初中数学 24.4 弧长和扇形面积(第1课时)教案
九年级数学上册(人教版)24.4弧长与扇形面积(第一课时)教学设计
"首先，我们来看弧长的计算公式。弧长等于圆周长的一部分，我们可以通过圆心角和半径来计算。其公式为：弧长= (圆心角/360) × 2πr。接下来，我们学习扇形面积的计算公式。扇形面积是圆面积的一部分，它等于圆心角所对的圆弧与半径所围成的图形。其公式为：扇形面积= (圆心角/360) × πr²。"
2.教师通过示例题，展示如何运用这些公式解决实际问题，让学生理解并掌握计算方法。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，让学生合作讨论以下问题：
"如何计算一个圆的1/4弧长和扇形面积？如果圆的半径是10cm，圆心角是90度，你能计算出弧长和扇形面积吗？"
2.学生在小组内进行讨论，共同解决这些问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.梯度练习，巩固知识
设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。针对学生的错误，进行及时反馈和指导。
4.理论联系实际，学以致用
通过解决实际问题，让学生感受数学的实用性。例如，计算一段弯曲的道路的长度、计算扇形门的面积等。
5.总结反馈，拓展提高
在课堂结束时，让学生总结本节课所学内容，并进行自我评价。教师对学生的表现给予肯定和鼓励，同时对学生的不足之处进行指导。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
"请同学们完成以下练习题：计算半径为5cm的圆的1/6弧长和扇形面积；计算圆心角为120度的扇形面积，半径为8cm。"
2.教师对学生的练习进行批改和反馈，针对错误进行讲解，确保学生掌握所学知识。
（五）总结归纳，500字
24.4 弧长和扇形面积第1课时教案
24.4弧长和扇形面积教案一、【教材分析】二、【教学流程】自 主 探 究问题2、你还记得圆面积的计算公式吗？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n 的圆心角呢？设：已知⊙O 半径为R ，求n 的圆 心角所对的扇形面积. 比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？2R =360n S π扇形 1=2S lR 扇形其中，l 是扇形的弧长，R 为半径． 学生认真思考，由中等学生回答：圆周长为2R π，可看作是360°的圆心角所对的弧长；教师关注学生对公式的理解程度.教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面积公式. 经过观察，学生能够看出：类比的方法研究问题．来源于生活服务于生活，强化应用意识O DC B A 补 偿 提 高1、 如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m ，求截面上有水部分的面积（精确到0.01 m 2）2、三角形ABC 的外接圆半径为2，60=∠BAC °，则∠BAC 所对的弧BC 的长为教师出示例题后，引导学生分析已知条件，教师要关注学生对题目中的有关概念是否清楚，如水面高指的是什么？ 经过分析，学生知道了水面高即弧AB 的中点到弦AB的距离． 因此想到做辅助线的方法：连接OA 、AB ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，交弧AB 于点C ．垂径定理的应用．加强学生对本节课内容的认识与联系三、【板书设计】四、【教后反思】。
24.4 弧长和扇形面积(第1课时教案)
24.4 弧长和扇形面积(第1课时)教学内容1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念；3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π；4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．重难点、关键1．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用．2．难点：两个公式的应用．3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 教学过程 一、引入问题：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm ，精确到10mm)二、探索新知（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．1．半径为R 的圆,周长是多少？ 2．圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？3．1°圆心角所对弧长是多少？ 2°的圆心角所对的弧长是_______． 4°的圆心角所对的弧长是_______． ……n °的圆心角所对的弧长是_______．（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：n °的圆心角所对的弧长为180Rn l π=（幻灯片5）.c针对练习题1.已知一个圆的半径为12，则圆心角为150°所对的弧长为（ ） A ．5π B ．6π C ．8π D ．10π2.一个圆的半径为8cm ，则弧长为π316cm 所对的圆心角为（ ）A ．60°B ．120°C ．150°D ．180°3.若长为12π的弧所对的圆心角120°，则这条弧所在圆的半径为（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36问题、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即»AB 的长（结果精确到0.1mm ）（幻灯片7）.c分析：要求»AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110∴»AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8（mm ）因此，管道的展直长度约为76.8mm ．练习题： 有一段弯道是圆弧形的，道长是12m ，弧所对的圆心角是段圆弧的半径R(精确0.1m)扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．1）半径为R 的圆,面积是多少？圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？ 1°圆心角所对扇形面积是多少？2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 因此：在半径为R 的圆中，圆心角n °的扇形针对练习题1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇=_ .已知扇形面积为π34 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=已知半径为2cm 的扇形，其弧长为π34 ，则这个扇形的面积，S 扇=例题：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m 。
24.4《弧长和扇形面积》(第1课时)教案
24.4《弧长和扇形面积》（第1课时）教案学习目标：【知识与技能】1、理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式2、会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长【过程与方法】1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知识的能力【情感、态度与价值观】1、通过对弧长及扇形的面积公式的推导，理解整体和局部2、通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用【重点】弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积【难点】运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积学习过程:一、自主学习（一）复习巩固1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？（二）自主探究1、如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？OB O B A ABO A B O A B O2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即AB 的长(结果精确到0.1mm)．3、上面求的是110°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对的弧长呢？请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对的弧长。
