初中数学竞赛辅导资料连续正整数的性质
初中奥数知识点总结
初中奥数知识点总结初中奥数是指面向初中生的数学竞赛，它旨在提高学生的数学思维能力和解题技巧。
在初中奥数竞赛中，有一些重要的知识点需要我们掌握。
本文将对初中奥数的知识点进行总结和回顾，旨在帮助读者更好地准备竞赛。
第一个知识点是整数的性质。
在初中奥数中，我们经常会遇到与整数有关的问题。
整数的性质包括整数的四则运算、整数的倍数与因数、整数的奇偶性等等。
在解答问题时，我们需要熟练掌握整数的运算规则，并能够灵活运用到不同的问题中去。
第二个知识点是分数的性质。
分数也是初中奥数中常出现的一个知识点。
我们需要掌握分数的四则运算，以及分数的化简与比较大小等操作。
此外，还需要了解分数与整数的关系，能够在实际问题中应用分数的知识。
第三个知识点是平面几何。
在初中奥数中，平面几何也是一个重要的考察点。
我们需要熟悉平面几何中的基本概念，如点、线、面等，同时还要掌握关于几何形状的性质和定理，如三角形的性质、矩形的性质等。
在解答几何题目时，我们需要善于画图，并灵活运用已经掌握的几何知识。
第四个知识点是方程与方程组。
在初中奥数中，方程与方程组也是重要的考察内容。
我们需要了解一元一次方程与方程组的解法，并能够根据问题情况设立对应的方程进行求解。
此外，还需要掌握二次方程的性质和求根公式，以及分项配方等常用的解题技巧。
第五个知识点是概率与统计。
概率与统计是初中奥数中的另一个知识点。
我们需要了解概率的基本定义与性质，能够计算简单的概率问题。
同时，还需要掌握统计学中的基本概念和统计分析方法，如平均数的计算、频数统计等。
最后一个知识点是数列与数列的求和。
数列与数列的求和也是初中奥数中的一个重要知识点。
我们需要熟悉等差数列与等比数列的性质，能够判断数列的通项公式和前n项和的计算公式。
在解答数列题目时，我们需要通过观察数列的规律来确定数列的性质，并运用相应的计算公式进行求解。
以上就是初中奥数的知识点总结。
在备战初中奥数竞赛时，我们需要全面了解并掌握这些知识点，能够准确地应用到解题过程中去。
数字的连续整数关系与运算
数字的连续整数关系与运算在数学中，连续整数关系与运算是指一系列正整数相继排列并进行数学运算的关系。
这种关系在数论、代数以及应用数学中有广泛应用。
本文将探讨数字的连续整数关系与运算的性质和应用。
一、连续整数的性质连续整数指的是以整数形式从小到大连续排列的一系列数。
连续整数之间的差值始终为1，例如1、2、3、4、5就是一组连续整数。
1. 连续整数的和连续整数的和可以通过求取首项与末项乘以项数再除以2来计算。
例如，求取整数1到5的和可以使用以下公式：(首项 + 末项) ×项数 ÷ 2 = (1 + 5) × 5 ÷ 2 = 152. 连续整数的乘积连续整数的乘积可以通过求取首项与末项的阶乘之商来计算。
例如，求取整数2到5的乘积可以使用以下公式：末项的阶乘 ÷首项的阶乘 = 5! ÷ 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ÷ 2 × 1 = 120二、连续整数关系的应用1. 素数与连续整数素数是只能被1和本身整除的正整数。
在连续整数中，可以观察到一些特殊的素数关系。
例如，当连续整数的首项为1时，首项+1将得到2，这是最小的素数；首项+2将得到3，这是连续整数中的第二个素数。
类似地，首项+6将得到7，首项+30将得到31，它们都是素数。
这种关系被称为孪生素数（连续素数之间差距为2）与孪生素数对（如2和3，7和11）。
2. 连续整数与平方数平方数是某个整数的平方。
在连续整数中，可以发现一些平方数的特性。
例如，当连续整数的首项为1时，首项+2将得到3，首项+3将得到6，首项+4将得到10，这些都不是平方数。
然而，当连续整数的首项为1时，首项+4将得到5，首项+9将得到10，首项+16将得到17，它们都是平方数。
这种关系可以使用以下公式表达：一个连续整数序列中，从第二项开始，每一项的差值递增，所形成的数列即为平方数列。
初中数学竞赛辅导
初中数学竞赛辅导资料3质数 合数甲内容提要1 正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数质数也称素数.合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数.2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数,② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积.能写成几个质数的积的正整数就是合数.乙例题例1两个质数的和等于奇数a a ≥5.求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a －2.例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵－1－m=m∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a,b,c,d 值共有24组,试把它写出来.例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数.解：本题答案不是唯一的设N 是不大于5的所有质数的积,即N ＝2×3×5那么N ＋2,N ＋3,N ＋4,N ＋5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数.本题可推广到n 个.令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N ＋2, N ＋3,N ＋4,……N ＋n+1就是所求的合数.丙练习31， 小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2， 己知质数P 与奇数Q 的和是11,则P ＝＿＿,Q ＝＿＿3， 己知两个素数的差是41,那么它们分别是＿＿＿＿＿4， 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是＿＿＿如果两个整数的积等于73,那么它们是＿＿＿＿如果两个质数的积等于15,则它们是＿＿＿＿＿5, 两个质数x 和y,己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c 它们的积等于1990.那么 ⎪⎩⎪⎨⎧===c b a7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿8,己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99,AB ＝M.求M 及B A ＋AB 的值 9,试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数.10,具备什么条件的最简正分数可化为有限小数11,求适合下列三个条件的最小整数：① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数12,某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是＿＿＿13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是＿＿.。
初中数学竞赛整数的性质及应用(一) 奇数与偶数
整数的性质及应用（一） 奇数与偶数全体整数可以分为两大类,一类是奇数，一类是偶数。
任何一个整数不是偶数就是奇数，奇数和偶数，有以下几条性质：一、性质1：任何奇数不可能与偶数相等。
性质2：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数性质3：奇数X 奇数=奇数 奇数X 偶数=偶数 偶数X 偶数=偶数性质4：整数a 的a n 幂与a 的奇偶性相同 性质5：两个连续整数的积是偶数。
二、例题：例1.设4个正整数之和为9，求证：它们的立方和不可能为100例2.若n 是大于1的整数，那么数2)1(12)1(n n n p ---+=的值一定是偶数？一定是奇数？还是可以是偶数也可以是奇数。
例3.是否有满足x 2-y 2=1986的整数解x 和y?例4.平面上有15个点，任意三点不共线，试问能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论。
例5.设有n 盏亮着的灯，规定每次拉动n-1个拉线开关，试问：能否将所有的灯都关闭？证明你的结论。
例6.用15个由4个小方格组成的L 字形纸片和1个田字形纸片，能否盖满1个8X8的方格棋盘 例7.设a 1,a 2,…,a n 是一组数，它们中的每一个数都取1或-1，而且013221=+++a a a a a a n ，证明：n 必是4的倍数。
例8. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例9 设a ，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b 是4的倍数． 例10 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．*例11.是否存在整数m,n,使得5m 2-6mn+7n 2=1987*例12.设正整数d 不等于2，5，13，证明从数2，5，13，d 中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是整数的平方。
初中数学竞赛精品标准教程及练习70正整数简单性质的复习
初中数学竞赛精品标准教程及练习70正整数简单性质的复习正整数的简单性质是数学中的基本知识点，它是我们解题的基础。
掌握了正整数的简单性质，我们就能更好地去理解和应用其他的数学概念和方法。
下面是关于正整数简单性质的复习，包括常用性质和应用技巧。
一、数的分类1.自然数：1，2，3，……2.整数：包括正整数、0和负整数3.有理数：可以表示为两个整数的比值，包括整数、分数和小数4.实数：包括有理数和无理数二、正整数的性质1.正整数除以正整数仍为正整数2.正整数的倍数是正整数3.一个数除以它自己等于1，即n÷n=14.1不是任何一个数的倍数5.0不是任何一个数的倍数，除数和被除数都不可为0三、正整数的应用技巧1.数的整体性质：对于一些数的性质，可以通过对数的整体进行分析得出结论。
