 3 ， cos 1 ，并且 为第二象限角，
4
3
为第三象限角，求 cos( ) 的值.
解 因为 为第二象限角，所以
cos
1 sin2
1
3 4
2
7. 4
又因为 为第三象限角，所以
sin
1 cos2
1
1 3
2
(1.4)
公式(1.4)叫做两角差的正弦公式.
例 3 不用计算器，求 sin 75 和 sin15 的值.
解 sin 75 sin 45 30
sin 45 cos30 cos 45 sin 30
2 3 21 2 2 22
6
2
.
4
sin15 sin 45 30
sin 45 cos30 cos 45 sin 30
宿迁经贸高等职业技术学校 教师教案本
（ — 学年 第
学期）
精神振奋 德技双馨
信心坚定 特点鲜明
专业名称 课程名称 授课教师 授课班级 系部
课 题 名 称 §15.1 两角和的正弦、 授 课 班 级
余弦公式
授课时间
12 计算机
课题序号
授课课时 第 到
授 课 形 式 新课
使用教具
无
教学目的
（一）知识与技能：1.了解两角和与差的正弦、余弦公式的推导过程。 2 掌握两角和与差的正弦、余弦公式，会运用公式求非特殊角的三角函数值、化简三角函 数式，体会三角变换的思想与方法。 3 初步学会运用两角和与差的正弦、余弦公式解决简单的专业问题。
问题解决
用
两
角
和
与
差
的
余
弦
公
式
证
明
：
cos
2
sin
，
sin
2
cos
。你能解释这两个式子的意义吗？
通过具体实例，强化学生 对公式的理解与记忆
练习
1．不用计算器，求下列各式的值：
(1) cos105
； (2) cos 15
；
(3) cos80 cos 20 sin 80 sin 20 ；
(3) sin 80 cos 20 cos80 sin 20 ；
(4) sin 33 cos 27 cos33 sin 27 .
2．已知 sin 4 ， ( , 3 ) ，求 sin( ) ，sin( )
5
22
3
3
的值.
三、课堂小结
(4)
cos 40 cos 20 sin 40 sin 20
；
(5) cos 22.5 cos 22.5 sin 22.5 sin 22.5 .
2．已知 cos 2 ， (3 , 2 ) ，求 cos( ) ，cos( )
3
2
6
6
的值.
2．两角和与差的正弦公式
探究 在前面的公式“问题解决”，中，若将 换成 ，你
2 2 . 3
因此, cos( ) cos cos sin sin
7 4
1 3
3 4
2
2 3
7 2. 12 2
问题解决
1.应用两角和的正弦、余弦公式，不用计算器求 tan15 , tan 75
的值.
2.如图,保持点 P (3,3)与原点的距离不变，并绕原点旋转 60°
内
容
课 外 作 业 习题 2、3
§1.1 两角和的正弦、余弦公式
授课主要内 容或板书设
计
1．两角和与差的余弦公式 推导过程 2．两角和与差的正弦公式
推导过程
例题讲解 学生板书
教学后记
主要教学内容及步骤
教学过程 师生活动 设计意图等
一、情境引入
探究 已知 cos 60 1 ，cos 45 2 ，下列各式是否成立？
即
cos( ) cos cos sin sin .
(1.2)
我们把（1.2）叫做两角和的余弦公式.
课堂教学安排
主要教学内容及步骤
教学过程 师生活动 设计意图等
例 1 不用计算器，求 cos 75 和 cos15 的值.
解 cos 75 cos30 45
cos30 cos 45 sin 30 sin 45