因此弧长的计算公式为l =__________________________4、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形问：右图中扇形有几个？同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积是面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积 如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为S = ___ .因此扇形面积的计算公式：S=————————或S=——————————（三）、归纳总结： 1、 叫扇形2、弧长的计算公式是 扇形面积的计算公式是 （四）自我尝试：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
24.4弧长和扇形面积(第1课时)教案
24. 4弧长和扇形面积（第1课时）教学内容的圆心角所对的弧长2. 扇形的概念;"圆心角川。
的扇形面积是仏=需4.应用以上内容解决一些具体题目.教学目标了解扇形的概念，理解nET 的圆心角所对的弧长和扇形而积的计算公式并熟练掌握它 们的应用.通过复湖的周长、圆的面积公式，探索n 。
的圆心角所对的弧长y 筈和扇形面积S 沪鵲的计算公式，并应用这些公式解决-些题目.重难点、关键的圆心角所对的弧长匸警.扇形而秒“需及其它们的应用. 教具.学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板.教学过程（幻灯片2-幻灯片4>二、探索新知（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题.1.圆的周长公式是什么？2.圆的面积公式是什么？1-重点:2.难点: 两个公式的应用・3.关键: 由圆的周长和而积迁移到弧长和扇形而积公式的过程.3 •什么叫弧长?老师点评：<1）圆的周长C=2;rR（3）弧长就是圆的一部分.（小黑板）请同学们独立是成下题：设圆的半径为R，则:5- n。
的圆心角所对的弧长是（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到: n°的圆心角所对的弧长为/= 怛（幻灯片5）180例已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60° ,求此圆弧的长度。
（幻灯片6）说明，没有特别要求，结果保留兀。
例2.制作弯形管道时，需要先按中心线讣算“展宜长度"再下料.13试讣算如图所示的管逍的展直长度，即AB的长（结果精确到0.1mm ）（幻灯片7〉分析：要求力B的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可.解J R=40mm, n=110n兀R110x40”、/. 的长二------ = --------- 876.8 （mm）180 180因此，管道的展直长度约为76.8mm-例欽如图，ft： RtAABC的斜边放在直线/上，按顺时针方向转动一次，使它转到△的位置。
若BCUZA=300»求点A运动到A'位背^时，点A经过的路线长。
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上一段弧的长度，而扇形面积则是圆心角所对的区域。这些概念在工程、地理和日常生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们要计算一个半径为10米的半圆的弧长，我们将学习如何使用弧长公式来求解。
然而，我也注意到在小组讨论环节，有些小组的参与度并不高，可能是因为问题设置不够贴近学生的实际经验，或者是我没有给予足够的引导。在未来的教学中，我需要针对这一点进行改进，设计更具启发性和参与性的讨论主题。
实践活动虽然增加了学生对知识的直观感受，但在时间分配上似乎有些紧张。有些小组没有足够的时间完成讨论和实验操作，导致成果展示不够充分。我考虑在下次课中，适当延长实践活动的时间，确保每个小组都有足够的机会来展示他们的成果。
（3）教学难点中的弧度与角度转换，学生需要记住π弧度等于180°，因此在计算中如遇到角度制，需要先转换为弧度制。例如，一个圆心角为60°的扇形，其对应的弧度为π/3（60° × π/180）。
（4）在实际应用中，学生需要将问题描述转化为数学表达式。例如，如果一个公园的圆形喷泉半径是3米，需要清洁的部分占整个圆的1/6，学生需要计算出这部分扇形的面积（A = 1/2 × 3² × π/3）。这个过程中，学生需要识别出圆心角是π/3弧度，这是解决问题的关键。
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册第24.4节，本节课将重点探讨以下内容：
1.弧长的概念及其计算公式；
2.弧度的概念及其与角度的转换；
3.扇形的定义及扇形面积的计算公式；
4.应用实例：计算给定圆的半径或弧长，求解扇形面积。
24.4弧长和扇形面积(第1课时)-教学设计
交 BA 延长线于 E， 求扇形 BCE 被矩形 所截剩余部分的面积。
运用所学公式迅速、 正确解题， 培养学生 良好的学习习惯， 训 练学生的解题速度 和综合运用知识解 题的能力。
四、小结归纳 1.弧长公式 2.扇形面积公式
l nR 180
公式的关系
四、板书设计
课题 弧长公式 应用 扇形面积公式关系定理应用 归纳 弧长公式与扇形面积公式的关系 教 学 反 思
学生初步应用弧长公式进行 计算，结合图形分析思考，了 解公式的不同使用方法。从而 发展学生的解决实际问题的 能力和应用意识，并让学生逐 渐的学会总结，教师检查知识 的落实性，以便发现问题和及 时解决问题。
学生类比推导扇形 面积公积公式。
教师引导学生类比弧长公式 的推导方法尝试探究扇形面 积公式。
（3） 圆心角为 n°的扇形的面积是圆心角为 1°的扇形的面积 n 倍； （4）圆心角为 n°的扇形的面积 = 归纳：若设⊙O 半径为 R，圆心角为 n°的扇形的面积 S 扇形， 则 nR 2 扇形面积公式 S扇形 360 2.应用： ⑴扇形的半径为 24，面积为 240 ，则这个 O 扇形的圆心角为 ； D A B ⑵ 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面 C 半径是 0.6m，其中水面高 0.3m，求截面上有 水部分的面积（精确到 0.01m） （三）弧长公式与扇形面积公式的关系 问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？得到
l
0 0
教师提出问题，学生通过复习 圆周长公式，以及圆心角和其 所对弧的关系自主探究弧长 公式，经历猜想、计算、推理、 感性、理性，加深对弧长公式 的理解，小组之间进行交流， 汇总，师生总结。
让学生初步应用弧 长公式， 通过运用掌 握公式的运用技巧， 培养学生计算能力 及分析解决实际问 题的能力。
24.4 弧长和扇形面积1教学设计
