相似三角形的判定和判定方法
相似三角形的判定和判定方法
相似三角形的判定和判定方法1.边长比较法：通过比较两个三角形的各个边长，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应边长成比例关系，即每对对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的边长是另一个三角形的边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
2.角度比较法：通过比较两个三角形的各个角度，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应角度相等（或互为对应角的补角），那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一对内角是另一个三角形的一对内角的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
3.角边比较法：通过比较两个三角形的一个角和对边的比值，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的一个角相等，并且对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一个角是60度，它的对边长是另一个三角形的一个角是30度，它的对边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
4.比例关系法：通过使用相似三角形的比例关系，可以判断两个三角形是否相似。
根据数学原理，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。
这个比例关系可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中AB、BC、AC分别是一个三角形的三条边长，DE、EF、DF分别是另一个三角形的对应边长。
如果这个比例关系满足，那么这两个三角形就是相似的。
需要注意的是，相似三角形的判定必须满足两个条件：对应角度相等（或互为对应角的补角），以及对应边长成比例关系。
如果只满足其中一个条件，那么这两个三角形不是相似的。
此外，还可以根据相似三角形的性质解决一些图像类问题，比如计算物体在投影变换下的大小、角度等。
在计算机图形学和计算机视觉领域，相似三角形的概念被广泛应用于图像识别、图像重建等算法中。
总之，判定两个三角形是否相似有多种方法，包括比较边长、角度和使用比例关系。
通过这些方法，可以解决一些几何和图像问题，应用广泛。
相似判定定理
相似判定定理
相似三角形有四个判定定理，分别是：
1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）。
相似三角形的性质：
相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法1.AA（角-角）相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则可以判断它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的两个角分别相等，则其他角也必然相等。
根据三角形内角和定理，一个三角形的三个角之和等于180度。
因此，两个角相等的三角形的第三个角也必然相等，这样就可以判断两个三角形是相似的。
2.SSS（边-边-边）相似判定法：如果两个三角形的三条边的比值相等，则它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应边的长度比值相等，则可以判断它们是相似三角形。
3.SAS（边-角-边）相似判定法：如果两个三角形的一个边与对应顶角的比值相等，而且另一对边的比值也相等，则可以判断它们是相似三角形。
4.AAA（角-角-角）相似判定法：如果两个三角形的三个角对应相等，则可以判断它们是相似三角形。
根据角度对应定理，如果两个三角形的三个角对应相等，则它们是相似的。
除了以上的几种判定方法，还有一些相似三角形的性质和定理可以用于判定。
例如：1.周角的比值定理：如果两个相似三角形的三个内角对应相等，那么它们的周角的比值也相等。
2.面积的比值定理：如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的面积比值为a²:b²。
3.高的比值定理：如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的高的比值也为a:b。
4.相似三角形的中位线定理：如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的中位线的比值也为a:b。
需要注意的是，这些判定方法和定理都是基于相似三角形的基本定义和性质推导出来的。
在应用时，需要根据所给条件具体判断是否可以使用相应的判定方法和定理。
以上是一些常见的相似三角形的判定方法和定理。
相似三角形是几何学中重要的概念之一，对于解决与三角形相关的问题有很大的帮助。
同时也为后续学习更高级的几何概念和定理打下了基础。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是数学几何中的一个重要概念，它在解决实际问题和证明定理时起着关键作用。
相似三角形的判定是基于其边比和角相等的条件，而相似三角形的性质则涉及到各个角的对应关系和边的比例关系。
本文将详细介绍相似三角形的判定方法和性质。
一、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，常用的判定方法有以下几种：1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的一个角相等，且对应边的夹角也相等，那么它们是相似的。
2. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三边分别成比例，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们是相似的。
3. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角相等，且两个角的对边成比例，那么它们是相似三角形。
这些判定方法是相似三角形性质的基础，通过判定可以确定两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质1. 两个相似三角形的对应角相等，即相应的角相等。
这是相似三角形定义的直接性质，对应角相等是相似三角形的必要条件。
2. 两个相似三角形的对应边成比例。
如果两个三角形相似，则它们的对应边的长度之比等于任意两个对应边的长度之比。
具体来说，设两个相似三角形的对应边分别为AB和A'B'、AC和A'C'、BC和B'C'，则有AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'。
3. 两个相似三角形的高线成比例。
如果两个相似三角形的高线分别为h和h'，那么h/h'等于相应的边的长度之比。
4. 两个相似三角形的面积之比等于对应边长度之比的平方。
设两个相似三角形的面积分别为S和S'，对应边的长度之比为k，则有S/S' = k^2。
