2019年重庆市九龙坡区育才中学中考数学一诊试卷(解析版)

2019年重庆市九龙坡区育才中学中考数学一诊试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、
B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1．下列数中是无理数的是（）
A．B．0.C．27%D．3
2．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．下列图案均是用相同的小正方形按一定的规律拼成：拼第1个图案需1个小正方形，拼第2个图案3个小正方形，…．，依此规律，拼第6个图案需小正方形（）个．
A．15B．21C．24D．12
4．下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（）
A．检查100张面值为100元的人民币中有无假币
B．检查“瓦良格号”航母的零部件质量
C．调查一批牛奶的质量
D．了解某班同学体育满分情况
5．下列命题是真命题的是（）
A．同位角相等
B．一个数的平方根与立方根相等，则这个数是1和0
C．倒数等于本身的数是1和﹣1
D．绝对值等于本身的数是0和1
6．估算在哪两个整数之间（）
A．0和1B．1和2C．2和3D．3和4
7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣3和2时，输出的y值相等，则b等于（）
A．5B．﹣5C．7D．3和4
8．已知a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式﹣2a2+6a+2019的值为（）A．2014B．2015C．2016D．2017
9．如图，点A、B、C在圆O的圆周上，连OA、OC，OD⊥AB于点D，若AO平分∠CAB，∠CAB ＝50°，则∠OCB＝（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
10．如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走52米到点D处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：2.4．大楼AB的高度约为（）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．32米B．35米C．36米D．40米
11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k
＝，则k的值为（）≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S
△OBD
A．4B．5C．6D．7
12．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．﹣2B．0C．1D．3
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
13．计算：（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣（﹣1）2019＝．
14．如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分面积为．（结果保留π）
15．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全，小刚每天从陈家坪骑自行车到育才中学上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是．
16．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分
别与CD、CB相交于点F、E，若CD＝，BC＝4，则CE的长度为．
17．甲乙沿着同一路线以各自的速度匀速从A地到B地，甲出发1分钟后乙随即出发，甲、乙到达B地后均立即按原路原速返回A地，甲、乙之间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的部分图象如图所示．当甲返回到A地时，乙距离B地米．
18．某地区的居民用电，按照高峰时段和空闲时段规定了不同的单价．某户5月份高峰时段用电量是空闲时段用电量2倍，6月份高峰时段用电量比5月份高峰时段用电量少50%，结果6月份的用电量和5月份的用电量相等，但6月份的电费却比5月份的电费少25%，求该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低的百分率是．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上.
19．（10分）化简：
（1）（2a﹣1）2﹣a（a﹣4）；
（2）
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE ⊥AB交AB于点E，过C作CF∥BD交ED于F．
（1）求证：△BED≌△BCD；
（2）若∠A＝36°，求∠CFD的度数．
21．（10分）为深化课程改革，我校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从A：文学鉴赏，B：科学探究，C：文史天地，D：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为人，扇形统计图中D部分的圆心角是度；请补全条形统计图；
（2）根据本次调查，我校七年级2600名学生中，估计最喜欢“趣味数学”的学生人数为多少？22．（10分）已知y是x的函数，x的取值范围为任意实数，如图是x与y的几组对应值，小华同学根据研究函数的己有经验探素这个函数的有关性质，并完成下列问题．
（1）如图，小华在平面直角坐标系中描出了上述几组值对应的点，请你根据描出的点画出函数的图象；
（2）请根据你画出的函数图象，完成
①当x＝﹣4时，求y的值；
②当2012≤|y|≤2019时，求x的取值范围．
23．（10分）某水果店以每千克6元的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又购进一些同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，已知两次一共进货600千克．
（1）若该水果店两次进货的总价格不超过3200元，求第一次至多购进水果多少千克？
（2）在（1）的条件下，以第一次购进最大重量时的数量进货，在销售过程中，第一次购进的水果有3%的损耗，其售价比其进价多2a元，第二次购进的水果有5%的损耗，其售价比其进价多a元，该水果店希望售完两批水果后获利31.75%，求a的值．