例如：一个数是3的倍数，那么它的个位数的特点就是3的倍数，根据个位数特点就可以判断这个数是否是3的倍数。
2.数的划分：可以将给定的数划分为多个部分进行讨论。
例如：一个数是4的倍数，则根据4的特点可知它的末两位是4的倍数，根据末两位是4的倍数可知这个数本身是4的倍数。
3.数的逆否：当一个数不满足一些性质时，可以考虑用逆否否定的方式进行处理。
例如：如果一个数不是素数，则它一定有一个小于它的因数。
4.数的特殊情况：特殊情况下的数学性质可以通过实际例子加以验证。
例如：一个奇数的平方的个位数是什么？可以取一个例子进行验证，例如3的平方是9，5的平方是25，7的平方是49，可以看出，奇数的平方的个位数只可能是1、5、95.数的表示法：用不同的表示法来考虑一个数的性质，有时会有不同的发现。
例如，一个正整数的个位数是2，十位数是3，百位数是4，可以表示为432，也可以表示为4×100+3×10+2，用这种方式表示可以更好地发现数的性质。
4.数的递推公式：通过找出数列中的规律，使用递推公式来找到数列中的任意一项。
例如，求1+2+3+...+n的和，可以通过找到前n项和和前n-1项和的关系，得到递推公式n(n+1)/2这些是关于正整数的简单性质的复习内容，掌握了这些知识点，可以帮助我们更好地应对数学竞赛中的题目。
初中数学竞赛辅导整数问题选讲
第1讲 整数问题选讲【例l 】 求一个最小的正整数，使它的21是平方数，31是立方数，51是五次方数． 分析与解 因为这个整数的21，31，51是整数，所以它一定能被2、3、5整除，再考虑这个整数的最小性要求，它应具有形式：)0,0,0(,532=/=/=/=c b a N c b a又因为c b a N 532211-= 是平方数，则c b a ,,1-均为偶数． 因为 c l b a N 53231-=是立方数，则c b a ,1,-均为3之倍数． 因为 153251-=c b a N 是5次方数，则1,,-c b a 为5之倍数． 进而知 a 是3和5的倍数，且a 为奇数，则a 最小为15；b 是2和5的倍数，且b 被3除余l ，则b 最小数为l0；c 是2和3的倍数，且c 被5除余l ，则c 最小数为6；故所求数为 .53261015⨯⨯=N【例2】能同时表示成连续9个整数之和、连续l0个整数之和及连续11个整数之和的最小正整数是哪个分析与解 设所求正整数为A ，则依题意A 可表示为(其中p ，n ，k 均为整数)： 459)9()2()1p (+=++++++=p p p A ①5510)10()2()1(+=++++++=n n n n A ②6611)11()2()1(+=++++++=k k k k A ③由①、②、③可得： )(109t n p += ④)1(1110+=k n ⑤再由④、⑤知n 是11的倍数，且除以9余8．故n 最小可取44．所以A 的最小值为10×44+55=495．【例3】有一个三位数，能被35整除，并且各位数字之和为l5，求这个数． 分析与解 设所求三位数为abc N =，则有c b a N ++=10100,15=++c b a因为35│N ，当然有5│N ，故c=0或c=5．当c=0时，有 )15(1010010100a a b a N -+=+=15090+=a )12(3)2112(7+++=a a由7│N 知 7│3)12(+a . 从而7│2a+l因为 a + b=15 ， 所以 6≤a≤9，故满足7│2a+l 的a 不存在．当c=5时，有 a a N 6)1512(7++=由7│N 推出7│6a. 显然当a =7时成立．这时b=3，故所求三位数为735．【例4】一个两位数除以它的反序数所得的商恰好等于余数，求这个两位数．分析与解 设这个两位数为y x N +=10，则由题意可得：,)10(10q q x y y x ++=+ (其中q 为自然数)变形为 q y q x q =---)110()10(以下就q 的取值进行讨论：(1)1=q ，有1)(9=-y x ，不可能成立；(2)2=q ，有,2198=-y x 这时y 为偶数：2=y 时，;5=x 8,6,4=y 时，均不可能成立；(3)3=q ，有3297=-y x ，不存在x 、y ；(4)4=q ，有4396=-y x ．这样的x 、y 也不存在；(5)5≥q ，有,549)110(x )10(5≥+-=-≥y q q x 11≥x ，即无解．综上所述，所求两位数为52．【例5】一整数a 若不能被2和3整除，则472+a 必能被24整除．分析与解 因为4814722+-=+a a ，所以需往证 24 │1-2a因为a 不能被2整除．则a 为奇数．即a 可表示为：12+=k a (k 为整数)所以 )1(41)12(122+=-+=-k k k a 能被8整除．又 ()()()1112+-=-a a a a a 为连续三整数之积，必能被3整除，而a 不能被3整除， 则12-a 一定能被3整除．由(3，8)=1，知12-a 能被3×8=24整除．即证．【例6】若整数a 、b 、c 、d 和m 使d cm bm am +++23能被5整除，且d 不能被5整除，证明：总可以找到这样的整数n ，使得a bn cn dn +++23也能被5整除．分析与证 设 d cm bm an A +++=23 a bn cn dn B +++=23消去d 得： ]1)1()[1(22223+++++-=-cn bmn mn n m a mn B An又由题设d 不能被5整除，知m 不能被5整除，故m 的取值有下列四种情形：l k m +=5，此时取,15+=t n 25+=k m ，此时取,35+=t n35+=k m ，此时取,25+=t n45+=k m ，此时取,45+=t n都能有5│1-mn ，即有5│B An -3从而5│ B ．即对任何的m ，都可找到相应的m ，使5│B ．【例7】试求一个三位数abc ，使得它的平方的末三位数字仍是abc ．分析与解 由题意．我们作)1(2-=-abc abc abc abc它应为1000的倍数．而1000 = 8×125因为(8，125)=1, 1)1,(=-abc abc ，所以由l000│)1(-abc abc推出 8│abc ，125│1-abc 或 125│abc ，8│1c -ab由125│1-abc ，知abc =126，251，376，501，626，751； 这里仅有376=abc ，使8│abc由125 │abc ，知abc =125，250，375，50'0，625，750， 这里仅有625=abc 时，使8│1c -ab .所以满足条件的三位数有376和625．【例8】如果a 为合数，则a 的最小质因数一定不大于a分析与证 设bq a =，其中q 为最小质因数．若a q >，显然同时也有a b >. 则a a a bq a =⋅>=矛盾，所以结论成立．说明 这一结论表明，合数a 一定是不大于a 的质数的倍数．换句话说，如果所有不大于a 的质数都不能整除a (a ≠l)，那么a 一定是质数．这就给出了判断一个数是不是质数的一种方法，如判断191是不是质数，由于a <14，小于14的质数2，3，5，7，11，13都不能整除191，所以191是质数．利用这种方法，可以求出不大于a 的所有质数．例如求50以内的所有质数．由于不大于a <8的质数有2、3、5、7，可在2，3，4，…，50中依次划去2、3、5、7的倍数(保留2、3、5、7)最后余下的数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47就是50以内的全体质数．这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法． · ’思考 用爱拉托斯散筛选法求出100以内的所有质数．【例9】如果p 和182+p 都是质数，求证：282+-p p 也是质数．分析与解 按整数除以3的余数对P 进行分类讨论：当13+=k p 时，)31624(31)13(818222++=++=+k k k p 为合数，故;13+=/k p 当23+=k p 时，)113224(31822++=+k k p 为合数，故;23+=/k p于是k p 3=，由P 为质数，仅有P=3，73182=+p 为质数，71282=+-p p 也为质数．所以只要P 和182+p 为质数，2p 82+-p 也为质数．【例l0】有两个两位数，它们的差为56，它们的平方末两位数相同，求这两个数． 分析与解 设这两个数为)(b b a a 、>，则有8756⨯==-b a 。
数学教学备课正整数的特征和性质
数学教学备课正整数的特征和性质数学教学备课：正整数的特征和性质正整数是数学中的基本概念之一，它具有一些独特的特征和性质。
在数学教学中，了解和掌握正整数的特点对于学生的数学素养发展至关重要。
本文将从不同角度分析正整数的特征和性质，以期帮助教师更好地备课和教学。
一、正整数的定义正整数是指大于零且不带小数部分的整数，可以用自然数的形式表示为1、2、3、4...。
正整数是数学中最基本的数，也是数学研究以及其它数学概念与理论的基础。
二、正整数的特征1. 顺序性：正整数是按照自然数顺序依次递增的，每个正整数都有其前驱和后继。
例如，2是1的后继，1是2的前驱。
2. 包容性：正整数包含了所有大于零的整数，任何一个大于零的整数都可以由正整数表示。
3. 唯一性：每个正整数都有唯一的前驱和后继，不存在两个不同的正整数具有相同的前驱或后继。
三、正整数的性质1. 有限性：正整数是无穷多个的，但在给定的范围内是有限的。
例如，在0和100之间的正整数共有100个。
2. 奇偶性：正整数可以分为奇数和偶数。
一个正整数是奇数，当且仅当它不能被2整除；一个正整数是偶数，当且仅当它可以被2整除。
3. 因数分解：正整数可以分解为若干个素数的乘积形式，这种分解唯一性的证明是数论中的重要问题之一。
例如，12可以分解为2^2 * 3。
4. 约数性质：正整数的约数是能够整除该正整数的整数，包括1和它本身。
正整数的约数个数是有限的。
5. 除法性质：正整数除法的结果有唯一性，即给定一个正整数n和一个非零正整数m，存在唯一的商和余数，使得n=m*q+r，其中q是商，r是余数，满足0≤r<m。
结语正整数作为数学中的基础概念，具有丰富的特征和性质。
