山东大学工科研究生数学物理方法class9第8.1.2Laplace方程矩形域(齐次方程的分离变量法)
9.2 拉普拉斯变换的性质
∞
∫s
F ( s) d s =
f (t ) [ ]. t
ds ∫ ds L ∫s 44244∫3 F ( s ) d s = s s 1
n次
∞
f (t ) [ n ]. t
证明 (略)
22
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 即 解 已知
P220 例9.10
−1
[ e − sτ F ( s ) ] = f ( t − τ ) u( t − τ ) .
8
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 方法二 解 方法一 已知
[sin t ] =
P222 例9.12
方法一 先充零再平移
1 , 2 s +1
π
根据延迟性质有 根据延迟性质有 延迟性质
P222
性质 设当 t < 0 时 f ( t ) = 0 , 则对任一非负实数 τ 有
[ f ( t − τ )] = e − sτ F ( s ) .
[ f (t −τ ) ] = ∫
+∞
0 +∞
f (t −τ )e−st d t f (t −τ )e−st d t
=∫
τ
令 x = t −τ
∫0
(k ) (k ) 其中， 其中， f ( 0) 应理解为 lim f ( t ) . + t →0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 变换的这一性质非常重要， 方程( 方程(组)的初值问题。（ 9.4 将专门介绍） 的初值问题。 § 13
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 利用导数的象函数性质来求解本题 拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯方程-球坐标系
两边同除以R(r) Y(θ,φ)
1 2 R( r ) 1 Y ( , ) 1 2Y ( , ) (r ) (sin ) 0 2 2 2 2 2 r R( r ) r r Y ( , )r sin Y ( , )r sin
线性独立的 l 阶球函数共有 2l 1 个． 因为对应于 m 0 ，有一个球函数 Pl (cos )
对应于 m 1,2,, l 则各有两个球函数即 Plm (cos )sin m 和 Plm (cos )cos m 根据欧拉公式 cos m isin m eim 将复数形式的球函数统一表示为
常用齐次定解问题的分类
直角坐标 柱坐标 球坐标
稳定方程 演化方程
√ √
√ √
√ √
参看附录VI
拉普拉斯算符的形式
二维 三维
直角坐标
极（柱） 坐标 球坐标
2 xx yy
1 2 1 1 2 2
2 zz 2 zz
得：
( ) ( ) ( ) 2( ) (sin ) ( )( ) 0 2 2 sin sin
两边同除以Θ(θ)Φ(φ)，乘sin2θ 后移项得： sin ( ) 1 2( ) (sin ) sin 2 2 ( ) ( ) 得到关于 的常微分方程
本征函数为
1 d d m2 (ii) (sin ) ( 2 ) 0 sin d d sin
山东大学工科研究生数学物理方法class4第1节(数学物理方程的导出)汇总
即是静电场的基本方程
(十二)、稳恒电流场
E 0
均匀导电媒质，则 为常数 ＝0 拉普拉斯方程
24 (十三)、不可压缩流体的无旋稳恒流动
如果有源或汇的连续性方程为：
F(x, y, z,t)
t
F为源或者汇的强度，对于不可压缩流体，密度为常数，则：
f (x, y, z,t)
若流体无旋，则可化为： f x, y, z,t
utt a2uxx 0
(四)、均匀薄膜的微小横振动
utt a22u 0 其中 2 / x2 2 / y2 二维拉普拉斯算符 2 / x2 2 / y2 2 / z2 三维拉普拉斯算符
薄膜受迫振动方程
utt a22u f (x, y, t)
f(x,y,t)=F(x,y,t)/ 为单位质量上的横向外力
14
(六)、电磁波方程
利用电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式,可导出真空中的
电磁波方程:
Ett a23E 0 Htt a23H 0
其中, a2 1/ 00 c2 光速平方, 0 ,0 分别为介电常数
导磁率,E,H为真空中电场强度和磁场强度,此方程为矢量方程
15 (七)、扩散方程
物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移,叫扩散 扩散问题 中研究的是浓度U在空间中的分布和在时间中的变化U(x,y,z,t)
弦的位移是时间t和左边x两个自变量的函数,是弦上彼此互相 影响的质点的运动方程,反映在Uxx项上.