24．（10分）正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE．（1）如图1，连EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF的周长；
（2）如图2，若AF＝AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上（不与端点重合），
连AH．若∠EAH＝45°，求证：EC＝HG+FC．
25．（10分）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，
如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如
，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决间题：
（1）比较大小：（用“＞”“＜”或“＝”填空）；
（2）计算：+；
（3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．
（1）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接PA，PB，当凹四边形PAQB的面积最大时，点S为y轴上一动点，点T为x轴上一动点，连接PS，
ST，TB，求PS+ST+TB的最小值；
（2）如图2，将△AOC绕点A逆时针旋转45°，得到△AO'C'，延长C'A交y轴于点R，点S是
抛物线y＝﹣x2+x+3对称轴上一个动点，连接CS、RS，把△CRS沿直线CS翻折得到△CR'S，则BRR'能否为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点S的坐标；若不能，请说明理由．
2019年重庆市九龙坡区育才中学中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、
B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.是无理数；
B.0.是无限循环小数，是有理数；
C.27%是分数，有限小数，是有理数；
D.3是整数，是有理数．
故选：A．
【点评】本题考查了无理数：无限不循环小数叫无理数．常见有：字母表示的无理数，如π等；
开方开不尽的数，如2等；无限不循环小数，如0.101001000100001…（每两个1之间多一个0）等
2．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．【分析】设拼第n个图案需要a n个小正方形（n为正整数），观察图形，根据各图案中小正方形
个数的变化可得出变化规律“a n＝（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．【解答】解：设拼第n个图案需要a n个小正方形（n为正整数），
观察图形，可知：a1＝1，a2＝1+2，a3＝1+2+3，a3＝1+2+3+4，…，
∴a n＝1+2+3+…+n＝（n为正整数），
∴a6＝＝21．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图案中小正方形个数的变化找出变化规律“a n
＝（n为正整数）”是解题的关键．
4．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、检查100张面值为100元的人民币中有无假币采用普查，错误；
B、检查“瓦良格号”航母的零部件质量采用普查，错误；
C、调查一批牛奶的质量采用抽样调查，正确；
D、了解某班同学体育满分情况采用普查，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．【分析】根据平行线的性质、平方根和立方根、倒数以及绝对值进行判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，是假命题；
B、一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0，是假命题；
C、倒数等于本身的数是1和﹣1，是真命题；
D、绝对值等于本身的数是0和正数，是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
6．【分析】根据的范围进行估计解答即可．
【解答】解：，
∵，
∴估算在1和2两个整数之间，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数
学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
7．【分析】把x＝﹣3与x＝2代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．【解答】解：当x＝﹣3时，y＝9，当x＝2时，y＝4+b，
由题意得：4+b＝9，
解得：b＝5，
故选：A．
【点评】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．8．【分析】利用一元二次方程解的定义得到a2﹣3a＝2，再把﹣2a2+6a+2019变形为﹣2（a2﹣3a）+2019，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
∴a2﹣3a＝2，
∴﹣2a2+6a+2019＝﹣2（a2﹣3a）+2019＝﹣2×2+2019＝2015．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．【分析】连接OB．想办法求出∠ACB，∠ACO即可解决问题．
【解答】解：连接OB．
∵∠CAB＝50°，OA平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠OAC＝∠CAB＝25°，
∵OD⊥AB，OA＝OB，
∴∠ODA＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴∠ACB＝∠AOB＝65°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝25°，
∴∠OCB＝65°﹣25°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．【分析】作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，y由CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝52米，得到＝1：2.4，求出BE、AE即可解决问题；
