第6章 静电场习题课.ppt

qin
0
qin ?
在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含
的电荷为：d q dV Ar 4r2 d r
在半径为r的球面内包含的总电荷为：
qin
dV
V
r 4Ar 3 d r Ar 4
0
(r≤R)
Q
E1 4r 2

qin
0
Ar 4 / 0
2-1题图
所以整个带电体系可看着为由均匀带正电的球面和 △S部分带负电的、电荷密度和球面相同的电荷组成， 因△S很小，所以其可以看着为点电荷。
按场强的叠加原理，所以整个带电体系的场强等于均匀 带正电的球面的场强和△S部分点电荷的场强的矢量和
均匀带正电的球面的场强在o点的场强为0。
所以整个带电体系的场强等于△S部分点电荷的场强
心处电场强度的大小：E＝___Q___S_/_1_6__2__0_R_4_____，
其方向为___由__圆__心__O__点__指__向__△__S_____。
Q
△S
解题方法：挖补法
R O
因挖去的部分不带电，可以认为带
等量异号电荷，所以可以在挖去的部分 补上等量异号的与原电荷密度相等的电荷
sin 2 d
0
0 8 0 R
∴
E
Exi
Ey
j

0பைடு நூலகம்8 0 R
j
2．一半径为R均匀带电的半球壳，电荷面密度为，求球 心处的电场强度的大小。
解：将半球壳分割为一组平行细圆环 E d E
均匀带电细圆环的场强：
E

1
4 0
(x2
xq
3
R2)2
E

q
4 0R2
S 4 0 R2

S
4R 2

Q
4 0R2

SQ
16 2 0R4
Q
△S
R O
方向由圆心o点指向∆S
2-1题图
4. 有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点
a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平
面的电场强度通量为
q
q
(A) 3 0
腔内P点均属于球内一点，均匀带电球体球内的场强为
E

r
3 0
所以
E1

3 0
r1 ,
E2

3 0
r2
E E1
根据几何关系
E2r13r2 0(ra1
r2 )
r1
p
o
o′
a
r
2
E

a
3 0
与P点在空腔中位置无关。
7．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度 E 垂直于地面向下，大小约为100 N/C；在离地面1.5 km 高的地方，E 也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C．
0
(r≤R)
qin AR4
Q
得到：E2 AR 4 / 4 0r 2 ， (r >R)
方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里．
E
6．如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中，存
在一个球形空腔，若将带电球心O指向空腔球心O’的矢
量用a表示，试证明球形空强腔中任意一点的电场强度为
E
得到： E1 Ar 2 /4 0 ， (r≤R)
方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里．
在球体外作一半径为r的同心高斯球面，按高斯定理有
E2 4r 2 qin / 0 qin ?
在半径为r的球面内包含的总电荷为：
qin

dV
V
r 4Ar 3 d r Ar 4
R
o
x
PE
x
x
任一圆环在点O激发的电场强度为
d
dE
1
4 0
(x2
xdq r2 )3/2
i
O'
O R
z
dq dS 2R2 sind
由于平行细圆环在O激发的电场强度相同，利用几何关系
x Rcos r Rsin 统一积分变量，有
dE

1
4 0
(B) 4 0
(C) q
3 0
q
(D) 6 0
a
a
O a/2 q
1-2 题图
以正电荷为中心作一边长为a/2的立方体形的高斯面
由高斯定理，总通量为 q
0
则通过一面的电通量为 q
6 0
5. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
Ar (r≤R) ， 0 (r＞R)

1. 带电细线弯成半径为R的半圆形,电荷线密度为 0 sin
式中λ0为一常数，Φ为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．
试求环心O处的电场强度．
解：在 处取电荷元，其电荷为
dq dl Rsin d
它在O点产生的场强大小为
dE

dq
4 0 R 2

0 sin d 4 0 R
Q
A为一常量．试求球体内外的场强分布．
解：由 Ar (r≤R) ， 0 (r＞R) 可知：
电荷分布具有球对称分布，相应地场强分布亦具有球
E
对称分布，即在以带电球体球心为球心，以任意半径
r的球面上，场强大小相等，方向沿径向。
在球内取半径为r球面为高斯面
按高斯定理有
E1 4r 2

y
dq
R
d E
O
x
3-2 题图
在x、y轴上的二个分量
y 0 sin
dEx dE cos
dq R
dEy dE sin
对各分量分别求和
d E
O
x
3-2 题图
E x
0 4 0 R

sin cos d ＝0（由对称性亦可等到该式）
0
E y
0 4 0 R
E

a
3 0
P O
O’
解：用“挖补法”，挖去球形空腔的带电体，
在电学上等效于一个完整的、电荷密度为的均匀带电大
球体和一个电荷体密度为－的球心在O’的带电小球体的
组合。小球体的半径等于空腔球体半径。
大、小 球在空腔内P点产生的电场强度为 E E1 E2
E E1 E2
(1) 假设地面上各处 E都是垂直于地面向下，试计算从地面
到此高度大气中电荷的平均体密度；
(x2
xdq r2)3/2

1
4 0
R cos
R3
2R2
s in d

2 0
sin cosd
积分得
E / 2 sin cosd
0 2 0
4 0
x
d
O R
z
3.真空中一半径R的均匀带电球面带有电荷Q ( Q＞0 )． 今在球面上挖去非常小块的面积 △S (连同电荷)，如图所 示，假设不影响其他处原来的电荷分布，则挖去 △S后球