9
如果在振动过程中,弦还受到外加横向力的作用,单位长度弦 所受横向力为F(x,t),则(2)相应修改为
T2 sin2 T1 cos1 F (x, t) (ds)utt
则方程(6)就可修改为 utt Tu xx f (x,t)
[理学]第八章 Laplace变换_OK
![[理学]第八章 Laplace变换_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/2e40e2d1aaea998fcd220e8a.png)
若取 0,则上式为单边 Fourier变换.
拉氏变换是对傅氏变换 的一种改造(推广)！！
更一般地，我们定义双 边Laplace变换：
L [h(t)] f (t)est dt
其中，适当地选取 ，使得积分收敛 .
使Laplace变换积分收敛的那些复 数s的集合，称为 Lapl5ace 变换的收敛域 .
设g(t) t f (t)dt,则 0
g(t) f (t) L [g(t)] L [ f (t)]
s L [g(t)] g(0) L [ f (t)]
L [g(t)] 1 L [ f (t)]
19
s
像函数的积分性质
像函数积分等于它的像原函数除以一
个因子t的拉氏变换
若 L [ f (t)] F(s),则
引进单位阶跃函数
u(t)
1 0
t [0,) , 构造函数 t (,0)
g(t) f (t)u(t), t (,)
(2) 使定义在[0,)上的函数 g(t)满足绝对可积条件 .
引进指数衰减函数 et ( 0),构造函数
h(t) g(t)et
这极可能使 h(t)在(,)上满足绝对可积的条件 ,即
利用Laplace变换的性质可计算某些广义积分
设 F(s) L [ f (t)] 有
f (t)est dt F(s), 0
tf (t)est dt F (s), 0
定义 微分性质
f (t) est dt
F ( )d
0t
s
积分性质
若当s取某个实数k时, 上述各式左端的广义积分均收敛,则可
0
0
eikt eikt est dt 1 (eikt eikt )est dt
第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法
d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映.
77
性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0
d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0
pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0
f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)
第六章Laplace 变换方法
数学物理方程
第6章 Laplace 变换方法
所以 ，
k p k 2 pt e sin ktdt 2 2 0 p p
2
即
0
2 2 k k p k pt 2 2 e sin ktdt 2 2 p p p k
k L sin kt 2 2 p k
数学物理方程
1 p s t dt 2e p s
0
1
p s
2
数学物理方程
第6章 Laplace 变换方法
st L t e
所以， 同理：
1
p s
2
n st L t e
M
p s
n 1
例 5. 求 L tf t ，其中 f t 是存在Laplace变换的任意函数。 解： 而
这时 f (t )e t 的Fourier变换总是存在的。
t 某函数 f (t ) 乘以 e 在物理上对应于
初值问题，某个物理量在初始时刻 t 0
时
f (0)
，求它在初始时刻后的变化情况
f (t ) ，在
t 0 之前可认为
f (t ) 0t 0)
数学物理方程
例 6. 求 L sin kt k 为实数 解： 所以，
1 ikt ikt sin kt e e 2i
1 1 ikt ikt L L e e 2i 2i
1 L sin kt L eikt e ikt 2i
数学物理方程
第6章 Laplace 变换方法
例 6. 求 L sin kt k 为实数 解：
考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)
0
sin t dt t
0
1 π d s arctan s |0 2 s 1 2
四、位移性质 若L [f (t)]=F (s), 则有 L [eat f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
证明:
根据Laplace变换式, 有
at
求L [ea t t m].
m
( m 1) 利用位移性质， , 已知 L [ t ] m 1 s
可得:
( m 1) L [e t ] m 1 (s a)
at m
求L [e –at sin k t].