5. 两个相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
相似三角形的定义和判定方法
相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。
具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。
以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。
相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。
相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个(或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等;③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等,对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ＡBＣ∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′Ｂ′Ｃ′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=ｋ′=1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言:∵ＤE∥BＣ,∴△ＡBC∽△ADE；(双A型)②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”.(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理１:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知:如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ＡDE．例2、如图,E 、F 分别是△AB Ｃ的边BC 上的点，ＤＥ∥AB,D Ｆ∥ＡC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的重要概念，它们在很多问题的解决中起着关键作用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似定理AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。
当两个三角形的对应角度相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么这两个三角形是相似的。
2. SSS相似定理SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。
当两个三角形的对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。
具体而言，如果三角形ABC 和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。
3. SAS相似定理SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。
当两个三角形的一个对应边成比例，且两个对应边夹角相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和∠A = ∠D，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质相似三角形的对应角是相等的。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 高度与边成比例性质相似三角形的对应边上的高度成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。
4. 面积与边长平方的比例性质相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，则S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2，其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(DEF)表示三角形DEF的面积。
5. 定理勾股定理性质边长成比例的三角形中，对应边长的平方和成比例。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
判定两个三角形是否相似是解决几何学问题中的基本步骤之一。
下面将介绍三种常用的相似三角形的判定方法。
一、AA判定法AA判定法是通过两个三角形的两个角分别相等来判定它们是否相似的方法。
具体步骤如下：1. 选择两个角分别在两个三角形中进行比较。
2. 如果两个三角形的两个角分别相等，则可以得出它们是相似三角形的结论。
二、SSS判定法SSS判定法是通过两个三角形的三条边的对应边成比例来判定它们是否相似的方法。
具体步骤如下：1. 选择两个三角形的三条边分别进行比较。
2. 如果两个三角形的三条边的对应边成比例，则可以得出它们是相似三角形的结论。
三、SAS判定法SAS判定法是通过两个三角形的一对相等的角以及夹在它们之间的两条边的比值相等来判定它们是否相似的方法。
具体步骤如下：1. 选择两个三角形中的一个角，以及与其相对应的两边。
2. 比较另一个三角形中与已知角相对应的两边和刚刚选择的两边的比值。
3. 如果两个三角形的这两个比值相等，则可以得出它们是相似三角形的结论。
需要注意的是，判定相似三角形时，除了以上三种方法，还可以使用其他几何性质的判定方法，例如：尺规作图、对称性等。
根据题目描述和给出的条件，选择合适的判定方法进行分析和解决。
在实际应用中，相似三角形的判定方法有助于解决问题，例如测量远处高塔的高度、计算阴影的长度等。
总结相似三角形的判定方法是解决几何学问题的重要手段之一。
通过AA判定法、SSS判定法和SAS判定法，可以准确判断两个三角形是否相似。
在实际应用中，正确运用相似三角形的判定方法，可以帮助我们解决各种测量和计算问题。
理解这些判定方法并熟练运用，有助于提高几何学问题的解决能力。
相似三角形的判定方法，为现实生活中的计算提供了重要的参考和途径。
通过理论和实践相结合，我们能够更好地应用这些判定方法，解决实际问题。
掌握相似三角形的判定方法，将为我们的学习和工作带来便利，丰富我们的几何学知识。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它帮助我们理解和解决很多与三角形相关的问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及它们的性质。
一、相似三角形的判定方法1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。
即如果两个三角形的各个内角对应相等（即对应角相等），那么它们是相似的。
2. AA判定法：如果两个三角形的两个内角分别相等，并且它们的对应边成比例，则这两个三角形相似。