【解答】解：作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，
∵CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝52米，
∴＝1：2.4，
∴＝52，
∴DF＝20（米）；
∴BE＝DF＝20（米），
∵∠BDE＝45°，
∴DE＝BE＝40m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，
∴AE＝tan37°•20＝15（米）
∴AB＝AE+BE＝35（米）．
故选：B．
【点评】本题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
11．【分析】设D（m，n），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．因此△ACE
∽△ADF，由AC：CD＝2：3，得到AC：AD＝2：5，所以，从而CE＝DF＝m，
故C，于是直线AB的表达式为y＝，所以B（），OB＝，由
S
＝，求得mn＝5，所以k＝5，
△OBD
【解答】解：设D（m，n），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．
∴△ACE∽△ADF，
∵AC：CD＝2：3，
∴AC：AD＝2：5，
∴，
∴CE＝DF＝m
∴C，
∵D（m，n），
∴直线AB的表达式为y＝，
∴B（），OB＝，
∵S
＝，
△OBD
×＝，
∴mn＝5，
∴k＝mn＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，构建相似三角形是解题的关键．
12．【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程
有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．
【解答】解：由关于y的不等式组，可整理得
∵该不等式组解集无解，
∴2a+4≥﹣2
即a≥﹣3
又∵得x＝
而关于x的分式方程有负数解
∴a﹣4＜0
∴a＜4
于是﹣3≤a＜4，且a为整数
∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3
则符合条件的所有整数a的和为0．
故选：B．
【点评】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
13．【分析】直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+2+1
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14．【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正方形四分之一的面积减去弓形CE的面积，弓形CE的面积等于半圆的面积减去正方形四分之一面积差的一半，从而可以解答本题．
【解答】解：∵正方形ABCD边长为4，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，
∴阴影部分的面积是：＝6﹣π，
故答案为：6﹣π．
【点评】本题考查扇形的面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．【分析】列举出所有情况，看所求的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：画树状图如下：
∵总共有4种情况，两个路口都是红灯的结果有1种，
∴两个路口都遇到红灯的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．【分析】根据∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD＝BD＝AD＝AB，则AB＝
2，∠B＝∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B＝∠CAF，进而求得∠CAF＝∠BCD＝∠B，即∠B＝∠CAF，然后证得△ACE∽△BCA，即可得出CE的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD＝AD＝AB，
∵CD＝，BC＝4
∴AB＝2，
∴由勾股定理得AC＝＝2，
∵CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAF+∠ACF＝90°，
又∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACF＝90°，
∴∠CAF＝∠BCD＝∠B，即∠B＝∠CAF，
∴△ACE∽△BCA，
∴＝，
∴CE＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，有一定难度．
17．【分析】根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，
甲的速度为60÷1＝60米/分，
则乙的速度为：100÷（7﹣6）﹣60＝40米/分，
设A、B两地距离为S米，
2S＝60×7+40×（7﹣1），
解得，S＝330，
甲返回A地用时为：330×2÷60＝11（分），
则乙11分钟行驶的路程为40×（11﹣1）＝400（米），400﹣330＝70（米），
即当甲返回到A地时，乙距离B地70米，
故答案为：70．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
18．【分析】设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，根据总价＝单价×数量结合6月份的电费
却比5月份的电费少25%，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出x，y之间的关系，进而即可得出结论．
【解答】解：设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，
依题意，得：（1﹣25%）（ax+2ay）＝2ax+ay，
解得：x＝0.4y，
∴该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低×100%＝60%．
故答案为：60%．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次是解题的关键．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上.