k 已知 L [sin kt ] 2 , 利用位移性质， 2 s k
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s
t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L f (t k ) L [ f (t k )] k 0 k 0
F ( s )e ks
k 0
,有 0
1 F ( s) (Re( s ) c ) s 1 e
求如图所示的单个半正弦波 的Laplace变换. f t
由象函数的微分性质,有
d k L [t sin kt ] 2 ds s k 2
k L [sin kt ] 2 s k2
同理
s
2ks
2
k2
2
(Re( s ) 0)
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplace equation)拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差?P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为:在数理方程中，拉普拉斯方程为:?u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中?为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量 x 、 y 、 z 二阶可微的实函数φ :上面的方程常常简写作:或其中div表示矢量场的散度(结果是一个标量场)，grad表示标量场的梯度(结果是一个矢量场)，或者简写作:其中Δ称为拉普拉斯算子 .拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数 f ( x , y , z )，即:则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ(可以在任意维空间中定义这样的算子)称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian 。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域 D 内定义的函数φ，使得在 D 的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍:固定区域边界上的温度(是边界上各点位置坐标的函数)，直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域 D 边界处的温度函数φ本身，而是φ沿 D 的边界法向的导数。
山东大学工科研究生数学物理方法class3第3节(数学物理方程的分类)
（1）
x x( , ) y y ( , )
( x, y ) 即 ( x, y )
（ 2）
3
通过代换，U（x，y）成为 ， 的函数，同时把方程改
为新变量的方程，为此计算：
( x, y)
作新的自变数，则A11＝0，A22＝0，则：
代换后的方程称为：
1 u [ B1u B2u Cu F ] (14) 2 A12 跟双曲型的方程不同！这里 ， 是复变数。
1 Re ( ) i 2 为此作代换： , i Im 1 ( ) 2
双曲型 抛物型 椭圆型
7
方程（1）的系数可以是x和y的函数，所以一个方程在自变数
的某个区域属于某一类型，在另一个区域上可能属于另一个类型
可以验证：
2 2 A12 A11 A22 (a12 a11a22 )( xy yx )2
也就是说，作变量代换时，方程类型不变！
（1）双曲型方程
（4）
4
把上两个式子代入偏微分方程，可得到新自变量 ， 的新的方程如下：
A11uxx 2 A12uxy A22u yy B1ux B2u y Cu F 0 （5）
A11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 A12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 2 2 A a 2 a a 22 11 x 12 x y 22 y B1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y B2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y C c F f
工科基础数学 第十一章 拉普拉斯(Laplace)变换
第十一章 拉普拉斯(Laplace)变换积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另外一个函数的变换，这种变换在解微分方程或者其他方程中，有着广泛的应用。
第一节 Laplace 变换及其存在性拉氏变换的定义：设函数)(t f 在0≥t 时有定义，而且积分 ⎰+∞-0)(dte tf st在复参数s 的某一范围内收敛，则称由此积分所确定的关于复参数s 的函数⎰+∞-=0)()(dte tf s F st为函数)(t f 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为=)(s F )]([t f L也称)(s F 是)(t f 的象函数，而)(t f 也称为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为)]([)(1s F L t f -= =)(1s F -例1 设⎩⎨⎧<≥=0001)(t t t u ，求)]([t u L 解 根据定义⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞---===00)(1)()]([st d e s dt e dt e t u t u L stst st )0(≠s=01∞+--st e s =stt e s s -+∞→-lim 11=s 1 ]0)[Re(>s说明：（1）)(t u 是工程中常用的函数，叫单位阶跃函数，本章中的)(t u 都指这个函数。
