《五年级奥数》精编数学容斥原理课件
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五年级下册数学奥数课件11较复杂的容斥原理人教版(21张PPT)
动手做一做吧！
A：10×10=100﹙cm2﹚ B：8×8=64﹙cm2﹚ C：4×4=16﹙cm2﹚ AB：5×5=25﹙cm2﹚ AC：4×2=8﹙cm2﹚ BC：4×2=8﹙cm2﹚ ABC：2×2=4﹙cm2﹚
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
小结
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
即学即练
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有
24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，
投掷 游泳、投掷
17 18 15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？
短游 投 跑泳 掷
17 18 15
短跑 游泳
6
短跑 投掷
6
游泳 投掷
5
短跑、 游泳、投掷
2
A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
？ 17 18 15 6 6 5 2
达到了优秀的学生： 17+18+15-6-6-5+2=35(人)
全班的学生：35+4=39 (人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有 62人会骑自行车，75人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？
62+75-（100-15）=52（人）
答：既会自行车又会游泳的有52人。
例5：如图，边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正 方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？
A：10×10=100﹙cm2﹚ B：8×8=64﹙cm2﹚ C：4×4=16﹙cm2﹚ AB：5×5=25﹙cm2﹚ AC：4×2=8﹙cm2﹚ BC：4×2=8﹙cm2﹚ ABC：2×2=4﹙cm2﹚
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
小结
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
即学即练
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有
24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，
投掷 游泳、投掷
17 18 15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？
短游 投 跑泳 掷
17 18 15
短跑 游泳
6
短跑 投掷
6
游泳 投掷
5
短跑、 游泳、投掷
2
A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
？ 17 18 15 6 6 5 2
达到了优秀的学生： 17+18+15-6-6-5+2=35(人)
全班的学生：35+4=39 (人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有 62人会骑自行车，75人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？
62+75-（100-15）=52（人）
答：既会自行车又会游泳的有52人。
例5：如图，边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正 方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂的容斥原理 人教版 (共21页)
24+17-8=33（人）
答：这个文艺组一共有33人。
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为 20厘米和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积 是多少？
•
5.反复手法的运用是本诗在表现形式 上的一 大特色 。本诗 的前三 节，都 用大致 相同的 语言形 式表明 作者相 信未来 不变的 信念， 每一节 最后都 由“相 信未来 ”四个 字结尾 。而且 用冒号 把它们 凸现出 来，如 音乐中 的主题 句反复 出现， 强化了 作品的 主旋律 ，增强 了诗文 的感染 力，突 出了诗 歌的主 旨。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
•
2.同学们，相信你们大多数同学都有 旅游的 经历， 请大家 交流一 下，到 过哪些 名山大 川，有 什么感 受？大 自然中 的山水 ，不仅 能给我 们带来 美感也 给我们 带来灵 感，今 天让我 们从诸 子大家 对山水 的体悟 中，学 习为人 为事的 道理。
答：这个文艺组一共有33人。
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为 20厘米和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积 是多少？
•
5.反复手法的运用是本诗在表现形式 上的一 大特色 。本诗 的前三 节，都 用大致 相同的 语言形 式表明 作者相 信未来 不变的 信念， 每一节 最后都 由“相 信未来 ”四个 字结尾 。而且 用冒号 把它们 凸现出 来，如 音乐中 的主题 句反复 出现， 强化了 作品的 主旋律 ，增强 了诗文 的感染 力，突 出了诗 歌的主 旨。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
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2.同学们，相信你们大多数同学都有 旅游的 经历， 请大家 交流一 下，到 过哪些 名山大 川，有 什么感 受？大 自然中 的山水 ，不仅 能给我 们带来 美感也 给我们 带来灵 感，今 天让我 们从诸 子大家 对山水 的体悟 中，学 习为人 为事的 道理。
五年级奥数学习之容斥原理(彩色版_含解答)
例题 4
培英学校有学生 1000 人， 其中 500 人订阅了 《中国少年报》 ，
，250 人订阅了《数学报》 ，至少订阅两种报刊的 350 人订阅了《少年文艺》 有 400 人， 订阅了三种报刊的有 100 人． 请问： 这个学校有多少人没有订报？
32
容斥原理
课 本
ᄯڳભͱ ķ ĺ ļ Ĺ ༰ͱ ľ
爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能，因为可能 有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱 喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次（如上图所示） ，计算人数的时候要把这一部分减去才行． 比如，如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是 7 + 10 − 3 = 14 人． 这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究 这种问题通常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡的图） ，这样的示意图又叫做文氏图，下 面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式． 如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算 A+B 就会算多了，而多算的正好是③部分，只要把多算的减掉就可 以了．上述分析总结成公式就是：