24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积本节课是人教版九年级上册第二十四章“24.4 弧长及扇形面积”的第一课时，是一节公式推导及应用课．在此之前，学生已经学会了圆的相关性质和定理的推导和应用，并熟知圆的基本概念如弧、圆心角等．本节的重点是在经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程后，学生会使用它们解决问题，使学生对圆的认知更全面完整．本节课两课时，这是第一课时．【情景导入】想一想，在学校运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别位于第1和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处呢？【说明与建议】 说明：通过对实际问题的导入，建立圆和弧长的模型，激发学生的学习兴趣和探究弧长的欲望．建议：探索弧长公式时，可以让学生先理解1°的圆心角所对的弧长是多少，再进一步探索圆心角是n °时的弧长公式．【复习导入】(1)圆的周长公式和圆的面积公式分别是什么？(2)如图，某圆拱桥的半径是30 m ，桥拱AB ︵所对的圆心角∠AOB ＝90°，你会求桥拱AB ︵的长度吗？(3)180°，90°，45°，n °的圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？圆心角为180°，90°，45°，n °的扇形面积分别是圆面积的几分之几？分析：如图1，圆心角是180°，占整个周角的180360，因此180°的圆心角所对的弧长是圆周长的180360，圆心角是180°的扇形面积是圆面积的180360；如图2，圆心角是90°，占整个周角的90360，因此90°的圆心角所对的弧长是圆周长的90360，圆心角是90°的扇形面积是圆面积的90360； 如图3，圆心角是45°，占整个周角的45360，因此45°的圆心角所对的弧长是圆周长的45360，圆心角是45°的扇形面积是圆面积的45360；图1 图2 图3 图4如图4，圆心角是n °，占整个周角的n 360，因此n °的圆心角所对的弧长是圆周长的n360，圆心角是n °的扇形面积是圆面积的n360．(4)你能归纳总结出弧长及扇形面积的计算公式吗？【说明与建议】 说明：通过对圆周长和面积公式的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法来学习新知识．建议：以桥拱问题引入弧长计算问题，激发学生的学习热情，同时从n °的圆心角所对的弧长和扇形面积分别占圆周长和面积的比例引导学生推导弧长公式及扇形面积公式．【悬念导入】如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm.(1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送多少厘米？ (3)转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送多少厘米？【说明与建议】 说明：从特殊到一般，从简单到复杂，激发学生的想象能力，得出弧长公式．建议：探索弧长公式时，可以让学生先理解1°的圆心角所对的弧长是多少，再探索n °的圆心角所对的弧长．命题角度1 利用弧长公式进行计算1．(仙桃中考)如果一个扇形的弧长是43π，半径是6，那么此扇形的圆心角为(A)A ．40°B ．45°C ．60°D ．80°2．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3 cm 的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为(B)A ．45 cmB ．40 cmC ．35 cmD ．30 cm3．(黔西南中考)图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA 和OB 的夹角为150°，OA 的长为30 cm ，贴纸部分的宽AC 为18 cm ，则CD ︵的长为(B)图1 图2 A ．5π cmB ．10π cmC ．20π cmD ．25πcm命题角度2 利用扇形的面积公式进行计算4．若扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为π． 5．已知圆心角为120°的扇形的面积为12π，则扇形的半径为(B) A ．4B ．6C ．4 3D ．6 2命题角度3 求图中阴影部分的面积6．(资阳中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2.将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90度到△AB 1C 1的位置，则边BC 扫过区域的面积为(B)A.12πB ．πC.32πD ．2π7．(十堰中考)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 的长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是3π－6．头比脚多移动了人类生活在地球这个大球面上，而我们的身体始终要保持垂直于地平面，也就是说，人的头、脚、地心要保持在同一条直线上．有部小说中的一位主人公仿佛曾经做过这样的计算：当你环球旅行的时候，究竟身体的哪一部分走了更多的路呢——头顶、还是脚底？假如我们用适当的方式提出这个问题来，倒还是一道很有意味的几何题呢！假设地球的半径为R ，则你的脚在赤道上环绕地球一周一共走了2πR 的路程，同时你的头顶走过了2π(R ＋h) 的路程，h 是你的身高，因此，头和脚所走距离的差等于2π(R ＋h)＝ 2πR ＋2πh.如果你的身高大约1.7米，则头比脚多走了10.7米．有趣的是，答案里并不包括地球半径的值，无论你环绕地球一周，还是环绕一个小球一周，头比脚多走的是一样的结果．总之，两个同心圆周长之差并不决定于它们的半径，而决定于两个圆周间的距离．沿地球赤道一圈堆上1分米高的土堆环，所增加的圆周长，和一个小篮球滚上1分米厚的泥土后所增加的大圆周长完全一样．假定把一根铁丝捆到地球赤道上，然后把这根铁丝放长1米，那么一周都松下来的铁丝和地球之间的间隙，能不能通过一只老鼠呢？看起来这个间隙一定很小，1米同地球赤道的40 000 000米相比，简直相差太大了，可以忽略不计，而事实上这个间隙的大小竟有1002π厘米≈16厘米．这个高度，别说是小老鼠，一只大猫也可以大摇大摆地走过去．【典型例题】例1 (教材第111页例1)制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L(结果取整数)．教师引导学生分析：先根据弧长公式求出100°所对的弧长，再加上两边的长度．教师指导学生写出解题过程： 解：由弧长公式，得AB ︵的长l ＝100×900×π180＝500π(mm)．因此所要求的展直长度L ＝2×700＋500π≈2 970(mm)．例2 (教材第112页例2)如图，水平放置的圆柱形排水管道的横截面半径是0.6 m ，其中水面高0.3 m ，求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)．教师引导学生分析：要求图中阴影部分(弓形)的面积，没有直接的公式，需要转化为规则图形面积的和差问题，即扇形面积与三角形面积的差．容易想到作辅助线，再利用垂径定理，先根据公式分别求出扇形和三角形的面积，然后问题得到解决．解：如图，连接OA ，OB ，过点O 作弦AB 的垂线，垂足为D ，交AB ︵于点C ，连接AC.∵OC ＝0.6 m ，DC ＝0.3 m ， ∴OD ＝OC －DC ＝0.3 m ．∴OD ＝DC. 又∵AD ⊥DC ，∴AD 是线段OC 的垂直平分线． ∴AC ＝AO ＝OC.从而∠AOD ＝60°，∠AOB ＝120°.有水部分的面积S ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝120π360×0.62－12AB ·OD ＝0.12π－12×0.63×0.3≈0.22(m 2). 【变式训练】1．一根钢管放在V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm ，若∠ACB ＝60°，则劣弧AB 的长是(B)A.8π cmB ．16π cmC ．32π cmD ．192π cm2．如图，已知P ，Q 分别是半径为1的半圆圆周上的两个三等分点，AB 是直径，则阴影部分的面积为π6.【课堂检测】1.已知扇形的半径为5 cm ，面积为20 cm 2，则扇形弧长为8 cm. 2．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连接AC ，BD.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若图中阴影部分的面积是34π cm 2，OA ＝2 cm ，求OC 的长．解：(1)证明：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°， ∴∠AOC ＝∠BOD. 又∵AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴△AOC ≌△BOD(SAS)． ∴AC ＝BD.(2)根据题意，得S 阴影＝90π×22360－90π·OC 2360＝34π，解得OC ＝1.∴OC 的长为1 cm.。