即如果两个三角形的两个角对应相等，并且对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一组对边成比例，并且其中一组对边夹角相等，则这两个三角形相似。
即如果两个三角形的两组对边成比例，并且夹角对应相等，那么它们是相似的。
二、相似三角形的性质1. 边长比：在相似三角形中，任意两对对应边的比值相等。
换句话说，如果两个三角形相似，那么它们的三条边的比值是相等的。
2. 高度比：在相似三角形中，任意两对对应高度的比值相等。
两个相似三角形的高度比等于对应边长比的倒数。
3. 面积比：在相似三角形中，任意两对对应面积的比值等于边长比的平方。
4. 角度比：在相似三角形中，任意一对对应角的比值相等。
换句话说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角的比值是相等的。
5. 相似三角形的角平分线三等分：在相似三角形中，若一个角的两边与另一个角的两边成比例，则这两个角的角平分线相互平行。
6. 重心的性质：在相似三角形中，两个相似三角形的重心在同一直线上。
7. 相似三角形的垂心：在相似三角形中，两个相似三角形的垂心在同一直线上。
8. 相似三角形的外心：在相似三角形中，两个相似三角形的外心在同一直线上。
三、应用举例1. 比例问题：利用相似三角形的性质可以解决很多比例问题。
例如，已知一座塔的阴影与杆子的阴影的比值等于塔的高度与杆子高度的比值，通过相似三角形的比例关系可以求解塔的高度。
相似三角形的判定与计算
相似三角形的判定与计算相似三角形是在几何学中常见的概念，它们具有相等角度但是边长不同的特点。
在本文中，我们将讨论如何判定两个三角形是否相似，并介绍相似三角形的相关计算方法。
一、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. 三边比较法如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判定它们是相似的。
即对于三角形ABC和DEF，如果AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么可以得出这两个三角形相似。
2. 角度比较法如果两个三角形的对应角度相等，则可以判定它们是相似的。
即对于三角形ABC和DEF，如果∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠EFD，∠ACB=∠EFE，那么可以判定这两个三角形相似。
3. 直角三角形的判定如果两个直角三角形的对应边长成比例，则可以判定它们是相似的。
即对于直角三角形ABC和DEF，如果AB/DE=BC/EF，那么可以判定这两个直角三角形相似。
二、相似三角形的计算已知两个相似三角形的一组对应边长的比例，可以通过计算求解出其他未知边长的长度。
1. 边长比例计算假设已知两个相似三角形为三角形ABC和DEF，其中AB/DE=AC/DF=BC/EF。
若已知其中一个三角形的边长，可以通过边长比例计算得到未知边长。
例如已知AB=5，DE=3，求解BC和EF的长度，则可以通过比例得到BC/EF=AB/DE=5/3，进而得到BC=5*(EF/3)。
2. 直角三角形的计算对于直角三角形，我们可以利用勾股定理求解未知边长。
假设已知两个相似直角三角形为三角形ABC和DEF，其中AB/DE=AC/DF=BC/EF。
若已知其中一个直角三角形的边长，可以通过比例得到其他未知边长。
例如已知AB=5，DE=3，求解BC和EF的长度。
由于BC和EF与AB和DE成比例，可以得到BC/EF=AB/DE=5/3。
由勾股定理可得BC=sqrt(AC^2-AB^2)，EF=sqrt(DF^2-DE^2)。
三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中一个重要的概念，理解相似三角形的性质和判定方法对于解题和应用数学非常有帮助。
本文将介绍相似三角形的性质，并讨论如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的性质1. 边长比例：两个三角形相似的充分必要条件是它们对应边长之比相等。
设两个三角形分别为ABC和DEF，若满足以下条件，则可判断它们为相似三角形：AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 角度相等：两个三角形相似的另一个重要性质是它们对应角度相等。
即若三角形ABC和DEF满足以下条件，则可以判断它们为相似三角形：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F3. 高度比例：相似三角形的高度之比等于对应边长之比。
假设ABC 和DEF为相似三角形，且BC和EF为对应边，h1和h2为它们的高度，则有以下关系：h1/h2 = BC/EF二、相似三角形的判定方法1. AA（角-角）判定法：若两个三角形的两个角相等，则这两个三角形相似。
即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。
2. SAS（边-角-边）判定法：若两个三角形的两个对应边的比例相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形相似。
假设AB/DE =BC/EF，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。
3. SSS（边-边-边）判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
即若AB/DE = BC/EF = AC/DF，可判断三角形ABC与DEF相似。
三、相似三角形的应用1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以测量高度。
例如，根据两个相似三角形的高度比例，可以利用已知的高度和对应的边长，求解未知高度的长度。
2. 图形放缩：相似三角形的性质使得我们能够进行图形的缩放。
通过改变相似三角形的边长比例，可以将图形按照一定的比例进行放大或缩小。
3. 建模与设计：相似三角形的应用还可以用于建模和设计。
例如，在设计模型中，可以利用相似三角形的概念，按照一定的比例来缩放和调整图形的形状。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的五种判定方法
相似三角形的五种判定方法
1.两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相似；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应相等的三角形相似，俗话来讲先找到这两个三角形的对应
边，间接找出三角形三组对应角有俩组相等则相似；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；方法四:三边
对应成比例，俗话来讲:如上均先找到对应边对应角,将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
判定五:只适用于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相
似，俗话来讲俗话来讲:某种意义上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另外一个直角边也对应成比例。