怎么理解这个公式呢？我们还是利用文氏图来说明． 如图，我们在计算 A + B + C 时，有一些部分被重复计算了： ④、⑤、⑥被计算了两次，而⑦被计算了三次．因此我们需要 把重复计算的去掉．需要注意的是，去掉 A、B 重叠，B、C 重 叠和 A、C 重叠的部分后，④、⑤、⑥重复计算的一次去掉了， B 但⑦被去掉了三次，还需要补上一次，这就得到了上面的公式．
ڈᆐࢴ ڈᆐఅ
28
容斥原理
课 本
̙ׅ۟ԅఆ
容斥原理课件.doc
1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。
他们中有32 人会拉小提琴，27 人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11 人。
这个团共有多少个小演奏家？32＋27－11=482、一个班有学生42 人，参加体育队的有30 人，参加文艺队的有25 人，并且全班每人至少参加一个队。
问：这个班两队都参加的有多少人？30＋25－42=133、京华小学五年级学生采集标本。
采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19 人，两种标本都采集的有8 人。
全班学生共有40 人，没有采集标本的有多少人？19＋25－8=36 40 －36=44、有100位旅客，其中有10 人既不懂英语又不懂日语，有75 人懂英语，83 人懂日语。
既懂英语又懂日语的有多少人？100－10=90 75 ＋83－90=685、一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。
其中会开车床的有235 人，会开铣床的有218 人，会开刨床的有207 人。
既会开车床又会开铣床的有112 人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63 人，三种都会的有19 人。
这个工厂一共有多少人？235＋218＋207－112－71－63＋19=4336、外语学校有英语、法语和日语教师共27人。
其中只能教英语的有8 人，只能教日语的有 6 人，能教英语和日语的有 5 人，能教法语和日语的有 3 人，能教英语和法语的有 4 人，能教英语、法语和日语的只有 2 人。
只能教法语的教师有多少人？8＋6＋（5－2）＋（4－2）＋（3－2）＋2=22 27 －22=57、某校五年级有学生54 人，每人至少爱好一种球。
其中爱好乒乓球的有40 人，爱好足球的有20 人，爱好排球的有30 人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18 人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14 人，既爱好足球又爱好排球的有12 人。
这三种球都爱好的有多少人？54－（40＋20＋30－18－14－12）=88、如图，在一个边长为90 厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20 厘米和45 厘米的正方形纸。
小学五年级奥数PPT：容斥原理.ppt
? 例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语， 其中选修英语的学生人数为25，选修法语的 学生人数为18，选修德语的学生人数为20， 同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选 修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法 语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三 种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名 学生？
（A+D+E+G）＋（B＋D＋F＋G）＋（C＋E+F+G）-（D＋G）－（F＋G）－（E＋Ｇ）
↓
↓
↓ ↓ ↓↓
２５ ＋ ３４＋ ２２－１８－１４－１２
＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ
＝６块（去重时把 G去完了）
再加上三种都参加的G
２５＋３４＋２２－１８－１４－１２＋８ ＝这个班人数
?结论（公式二）
? 如果被计数的事物有A、B、C三类， 那么，A类或B类或C类事物个数= A类 事物个数+ B类事物个数+C类事物个 数—既是A类又是B类的事物个数—既 是A类又是C类的事物个数—既是B类 又是C类的事物个数+既是A类又是B类 而且是C类的事=158人 158-90=68人
? 3、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的 有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？
35+28-20=42人
? 4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会 下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有 12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少 人？
41+34-27=48（人）
?
41 27 34
容斥原理
?一个班有45名学生，订阅《小学生数 学报》的有 15人，订阅《今日少年报》 的有10人，两种报纸都订阅的有 6人。
小学数学容斥问题教学课件
25＋23－19=29（人）
答：一共有29人。
例2、一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请
举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手” 有42人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举 手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人 数是多少个？
做完 语文 的人 数： 37人
容斥原理（第二讲）
• 某校六（1）班，每人在暑 •
假里都参加体育训练队，
其中参加足球队的有25人，
参加排球队的有22人，参 加游泳队的有34人，足球、
•
排球都参加的有12人，足
球、游泳都参加的有18人，
排球、游泳都参加的有14
人，三项都参加的有8人，
这个班有多少人？
25+22+34 -12-1814+8=45人
=9（人）
练一练
第51页举一反三第4题
2分钟你 能做完
Hale Waihona Puke 吗？作业：第52页熟能生巧（1）、 （2）做在作业本上（要求：不 抄题，标清题号，字迹工整整洁， 做完后请家长签字。）
复习容斥问题例1、例2，预习例3、例4
课后过关：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
练一练
第51页举一反三第3题
2分钟你 能做完
吗？
例5、某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行
车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会
的至少有多少人？
一项不会的
一项不会的
尽可能的多，
就不符合
即考虑重复的
不会游泳的：50－35=15（人）
奥数容斥问题课件
示例：有五个班级，分别有30人、40人、50人、60人和70人，其中两个班级共有10人既是第一班也是第二班的人，同时是第二班和第三班的人有15人，同时是第二班和第四班的人有20人，同时是第三班和第四班的人有25人，同时是第三班和第五班的人有30人，同时是第四班和第五班的人有35人。求五个班级总共有多少人
进阶练习题在难度上有所提升，需要学生灵活运用容斥原理解决较为复杂的问题，提高解题技巧。
题目4
一个班级有45名学生，每人至少参加一项体育活动。其中，28人参加篮球，30人参加足球。问同时参加两项体育活动的学生有多少人？
题目3
