高考题型专题讲解2： 函数零点问题

高考题型专题讲解
专题二 函数零点问题
函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰 富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数 零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐 多样化，备受青睐．
模块 1 整理方法 提升能力
+ (a
−
2)ex
−
x
=
0
⇔
ae2 x
+
aex
=
2ex
+
x
⇔
a
=
2ex + x e2x + ex
g
(
x)
=
2ex + x e2x + ex
则 ，令 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2ex +1 e2x + ex − 2ex + x 2e2x + ex
ex 2ex + 1 ex + x −1
①当 a ≤ 0 时， aex −1< 0 ，所以 f ′(x) < 0 ，所以 f (x) 在 R 上递减．
②当 a > 0 时，由 f ′(x) > 0 可得 x > ln 1 ，由 f ′(x) < 0 可得 x < ln 1 ，所以 f (x) 在
a
a
上递减，在 上递增．
−∞,
ln
1 a
于是当 x < 0 时， g′(x) > 0 ，当 x > 0 时， g′(x) < 0 ，所以 g (x)
在 (−∞,0)上递增，在(0,+∞)上递减． g (0) =1，当 x → −∞ 时，
g (x) → −∞ ，当 x → +∞ 时，g (x) → 0+ ．若 f (x) 有两个零点，则 y = a 与 g (x) 有两个交点，
所以a 的取值范围是(0,1) ．
法 3：设 ，则 ，于是 t = ex > 0 x = lnt
ae2x + (a − 2)ex − x = 0 ⇔ at2 + at = 2t + ln t ⇔
，令 ，则 a = 2t + ln t t2 + t
G
(t
)
=
2t + ln t2 +t
t
G′
(t
)
=
2
零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．
函数的凸性
1．下凸函数定义 设函数 f (x) 为定义在区间(a,b) 上的函数，若对(a,b) 上任意两点 x1， x2 ，总有
f
பைடு நூலகம்
x1
+ x2 2
≤
f
( x1 ) +
2
f
( x2 )
，当且仅当 x1
=
x2 时取等号，则称
+∞)
上递增，而
g
(1)
=
0
，所以当
a
≥
1
时，
g (a) = f ( x)min ≥ 0 ，从而 f ( x) 没有两个零点．
当 时， ， ，于是 在 上有 个 0 < a <1
f
ln
1 a
<
0
f
( −1)
=
a e2
+
a e
+1−
2 e
>
0
f (x)
−1,
ln
1 a
1
零点；因为 ，且 f
ln
+
1 t
(t
2
+
t)−( (t2 +
2t +
)2
t
ln
t
)(
2t
+
1)
=
，令 ，则 ， (2t +1)(t −1+ ln t)
−
( ) t2 + t 2
H (t ) = t −1+ ln t
H′(t) =1+ 1 > 0
t
所以 H (t) 在(0,+∞)上递增，而 H (1) = 0 ，所以当 0 < t <1时，
3．下凸函数相关定理 定理：设函数 f (x) 为区间(a,b) 上的可导函数，则 f (x) 为(a,b) 上的下凸函数⇔ f ′(x)
为(a,b) 上的递增函数⇔ f ′′(x) ≥ 0 且不在(a,b) 的任一子区间上恒为零． 4．上凸函数相关定理
定理：设函数 f (x) 为区间(a,b) 上的可导函数，则 f (x) 为(a,b) 上的上凸函数⇔ f ′(x)
( ) ( ) g′( x) =
e2x + ex 2
=−
e2x + ex 2
，则 ，所以 在 上递增， h( x) = ex + x −1 h′( x) = ex +1 > 0
h(x) R
而 h(0) = 0 ，所以当 x < 0 时， h(x) < 0 ，当 x > 0 时， h(x) > 0 ，
对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点． 对于两个函数的选择，有 3 种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其 中以一平一曲的情况最为常见． 分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直 接考虑函数 f (x) 的图象与 x轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用
为(a,b) 上的递减函数⇔ f ′′(x) ≤ 0 且不在(a,b) 的任一子区间上恒为零．
例1
已知函数 ． f ( x) = ae2x + (a − 2)ex − x
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有两个零点，求a 的取值范围．
【解析】（1） ， ． ( )( ) f ′( x) = 2ae2x + (a − 2)ex −1 = 2ex +1 aex −1 2ex +1 > 0
f
(x) 为(a,b) 上的下凸函数．
2．上凸函数定义
设函数 f (x) 为定义在区间(a,b) 上的函数，若对(a,b) 上任意两点 x1， x2 ，总有
f
x1
+ x2 2
≥
f
( x1 ) +
2
f
( x2 )
，当且仅当 x1
=
x2 时取等号，则称
f
(x) 为(a,b) 上的上凸函数．
1 / 11
ln
1 a
,
+∞
（2）法 1：①当a ≤ 0 时，由（1）可知， f (x) 在R 上递减，不可能有两个零点．
②当 时， ，令 ，则 a > 0
f
( x)min
=
f
ln
1 a
=1−
1 a
+ ln a
g (a) = f ( )x min
g′(a)
=
1 a2
+
1 a
>
0
，所以
g
(a)
在
(0,
H (t) < 0 ， G′(t) > 0 ，当 t >1时， H (t) > 0 ， G′(t) < 0 ，所以
G(t) 在 (0,1) 上递增，在(1,+∞) 上递减．G(1) =1，当 t → 0+ 时，G(t) → −∞ ，当t → +∞ 时，
3 a
− 1
=
a
3 a
2 − 1
+
(a
−
2)
3 a
−
1
−
ln
3 a
− 1
=
3 a
−
1
−
ln
3 a
−
1
>
0
2 / 11
，所以 在 上有 个零点． ln
3 a
− 1
>
ln
1 a
f (x)
ln
1 a
,
+∞
1
综上所述，a 的取值范围为(0,1) ．
法 2： ．令 ， ae2x