相似三角形及其判定(知识点串讲)(解析版)
专题11 相似三角形及其判定知识网络重难突破知识点相似三角形的判定一、相似三角形的判定方法①定义：各角对应相等，各边对应成比例．②平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．③有两个角对应相等．④两边对应成比例，且夹角相等．⑤三边对应成比例．二、相似三角形基本图形1、8字型有一组隐含的等角(对顶角)，此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等(AB、CD不平行，∠A＝∠C)(AB∥CD)2.A字型有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③，∠DAF＋∠BAD＝∠DAF＋∠EAF)，此时需要找另一对角相等或相等角的两边对应成比例3.双垂直型有一个公共角及一个直角 (图①为母子型的特殊形式AC2＝AD·AB仍成立，另CD2＝AD·BD)4.三垂直型结论推导，如图①，∠D＋∠DBA＝∠E＋∠EBC＝∠DBA＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠D，∠E＝∠DBA，且一组直角相等，用任意两组等角即可证得三角形相似【典例1】（2019秋•保山期末）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【点拨】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解析】解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠P AC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．【典例2】如图，BD、CE是△ABC的两条高，AM是∠BAC的平分线，交BC于M，交DE于N，求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）＝．【点拨】（1）先根据有两组角对应相等的两个三角形相似，判定△ABD∽△ACE；（2）先相似三角形的性质，得出＝，再根据∠DAE＝∠BAC，判定△ADE∽△ABC，进而得到＝，再根据∠CAM＝∠EAN，判定△ACM∽△AEN，得到＝，最后等量代换即可得到＝．【解析】证明：（1）∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴＝，即＝，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，且∠ACB＝∠AED，∵AM是∠BAC的平分线，∴∠CAM＝∠EAN，∴△ACM∽△AEN，∴＝，∴＝．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．【典例3】（2019秋•七里河区期末）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【解析】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G如图∴DF∥AG，＝∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴＝解得DF＝（10﹣t）∵S△BDE＝BE•DF＝7.5∴（10﹣t）•t＝15解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（2）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，∴＝即＝，解得t＝，②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，＝即＝，解得t＝．答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．【变式训练】1．（2020•浙江自主招生）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得．【解析】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；第2个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似；第4个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键2．（2019秋•奉化区期末）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（）A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP【点拨】由相似三角形的判定依次判断可求解．【解析】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，且∠APD＝∠B+∠PFB＝∠APC+∠CPD，∴∠APC＝∠BFP，且∠A＝∠B，∴△APG∽△BFP，故选项C不合题意，∵∠A＝∠CPD，∠D＝∠D，∴△APD∽△PGD，故选项B不合题意，∵∠B＝∠CPD，∠C＝∠C，∴△PCF∽△BCP，故选项D不合题意，由条件无法证明△CGE∽△CBP，故选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，牢固掌握相似三角形的判定是本题的关键．3．（2019秋•萧山区期末）如图，∠ACB＝∠BDC＝90°．要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC•CD；③，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【点拨】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．【解析】解：①若AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，且∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BCD，故①符合题意；②若BC2＝AC•CD，∴，且∠ACB＝∠BDC＝90°，无法判定△ABC∽△BCD，故②不符合题意；③若，且∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BCD，故③符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．4．（2019秋•新华区校级月考）如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，图中与△HBC相似的三角形为（）A．△HBD B．△HCD C．△HAC D．△HAD【点拨】设正方形ABGH的边长为1，先运用勾股定理分别求出HB、HC的长，将其三边按照从大到小的顺序求出比值，再分别求出四个选项中每一个三角形三边的比值，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似求解即可．【解析】解：设正方形ABGH的边长为1，运用勾股定理得HB＝，HC＝，则HC：HB：BC＝：：1．