通过全面了解正整数的特性，我们能够更好地教授学生，帮助他们理解和掌握数学知识，培养他们的逻辑思维和数学思维能力。
教师在备课过程中，应该充分利用正整数的特点，设计合理的教学活动和教学资源，激发学生的学习兴趣和探索欲望。
正整数的特性及运算规律
正整数的特性及运算规律正整数是数学中最基本的数，它具有许多独特的特性和运算规律。
在初中数学学习中，掌握正整数的特性和运算规律对于学生们打下坚实的数学基础至关重要。
本文将从不同角度分析正整数的特性及运算规律，帮助中学生及其家长更好地理解和应用这些知识。
一、正整数的特性1. 正整数的无限性：正整数是无穷的，没有最大值。
无论我们取多大的正整数，总能找到比它更大的正整数。
2. 正整数的奇偶性：正整数可以分为奇数和偶数两类。
奇数是不能被2整除的正整数，例如1、3、5等；偶数则是可以被2整除的正整数，例如2、4、6等。
3. 正整数的因数和倍数：对于一个正整数，它的因数是能够整除它的正整数，而它的倍数是它能够整除的正整数。
例如，正整数8的因数有1、2、4、8，倍数有8、16、24等。
4. 正整数的质数和合数：正整数可以分为质数和合数两类。
质数是只有1和自身两个因数的正整数，例如2、3、5等；合数则是除了1和自身之外，还有其他因数的正整数，例如4、6、8等。
二、正整数的运算规律1. 正整数的加法：正整数的加法满足交换律和结合律。
即对于任意两个正整数a和b，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
例如，2+3=3+2=5，(2+3)+4=2+(3+4)=9。
2. 正整数的减法：正整数的减法满足减法的逆运算。
即对于任意两个正整数a和b，有a-b+a=b。
例如，5-2+2=5。
3. 正整数的乘法：正整数的乘法满足交换律和结合律。
即对于任意两个正整数a和b，有a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
例如，2×3=3×2=6，(2×3)×4=2×(3×4)=24。
4. 正整数的除法：正整数的除法满足除法的逆运算。
即对于任意两个正整数a和b，有a÷b×b=a。
例如，8÷4×4=8。
初中数学竞赛教程21整数的性质
初中数学竞赛教程21整数的性质整数是数学中非常基本且重要的概念之一、它是全体正整数、负整数和零的集合，用整数集表示为Z，数学符号为Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}。
整数的性质涉及到整数的四则运算、整数的大小比较以及整数的奇偶性等方面。
下面就对整数的性质进行详细介绍。
一、整数的四则运算1.加法：对于整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。
加法满足交换律，即a+b=b+a；加法还满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
2.减法：对于整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。
3.乘法：对于整数a和b，它们的积a×b也是一个整数。
乘法满足交换律，即a×b=b×a；乘法还满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。
4.除法：对于整数a和b，其中b不等于0，a/b的商可能是一个整数，也可能是一个带有小数部分的数。
二、整数的大小比较1.大小关系：对于两个整数a和b，如果a<b，称a小于b；如果a>b，称a大于b；如果a=b，称a等于b。
2.大于0和小于0：正整数都大于零；负整数都小于零。
三、整数的奇偶性1.奇数：整数中，除了能被2整除的数字外，其他的数字都是奇数。
奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为任意整数。
2.偶数：能被2整除的数字为偶数。
偶数可以表示为2k的形式，其中k为任意整数。
3.奇数和奇数的和是偶数，奇数和偶数的和是奇数，偶数和偶数的和是偶数。
四、整数的性质定理1.整数的加法性质：对于任意整数a和b，有a+b=b+a，即整数的加法满足交换律。
2.整数的减法性质：对于任意整数a和b，有a-b=a+(-b)，即整数的减法可以转化为加法运算。
3.整数的乘法性质：对于任意整数a、b和c，有(a+b)×c=a×c+b×c，即整数的乘法满足分配律。
4.整数的除法性质：对于任意整数a、b和c，如果a=b×c，且b不等于0，则a除以b的余数为0。
初中数学竞赛知识点归纳(整数)
初中数学竞赛知识点归纳一、数的整除（一）如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5 末位数能被2或5整除4或25 末两位数能被4或25整除8或125 末三位数能被8或125整除3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）二、倍数.约数1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
初一数学竞赛辅导资料(5)
初中数学竞赛辅导资料（5） a n的个位数甲内容提要.1. 整数a的正整数次幂a n,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。
例如20023与23的个位数字都是8。
2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。
例如57的个位数是5，620的个位数是6。
3. 2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表： 指 数12345678910……底数22486248624……33971397139……77931793179……其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24K＋2与22，24K＋3与23，24K＋4与24的个位数是相同的（K是正整数）。
3和7也有类似的性质。
4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4K＋m与a m的个位数相同(k,m都是正整数。
乙例题例1 20032003的个位数是多少？ 解：20032003与32003的个位数是相同的，∵2003＝4×500＋3，∴32003与33的个位数是相同的，都是7，∴2003的个位数是7。
例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由 解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2 ∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9，∴632000＋1472002的和个位数是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。
例3 K取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？例4 解：列表观察个位数的规律 K1234……＝3的个位数3971……2的个位数2486……55…… 3k＋2k的个位数从表中可知，当K＝1，3时，3k＋2k的个位数是5，∵a m与a4n+m的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数）;∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-46
初中数学竞赛辅导资料为（46）完全平方数和完全平方式甲内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.乙例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根丙练习461. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)。
初中数学竞赛专题选讲-数的整除(二)
初中数学竞赛专题选讲数的整除（二）一、内容提要在初一部分的我们介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法则：⑴ n 个连续正整数的积能被n ！整除.（n 的阶乘：n ！＝1×2×3×…×n ）.例如：a 为整数时，2a(a+1)， 6a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)，…… ⑵ 若a b 且a c, 则 a (b c).⑶ 若a, b 互质，且a c, b c ， 则ab c .反过来也成立：a, b 互质， ab c ， 则a c, b c.例如：8和15互质，8｜a, 15|a ， 则120｜a.反过来也成立： 若120｜a. 则 8｜a, 15|a.⑷由乘法公式（n 为正整数）推得：由(a －b)(a n-1+a n-2b+……+ab n-2+b n-1)=a n －b n . 得 (a －b)|(a n －b n ).(a+b)(a 2n －a 2n －1b+……ab 2n －1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1 . (a+b)|(a 2n+1+b 2n+1).(a+b)(a 2n －1－a 2n －2b+……+ab 2n －2－b 2n －1)=a 2n －b 2n . (a+b)|(a 2n －b 2n ).概括起来：齐偶数次幂的差式a 2n －b 2n 含有因式a ＋b 和a －b.齐奇数次幂的和或差式a 2n+1＋b 2n+1或a 2n+1－b 2n+1只分别含有因式a ＋b 或a －b. 例如（a+b ）| (a 6－b 6), (a －b)| (a 8－b 8)；(a+b)|(a 5+b 5)， (a －b)|(a 5－b 5).二、例题例1. 已知:整数n>2. 求证：n 5－5n 3+4n 能被120整除..证明：n 5－5n 3+4n ＝n(n 4－5n 2+4)=n(n －1)(n+1)(n+2)(n －2).