第六章《实数》总复习课件_PPT
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人教版《实数》优秀课件初中数学ppt
品比赛，小红很高兴，他 想裁出一块面积为25dm2 的正方形画布，画上自己 的得意之作参加比赛，这 块正方形画布的边长应取 多少？你能帮小明算一算 吗？
二、推进新课
填表1
正方形的边长 1 正方形的面积 1
3 0.1 9 0.01
思考:你能从表格中发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方， 这就是平方运算。
一、创设情境，导入新课 一、创设情境，导入新课 算数平方根的数学符号表示 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 第1课时 算术平方根 了解算术平方根的概念； 思考:你从表2中能发现什么？ 算术平方根具有双重非负性 算数平方根的数学符号表示 已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 了解算术平方根的概念； 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 用大小完全相同的250块正方形地板砖，铺一间面积为160 m2的地面，每块地板砖的边长是多少？ 第1课时 算术平方根 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 已知一个正数，求这个正数的平方，这就是平方运算。
已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。
算数平方根的数学符号表示
所以m+n=2
了解算术平方根的概念；
算术平方根具有双重非负性
问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方
二、推进新课
填表1
正方形的边长 1 正方形的面积 1
3 0.1 9 0.01
思考:你能从表格中发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方， 这就是平方运算。
一、创设情境，导入新课 一、创设情境，导入新课 算数平方根的数学符号表示 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 第1课时 算术平方根 了解算术平方根的概念； 思考:你从表2中能发现什么？ 算术平方根具有双重非负性 算数平方根的数学符号表示 已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 了解算术平方根的概念； 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 用大小完全相同的250块正方形地板砖，铺一间面积为160 m2的地面，每块地板砖的边长是多少？ 第1课时 算术平方根 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 已知一个正数，求这个正数的平方，这就是平方运算。
已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。
算数平方根的数学符号表示
所以m+n=2
了解算术平方根的概念；
算术平方根具有双重非负性
问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方
第六章 实数(复习课件)七年级数学下册(人教版)
举一反三
【7-2】如图，用两个边长为 18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸
片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长
方形纸片长宽之比为3:2，且面积为30cm2?请说明理由.
解:不能.理由如下：因为大正方形纸片的面
积为( 18)2+( 18)2=36(cm2) ，
高频考点
高频考点七 实数的综合运用
(3)如果2+ 5的整数部分是a，小数部分是b，求出a-b的值.
(3)因为 4< 5< 9，即2< 5<3，
所以4<2+ 5<5，
所以2+ 5的整数部分为4，小数部分为2+ 5-4= 5-2，即a=4，b= 5-2，
所以a-b=4-( 5-2)= 6- 5.
举一反三
【7-1】若 2的整数部分为x，小数部分为y，则 2x-y的值是( C )
A.2 2-2
B.2
C.1
D. 2
【7-2】如图，用两个边长为 18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸
片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长
方形纸片长宽之比为3:2，且面积为30cm2?请说明理由.
0
一个，为负数
3
a
可以为任何数
知识梳理
四、实数及其运算
有理数包括整数和分数，它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形
式.
5 3 27 11 9
, , , , .
2 5 4 9 11
5
2.5
2
3
0.6
5
27
6.75
4
.
11
第6章《实数》 小结与复习 人教版七年级数学下册课件(21张ppt)
(1) 25； (2) 6 1 ；(3) ( 10)2.
36
4
2. 求下列各数的立方根：
(1) 8 ；(2) 0.027；(3)1 7 .
125
8
解1题.答时案，：要(1注) 意56题；目(2)的要52；求(，3)是±求10平. 方根、立方根还是
求2算.答术案平：方(1根) ，52要；注(2意)0.所3；求(3结) 12果. 处理.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【注意】 3，, π 不属于分数而是无理数. 23
考点三 实数的估算与数轴的结合 【例3】(1) 20 位于相邻整数 4 和 5 之间.
(2) 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简
a b (b a)2 -2a .
a 0b
1. 实数与数轴上的点是一一对应的关系； 2. 在数轴上表示的数，右边的数总是比左边的数大.
深学细悟 请回顾、整理你曾在实数运算中出现的错误，通过错 题本等形式并尝试分类归纳，总结若干关于实数运算 的经验教训，并与其他同学分享. 错题本示例：
开立方运算时要注意小数点的变化规律，开立方是三 位与一位的关系，开平方是二位与一位的关系.
【例6】计算：
2 2
2 3
2 4
5 2 12
.
练一练
4. 用计算器计算：
(1) 7 π (精确到0.01)；
(2) 6 π (精确到0.01)；
答案：(1) 5.79； (2) 5.48.