初中数学人教九年级上册(2023年新编)第二十四章 圆弧长和扇形面积(教案)
弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积教学目标：1、能推导弧长和扇形面积的计算公式。
.2通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.3、知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相应的计算。
教学重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.教学难点：熟练地运用弧长和扇形面积公式进行计算。
一、情境导入问题1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.如图，根据图中的数据你能计算弧AB的长吗？求出弯道的展直长度.这就是我们今天要学习的内容弧长和扇形的面积——板书课题.二、进入新课1.探索弧长公式思考 1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则：圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；∴1°的圆心角所对的弧长是：1/360·2πR=πR/180；2°的圆心角所对的弧长是：2/360·2πR=πR/90；4°的圆心角所对弧长是：4/360·2πR=πr/45；∴n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180；由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180.【教学说明】①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.小练习：①课本P111例1②课本p113练习第一题2.扇形面积计算公式如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.3、例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为，其中水面高，求截面上有水部分的面积（精确到）.解：连接OA、OB，作弦AB的垂线OD交AB于点C.∵OC=，DC=，∴OD=OC-DC=在Rt△OAD中，OA=，OD=，由勾股定理可知：Rt△OAD中，OD=1/2OA.∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.∴有水部分的面积为：S=S扇形OAB -S△OAB=π-12××≈(m2).三、运用新知，深化理解完成教材第113页练习2个小题.【教学说明】这几个练习较为简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.四、师生互动，课堂小结通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？【教学说明】教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.五、布置作业1.默写弧长公式和面积公式2、课本P115 6、7、8题。
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 弧长和扇形面积 (第1课时)
24.4 弧长和扇形的面积第1课时一、教学目标【知识与技能】经历探索弧长计算公式的过程,培养学生的探索能力.了解弧长计算公式,并会应用弧长公式解决问题,提高学生的应用能力.【过程与方法】通过等分圆周的方法,体验弧长扇形面积公式的推导过程,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.【情感态度与价值观】通过对弧长和扇形面积公式的推导,理解整体和局部的关系.通过图形的转化,体会转化在数学解题中的妙用.二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时。
四、教学重难点【教学重点】弧长和扇形面积公式,准确计算弧长和扇形的面积.【教学难点】运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.五、课前准备课件、图片、直尺、圆规等. 六、教学过程 （一）导入新课教师问：如图,在运动会的4×100米比赛中,甲和乙分别在第1跑道和第2跑道,为什么他们的起跑线不在同一处？（出示课件2）学生答：因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 教师问：怎样来计算弯道的“展直长度”？（板书课题） （二）探索新知探究一 弧长计算公式及相关的计算教师问：半径为R 的圆,周长是多少？（出示课件4）学生答：=2C R .教师问：①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是多少？③n °的圆心角所对的弧长是多少？学生答：①360°的圆心角所对的弧长是圆的周长；②1°的圆心角所对的弧长是圆的周长的1360；③n °的圆心角所对的弧长是圆的周长的360n . 教师问:下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？（出示课件5）学生观察,计算,交流,教师抽查学生分别口答.教师归纳：（出示课件6） 弧长公式：2360180n n R l R ππ=•= 用弧长公式进行计算时,要注意公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的.算一算：已知弧所对的圆心角为60°,半径是4,则弧长为____.学生代入公式进行计算：43π出示课件7：例 制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm,精确到1mm)学生观察思考后,师生共同解答. 解：由弧长公式,可得弧AB 的长：1009005001570(mm),180⨯⨯π==π≈l因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm ）.答：管道的展直长度为2970mm ． 巩固练习：（出示课件8）一滑轮起重机装置（如图）,滑轮的半径r=10cm,当重物上升15.7cm 时,滑轮的一条半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动,π取3.14）？学生自主思考后,独立解答,一生板演.解：设半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转的度数为n °.15.7,180n Rπ=解得n ≈90°.因此,滑轮旋转的角度约为90°.探究二 扇形面积计算公式及相关的计算出示定义:圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图,黄色部分是一个扇形,记作扇形OAB.（出示课件9）判一判：下列图形是扇形吗？（出示课件10）学生观察后口答：×；×；√；×；√.教师问：半径为r的圆,面积是多少？（出示课件11）学生答：2 =S r.教师问：①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？学生答：①360°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积；②1°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的1.360③n°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的360n.教师问：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几,具体是多少呢?