2）设0)Re(,)Im(,)Re(,>===+=a s b s a s bi a s 如果则，那么)sin (cos 1limlim lim =-==+∞→--+∞→-+∞→bt i bt e e e att bti at t st t通过这个例题可以看出，尽管拉氏变换是含有复参数的广义积分，但由于积分变量是实变量，所以仍然是实变量的积分，只是在运算过程中有时要用到复数的某些概念（特别是在∞+趋与t 时），为了方便，本章的所有函数)(t f 几乎都满足⎰+∞-0)(dt e t f st=),(t s G 0∞+=)0,(),(lim s G t s G t -+∞→=)0,(0s G -=)(s F即带上限∞+时，总是为零。
Laplace方程边界元数值解法研究
目录目录1绪论 (1)1.1课题的研究背景和意义 (1)1.2边界元法研究现状和进展 (3)1.3本文的主要工作 (4)2二维Laplace方程的边界元解法 (7)2.1Laplace方程简介 (7)2.1.1基本概念 (7)2.1.2二维Laplace方程与解析函数的关系 (8)2.2边界元法 (9)2.3数值模拟 (11)2.4本章小结 (16)3基于位势理论的边界元法 (17)3.1边界积分方程的推导 (17)3.2单层位势和双层位势 (18)3.3本章小结 (22)4线性方程组求解的GMRES算法 (23)4.1线性方程组求解的Galerkin原理 (23)4.2Krylov子空间 (23)4.3GMRES算法 (27)4.4本章小结 (31)5数值模拟 (33)5.1边界积分方程的离散 (33)5.2数值算例 (36)5.3本章小结 (39)6结论与展望 (41)致谢 (43)参考文献 (45)附录 (49)I西安理工大学硕士学位论文II1绪论1绪论1.1课题的研究背景和意义如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，就把这个方程叫做常微分方程，简称为微分方程；如果多元函数的偏导数在一个微分方程中出现了，或者说如果未知的函数和若干个变量相关，并且方程中出现的未知函数对应多个变量的导数，我们把这样的微分方程称为偏微分方程。
在很多科学领域当中，都可以用偏微分方程[1]进行描述数学模型。
在微积分理论形成的初期，学者们对许多自然现象的描述、解释或预见就开始使用偏微分方程，并且将其得到的各种研究方法及优良结果运用到各个科学领域和工程技术中去，逐渐地取得了明显的成效，显示出了对于人们认识自然界基本规律的过程中，偏微分方程的重要地位。
椭圆型偏微分方程，也简称为椭圆型方程[2]，它是一类重要的偏微分方程。
希尔伯特于1900年提了著名的23个问题，在这些问题中有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的。
自开始研究椭圆型方程至现在的八十多年来，其获得了丰硕研究的成果。
数学物理方法课件：14_3 分离变量法-laplace
将固有值代入Y (y)的方程
Yn( y)
n
a
2
Yn
( y)
0
n y
n y
Yn ( y) Cne a Dne a
(n 1,2,)
二维拉普拉斯方程的边值问题
•
•
原定解问题的解：u(x, 由边界条件得：
y)
n1
n
(Cne a
y
n
Dne a
y
) sin
nx
a
看成整体
f
2u 1 u 1 2u
r
2
r
r
r2
2
0
(0 r R0 ,0 2 )
u(R0 , ) f ( )
这个问题是定解问题吗？ 暂时无法判断！ 先用分离变量法求解。
整个求解过程中，采用了什么定解条件？
周期边界条件， 有界性条件
( ) ( 2 )
| R(0) |
• 所述问题可以表示为下列定解问题
R(R0)( ) f ( )
r 2R(r) rR(r) R(r) 0 R(R0 )( ) f ( )
''( ) ( ) 0 ( ) ( 2 )
虽然θ的取值范围是所有实数，但实际只须取[0,2π]，为什么？ 温度分布u(r, θ)关于θ是周期变化的，且周期是0,2π。
( ) ( 2 )
关于yy的方程关于xx的方程将固有值代入yy的方程由fourier级数展开定理可知解代数方程组得c的薄圆盘上下两面绝热圆周边界上的温度已知求达到稳恒状态时圆盘的温度分布
分离变量法3 二维拉普拉斯方程的边值问题
• 矩形区域上的拉普拉斯边值问题
• 问题描述：一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热，
山东大学研究生课程有限元答案
3.1“强”形式相关的场变量要求强的连续性。
定义这些场变量的所有函数必须可微，而可微的次数必须等于存在于强形式的系统方程中的偏微分方程的次数。
“弱”形式通常是积分形式，且对场变量要求较弱的连续性，弱形式通常能得到更精确的解。
3.2 (a) 协调性方程（b ）本质边界条件或运动边界条件 （c ）在初始刻和末时刻的条件 3.3 （a ）域的离散（b ）位移插值 （c ）构造形函数 （d ）坐标变换（e ）整体有限元方程的组装 （f ）位移约束的施加 （g ）求解整体有限元方程3.4 理论上不用必须离散所求解问题的区域。
把问题划分成单元的目的是更容易地假设位移场的模式。
3.5证明：（1）方程的左边为[]21221223012()d ()d [()()()]d 11()()()23l llf x x a a x a x xa a x a x xa l a l a l δδδδδδδδ=++=++=++⎰⎰⎰方程的右边为201202301223012()d ()d 11[]2311[()()()]23l lf x x a a x a x xa l a l a l a l a l a l δδδδδδ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++=++⎰⎰很显然方程的左右两边相等。