练一练 5.(1) 2 2 的相反数是__2__2__，2 3 的相反数是_3____2_，
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据 结果去判断.
练一练 2.（1）在 23，0.618，π，3 8， 3 中，
第六章实数复习(公开课)ppt课件
在几何图形中，我们也需要使用在绘制函数图像时，我们需要使用实 数。例如，绘制一次函数、二次函数 、三角函数等图像时都需要用到实数 。
科学问题中的实数应用
物理测量
在物理学中，许多物理量都是用 实数来表示的。例如，物体的速 度、加速度、力等都需要用到实
总结词
实数减法的运算律
详细描述
实数减法具有一些重要的运算律，如差不变性质、减法结 合律和减法交换律等。这些运算律可以帮助我们简化复杂 的减法计算，提高计算的准确性和效率。
实数的乘法
总结词
实数乘法的定义与性质
详细描述
实数乘法是数学中的基本运算之一，它具有结合律、交换 律和分配律等性质。实数乘法可以用来解决许多实际问题 ，如计算面积、解决概率问题等。
根式的化简
化简根式是指将根式化简为一个最简 形式的过程。例如，√8=2√2，因为8 可以分解为4×2，而4的平方根是2， 所以√8=2√2。
Part
05
实数的应用
生活中的实数应用
长度测量
在日常生活中，我们经常需要测 量物体的长度、宽度和高度等， 这些都需要用到实数。例如，测 量房间的尺寸、家具的大小等。
总结词
实数乘法的几何意义
详细描述
实数乘法的几何意义可以理解为将数轴上的点进行拉伸或 压缩。在数轴上，一个数乘以另一个数的结果等于一个数 覆盖另一个数的长度。
总结词
实数乘法的运算律
详细描述
实数乘法具有结合律、交换律和分配律。结合律是指 (ab)c=a(bc)；交换律是指ab=ba；分配律是指 a(b+c)=ab+ac。这些运算律可以帮助我们简化复杂的乘 法计算，提高计算的准确性和效率。
在数轴上进行乘法运算时，将数 轴上的每个点乘以一个正数或负 数，长度会相应地扩大或缩小。
人教版七年级数学下册全册第六章《实数》PPT课件
… 0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250 …
规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的 算术平方根的小数点就向右移动 1 位;被开方数 的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小 数点就向左移动 1 位.
(2)用计算器计算 3(精确到0.001),并利用你在(1) 中发现的规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你 能根据 3 的值说出 30 是多少吗?
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负 性．（重点、难点）
导入新课
历史感悟
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年) 公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
导入新课
万物皆数
导入新课
情境引入 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想
裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得 意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 你能帮小明算一算吗？
所以这个数是3或-3. 会不会是巧合呢?
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
240x2 60, x2 1 . 4
x 1 1 0.5 42
故每块地板砖的边长是0.5 m.
拓展提升
已知：｜x+2y|+ 3x 7 (5y z)2 0
求x-3y+4z的值. 解：由题意得：
3x 7 0, x 2y 0,5y z 0,
所以正数 t 4 2 (秒). 即铁球到达地面需要2秒.
当堂练习
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_a_2_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的 算术平方根的小数点就向右移动 1 位;被开方数 的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小 数点就向左移动 1 位.
(2)用计算器计算 3(精确到0.001),并利用你在(1) 中发现的规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你 能根据 3 的值说出 30 是多少吗?
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负 性．（重点、难点）
导入新课
历史感悟
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年) 公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
导入新课
万物皆数
导入新课
情境引入 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想
裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得 意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 你能帮小明算一算吗？
所以这个数是3或-3. 会不会是巧合呢?
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
240x2 60, x2 1 . 4
x 1 1 0.5 42
故每块地板砖的边长是0.5 m.
拓展提升
已知：｜x+2y|+ 3x 7 (5y z)2 0
求x-3y+4z的值. 解：由题意得：
3x 7 0, x 2y 0,5y z 0,
所以正数 t 4 2 (秒). 即铁球到达地面需要2秒.