（出示课件12）学生观察计算并填表.出示课件13：教师归纳：扇形面积公式：半径为r 的圆中,圆心角为n °的扇形的面积为2=.360n r S π扇形教师强调：①公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.教师问：扇形的面积与哪些因素有关？（出示课件14）学生答1：圆心角大小不变时,对应的扇形面积与半径有关,半径越长,面积越大.学生答2：圆的半径不变时,扇形面积与圆心角有关,圆心角越大,面积越大. 教师总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.教师问：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？（出示课件15） 学生板演：11.180221802n r r n r S r lr ππ=⋅=⋅⋅=扇形 教师问：扇形的面积公式与什么公式类似？ 学生答：1.2S ah ∆=出示课件16：例1 如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm 2和0.01cm ）学生独立思考后师生共同解答. 解：∵n=60,r=10cm, ∴扇形的面积为扇形的周长为巩固练习：（出示课件17）1.已知半径为2cm 的扇形,其弧长为43π,则这个扇形的面积S 扇= ．2.已知扇形的圆心角为120°,半径为2,则这个扇形的面积S 扇= .学生独立思考后口答：1.24cm 3π；2.43π.出示课件18,19：例2 如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm ）教师问：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 学生答：阴影部分.教师问：(2)水面高0.3m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 学生答：线段DC.过点O 作OD 垂直于AB 并交圆O 于C. 教师问：(3)要求图中阴影部分面积,应该怎么办？ 学生答：阴影部分面积=扇形OAB 的面积-△OAB 的面积. 师生共同解答如下：（出示课件20）解：如图(3),连接OA,OB,过点O 作弦AB 的垂线,垂足为D,交AB 于点C,连接AC.∵OC ＝0.6,DC ＝0.3, ∴OD ＝OC-DC ＝0.3, ∴OD ＝DC. 又AD ⊥DC,∴AD 是线段OC 的垂直平分线, ∴AC ＝AO ＝OC.从而∠AOD ＝60˚,∠AOB=120˚. 有水部分的面积： S ＝S 扇形OAB -S ΔOAB22120π10.6360210.12π0.22(m 0.32)=⨯-•=-⨯≈AB OD 出示课件21：弓形的面积公式：教师归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积. 巩固练习：（出示课件22）如图,扇形OAB 的圆心角为60°,半径为6cm,C,D 是弧AB 的三等分点,则图中阴影部分的面积和是_____．学生独立思考后解答：阴影部分的面积就是扇形OAC 的面积,由题意得： ∠AOC=60°÷3=20°.S 扇形OAC =⨯220π6360=2π.（三）课堂练习（出示课件23-29）1.如图,AB 是⊙O 的直径,点D 为⊙O 上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则 的长为（ ）A ．23π B ．43π C ．2π D ．83π 2.如图,在平行四边形ABCD 中,∠B=60°,⊙C 的半径为3,则图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π 3.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长_____.4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点,将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置,则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）5.如图,☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交,且半径都是2cm,则图中阴影部分的面积是_____.6.如图,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC∠ACB＝90°,∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．7.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.9cm,求截面上有水部分的面积.8.如图,一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置,求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.参考答案：1.D2.C3.2π4.C5.212πcm6.(4+π7.解：=OAB S S S +△弓形扇形224010.60.30.63602π=⨯+⨯⨯0.24π=+()20.91cm .≈8.解：由图可知,由于∠A ′CB ′=60°,则等边三角形木板绕点C 按顺时针方向旋转了120°,即∠ACA ′ =120°,这说明顶点A 经过的路程长等于弧AA ′的长.∵等边三角形ABC 的边长为10cm,∴弧AA ′ 所在圆的半径为10cm.∴l 弧AA ′1201020(cm).1803ππ⨯⨯== 答：顶点A 从开始到结束时所经过的路程为20cm.3π （四）课堂小结通过这堂课的学习,你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？（五）课前预习预习下节课（24.4第2课时）的相关内容.七、课后作业1.教材113页练习1,2,3.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从复习圆周长公式入手,根据圆心角与所对弧长之间的关系,推导出了弧长公式.后又用类比的方法,推出扇形面积,两个公式的推导中,都渗透着由“特殊到一般”,再由“一般到特殊”的辩证思想,再由学生比较两个公式时,又很容易得出两者之间的关系,明确了知识间的联系.。
人教版弧长和扇形面积公式优质教案(共两篇)
人教版弧长和扇形面积公式优质教案(共两篇)第1课时教学内容24．4弧长和扇形面积（1）．教学目标1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积．2．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．3．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．教学重点1．推导弧长及扇形面积计算公式的过程．2．掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．教学难点推导弧长及扇形面积计算公式的过程．教学过程一、导入新课复习圆的周长和面积公式，导入新课的教学．二、新课教学1．弧长的计算公式．思考：我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是n°的圆心角所对的弧长为．2．扇形面积的计算公式．如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大．怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR2，所以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝．3．实例探究．例 1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．解：由弧长公式，得的长＝500π≈1 570（mm）．因此所要求的展直长度L＝2×700＋1 570＝2 970（mm）．例2 如下左图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．解：如上右图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC．∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，∴ OD＝OC－DC＝0.3（m）．∴ OD＝DC．又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线．∴ AC＝AO＝OC．从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB＝×0.62－AB·OD＝0.12π－×0.6×0.3≈0.22（m2）．三、巩固练习教材第113页练习．四、课堂小结今天学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题24.4 第1、2题．一、基础知识1.使学生理解弧长和扇形的定义，明白弧长和扇形面积的推导过程，并熟记弧长和扇形面积公式。