（2）方程的左边为1212d ()(2)d ()()2f x a a x xa a x δδδδ=+=+方程的右边为[]201212d d()()d d ()()2f x a a x a x x xa a x δδδδδδ=++=+很显然方程的左右两边相等。
3.6再生性和连续性 形函数是线性无关的 德尔塔函数性质 单位分解性 线性场再生性 3.7 答案很明显3.8 为了把所有的单元方程组合起来构成整体的系统方程，必须对每个单元进行坐标变换。
3.9 组装的过程就是把与某个节点相连的所有单元的贡献相加。
4.1桁架构件通过销钉或铰链（而不是焊接）连接在一起，因此构件之间只传递力（而不是力矩）。
拉普拉斯变换的概念
[ 1 ] 1. s
7
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; 普 拉 斯 变 换 s t [ ( t ) ] ( t ) e dt (2) 解 0
(返回)
15
1795 年任巴黎综合工科学校教授。
1816 年被选为法兰西学院院士，次年任该院院长。 1827 年 3 月 5 日，卒于巴黎。 曾任拿破仑的老师，并在拿破仑政府中担任过内政部长。 发表的天文学、数学和物理学的论文有 270 多篇。 专著合计有 4000 多页。其中最有代表性的专著有： 《天体力学》 、 《宇宙体系论》 和 《概率分析理论》 。
1 ( 2 [ e ja t ]
[ e jat ] )
1 1 1 s ( ) 2 . 2 2 s ja s ja s a
10
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 1 (4) [ e a t ] 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; ; sa s s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) [ cos a t ] 2 ; 2 普 s a a m! Γ ( m 1) 拉 m (6) [ sin a t ] 2 . (3) [ t ] m 1 ; 2 m 1 斯 s a s s 变 jat s t 1 jat s t 换 e dt ) 解 (6) [ sin a t ] ( 0 e e dt 0 e 2j
n
n 1 st t e dt 0
[tn](s)=
山东大学工科研究生数学物理方法class17 第4节(泊松方程)
1 e nb / a e nb / 2 a
e
nb / 2 a
e
nb / 2 a
Cn
e nb / 2 a cosh(nb / 2a)
Cn
Bn
e nb / a 1 e nb / a e nb / a e nb / 2 a e
nb / 2 a
例1 在圆域 0 上求解泊松方程边值问题 2 2 u a b ( x y ) u | 0 c
解： 先找到一个特解，就可以转化为齐次方程来求解
(ax2 / 2) a, (ay2 / 2) a 对称可取 a( x2 y 2 ) / 4
u ( , ) m ( Am cos m Bm sin m )
m 0
代入边界条件
a 2 b 4 0 ( Am cosm Bm sin m ) c 0 0 cos2 4 12 m 0
m
比较系数可得 a 2 b 2 A0 c 0 , A2 0 , Am 0(m 0,2); Bm 0 4 12 方程的一般解为：
2
又 (bx4 / 12) bx2 , (by4 / 12) by2 方程特解为： a 2 b 4 a 2 b 2 2 4 v ( x y ) ( x y ) ( x y 2 )(x 2 y 2 ) 4 12 4 12 a 2 b 4 cos 2 4 12 a 2 b 4 令 u v w cos 2 w 就转换成w的定解问题 4 12 w 0 a 2 b 4 w | 0 c 0 0 cos 2 4 12 在极坐标系中，用分离变数法求解拉普拉斯方程的结果如下：
数学物理方法拉普拉斯变换法
达朗贝尔公式 例3 求解无限长传输线上的电报方程 RGU ( LG RC)U t LCU tt U xx 0 U |t 0 ( x),U t |t 0 ( x) 解 作函数变换 U ( x, t ) e
(参§7.3)
LG RC 2 LC
u ( x, t ) 定解问题变为
对泛定方程进行拉普拉斯变换,初始条件由二阶导数定理,结果为
p2u p a2uxx b2u 0
非齐次常微分方程的通解为:
u ( x; p) Ae
x p 2 b 2 / a
Be
x p 2 b 2 / a x a p 2 b 2
1 ( x) e 1 ( x) e ( ) p ( )d ( ) p ( )d 2 2 2 2 2a 2a p b p b
x a p 2 b 2
x 2 2 p b a
10
第二个中括号与第一个比较, ( ) 代替
( ) 且多了个因子 P,先对第一个反演,得到原函数,把 改为 对t求导就得到
第二个的原函数. 由附录二公式30,可得 x p 2 b 2 e a ( x )2 1 J b t 2 0 p 2 b2 a2
1 p L f (at ) f ( ) a a
L f t t0 e pt0 f ( p)
L e t f t f ( p )
L f1 t f 2 t f 1 ( p) f 2 ( p)
（5）延迟性定理
（6）位移性定理
x 2 2 x p b p 2 b 2 e a x e a 1 1 ( )d ( )d 2a x 2a p 2 b 2 p 2 b2 x 2 2 x p b p 2 b 2 e a x e a 1 1 p ( )d p ( )d 2a x 2a p 2 b 2 p2 b2
拉普拉斯变换教案
第九章--拉普拉斯变换教案(总36页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。
