山东大学工科研究生数学物理方法class9第8.1.2Laplace方程矩形域(齐次方程的分离变量法)

为确定系数An和Bn,j将上式代入非齐次边界条件： n
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( An Bn ) sin a x 0 n 1 n n b b ( A e a B e a ) sin n x U u 右边展开比较系数 n n 0 a n 1 An Bn 0 n （n为偶数） 0 n b b a a A e B e 4 n n (U u0 ) （n为奇数） n
u 0, 0 x a, 0 y b, u (0, y ) 0, u (a, y ) 0, u ( x, 0) ( x), u ( x, b) ( x). 1 2
ny u1 ( x, y) X n ( x)sin b n 1

n 2 X ( x) ( ) X n ( x) 0 b
代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 5
和X的边界条件：
X X 0 X (0) 0, X (a) 0
（1）
Y Y 0 （2）
则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为：
n 2 2 2 , (n 1,2,3...) a n 本征函数为： X ( x) C sin x, (n 1,2,3...) a n
（n为偶数） 0 由此可得： An Bn nb / a nb / a 4 ( U u ) / n ( e e )（n为奇数） 0 可得最后结果： (2k 1)y sh 4(U u0 ) 1 (2k 1)x a u ( x, y ) u 0 sin (2k 1)b a k 0 ( 2k 1) sh a
x T ( x, a ) 100sin a
bmshm sin
m 1

mx x 100sin a a
m 1, 0, bm 100 sh , m 1.
Example 4:
u 0, 0 x a, 0 y , x u ( x, 0) A(1 ), u ( x, ) 0, a u (0, y ) u (a, y) 0.
将本征值代入（2）可得： 分离解为： vn ( x, y ) ( An e
n y a
Y ( y) Ae a Be
Bn e源自文库
n y a
y

n y a
叠加即得一般解：v( x, y) ( An e
n 1

n y a
n ) sin x a
n y a
Bn e
n ) sin x a
wxx wyy 0 w | x 0 0, w | x a 0 w | y 0 u0 , w | y b u0
可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程 把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为
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求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值 问题解出。
mx ny bmnsh mn a sin sin ( x, y) a a m, n 1

Example 3:
T 0, 0 x, y a, T (0, y ) T (a, y ) 0, T ( x, 0) 0, T ( x, a ) 100sin x . a
'' n
X n ( x) ane bne
u1 ( x, y) (an e
n 1
nx b
nx b
x nb
bn e
x nb
ny )sin b
2 b ny an bn 1 ( y ) sin dy , b 0 b na a 2 b ny b e b a e n bn 2 ( y ) sin dy , n b 0 b
另解
令
u( x, t ) u0 v( x, y) 把原来的温度U0作为新
的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：
vxx u yy 0 v |x 0 0, v |x a 0 v | y 0 0, v | y b U u0
分离变数令：
v( x, t ) X ( x)Y ( y)
mx ny u ( x, y, z ) Z n ( z )sin sin a a m, n 1

Z ( z) mn Zmn ( z) 0
'' mn
mn
m 2 n 2 ( ) ( ) a a
Z mn (a) 0
Zmn ( z) amnch mn (a z ) bmnsh mn (a z )
第八章
分离变数(傅里叶级数)法
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分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的
各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几 个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本 征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。
第一节、齐次方程的分离变数法
2
例 3：
散热片的横截面为矩形，一边y＝b处于较高温度U，其他 三边y＝0，x＝0和x＝a处于冷却介保持较低的温度u0，求

my a y ma
u ( x, y) (ame
m 1
bme
mx )sin a
u ( x, ) 0
x u ( x, 0) A(1 ) a

am 0
mx x bm sin A(1 ) a a m 1
2 a x mx 2A bm A(1 ) sin dx a 0 a a m
Example 2 :
u 0, 0 x, y, z a, u (0, y, z ) u (a, y, z ) 0, u ( x, 0, z ) u ( x, a, z ) 0, u ( x, y, 0) ( x, y ), u ( x, y, a) 0.
2A e mx u ( x, y) sin m1 m a

y ma
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双曲正弦
双曲余弦
e e shx 2 x x e e chx 2
x
x
mx T ( x, y ) Ym ( y )sin a m 1

m 2 Y ( y ) ( ) Ym ( y ) 0 a
'' m
Ym (0) 0
my my Ym ( y ) am ch bmsh a a
Ym (0) 0

am 0
my mx T ( x, y) bmsh sin a a m 1
问题，没有初始条件，边界条件不能都 是齐次的，此时恒为零，但可以把边界 化为齐次的，可以带来方便。
y U b u0 u0
3
x
O u0 a
把u（x，y）分解为v（x，y）和w（x，y）的线性叠加：
u( x, y) v( x, y) w( x, y)
其中v和w分别满足一组齐次边界条件即：
v xx v yy 0 v | x 0 u0 , v | x a u0 v | y 0 0, v | y b 0
Example 1:
u 0, 0 x a, 0 y b, u (0, y ) 1 ( y ), u (a, y ) 2 ( y ), u ( x, 0) ( x), u ( x, b) ( x). 1 2
u 0, 0 x a, 0 y b, u (0, y ) 1 ( y ), u (a, y ) 2 ( y ), u ( x, 0) 0, u ( x, b) 0.
解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：
u xx u yy 0 u |x 0 u0 , u |x a u0 , (0 y b) u | y 0 u0 , u | y b U , (0 x a)
如右图所示：
解 这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值
Zmn ( z) amnch mn (a z ) bmnsh mn (a z )
Z mn (a) 0

amn 0
mx ny u( x, y, z ) bmnsh mn (a z ) sin sin a a m, n 1
u( x, y,0) ( x, y)