一个班级有35名学生，每人至少参加一项课外活动。其中，18人参加音乐小组，21人参加美术小组。问同时参加两项课外活动的学生有多少人？
奥数容斥问题课件
目录
容斥问题简介容斥问题的基本解法容斥问题的进阶解法容斥问题的实际应用容斥问题的常见题型及解析练习题及答案解析
CONTENTS
容斥问题简介
容斥问题是一种数学问题，涉及到集合和集合之间的关系。它主要考察的是如何正确地理解和处理集合之间的关系，以及如何通过已知的集合信息来推导出未知的集合信息。
题目2：一个班有40名学生，每人至少参加一个运动项目。其中，25人参加篮球，20人参加足球。问同时参加两个运动项目的人数是多少？
答案及解析：通过容斥原理，我们可以得出同时参加两个运动项目的人数为10人。
总结词
提高解题技巧
答案及解析
通过容斥原理，我们可以得出同时参加两项课外活动的学生有9人。
详细描述
详细描述：对于n个集合，它们的并集的元素数量可以通过以下公式计算：|A∪B∪C...∪n| = Σ(i=1 to n) |Ai| - Σ(i=2 to n) Σ(j=i+1 to n) |Ai∩Aj| + Σ(i=3 to n) Σ(j=i+1 to n) Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1) * Σ(i=n to 2) Σ(j=i+1 to n) ... Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak...∩An|，其中Σ表示求和符号，Ai、Aj、Ak...An分别表示第i个、第j个、第k个...第n个集合的元素数量，Ai∩Aj、Ai∩Aj∩Ak、Ai∩Aj∩Ak...∩An等分别表示第i个和第j个、第i个和第j个以及第k个...第n个集合的交集的元素数量。
小学五年级奥数课件：容斥原理
3，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25 人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科 在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少 人？
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
容斥原理
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
容斥原理
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
数学五年级竞赛讲座第6讲容斥原理课件
A∩B∩C={1到200中间能被2×3×5整除的自然数}；
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
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拓展例题
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且 有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满 分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语 数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得 满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 为15+12-4=23。
3倍
5倍
3:670个 5:402个 7:287个
7倍
3/5:134个 3/7：95个 5/7:57个
3/5/7=19个
大饼：670+402+287-（234+95+57）+19=1092（个）
饼外：2010-1092=918（个）
本课总结
1、容斥原理：不考虑重叠，先计算结果， 之后减去重叠部分的计数方式。 2、“大饼图”：写对名字，标对数。找 出所求区域 3、考点： （1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
老师点睛
1.公式
消重
(1)大饼=A+B-AB
(2)大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
AB
A
B
C
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的
倍数的数共有
个
3倍
5倍
7倍
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的
2倍 3倍 5倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
2倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
倍数的数共有
个
3/5: 2008÷15=133（个） 3/7: 2008÷21=95（个） 5/7：2008÷35=57（个） 3/5/7: 2008÷105=19（个） 133+95+57-19X3=228
老师点睛 2.考点：锅内饼外、三叶草
（1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
数学参加人数：40-25=15人 15-10+18-10 =5+8 =13（人）
例题【二】（★ ★ ★ ）
1～209这209个自然数中，与209互质的自然是有几个？
互质，没有公约数 分解，209=11×19 11:209÷11=19（个） 19:209÷19=11（个） 11/19：1（个） 大饼：19+11-1=29（个） 答：209-19=180（个）
容斥原理
五年级 第17课
本讲主线
1、掌握两个容斥原理 2、一道经典的拉灯问题
本讲主线
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重 复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先 不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
数学
航模
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
3倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次把所有编号是3的倍数 气球打破；第二次把编号是5的倍数的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打 破。那么，最后还剩几个是没有被打破的气球？
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2：有1003个 3：有668个 5：有401个 2/3：有334个 2/5：有200个 3/5：有133个 2/3/5:有66个
2倍 3倍 5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
大饼：1003+668+401-（334+200+133）+66=1471（盏） 锅内饼外：2006-1471=535（盏） 三叶草：334+200+133-66X3=469（盏） 亮的灯：535+469=100
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又无重复，这种计数的方法称为容斥原理
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编 号为1,2，…，2006，将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一 下；再将编号为3的倍数的灯拉线各拉一下，最后将编号为 5的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2倍 3倍
5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）