会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。
2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。
3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。
4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。
教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。
教学手段：多媒体、板书演示。
重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组11112212112222a x a x ba x a x b+=⎧⎨+=⎩(1)利用消元法，当11221221a a a a-≠时，得到上述方程组的解为122122112121121122122111221221,b a a b a b a bx xa a a a a a a a--==--。
(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。
（二）新课讲授定义1我们称4个数组成的符号1112112221222122a aa a a aa a=-为二阶行列式。
其中的数(,1,2)ija i j=称为该行列式的第i行、第j列元素。
(横排称为行列式的行, 竖排列称为行列式的列)。
为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。
拉普拉斯变换
2 s 1 （1 s ) st 2 lim[te e ] 2 3 s 1 s s t te t .
st
故
x ( t ) t te t , y ( t ) 1 e t te t .
17
四、小结
掌握利用Laplace变换求微分、积分方程，微分方 程组的一般方法.
4
取逆变换,最后得
1 t 3 t 1 3t y( t ) e e e 4 8 8 1 ( 3e t 2e t e 3 t ). 8
这便是所求微分方程满足初始条件的解.
5
例2 求 方 程y 2 y y 0满 足 边 界 条 件 y ( 0 ) 0, y ( l ) 4 的 解, 其 中l为 已 知 常 数 .
18
作业:
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19
1 y(0)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ C .
故方程满足初始条件的 y( t ) e 2t . 解为
12
例4 求积分方程 ( t ) h( t ) y( t ) f ( )d y
0
t
的解, 其中f ( t ), h( t )为定义在 0,)上的已知实 [ 值函数. 解 设L[ y( t )] Y ( s ), L[h( t )] H ( s ), L[ f ( t )] F ( s ).
即
y ( 0 ) Y ( s) . 2 ( s 1)
取其逆变换，可得
y( t ) y(0)te t .
为了确定 (0), 令t l , 代入上式 由第二个边界条 y , 件可得 4 y( l ) y(0)le l .
7
从而
4 l y(0) e , l
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将本征值代入（2）可得： 分离解为： vn ( x, y ) ( An e
n y a
Y ( y) Ae a Be
Bn e
n y a
y
n y a
叠加即得一般解：v( x, y) ( An e
n 1
n y a
n ) sin x a
n y a
Bn e
n ) sin x a
mx ny u ( x, y, z ) Z n ( z )sin sin a a m, n 1
Z ( z) mn Zmn ( z) 0
'' mn
mn
m 2 n 2 ( ) ( ) a a
Z mn (a) 0
Zmn ( z) amnch mn (a z ) ) u0 v( x, y) 把原来的温度U0作为新
的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：
vxx u yy 0 v |x 0 0, v |x a 0 v | y 0 0, v | y b U u0
分离变数令：
v( x, t ) X ( x)Y ( y)
代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 5
和X的边界条件：
X X 0 X (0) 0, X (a) 0
（1）
Y Y 0 （2）
则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为：
n 2 2 2 , (n 1,2,3...) a n 本征函数为： X ( x) C sin x, (n 1,2,3...) a n
解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：
u xx u yy 0 u |x 0 u0 , u |x a u0 , (0 y b) u | y 0 u0 , u | y b U , (0 x a)
如右图所示：
解 这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值
Example 1:
u 0, 0 x a, 0 y b, u (0, y ) 1 ( y ), u (a, y ) 2 ( y ), u ( x, 0) ( x), u ( x, b) ( x). 1 2
u 0, 0 x a, 0 y b, u (0, y ) 1 ( y ), u (a, y ) 2 ( y ), u ( x, 0) 0, u ( x, b) 0.