A、∵HB＝，BD＝2，HD＝，∴HD：BD：HB＝：2：＝：：1，∴HC：HB：BC＝HD：BD：HB，∴△HBC∽△DBH，故本选项正确；B、∵HC＝，CD＝1，HD＝，∴HD：HC：CD＝：：1，∴HC：HB：BC≠HD：HC：CD，∴△HBC与△HCD不相似，故本选项错误；C、∵HA＝1，AC＝2，HC＝，HC：AC：HA＝：2：1，∴HC：HB：BC≠HC：AC：HA，∴△HBC与△HAC不相似，故本选项错误；D、∵HA＝1，AD＝3，HD＝，HD：AD：HA＝：3：1，∴HC：HB：BC≠HD：AD：HA，∴△HBC与△HAD不相似，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，判定两个三角形相似的一般方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题还可以利用方法（3）进行判定．5．（2018秋•秀洲区期末）如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是∠ABD＝∠C（答案不唯一）（只需写出一个）．【点拨】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可【解析】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等．故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．6．（2019秋•崇川区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△P AD与△PBC相似，则满足条件的AP长为 2.8或1或6．【点拨】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若△APD∽△BPC②若△APD∽△BCP．【解析】解：∵∠A＝∠B＝90°①若△APD∽△BPC则＝∴＝解得AP＝2.8．②若△APD∽△BCP则＝∴＝解得AP＝1或6．∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．故答案为：2.8或1或6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相关判定与性质及分类讨论，是解题的关键．7．（2019秋•临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：△AEF∽△BCF．【点拨】（1）根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质定理得到∠C＝∠E，结合图形，证明即可．【解析】（1）∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中＝，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E、在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．（2019春•广陵区校级月考）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，并请说明理由．【点拨】（1）理由等角的余角相等证明∠MBA＝∠NMC，然后根据直角三角形相似的判定方法可判断Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）利用勾股定理可得到AM＝2，由于Rt△ABM∽Rt△MCN，利用相似比可计算出MN＝，接着证明＝，从而可判断Rt△ABM∽Rt△AMN．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°，∴∠AMB+∠NMC＝90°，而∠AMB+∠MAB＝90°，∴∠MBA＝∠NMC，∴Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）解：当M点运动到BC为中点位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN．理由如下：，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝4，BM＝MC＝2，∴AM＝2，∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴＝＝2，∴MN＝AM＝，∵＝＝，＝＝，∴＝，而∠ABM＝∠AMN＝90°，∴Rt△ABM∽Rt△AMN．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．巩固训练1．（2019•崇明区一模）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE 的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝D．＝【点拨】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解析】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．2．（2020•上虞区校级一模）已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（）对．A．6 B．5 C．4 D．3【点拨】根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的3个角分别相等，可推出△ABC∽△EDB，根据对应角相等推出△BDC∽△BFE∽△DF A．△BDF∽△BAD．【解析】解：图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△BFE，△BFE∽△DF A，△BDC∽△DF A，△BDF∽△BAD．理由：∵△ABC和△BDE是正三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∠E＝∠BDE＝∠EBD＝60°，∴△ABC∽△EDB，可得∠EBF＝∠DBC，∠E＝∠C，∴△BDC∽△BFE，∴∠BDC＝∠BFE＝∠AFD，∴△BDC∽△DF A，∴△BFE∽△DF A，∵∠DBF＝∠ABD，∠BDF＝∠BAD，∴△BDF∽△BAD．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，得出结论．3．（2019秋•市中区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4，D为BC的中点，E为AB 上的动点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE与△ABC相似时，t的值为4或7或9．