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》是学生在学习了角的度量、圆的性质、圆的周长等知识的基础上，进一步探究圆的弧长和扇形面积的计算。
这一节内容不仅是前面学习内容的延续，也为后面学习圆锥、圆柱等几何体提供了基础。
教材通过生活中的实例，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作、探究活动等，理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。
三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念。
2.掌握弧长和扇形面积的计算公式。
3.能够运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算公式。
2.难点：弧长和扇形面积公式的推导过程。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际问题，探究弧长和扇形面积的计算方法。
2.利用几何画板等软件，直观展示弧长和扇形的计算过程，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在合作中交流、讨论，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、几何画板软件。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生探究。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如自行车轮子的周长，引出弧长的概念。
提问：如何计算这个弧长？引导学生思考，为下面的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，展示一个圆的扇形，让学生直观地感受弧长和扇形面积的计算过程。
通过软件的动态演示，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用准备好的实际例子，计算弧长和扇形面积。
人教版数学九年级上册24.4弧长和扇形面积(第1课时)优秀教学案例
4.对学生进行激励性评价，鼓励他们自信心，激发他们继续学习的动力。
5.教师要根据学生的评价结果，调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体课件展示生活中常见的弧长和扇形面积的实际问题，如自行车轮子的周长、扇形统计图等，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.创设有趣的问题情境，如“猜灯谜”、“数学谜语”等，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究。
3.小组合作：本节课通过组织学生进行小组讨论和合作，培养了学生的团队协作能力和沟通能力。在小组合作中，学生能够互相学习、互相帮助，共同解决问题，提高了学习效果。
4.空间想象能力培养：本节课利用多媒体课件和实物模型，直观地展示了弧长和扇形面积的计算过程，提高了学生的空间想象能力。通过直观的展示，学生能够更好地理解和掌握知识，提高了学习效果。
人教版数学九年级上册24.4弧长和扇形面积(第1课时）优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学九年级上册第24章第4节“弧长和扇形面积”，是学生在学习了圆的相关知识后，对圆的更深入理解的拓展。在现实生活和学习中，九年级学生已经对圆有了初步的认识和理解，但弧长和扇形面积的计算对他们来说还是一个新的挑战。因此，在教学案例的设计中，我将以学生已有的知识为基础，通过生活实例引入弧长和扇形面积的概念，引导学生运用转化思想，将未知转化为已知，从而更好地理解和掌握本节课的知识。同时，我会注重培养学生的空间想象能力和数学思维能力，使他们在学习过程中能够体会到数学的实用性和趣味性。
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积(第1课时)》示范教学设计
弧长和扇形面积（第1课时）教学目标1．经历探索弧长和扇形面积公式的过程，培养学生的探索能力，并会利用弧长公式、扇形面积公式解决问题.2．在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，理解局部与整体之间的关系，感受转化、类比的数学思想．教学重点弧长公式及扇形面积公式的推导和应用．教学难点利用扇形面积公式解决不规则图形的面积问题．教学过程新知探究一、探究学习【思考】（1）什么是弧？（2）什么是弧长？【追问】如何求弧长？【师生活动】学生根据前面学过的知识得出答案：（1）弧是圆的一部分；（2）弧长是弧的长度，就是圆周长的一部分．教师引导学生思考如何求弧长．【设计意图】通过简单的问题串，让学生初步感知弧长的实际意义，为学习弧长公式做铺垫．【问题】（1）半径为R，圆心角为1°的弧长是多少？（2）半径为R，圆心角为2°的弧长是多少？（3）半径为R，圆心角为90°的弧长是多少？【师生活动】教师引导学生得出（1）～（3）的答案：（1）1°的弧长是圆周长的1360，即1π2π360180RR⨯＝；（2）2°是1°的2倍，所以弧长也是1°的弧长的2倍，即ππ218090R R ⨯＝；（3）90°是1°的90倍，所以弧长也是1°的弧长的90倍，即ππ901802R R⨯＝．【设计意图】引导学生关注圆心角的大小，让学生体验弧长公式的推导过程．【追问】（4）半径为R，圆心角为n°的弧长是多少？【师生活动】学生独立思考，n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对弧长的n倍，半径为R的圆周长为2πR，利用1°的圆心角所对的弧长π180R乘n，就可以得到n°的圆心角所对的弧长为ππ180180＝R n Rn⋅．教师强调注意点：n表示1°的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中，180也是不带单位的．【新知】n°的圆心角所对的弧长为ππ180180＝R n Rn⋅．【设计意图】让学生经历从整体到部分的研究过程，从圆周长公式出发推导出弧长公式．【问题】弧长的大小由哪些量决定？【师生活动】学生独立思考，根据弧长公式π180＝n Rl，可得180和π是常数，n和R是变量．弧的长度与圆心角的度数和圆的半径有关：当圆的半径一定时，圆心角的度数越大，弧的长度越大；当圆心角的度数一定时，圆的半径越大，弧的长度越大．【设计意图】通过辨析弧长公式，让学生加深对弧长公式的理解．【练习】1．已知一条弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为________．2．已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为________．3．钟表的轴心到分针针端的长为5 cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（）cm．A．103πB．203πC．253πD．503π【答案】1．2π；2．160°；3．B．【设计意图】通过练习，考察学生对弧长公式的掌握情况．二、典例精讲【例1】制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．