当堂练习
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_a_2_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
第六章实数复习(公开课)ppt课件
19世纪
数学家逐步完善实数理论 ，形成了完备的实数体系 ，为数学分析、连续函数 等研究奠定了基础。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。
总结词
减法运算的运算律
详细描述
减法运算同样满足交换律和结合律，即a-b=b-a和(ab)-c=a-(b+c)。
总结词
减法运算的运算性质
详细描述
减法的可逆性也是减法的一个重要性质，每一个数都有 唯一的相反数；另外，0是减法的单位元，任何数与0 相减都等于它本身。
总结词
加法运算的运算律
详细描述
加法运算还有一些特殊的运算律，例如，任何数与0相加 都等于它本身，即a+0=a；相反数相加等于0，即a+(a)=0。
总结词
加法运算的运算性质
详细描述
加法运算还有一些重要的运算性质，例如，加法的可逆性 ，即每一个数都有加法逆元，与它相加等于0；加法的单 位元，即有一个特殊的数0，任何数与它相加都等于它本 身。
实数在几何学中有着广泛的应用，例如在计算长度 、面积和体积时，需要使用实数表示测量值。
函数定义域与值域
实数可以用来定义各种数学函数，包括代数函数、 三角函数、指数函数和对数函数等，同时函数的值 域也由实数构成。
数学分析基础
实数对于数学分析来说是必不可少的基础，极限、 连续性和可微性的定义都离不开实数。
在物理中的应用
80%
测量与计算
在物理学中，实数常被用于表示 和计算各种物理量，如长度、时 间、质量、电荷等。
100%
物理定律的数学表达
许多物理定律可以用实数表示的 数学公式来描述，例如牛顿第二 定律 F=ma。
《实数》ppt课件
指数运算法则可以用于简化复杂的数 学表达式。
03
CATALOGUE
实数的分类
有理数和无理数
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数、有限小数和无限循环 小数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 常见于无限不循环小数，如π和 √2。
正数、负数和零
01
02
03
正数
大于零的实数，包括正整 数、正小数和正无理数。
其结果仍为实数。
详细描述
实数的加法运算与整数、有理 数类似，遵循交换律和结合律 ，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
总结词
正数与负数相加，结果的符号 取决于绝对值较大的数。
详细描述
如果a>0，b<0，则a+b=a-(b)；如果a<0，b>0，则 a+b=b-(-a)。
减法运算
总结词
《实数》PPT课件
目 录
• 实数的基本概念 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数在生活实数的基本概念
实数的定义
实数的定义
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，即实数集。实数集可以用实数轴来表 示，实数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都可以在实数轴上找到一个点来
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
人教版初中数学《实数》_精品课件
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二、探究新知
2.实数的分类
(1)分一分. 回忆并画出有理数的分类图.
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二、探究新知
有限小数及无限循环小数
整数
有理数
正整数 0
负整数
正分数
实
分数
数
负分数
正无理数
无理数 负无理数
自然数
无限不循环小数 (1)含π的数 (2)开方开不尽的数
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例1 (1)你能尝试着找出三个无理数吗？
2、3、π
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二、探究新知
(2)下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数？
-π，31 ，3.1,0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的
个数逐次加1），2 ，3 8 ，36 ，3 25 ，π .
有理数：31 ，3.1，3 8 ， 36 2
无理数： -π ， 0.101 001 000 1…(相邻两个1
之间的0的个数逐次加1）
，
2
，3
25
，π 2
思考： 用根号形式表示的数一定是无理数吗？
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人教版七年级数学下册课件第六章《实数》单元复习
②按正负分类:
正实数
正有理数
正无理数
实数 0
负实数
负有理数
负无理数
(3)实数与数轴上的点是一一对应的.
6.把下列各数填入相应的大括号中(只填序号):
①－3,②
·
,③ ,④0,⑤0.7,⑥ ,⑦π,⑧－1..
(1)整数:{ ②③④ …};
(2)负分数:{ ①⑧ …};
(3)无理数:{ ⑥⑦ …}.
所示:
化简:2 (b-a)2 ＋|b＋c|－ (a-c)2 －2|a|.
解:原式＝2(b－a)＋b＋c＋a－c＋2a
＝2b－2a＋b＋c＋a－c＋2a
＝3b＋a.
A.0.09 的平方根是 0.3
B. 16＝±4
C.0 的立方根是 0
D.1 的立方根是±1
3
5.计算: -8＝ －2
.
知识点三:实数
(1)实数的概念:有理数和 无理
数统称为实数.
(2)实数的分类
①按定义分类:
实数
正有理数
有理数 0
有限小数或无限循环小数
负有理数
无理数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
第六章
实数
单元复习
知识要点
知识点一:算术平方根与平方根
(1)算术平方根:a 的算术平方根记为 a.
①正数有 1
②负数 没有
个算术平方根;
算术平方根;
③0的算术平方根是 0 .
(2)平方根:正数 a 的平方根记为± a.
①一个正数有 2
②负数 没有
个平方根,它们互为 相反
平方根;
③0的平方根是 0 .
(1)实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘
第六章《实数》总复习,ppt课件
｛ x≤2
X-2≥0
2-x≥0
∴x=2
当x=2时，y=3 yx 321
.