∵(n －2) (n －1)n(n+1) (n ＋2)是五个连续整数，能被n!整除，∴ 120｜n 5－5n 3+4n.例2. 已知：n 为正整数. 求证：n 3+23n 2+21n 是3的倍数.证明：n 3+23n 2+21n ＝21n （2n 2+3n+1） =21n(n+1)(2n+1)=21n(n+1)(n+2+n －1) = 21n(n+1)(n+2)+ 21n(n+1)(n －1).∵ 3！｜n(n+1)(n+2)， 且3！｜n(n+1)(n －1)..∴ 3｜21n(n+1)(n+2)+ 21n(n+1)(n －1). 即n 3+23n 2+21n 是3的倍数. （上两例关鍵在于创造连续整数）例3. 求证：⑴ 33｜255＋1； ⑵ 1989｜（19901990－19881988）.证明：⑴ 255＋1＝25×11＋111＝3211＋111.∵(32＋1)|(3211+111 ) ， 即33｜255＋1.⑵ 19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添两项）∵（1990＋1988）｜（19901990－19881990）.即1989×2｜（19901990－19881990）.∵ 19881990－19881988=19881988(19882－1)＝19881988（1988＋1）（1988－1）.即 19901990－19881988＝1989×2N ＋1989×19881988×1987. （N 是整数）∴ 1989｜19901990－19881988.例4 设n 是正整数， 求证：7｜（32n+1+2n+2）.证明：32n+1+2n+2＝3×32n +4×2n =3×9 n +4×2 n ＋3×2 n －3×2 n （添两项）＝（4×2 n ＋3×2 n ）＋（3×9 n －3×2 n ）＝（4＋3）＋3（9 n －2 n ）＝7×2 n ＋3（9－2）N . （N 是整数）∴7｜（32n+1+2n+2）（例3，4是设法利用乘法公式）例5. 已知8719xy 能被33整除，求x, y 的值.解：∵33＝3×11，∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍数， 即x+y=3K －25 (k 为整数).又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍数，即x －y=11h+7(h 是整数).∵0≤x ≤9， 0≤y ≤9，∴0≤x ＋y ≤18，9≤x －y ≤9，x+y>x －y, 且 x+y 和x －y 同是奇数或偶数.符合条件的有⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==48414711y x y x y x 或或 . 解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==629529y x y x y x 或或 . 例6.设N ＝782x ，且17｜N, 求 x..解：N ＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x －2x＝17×（122＋6x ）+4－2x.∵ 17｜N ，∴17｜4－2x ，当 4－2x=0.∴ x=2.三、练习1.要使2n+1能被3整除，整数n应取＿＿＿，若6｜（5 n－1）, 则整数n应取＿＿＿.2.求证：①4!|（n4+2n3－n2－2n）；②24｜n(n2－1)(3n+2)；③6｜（n3+11n）；④30｜（n 5－n）.3.求证：①100｜9910－1）；②57｜（23333＋72222）；③995｜（996996－994994）；④1992｜（997997＋995995）.4.设n是正整数，求证3 n+3n+2+62n能被33整除.5.求证：六位数abcabc能被7，11，13，整除.3xy能被77整除，求x,y的值.6.已知：五位数987.已知：a,b,c都是正整数，且6｜（a+b+c）.求证：6｜（a3+b3+c3）.练习题参考答案1.正奇数；正偶数2.①，②分解为4个连续整数③n(n-1)(n+1)+12n ④n(n-1)(n+1)(n2-4+5)3.②81111＋491111③添项－1，1④添项995997－9959974.化为3n(1+32)+36n=11×3n＋36 n－3n＝……5.7×11×13＝1001六位数105a+104b+103c+102a+10b+c=……6.仿例57.由6｜（a+b+c）可知a,b,c中至少有一个是偶数，且a3+b3+c3－3abc含有因式a+b+c [文章来源：教学视频网/转载请保留出处。
第4讲：竞赛中整数性质的运用讲义 2024—2025学年苏科版数学八年级上册
第四讲 竞赛中整数性质的运用【知识梳理】1、完全平方数的末位数若a 是整数，则称2a 为完全平方数。
定理1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。
推论：凡末位数是2，3，7，8的自然数一定不是完全平方数。
定理2：奇数的平方的十位数字必是偶数。
推论：十位数字是奇数的完全平方数一定是偶数。
定理3：连续的10个自然数的平方和的末位数都是5。
2、连续自然数乘积的末位数定理4：两个连续自然数乘积的末位数只能是0，2，6；3个连续自然数乘积的末位数只能是0，4，6；4个连续自然数乘积的末位数只能是0，4；5个或5个以上连续自然数乘积的末位数都是0。
3、末位数的运算性质定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即 )]()([)(b P a p P b a P +=+，)]()([)(b P a P P b a P ⋅=⋅，其中a 和b 都是自然数利用末位数的性质，可以使一些看上去很困难的问题得以顺利解决。
4、数的整除的判定法则（1）末两位数能被4（或25）整除的整数能被4（或25）整除。
（2）末三位数能被8（或125）整除的整数能被8（或125）整除。
（3）一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（4）奇位千进位的总和与偶位千进位的总和之差能被7或11或13整除，则这个数能同时被7，11，13整除。
5、带余除法两个整数的和、差、积仍是整数，即整数中加、减、乘运算是封闭的，但用一非零整数去除另一整数，所得的商未必是整数。
一般地，a 、b 为两个整数，0≠b 则存在惟一的整数对q 和r ，使得a ＝bq ＋r 。
这里||0b r ≤≤，特别是当0=r ，则称a b |当0≠r ，则称b 不整除 a ，q 称为a 被b 除时所得的不完全商；r 称为a 被b 除时所得的余数。
【例题精讲】◆例1：求19951994的末位数。
初中数学竞赛精品标准教程及练习24连续正整数的性质
初中数学竞赛精品标准教程及练习24连续正整数的性质连续正整数是指相邻的整数，比如1、2、3、4、5等。
在数学竞赛中，我们经常遇到与连续正整数有关的问题。
因此，了解连续正整数的性质是非常重要的。
一、连续正整数的和首先，我们来研究连续正整数的和。
假设连续正整数的起始数为a，有n个连续正整数，则这n个连续正整数的和为：S=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)。
为了求连续正整数的和S，我们可以使用以下方法：1.平均法：根据连续正整数的性质，我们可以发现最小的连续正整数加上最大的连续正整数的和一定等于n+1的倍数。
所以，通过求出最小的连续正整数和最大的连续正整数，再除以2，乘以连续正整数的个数n，就可以得到连续正整数的和。
具体公式为：S=((a+(a+n-1))*n)/22.加法法则：我们可以用简单的加法法则来求连续正整数的和。
即将所有的连续正整数相加，例如：S=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)。
在研究连续正整数的性质时，我们需要考虑以下几个方面：1.连续正整数的个数n的奇偶性：根据连续正整数的性质，如果连续正整数的个数n为奇数，那么它们的中位数就是这n个连续正整数的平均数。
而如果n为偶数，那么这两个中位数的平均数就是这n个连续正整数的平均数。
2.连续正整数的和的性质：根据连续正整数的和的公式，我们可以发现，当连续正整数的个数n一定时，连续正整数的和S与起始数a有关，S与a是线性相关的。
当起始数a增加1时，连续正整数的和S增加n。
所以，我们可以根据连续正整数的和的性质，进行相关的计算和推导。
例如，如果连续正整数的和为100，起始数为a，连续正整数的个数为n，那么我们可以得到以下两个方程：S=((a+(a+n-1))*n)/2=100，并且有a+n-1=a+(a+n-1)=2*100/n。
通过解这两个方程，可以求出起始数a 和连续正整数的个数n的值。
需要注意的是，以上是连续正整数和的性质的初级应用，实际上在数学竞赛中，还会遇到更复杂和更有挑战性的题目，需要综合运用知识和技巧进行解答。
正整数知识点总结
正整数知识点总结一、正整数的性质1. 除了1以外，正整数可以表示成若干个不同的质数的乘积。
例如，6=2×3，8=2×2×2。
2. 正整数可以分为两类：偶数和奇数。
偶数能被2整除，奇数除以2有余数。
3. 正整数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
加法和乘法满足交换律和结合律，乘法还满足分配律。
4. 正整数的乘积和最大公因数、最小公倍数的关系。
若a和b是两个正整数，那么a和b的最大公因数乘以最小公倍数等于a和b的乘积。
5. 正整数的除法运算。
当b是a的因数时，可以用a除以b得到商和余数。
商是整数，余数小于除数。
6. 正整数的质因数分解。
每个正整数都可以分解为若干个质数的乘积，这些质数就是这个数的质因数。
7. 正整数的约数和倍数。
a的约数是能整除a的正整数，a的倍数是a的整数倍。
8. 正整数的末位数字的规律性。
末位数字的规律可以用来判断一个数能否被另一个数整除。
9. 正整数的个位数之和的规律性。
个位数之和的规律可以用来判断一个数能否被另一个数整除。
10. 正整数的乘方运算。
a的n次方是a连乘n次，0的任何正整数次方都为0。
11. 正整数的素数和合数。