【点拨】由条件可求得AB＝8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，当∠EDB＝90°或∠DEB＝90°，得出△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∵D为BC中点，∴BD＝2，∵0≤t＜12，∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝t，BE＝BC﹣AE＝8﹣t，当∠EDB＝90°时，则有AC∥ED，∴△BDE∽△BCA，∵D为BC中点，∴E为AB中点，此时AE＝4，可得t＝4；当∠DEB＝90°时，∵∠DEB＝∠C，∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得t＝7；②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；综上可知t的值为4或7或9，故答案为：4或7或9．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．4．（2019秋•海淀区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连结AD，BD，其中BD与AC 交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：△CBE，△BDA．【点拨】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．【解析】解：∵＝，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠DAE＝∠DBC，∴∠DAE＝∠ABD，∵∠ADE＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，故答案为△CBE，△BDA．【点睛】本题考查相似三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2020•成都模拟）如图，BC是⊙O的弦，A是劣弧BC上一点，AD⊥BC于D，若AB+AC＝10，⊙O的半径为6，AD＝2，则BD的长为2或4．【点拨】作直径AE，连接CE，证明△ABD∽△AEC，得，设AB＝x，则AC＝10﹣x，列方程可得AB的长，最后利用勾股定理可解答．【解析】解：作直径AE，连接CE，∴∠ACE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠ACE，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴，设AB＝x，则AC＝10﹣x，∵⊙O的半径为6，AD＝2，∴，解得：x1＝4，x2＝6，当AB＝4时，BD＝＝＝2，当AB＝6时，BD＝＝＝4，∴BD的长是2或4；故答案为：2或4．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，正确作辅助线，构建相似三角形是本题的关键．6．（2020•雨花区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC＝3，BC＝4，且AC＝AD，弦CD交直径AB于点E．（1）求证：△ACE∽△ABC；（2）求弦CD的长．【点拨】（1）由垂径定理可知∠AEC＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质可知AC2＝AE•AB，从而可求出AE＝，再由勾股定理以及垂径定理即可求出CD的长度．【解析】解：（1）∵AC＝AD，AB是⊙O的直径，∴CD⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BAC＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，∴△ACE∽△ABC．（2）由（1）可知：，∴AC2＝AE•AB，∵AC＝3，BC＝4，∴由勾股定理可知：AB＝5，∴AE＝，∴由勾股定理可知：CE＝，∴由垂径定理可知：CD＝2CE＝．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，本题属于中等题型．7．（2018秋•姜堰区校级月考）如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．【点拨】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC＝∠DAE，结合图形，证明即可；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解析】（1）证明：∵＝＝．∴△ABC～△ADE；∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，即∠BAD＝∠CAE；（2）解：∵△ABC～△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ADE＝∠ABE+∠BAD，∴∠EBC＝∠BAD＝21°；（3）证明：连接CE，∵△ABC～△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，即∠BAD＝∠CAE，∵＝．∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．（2019秋•江阴市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，△BPQ的面积是cm2；（3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形；（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，直接写出t的值．【点拨】（1）由勾股定理可求AB的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（2）过点P作PE⊥BC于E，由平行线分线段成比例可得PE＝3t，由三角形的面积公式列出方程可求解；（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10cm，∵△BPQ与△ABC相似，且∠B＝∠B，∴或，当时，∴，∴t＝1，当，∴，∴t＝；（2）如图1，过点P作PE⊥BC于E，∴PE∥AC，∴，∴PE＝＝3t，∴S△BPQ＝×（8﹣4t）×3t＝，∴t1＝或t2＝；（3）①当PB＝PQ时，如图1，过P作PE⊥BQ，则BE＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，由（2）可知PE＝3t，∴BE＝＝＝4t，∴4t＝4﹣2t，∴t＝②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，解得：t＝，③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，∵△BGQ∽△ACB，∴，∴解得：t＝．综上所述：当t＝或或时，△BPQ是等腰三角形；（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB＝5t，∵AC⊥BC∴△PMB∽△ACB，∴＝∴BM＝4t，PM＝3t，且BQ＝8﹣4t，BC＝8，∴MC＝8﹣4t，CQ＝4t，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM，∵∠ACQ＝∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴∴t＝【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．。