19．【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4a2﹣4a+1﹣a2+4a
＝3a2+1；
（2）原式＝÷
＝•
＝4x；
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．20．【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定解答即可；
（2）根据三角形的内角和和三角形外角以及平行线的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D 作DE⊥AB交AB于点E，
∴∠BED＝∠BCD＝90°，
∴ED＝DC，
在Rt△BED与Rt△BCD中
，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）；
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠A＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝27°，
∴∠BDC＝63°，
∵CF∥BD，
∴∠CFD＝∠BDC＝63°．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线的性质和全等三角形的判定解答．
21．【分析】（1）用A课程人数除以其对应百分比可得总人数，再用360°乘以D课程人数占总人数的比例，继而根据各课程人数之和等于总人数求出C的人数，据此可补全条形图；
（2）用总人数乘以样本中D课程人数所占比例．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为40÷20%＝200（人），扇形统计图中D部分的圆心角是
360°×＝135°，
C课程的人数为200﹣（40+60+75）＝25（人），
补全图形如下：
故答案为：200，135；
（2）2600×＝975，
答：估计最喜欢“趣味数学”的学生人数为975人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．【分析】（1）根据表格的数据即可画出图象
（2）由图象可知，①当x＝﹣4时，y＝4
②由2012≤|y|≤2019，可得﹣2019≤y≤﹣2012或2012≤y≤2019，根据图象即可以求x的取值
范围
【解答】解：
（1）由表格的数据所画的图象如图所示：
（2）①由图象可知，函数解析式为：y＝|x|
∴当x＝﹣4时，求y＝4
②由2012≤|y|≤2019，可得﹣2019≤y≤﹣2012或2012≤y≤2019
故所得的x的取值范围为：﹣2019≤x≤﹣2012和2012≤x≤2019
【点评】此题主要考查函数值对应的函数图象及自变量的取值范围，根据题中表格的数据画出所需的图象即可．
23．【分析】（1）设第一次购进水果x千克，则第二次购进（600﹣x）千克，根据单价乘以数量得费用可解；
（2）根据售价乘以实际卖出数量减去进价乘以进货数量，分别计算第一次的和第二次的，两者相加等于获利额可解．
【解答】解：（1）设第一次购进水果x千克，
根据题意，得：6x+5（600﹣x）≤3200，
解得：x≤200，
答：第一次至多购进水果200千克；
（2）第一次至多购进水果200千克，则第二次购进400千克，根据题意，得：
（6+2a）×200（1﹣3%）﹣200×6+（5+a）×400（1﹣5%）﹣400×5＝3200×31.75%，解得：a＝1.5
故a的值为1.5．
【点评】本题属于一元一次不等式和一元一次方程的实际应用问题，需要明确成本与利润问题的基本关系，准确分析数量关系，从而解决问题．
24．【分析】（1）由正方形性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD
＝∠BAC＝∠ACD＝45°，得出AC＝AB＝4，求出AF＝3，CF＝AC﹣AF＝，求出
△CEF是等腰直角三角形，得出EF＝CF＝，CE＝CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理求出AE，即可得出△AEF的周长；
（2）延长GF交BC于M，连接AG，则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM＝CG，
CG＝CF，证出BM＝DG，证明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG＝DG，BM＝FG，再证明△ABE ≌△AFH，得出BE＝FH，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴AC＝AB＝4，
∵4AF＝3AC＝12，
∴AF＝3，
∴CF＝AC﹣AF＝，
∵EF⊥AC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CF＝，CE＝CF＝2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝＝2，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝2++3＝2+4；