大于1的正整数，如果除了1和它本身以外没有其他因数，就是素数，否则是合数。
12. 正整数的完全数。
如果一个正整数等于它的约数之和，就是完全数。
例如，28=1+2+4+7+14。
13. 正整数的欧拉函数。
正整数n的欧拉函数是小于等于n且与n互质的正整数个数。
14. 正整数的阶乘。
正整数n的阶乘是从1到n所有整数的乘积，记作n!。
15. 正整数的质数数量。
正整数n之前的所有质数的数量是n/ln(n)的渐进值。
二、正整数的应用1. 在数论中，正整数的性质和规律被用来研究数列、数学归纳法和整除性等问题。
2. 在代数中，正整数被用来进行多项式的运算，解方程和证明等各种计算和推理问题。
3. 在几何中，正整数被用来表示长度、面积和体积等几何量，作为计算和比较的基础。
初数数学公式认识正整数的性质
初数数学公式认识正整数的性质正整数是我们在日常生活和学习中经常接触到的数，它们具有一些独特的性质和特点。
通过数学公式的认识，我们可以更深入地理解和应用正整数的性质。
本文将通过对正整数的性质进行初步认识，介绍一些与其相关的数学公式。
一、正整数的定义与性质介绍正整数是自然数中大于零的整数，可以用1、2、3、4、5……等表示。
正整数具有以下性质：1. 正整数的特点：正整数由1开始无限递增，没有边界或者终点。
2. 正整数的序列：正整数可以组成一个无穷递增的序列，可以通过加法或者乘法规律进行推导。
3. 正整数的奇偶性：正整数可以分为奇数和偶数两种。
奇数是无法被2整除的整数，而偶数可以被2整除。
二、正整数的加法公式加法是我们在日常生活中最常使用的数学运算之一，可以使用正整数加法公式来求解两个或多个正整数的和。
在正整数加法中，我们可以使用符号“+”来表示两个数的相加运算，公式为：A + B = C，其中A和B是参与计算的正整数，C是它们的和。
举例来说，对于两个正整数5和3的加法运算，可以写成5 + 3 = 8。
除了两个正整数相加，我们还可以通过加法公式计算多个正整数的和。
例如，4 + 2 + 6 + 1 = 13。
三、正整数的乘法公式乘法也是一种常见的数学运算，可以使用正整数乘法公式来求解两个或多个正整数的积。
在正整数乘法中，我们可以使用符号“×”或者“·”来表示两个数的相乘运算，公式为：A × B = C 或者 A · B = C，其中A和B是参与计算的正整数，C是它们的积。
举例来说，对于两个正整数4和3的乘法运算，可以写成4 × 3 = 12 或者 4 · 3 = 12。
同样地，我们也可以通过乘法公式计算多个正整数的积。
例如，2 ×3 × 5 = 30 或者 2 · 3 · 5 = 30。
四、正整数的除法公式除法是数学中常用的一种运算方式，可以使用正整数除法公式来求解两个正整数之间的商和余数。
初中数学竟赛辅导资料：正整数简单性质的复习
初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数一. n 位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n . 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6. 1+3+5+……+99=____________.7. 5+10+15+……+100=_________.8. 1+4+7+……+100=____________.9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：位198011121234567891这个数用9除的余数是__________. (1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：① 它是一个________位数；② 它的各位上的数字和等于________；③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是___________________________.四.连续正整数的积：① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.② n 个连续正整数的积能被n !整除.如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.③ n ! 中含有质因数m 的个数是⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2m n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡i m n . [x]表示不大于x 的最大正整数，i=1,2,3… m i ≢n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个(1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.乙. 正整数十进制的表示法一. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0其中n 是正整数，且0≢a i ≢9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a n ≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A 能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除二. 常见的一些特例 99999个n =10 n －1, 33333个n =31(10 n －1), 9111111= 个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n 个数是2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(92-n =)110(91 -n (10 n +2) =331103110+-⨯-n n=)13110(3110+-⨯-n n = 33333个n ×433333)1(个-n . 证毕. 练习：21. 化简 99999个n × 99999个n +199999个n =_______________________________. 22. 化简2122222-1111个个n n =____________________________________________. 23. 求证119901111个是合数. 24. 已知：存在正整数 n,能使数11111个n 被1987整除. 求证：数p= 11111个n 99999个n 88888个n77777个n 和 数q= 111111个+n 919999个+n 818888个+n717777个+n 都能被1987整除. (1987年全国初中数学联赛题)25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证： 11111个n ×110000个-n 5+1是完全平方数. 丙. 末位数的性质.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r ) a 和k 都是整数，r=1,2,3,4.特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.2. N (a)=N (b)⇔N (a －b)=0⇔10 |(a －b).3. 若N (a)=a 0, N (b)=b 0. 则N (a n )=N (a 0n )； N (ab)=N (a 0b 0).例题1：求①53100 ； 和 ②777的个位数. 解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1②先把幂的指数77化为4k+r 形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12× (74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是______，999的个位数是_______.28. 求证：10 | (19871989－19931991).29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.(1991年全国初中数学联赛题)解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n －2)2+(n －1)2+n 2+(n+1)2+(n+2)2=k 2 (n, k 都是整数)5(n 2+2)=k 2 .∵ k 2是5的倍数，k 也是5的倍数.设k=5m, 则5(n 2+2)=25m 2.n 2+2=5m 2.n 2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n 2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成立∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方数的其他方法例题3. 已知：a 是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平方数证明：∵a(a+1)+1=a 2+a+1，且a 是正整数∴ a 2< a(a+1)+1=a 2+a+1<(a+1)2，∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间∴a(a+1)+1不是完全平方数例题4. 求证：11111个n (n>1的正整数) 不是完全平方数 证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 11111个n =1100111112-个n =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 即11111个n 除以4余数为3，而不是1， ∴它不是完全平方数.