相似三角形的判定条件及证明
相似三角形的判定条件及证明相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但可能具有不同的大小。
在实际问题中，我们经常需要确定两个三角形是否相似。
本文将介绍判定相似三角形的条件及其证明方法。
1. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等（其中一个角必须是对应角），那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠C = ∠F。
我们需要证明它们是相似的。
根据AA相似定理，我们只需证明另外一个对应角也相等。
假设∠A = ∠D，∠B = ∠E。
根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠D - ∠E = ∠F。
因此，三角形ABC和三角形DEF的对应角都相等，根据AA相似定理，它们是相似的。
2. 三边比值相等定理如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = BC/EF =AC/DF。
我们需要证明它们是相似的。
假设AB/DE = BC/EF，我们可以得到AB/BC = DE/EF。
根据三角形的角边比例定理，如果三角形的两边之间的比值相等，那么这两个三角形的对应角也相等。
因此，∠A = ∠D，而根据AA相似定理，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。
3. SAS相似定理如果两个三角形的一对对应边成比例，并且两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D。
我们需要证明它们是相似的。
我们已经得知∠A = ∠D，因此，我们只需证明另外两对对应边之间的比值相等。
设x = AB/DE = AC/DF，我们可以得到DE = AB/x，DF = AC/x。
由此可得：DE/DF = (AB/x)/(AC/x) = AB/AC。
证明相似三角形判定方法
证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。
3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。
6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。
7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。
8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。
9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。
10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。
11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。
12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。
13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。
14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。
15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。
16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。
17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。
18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。
19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
判断两个三角形是否相似是几何学中的重要问题，本文将介绍相似三角形的判定方法。
一、AA判定法AA判定法即如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么这两个三角形相似。
二、SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的一对对应边的比例相等，并且夹角的大小也相等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果三角形ABC 和三角形DEF，满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，且∠A = ∠D，那么这两个三角形相似。
三、SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。
值得注意的是，如果一个三角形的三个角的度数和另一个三角形的三个角的度数完全相等，但边的长度不同，则这个三角形并不一定是相似的。
四、比例法判定相似三角形除了上述的基本判定法之外，我们还可以利用比例法来判定两个三角形是否相似。
具体来说，我们需要比较两个三角形的相邻边的比例，如果这些比例相等，则两个三角形相似。
五、直角三角形的相似在判定直角三角形的相似性时，我们可以通过观察两个直角三角形的斜边和直角边的比例来判断它们是否相似。
如果两个直角三角形的斜边比例相等，并且直角边比例也相等，则这两个直角三角形相似。
总结：判定相似三角形的方法包括AA判定法、SAS判定法、SSS判定法、比例法以及直角三角形的相似性判定。
根据所给的条件，我们可以选择合适的判定方法来判断两个三角形是否相似。
相似三角形具有相同的形状，但尺寸不同，这种性质在实际应用中十分重要，可以用于解决计算距离、测量高度等问题。
相似三角形的判定方法可以帮助我们在解决几何问题时快速确定是否存在相似三角形，从而简化计算过程。
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相似三角形的判定和判定方法
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相似三角形的判定
1.两个三角形的两个角对应相等
2.两边对应成比例,且夹角相等
3.三边对应成比例
4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断。
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
绝对相似三角形
1.两个全等的三角形一定相似。
2.两个等腰直角三角形一定相似。
3.两个等边三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理
三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
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