（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：
则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，
∴CM＝CG，CG＝CF，
∴BM＝DG，
∵AF＝AB，
∴AF＝AD，
在Rt△AFG和Rt△ADG中，，
∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），
∴FG＝DG，∴BM＝FG，
∵∠BAC＝∠EAH＝45°，
∴∠BAE＝∠FAH，
∵FG⊥AC，
∴∠AFH＝90°，
在△ABE和△AFH中，，
∴△ABE≌△AFH（ASA），
∴BE＝FH，
∵BM＝BE+EM，FG＝FH+HG，
∴EM＝HG，
∵EC＝EM+CM，CM＝CG＝CF，
∴EC＝HG+FC．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．25．【分析】（1）根据分母有理化结果即可判断；
（2）原式各项分母有理化后化为两个根式的差，计算即可得到结果．
（3）将已知等式进行变形，化为①，
②，由①+②得x+y＝0，即可解答．
【解答】解：（1）
∵
∴
故答案为：＞
（2）∵＝＝＝
＝
∴原式＝＝1﹣＝
（3）∵，
∴，
∴①，
同理：②，
∴①+②得，
∴x+y＝0，
∴x+y+2019＝2019．
【点评】本题考查了分母有理化，也是阅读材料问题，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识：分母有理化．解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．【分析】（1）设点P（x p，y p），Q（x Q，y Q），根据条件表示出y Q＝﹣﹣x Q+3，
y p＝﹣x p2+x p+3，将三角形面积表示为﹣（x p﹣2）2，求出P；关于y轴的对称点P'，将BA
绕点B逆时针旋转30°，过P'作P'⊥BD，P'D与x轴，y轴分别交于点T，S；求P'D＝3+；
（2）当BR＝RR'时，当BR＝BR'时，当RR'＝BR时三种情况求点S的坐标，结合三角形的相似或平行线的性质建立比例关系，再利用R'S＝RS，建立方程求解坐标；
【解答】解：（1）由已知可直接求得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3），
设点P（x p，y p），Q（x Q，y Q），
∵点P在抛物线上，
∴y p＝﹣x p2+x p+3，
∵PQ∥AC，
设直线AC的表达式y＝k1x+b1，
∴y＝3x+3，
设直线BC的表达式为y＝k2x+b2，
∴y＝﹣x+3，
∴y Q＝﹣x Q+3，
∴设直线PQ的表达式为y＝3x+m，
x p+3，与x轴的交点为（﹣x p2+x p﹣1，0），
将点P代入表达式得y＝3x﹣x p2
﹣
∵tan∠CAB＝＝，
∴y Q＝﹣x Q+3＝3x Q﹣x P2﹣x P+3，
∴x Q＝x p2+x p，
∴y Q＝﹣﹣x Q+3，
凹四边形PAQB的面积＝×AB（y p﹣y Q）＝[（﹣x p2+x p+3）﹣（﹣﹣x Q+3）]
＝﹣（x p2﹣4x p）＝﹣（x p﹣2）2，
当x P＝2时，面积有最大值；
∴P（2，），
如图1：关于y轴的对称点P'，将BA绕点B逆时针旋转30°，过P'作P'⊥BD，P'D与x轴，y 轴分别交于点T，S；
∴P'（﹣2，）
∴PS＝P'S，TD＝TB，
∴PS+ST+TB＝P'S+ST+TD＝P'D，
过P'作P'E⊥x轴，
在Rt△P'ET中，∠ETS＝60°，P'E＝，
∴P'T＝3，ET＝，
∴BT＝6﹣，
在Rt△BTD中，TD＝3﹣，
∴P'D＝3+；
（2）如图2：
CE⊥y轴，过O'作x轴垂线与x轴交于点D，两条垂线交于点E，∵将△AOC绕点A逆时针旋转45°，得到△AO'C'，
∴△C'O'E和△ADO'都是等腰直角三角形，
∵AO＝1，C'O'＝3，
∴AD＝O'D＝，EC'＝O'E，
∵，
∴EC'＝O'E＝，
∴C'（﹣1﹣，2），
∵A（﹣1，0），
∴直线AC'的解析式为y＝2x﹣2，
∴R（0，﹣2）；
对称轴x＝，
①当BR＝RR'时，如图3
在以C因为圆心CR为半径的圆上，
∴SR2＝SR'2，
∴HS2+（4+）2＝（）2+（SH+2）2，
∴HS＝6，
∴S（，6），
②当BR＝BR'时，如图3
∵SH∥CO，
∴，
∵BH＝4﹣＝，
∴SH＝＝，
∴S（，）；
③当RR'＝BR时，如图5
延长R'C与圆相交于S''，
在Rt△OCH中，OC＝3，OH＝，
∴CH＝，
∴R'C＝RC＝5，
∴R'H＝5+，
∵CO∥R'K，
∴，
∴KH＝，
∴R'（﹣，2+3），
∴S''（，3﹣2）
∵R'S＝RS，
∴（+）2+（2+3﹣SH）2＝（）2+（SH+2）2，
∴SH＝，
∴S（，）；
如图6，
∵R'S＝RS，
∴∴（﹣）2+（﹣2+3﹣SH）2＝（）2+（SH﹣2）2，
∴SH＝，
∴S（，﹣）；
综上所述，满足条件的S 有四个S （，6），S （，），S ''（，3﹣2），S （，﹣）；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的存在性，一次函数的图象和性质，平行线的性质，轴对称的性质，最短距离；这是一道综合性强的题，能够画出多种情况的图形，分类讨论，数形结合是解题的关键．。