例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b 是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a 2+4a+1+4b 2+4b+1=4(a 2+b 2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.三. 魔术数：将自然数N 接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N 称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n 是自然数，且9n 2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n 的值是：___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的一种分类：⎪⎩⎪⎨⎧).1(.)1( 1然数整除和本身外还能被其他自除合数；然数整除和本身外不能被其他自除质数； 2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.一般地，要写出n 个连续自然数，个个是合数，可用令m=n+1, 那么m !+2, m !+3, m !+4, +……+ m !+n+1 就是所求的合数.∵m !+i (2≢i ≢n+1) 有公约数i.练习：32. 已知质数a ， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m !=22!那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这里11=10+1，即N 是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x 4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的一种分类：⎩⎨⎧)12(.2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质：① 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.② 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数不是平方数.a) 2n (n 为正整数)不含大 于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶.c) 若n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n 都是正整数，试证明m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.证明：∵m 3－n 3＝（m －n ）(m 2+mn+n 2).当m －n 为偶数时，不论m 2+mn+n 2是奇数或偶数，m 3－n 3都是偶数；∴m －n 为偶数是m 3－n 3为偶数的充分条件.当m －n 为奇数时，m, n 必一奇一偶，m 2，mn ，n 2三个数中只有一个奇数，∴m 2+mn+n 2是奇数，从而m 3－n 3也是奇数.∴m －n 为偶数，是m 3－n 3为偶数的必要条件.综上所述m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.例2. 求方程x 2－y 2=1990的整数解.解：(x+y)(x －y)=2×5×199.若x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ，x －y 都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.若x, y 为一奇一偶，则x －y ，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等.综上所述，不论x, y 取什么整数值，方程两边都不能相等.所以 原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.练习：37. 设n 为整数，试判定n 2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：方程x 2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： ⎩⎨⎧=⨯⨯⨯⨯=++++.0321321n x x x x x x x x n n ； 求证：n 是4的倍数. 42. 若n 是大于1的整数，p=n+(n 2－1)2)1(1n --试判定p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k 为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.如：若a=5k 1+1, b=5k 2+2.则a+b 除以5 余数 是3 (1+2)；ab 除以5余2 (1×2)；b 2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：∵19891989=(7×284+1)1989，∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n －1, 至少有两个是同余数，这是为什么？45. a 是整数，最简分数7a 化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ； ② 2473×429=1060927.解：①用各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7， ∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有无差错：①372854－83275=289679 ； ②23366292÷6236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应用例3. 求证：任意两个整数a 和b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.证明：把整数a 和b 按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b 除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b 的差是3的倍数；如果a, b 除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b 的积是3的倍数；如果a, b 除以3，余数分别是1和2，那么a, b 的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a ，b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏)例4. 已知： p ≣5，且 p 和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论∵p 是质数，∴不能是3的倍数，即p ≠3k ；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p ≠3k+1； 只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.∴2 p+1也是质数， 符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a 不能被2和3整除 . 求证：a 2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a 不是5的倍数. 则a 8+3a 4－4能被100整除.50. 已知：自然数n>2求证：2n －1和2n +1中，如果 有一个是质数，则另一个必是合数.51.设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,c 3a －ca 3三个数中，至少有一个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. 二元一次方程 ax+by=c 的整数解：当a,b 互质时，若有一个整数的特解⎩⎨⎧==00y y x x 那么可写出它的通解)(00为整数k ak y y bk x x ⎩⎨⎧-=+= 2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数=整数， 整数×整数=整数，整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)自然数=整数3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.解：设小军和小红的生日分别为x, y ，根据题意，得⎩⎨⎧=+=-347x y k x y (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k 27 k=1, 3时， x 没有整数解；当k=2时， ⎩⎨⎧==.2410y x ， 当k=4时，⎩⎨⎧==.313y y x ， (10月份没有31日，舍去) ∴小军的生日在10月10日例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初二数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数，0<a ≢9，0≢b, c ≢9.那么 1191110100c b a b a c b a +-++=++ ， 且－8<a －b+c<18. 要使a －b+c 被11整除，其值只能是0和11.( 1)当a －b+c=0时， 得9a+b=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －5)a+2c 2－c=0根据韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.2522121c c a a c a a ， 这是必要而非充分条件. ∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论a 的解.