mx T ( x, y ) Ym ( y )sin a m 1
m 2 Y ( y ) ( ) Ym ( y ) 0 a
'' m
Ym (0) 0
my my Ym ( y ) am ch bmsh a a
Ym (0) 0
am 0
my mx T ( x, y) bmsh sin a a m 1
第八章
分离变数(傅里叶级数)法
1
分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的
各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几 个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本 征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。
第一节、齐次方程的分离变数法
2
例 3：
散热片的横截面为矩形，一边y＝b处于较高温度U，其他 三边y＝0，x＝0和x＝a处于冷却介保持较低的温度u0，求
为确定系数An和Bn,j将上式代入非齐次边界条件： n
6
( An Bn ) sin a x 0 n 1 n n b b ( A e a B e a ) sin n x U u 右边展开比较系数 n n 0 a n 1 An Bn 0 n （n为偶数） 0 n b b a a A e B e 4 n n (U u0 ) （n为奇数） n
问题，没有初始条件，边界条件不能都 是齐次的，此时恒为零，但可以把边界 化为齐次的，可以带来方便。
y U b u0 u0
3
x
O u0 a
把u（x，y）分解为v（x，y）和w（x，y）的线性叠加：
u( x, y) v( x, y) w( x, y)
其中v和w分别满足一组齐次边界条件即：
v xx v yy 0 v | x 0 u0 , v | x a u0 v | y 0 0, v | y b 0
'' n
X n ( x) ane bne
u1 ( x, y) (an e
n 1
nx b
nx b
x nb
bn e
x nb
ny )sin b
2 b ny an bn 1 ( y ) sin dy , b 0 b na a 2 b ny b e b a e n bn 2 ( y ) sin dy , n b 0 b
2A e mx u ( x, y) sin m1 m a
y ma
16
双曲正弦
双曲余弦
e e shx 2 x x e e chx 2
x
x
Example 2 :
u 0, 0 x, y, z a, u (0, y, z ) u (a, y, z ) 0, u ( x, 0, z ) u ( x, a, z ) 0, u ( x, y, 0) ( x, y ), u ( x, y, a) 0.
x T ( x, a ) 100sin a
bmshm sin
m 1
mx x 100sin a a
m 1, 0, bm 100 sh , m 1.
Example 4:
u 0, 0 x a, 0 y , x u ( x, 0) A(1 ), u ( x, ) 0, a u (0, y ) u (a, y) 0.
mx ny bmnsh mn a sin sin ( x, y) a a m, n 1
Example 3:
T 0, 0 x, y a, T (0, y ) T (a, y ) 0, T ( x, 0) 0, T ( x, a ) 100sin x . a
（n为偶数） 0 由此可得： An Bn nb / a nb / a 4 ( U u ) / n ( e e )（n为奇数） 0 可得最后结果： (2k 1)y sh 4(U u0 ) 1 (2k 1)x a u ( x, y ) u 0 sin (2k 1)b a k 0 ( 2k 1) sh a
u 0, 0 x a, 0 y b, u (0, y ) 0, u (a, y ) 0, u ( x, 0) ( x), u ( x, b) ( x). 1 2
ny u1 ( x, y) X n ( x)sin b n 1
n 2 X ( x) ( ) X n ( x) 0 b
my a y ma
u ( x, y) (ame
m 1
bme
mx )sin a
u ( x, ) 0
x u ( x, 0) A(1 ) a
am 0
mx x bm sin A(1 ) a a m 1
2 a x mx 2A bm A(1 ) sin dx a 0 a a m
Zmn ( z) amnch mn (a z ) bmnsh mn (a z )
Z mn (a) 0
amn 0
mx ny u( x, y, z ) bmnsh mn (a z ) sin sin a a m, n 1
u( x, y,0) ( x, y)
wxx wyy 0 w | x 0 0, w | x a 0 w | y 0 u0 , w | y b u0
可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程 把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为
4
求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值 问题解出。