【分析】管道的展直长度L＝AC的长＋BD的长＋弧AB的长．【答案】解：由弧长公式，得AB的长l＝100900180⨯⨯π＝500π≈1570（mm）．则展直长度L≈2×700＋1570＝2970（mm）．【设计意图】通过实际问题，巩固学生对弧长公式的理解．三、探究新知【新知】由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．【思考】如图，扇形面积就是圆面积的一部分，想一想，如何计算圆的面积？如何计算扇形的面积呢？【师生活动】学生独立思考，得出圆的面积公式2πR；教师引导学生思考扇形的面积与哪些量有关．【问题】（1）半径为R，圆心角为1°的扇形的面积是多少？（2）半径为R，圆心角为2°的扇形的面积是多少？（3）半径为R，圆心角为90°的扇形的面积是多少？（4）半径为R，圆心角为n°的扇形的面积是多少？【师生活动】学生独立思考并讨论，类比弧长公式的探究过程，可以发现在半径为R 的圆中，360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S＝2πR，所以1°的圆心角所对的扇形面积是圆面积的1360，即221π360360RRπ⨯＝；2°的圆心角所对的扇形面积是圆面积的2 360，即22222π360360180R RRππ⨯＝＝；90°的圆心角所对的扇形面积是圆面积的90360，即2229090π3603604R R R ππ⨯＝＝；所以n °的圆心角所对的扇形面积为2π360扇形＝n R S ． 【新知】圆心角为n °的扇形面积是2π360扇形＝n R S ． 扇形的面积与圆的半径和组成扇形的圆心角的度数有关．【设计意图】类比弧长公式的发现过程，由学生独立思考、归纳出扇形的面积公式。
弧长和扇形面积(1)教案
24．4 弧长和扇形面积第1课时 弧长和扇形面积1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程．2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．一、情境导入在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？二、合作探究 探究点一：弧长 【类型一】求弧长在半径为1cm 的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.解析：根据弧长公式l ＝n πr180，这里r ＝1，n ＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即l ＝120·π·1180＝23π.方法总结：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l ＝n πR180，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义．如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO .若∠A＝30°，则劣弧BC ︵的长为________cm.解析：连接OB 、OC ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.在等腰△OBC 中，∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝180°－2×60°＝60°.∴BC ︵的长为60×π×6180＝2π.方法总结：根据弧长公式l ＝n πR180，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和它所对的圆心角n 的大小．【类型二】利用弧长求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π2，则该扇形的半径是________；(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为________．解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π2，解得R ＝2.(2)根据弧长公式得n ×π×1180＝π3，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．【类型三】求动点运行的弧形轨迹如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.若Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．解析：点A 所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l ＝3×120π×2180＋2×90π×3180＝4π＋3π.故填(4＋3)π.方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．探究点二：扇形面积 【类型一】求扇形面积一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝n πr 2360＝120×32π360＝3π.方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝12lr ，其中l 是弧长，r 是半径．【类型二】求运动形成的扇形面积如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )A ．π B. 3 C.3π4＋32 D.11π12＋34解析：在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝1，由于这个三角板扫过的图形为扇形BCB 1和扇形ACA 1，∴S 扇形BCB 1＝90·π·12360＝π4，S 扇形ACA 1＝90·π·（3）2360＝3π4，∴S 总＝π4＋3π4＝π.故选A.【类型三】求阴影部分的面积如图，半径为1cm 、圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )A ．πcm 2 B.23πcm 2C.12cm 2D.23cm 2 解析：设两个半圆的交点为C ，连接OC ，AB ，根据题意可知点C 是半圆OA ︵，OB ︵的中点，所以BC ︵＝OC ︵＝AC ︵，所以BC ＝OC ＝AC ，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积，又OA ＝OB ＝1cm ，即图中阴影部分的面积为12cm 2，故选C.方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．三、板书设计教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活割补法、转换法等.。
数学九年级上册《24.4弧长和扇形面积实验与探究设计跑道》教案1
《24.4 弧长和扇形面积（第1课时）》教课方案【教课目的】1.知识与技术：理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积.过程与方法：经历弧长和扇形面积公式的推导过程，发现弧长与圆周长、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系.感情态度与价值观：启迪指引学生领会研究结论和证明结论，及合情推理与演绎的互相依靠和互相增补的辨证关系；培育学生合作沟通的水平，以及独立思虑的优秀学习习惯.【教课重难点】要点：弧长和扇形面积公式的推导与使用.难点：推导弧长和扇形面积公式的过程.【教课过程】经过视频介绍景色艳丽的南康区赤土畲族乡及其有关建筑发现身旁的数学知识：可以发现，大水车的外圈是一个以O为圆心，OA为半径的圆，6条轴（直径）把圆均匀分红了12等份.提出思虑，进而引入课题.如图，A,B两点分别表示此中的两条轴的端点.我们知道A,B之间的部分叫弧，那么半径OA,OB和围成的图形是什么呢？直接给出扇形定义：由构成圆心角的两AB条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．若这个圆的直径为4米，（1）怎样求的长度？（2）怎样求AB B 扇形OAB的面积？