当 c=2, 4时，无实数根； 当c=1, 3时，无整数解；只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去)∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求的三位数是550；(2)当a －b+c=11时， 得9a+b+1=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －16)a+2c 2－23c+131=0.仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐一以讨论a 的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x 1, x 2, x 3,……x n 满足等式x 1＋x 2＋x 3＋x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 4x 5那么 x 5的最大值是________. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q, pq q p 12,12-- 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q 的值. （1988年全国初中数学联赛题） 54.能否找到这样的两个正整数m 和n ，使得等式m 2+1986=n 2成立. 试说出你的猜想，并加以证明. （1986年泉州市初二数学双基赛题） 55.当m 取何整数时，关于x 的二次方程m 2x 2－18mx+72=x 2－6x 的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初二数学双基赛题） 56.若关于x 的二次方程（1+a ）x 2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a 的取值是________________. （1989年泉州市初二数学双基赛题） 57.不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________. 58.直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长. 59.鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 60. 甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？ 若1×2×3×4×……×99×100=12 n ×M ，其中M 为自然数，n 为使得等式成立的最大自然数，则M 是( )(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题)练习701. 9+90×2+900×3+990×4=68492. 2893 79563. 30，300，3×10n －14. 50, 33, 476, 317 .5.25506.2500.7. 10501. 1717. 9.奇数 (1+1989)×21989 . 10有两组：18，19，20，21，22； 9，10，11，12，13，14，15，16.11.有四组：除上题中的两组外，尚有－8到16；－17到2212. 13501. 13. 余数是6(由1到102刚好是198位).14. (1)192 (2)901 (3)9999978596 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡5100+⎥⎦⎤⎢⎣⎡25100=24 16. 60个. 计算积中含质因数5的个数是：从10，25，40，55，……700这组数中含质因数5的共有(700－10)÷15+1=47；而25，100，175，……700含有52因数，应各加1个5，共有(100－25)÷75+1=10； 且250，625，含有53因数，应再各加1个5，共有 2个；625 含有54因数，再加1个5. ∴总共是47+10+2+1=60. 17. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡6251989125198925198951989=379+79+15+3=494 18. 把a(a 2－1)(3a+2)化为a(a+1)(a －1)[(2a+4)+(a －2)]=2(a －1)a(a+1)(a+2)+(a －2)(a －1)a(a+1).19. 根据两个连续整数必互质，把n+1个正整数按非连续数单独分组，因为它们都小于2n,所以最多分为n 组，那么n+1个正整数至少有一个不能单独分组，即与n 组中的一个互质.20. 易证能被20整除，再证能被99整除21. 原数=(10n －1)2+1×10n +(10n －1)=102n 22. 原数=91×(102n －1)－2×91×(10n －1)=……=(3110-n )2=( 个n 2)3333( 23. 原数=91×(101990－1)= 91×(10995+1) (10995－1) =91×(10995+1) (10－1)×N (N 为整数) 24. p= n1111×(103n +9×102n +8×10n +7) q=11111+n ×(103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7) ∵10n =9×个n 1111+1， 103n+3，102n+2，10n+1除以个n 1111的余数分别为103，102，10.∴q 的第二因式除以个n 1111的余数分别为1×103+9×102+8×10+7…… 25.设A=103 M+N ， 7|(M －N).A=103 M+N=103 M+M －M+N=1001M －(M －N).26. 原数=1)510(9110++⨯-n n =…… 27. 1. 28. 71与33的个位数相同. 29 . 0.30. 9个(1，25，10，20，25，50，100，125).31. 2，6. 可设9n 2+5n+26=m(m+1), 配方，分解因式32. 2，9. 33. 8，9.34. 22!+3，22!+5，22!+7，………22!+19，22!+2135. 可设2×3×5×7×11×13×17， 那么 N+2，N+3，……N+16即所求.36. (22n+1)2+(x 2n )2+2×22n+1×x 2n －4×22n ×x 2n =(22n+1+x 2n )2－(2 ×2m ×x n )2……37. 奇数. 38 奇数 .39. 4个正整数的和为奇数，则这4个数中有1个或3个是奇数.40. 若有奇数根，则奇+奇+奇≠0；若有偶数根，则偶+偶+奇≠0.41. 若n 为奇数，则与(1)矛盾；若n 为偶数，由(1)可知，偶数必成双，再由(2)知n 是4的倍数.42. 奇数 43. 星期二， ∵9 9除以7余数是1.44. 除以整数n －1的余数，最多只有n －1种45. 六位. ∵除以7，余数除0以外，只有6种.46. ①不对，∵用9除的余数 11－7≠5， ②错.8×2=32，除以9余数不是6.47. a=6k ±1， a 2+23=12k(3k ±1)+2448. 把整数按模4分类为4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3.其平方后除以8余数分别为0，1，4，1任何两个余数的和都不等于6.49. a 8+3a 4－4=(a 4+4)(a 2+1)(a 2－1), a ≠5k ,则a=5k ±1,5k ±2, a 2 除以5的余数分别为1和4， a 4 除以5余数 均为1.50. 2 n 不是3的倍数，可分别设为3k+1，3k －1.51. (同练习69第10题). 52. 5 53. 854. 不可能.(n+m)(n －m)=1986 按n+m, n －m 同奇，同偶讨论.55. 原方程化为（m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0, [(m+1)x-12][(m-1)x-6]=0.x 1=112+m ； x 2=16-m . ∵方程的根是自然数， ∴ 11,2,3,4,11,2,3,6.m m +=⎧⎨-=⎩ 0,1,2,3,5,11;2,3,4,7.m m =⎧⎨=⎩ ∴m=2,；或m=3.∴当m=2时，x 1=4； 或 x 2=6. 当 m=3时, x 1=x 2=3.56. a=－3,－2, 0, 1 (x 1+x 2=－a +12, x 1x 2=－1+a+12)57. 有三个，其边长分别是：11，9，8； 12，9，7； 13，9，6.58. 6，8，10或5，12，13.59. 设鸡翁，鸡母，鸡雏一只分别值 x,y,z 钱，则1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去一元，得二元一次方程： 7x+4y=200. 求自然数解，得有四组答案：12,8,4,0,4,11,18,25,84;81;78;75.x x x x y y y y z z z z ====⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪====⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪====⎩⎩⎩⎩60.⎩⎨⎧=++=++12673169104 z y x z y x x+y+z=40 .61. 选(A). 根据连续整数的积的性质，100!含因数2共97个，含因数3有48个……。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛辅导资料（24）
连续正整数的性质
甲内容提要
一.两个连续正整数
1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。
例如3＝1＋2，79＝39＋40，
111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数
例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个）
1. n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1)
例如一位正整数从1到9共9个（9×100），
二位数从10到99共90个（9×101）
三位数从100到999共900个（9×102）……
2.连续正整数从n 到m的个数是m－n+1
把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：
3.从13到49的连续奇数的个数是＋1＝19
从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18
4.从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12
从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13
你能从中找到计算规律吗？
三.计算连续正整数的和
1.1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）（n是正整数）
连续正整数从a到b的和记作(a+b)
把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759（∵从11到55有奇数＋1
＝23个）
3.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480（∵从11到53正整数中
除以3余2的数的个数共＋1＝15）
四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和
1.123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）
＝9×5＝45
2.1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1 ∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901
五. 连续正整数的积
从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘1.n个连续正整数的积能被n！整除，
如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；
a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
2.n！含某因质数的个数。
举例如下：
①1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个
其中4＝22含两个质因数2增加了1个
其中8＝23含三个质因数2再增加2个
②1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法
5，10，15，…125，130均含质因数5暂各计1个，共26个
其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个
其中125＝53含三个5再增加2个
∴积中含质因数5的个数是32
乙例题
例1. 写出和等于100的连续正整数
解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10
其中2个50和10个10都不能写成连续正整数
而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16
得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。
5个20可由20，19＋21，18＋22
得第二组连续正整数18，19，20，21，22。
例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？解：页数编码中，一位数1到9共9个
两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个
三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个
四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个
∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853
例3.用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：1234……99100。
问：
①它是一个几位数？
②它的各位上的数字和是多少？
③如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩
下的数的前十位数是多少？
解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192
②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)
③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：
包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2， (50)
56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，剩下的数的前十位是9999978596。
例4.算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？
解：∵＝11，＝12
∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122
;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。
共23个。
例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍，求这两个连续正整数。
解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a
根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1）
把222分解质因数得x(x+1)=2×3×37a（2）
∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6且0＜a≤9
由（1）可知a可能是1，3，5，6，8分别代入（2）只有6适合
x(x+1)=36×37
答所求的连续正整数是36和37
丙练习24
1.除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n位数有____个。
2.从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。
3.由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上
的数字和是_____。
4.把由1开始的正整数依次写下去，直写到第198位为止，
那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____
这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题)
5.已知a=, b=
那么①ab=______________
②ab的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法)
6.计算连续正整数的平方和的个位数：
①12+22+32+……+92和的个位数是_______
②12+22+32+……+192和的个位数是______
③12+22+32+……+292和的个位数是______
④12+22+32+……+392和的个位数是______
⑤12+22+32+……+1234567892和的个位数是＿＿＿＿＿＿
（1990全国初中数学联赛题)
7.写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组：
____________，_________________，_____________________。
8.连续正整数的积1×2×3×4×…×100
这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。
9.恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数
是多少？(1990年全国初中数学联赛题)
10..设a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那么b2是( )
(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376
11.计算：①2+4+6+ (100)
②1+4+7+10+ (100)
③+10+15+ (100)
12.有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什
么？
如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。
13.一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的
每一个数等于它前面的一个数加，直到700为止。
将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。
(1988年全国初中数学联赛题)
提示：先求积中含质因数5的个数
返回目录参考答案上一页下一页。