师生活动：面对这样的问题，学生可以经过复习以及过去的知识初步感知弧长和弧所对的圆心角、圆的半径有关，并能产生研究的想法与兴趣.设计企图：回首有关知识，既是对前方学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备.一、理解观点、掌握公式（一）弧长公式.引入课题后，即时提炼数学知识：弧是圆的一部分，弧长是圆周长的一部分，在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C2R.（1）1°的圆心角所对的弧长是圆周长的1，即l1R R3 60360180（2）60°的圆心角所对的弧长是圆周长的60，即l 62R R3603603（3）n°的圆心角所对的弧长是圆周长的n ，即l n R R3 60360180师生活动：教师经过出示的三个问题，指引学生逐渐推导弧长公式，并明确公式中n表示1°的圆心角的倍数，它不带单位.设计企图：让学生在独立思虑的基础上小组合作，达成弧长公式的推导，可以加深学生对弧长公式的理解.回归课题，解决问题.师生活动：让学生迅速解决导入问题 1.教师应重申注意弧长的表示方法.设计企图：经过实质问题，加深学生对弧长公式的理解.练习1：如图，等边ABC的边长为1，挨次以A,B,C为圆心，以AC,BC1,CC2为半径画弧（此中C1,C2,C3分别在边BA,CB,AC的延伸线上）.试计算曲线C-C1-C2-C3的“展直长度”L.学生活动：学生思虑，自主讲话，要修业生讲清原因.设计企图：经过辨析弧长公式，让学生加深对公式的理解.（二）扇形面积公式类比弧长公式，推导扇形面积公式：扇形是圆面的一部分.在半径为R的圆中，360o的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积.2（1）1°的圆的（2）60°的圆的（3）n°的圆的R2 6师生活动：教师经过出示的三个问题，类比弧长公式的推导过程，逐渐推导扇形面积公式.设计企图：让学生在独立思虑的基础上小组合作，达成扇形面积公式的推导，可以加深学生对扇形面积公式的理解.在半径为R的圆中，圆的面积是S R2，那么圆心角为n°的扇形面积是：SnR2360回归课题，解决问题.师生活动：让学生迅速解决导入问题 2.S扇形OAB60π222π(m2)3603练习2：图中暗影部分面积总和是平方单位？师生活动：安排1名学生板书，其余学生独立达成，教师巡视、指导，而后小组沟通，并评论.得出暗影部分面积总和为14.3练习3：已知半径为3cm的扇形，其弧长为πcm，则这个扇形的面积S扇形=____．再对照弧长公式，要修业生用弧长l的代数式表示扇形的面积：S1 lR.2师生活动：教师提出问题，指引学生类比弧长公式推导扇形面积公式，以及对照弧长公式，得出用弧长的代数式表示扇形面积公式.在这个过程中，学生能较快且较正确推导扇形面积公式，教师只要要给出适合的提示，此外，本环节也初步推行了扇形面积公式的计算.设计企图：经过对照弧长和扇形面积公式，让学生发现可以经过弧长表示扇形面积，为圆锥侧面积公式的推导作准备.再解练习3.设计企图：稳固扇形的面积公式.二、讲堂小结，回首提高经过给出问题的方法推行讲堂小结：（1）弧长和扇形面积公式是什么？（2）往常能采纳“割法”来求形面 .意：通小，使学生梳理本所学内容，掌握本的中心——弧和扇形面公式，以及形成即反省的意与，提高学生水平.三、后研究，提高思后作1：教材24.3第2，4后作2：合1第2小，如，挨次以A，B，C⋯⋯心，AC3，BC4，CC5⋯⋯半径画弧，研究曲C-C1-C2⋯-Cn的“展直度”：_________（用含n的代数式表示）.【板】24.4弧和扇形面（1）在半径R的中，°的心角所的1 .nR1：剖析弧：l182.扇形面：S扇形nR22：剖析36S扇形1lR2。
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24.4 弧长和扇形面积(第1课时)
教学内容
1．n °的圆心角所对的弧长L=180
n R
π 2．扇形的概念；
3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2
360
n R π；
4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标
了解扇形的概念，理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2
180n R π和扇形面积
S 扇=2
360
n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．
重难点、关键
1．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180
n R
π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用．
2．难点：两个公式的应用．
3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 教学过程 一、复习引入
（幻灯片2—幻灯片4） 二、探索新知
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？
2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C=2πR （2）圆的面积S 图=πR 2
（3）弧长就是圆的一部分．
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……
5．n °的圆心角所对的弧长是_______．
（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
n °的圆心角所对的弧长为180
R
n l π=
（幻灯片5） 例1、已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
（幻灯片6） 说明：没有特别要求，结果保留π。
例2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料， 试计算如图所示的管道的展直长度，即AB 的长（结果精确到0.1mm ）（幻灯片7）
分析：要求AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110 ∴AB 的长=
180n R π=11040180
π
⨯≈76.8（mm ） 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．
.c
例3：如图，把Rt △ABC 的斜边放在直线 l 上，按顺时针方向转动一次,使它转到△A /BC / 的位置。
若BC=1,∠A=300。
求点A 运动到A ′位置时，点A 经过的路线长。
（幻灯片8）
练习：（幻灯片9、幻灯片10）
扇形的定义：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
（幻灯片11）
判断：下列图形是扇形吗？（幻灯片12）
（小黑板），请同学们结合圆心面积S=πR 2的公式，独立完成下题： 1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 3．设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 4．设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． ……
5．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 老师检察学生练习情况并点评
1．360 2．S 扇形=1360πR 2 3．S 扇形=2360
πR 2 4．S 扇形=25360R π 5．S 扇形=2360n R π
因此：在半径为R 的圆中，圆心角n °的扇形
（幻灯片13—幻灯片15）
判断：几种特殊的扇形（幻灯片16） 练习：（幻灯片17—幻灯片22）
三、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握：
1．n °的圆心角所对的弧长L=180
n R
π 2．扇形的概念．
3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R 4．运用以上内容，解决具体问题． 四、布置作业
五、课后反思：要让学生掌握公式的推导。