四、扩大，缩小
已 知 1.7201.31, 11.72014.14,7
掌 那0么 .0017的 20平 1 方 0.0根 414是 7 握 已知 2.361.53,623.64.85,8 规 若x0.485,则 8x是 0.236 律 已3知 5.251.73,385.253.74,4
的平方根是 （ 3）
4.若 （ 3 x7） 37x,则 x的值 _ X=7_是 ___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 , x=
4
.
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
2. 2（ 7x2） 31250 解: 27(3x2)3 125
3 (x2)3 125
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
aaBiblioteka 3aa≥ 0a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
.
0,1,-1
a2 a =
a 2 a
a a0 0 a0
.
六、无理数的整数部分与小数部分
1、π的整数部分为3，则它的
小数部分是 π－3 ； 2、 5的整数部分2是，
则它的小数部分5 是2 ；
3、记2 3的 整 数 部 a， 分小 为数 部 分b为 ,求 代 数 a(a式 b) 的 值 .
X-2≥0
2-x≥0
∴x=2
当x=2时，y=3 yx 321
.
四、扩大，缩小
已 知 1.7201.31, 11.72014.14,7
掌 那0么 .0017的 20平 1 方 0.0根 414是 7 握 已知 2.361.53,623.64.85,8 规 若x0.485,则 8x是 0.236 律 已3知 5.251.73,385.253.74,4
的平方根是 （ 3）
4.若 （ 3 x7） 37x,则 x的值 _ X=7_是 ___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 , x=
4
.
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
2. 2（ 7x2） 31250 解: 27(3x2)3 125
3 (x2)3 125
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
aaBiblioteka 3aa≥ 0a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
.
0,1,-1
a2 a =
a 2 a
a a0 0 a0
.
六、无理数的整数部分与小数部分
1、π的整数部分为3，则它的
小数部分是 π－3 ； 2、 5的整数部分2是，
则它的小数部分5 是2 ；
3、记2 3的 整 数 部 a， 分小 为数 部 分b为 ,求 代 数 a(a式 b) 的 值 .
实数复习ppt课件
金融中的利率与利息计算
利率计算
在金融领域中，利率的计算是必不可 少的。利率通常用百分数表示，但实 际上是实数。通过利率的计算，我们 可以确定借款或储蓄的回报率。
利息计算
利息的计算是基于本金和利率的乘积 。通过利息的计算，我们可以确定资 金在使用一定时间后所获得的回报或 损失。
物理学中的速度与加速度
数学运算的基础
实数是数学运算的基础，几乎所有数学分支 都离不开实数。实数的四则运算、函数、极 限、导数等概念是数学分析、代数、几何等 领域的基础。
物理世界中的数学模型
实数在描述物理世界的现象和规律时具有重 要作用。例如，长度、时间、质量等物理量 都可以用实数表示，而物理定律往往可以通 过实数的数学表达式来描述和推导。
实数的性质
实数是封闭的，即任意两个实数的和 、差、积、商（分母不为零）仍然是 实数。
实数具有完备性，即实数集在加法、 减法、乘法和乘方下是封闭的。
实数的分类
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数和分数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 如圆周率π和自然对数的底数e。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
实数的指数运算通过幂的性质进行，例如$a^m times a^n = a^{m+n}$和$(a^m)^n = a^{mn}$等 。根号运算则是求一个数的平方等于给定值的数，需要注意根号的定义域。在进行指数和根号运算时 ，需要注意处理负指数和根号下的表达式，以及在解决实际问题时考虑单位的换算。
极限理论。
现代数学中的实数研究与应用
实数在现代数学中的地位
实数已成为现代数学的基础，许多数学分支都建立在实数理论之 上。
实数在物理学中的应用
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(1)、
一般有三种情况 2、“ ”，“3 ”开不尽的数
(3)、. 类似0.于 01001000000 110
下列各数中有理数是
:
3 2 ， 7，，-22，2，
7
20， - 5， -38，4， 0.
3
9
••
0.3737737773…… 0.3 21;
.
判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数； （5）无理数都是实数; （6）没有根号的数. 都是有理数.
.
补充练习
(1)、（3 4） 3
(2)2(5 5 2 2) (2 5 3 2)
(3)、 (-2)2(3)2(32)34
(4) 2 3 3 2 3 .
1、x3 y30， 求x y
2、 3 x33 y30， 求x y
3 、 |x 3 |y 2 0 ， 求 x 2 2 x y y 2
则 3 52的 50值17.是 38
注意平方根和立方根的移位法则
.
学以致用
1.若12.53.53， 51.251.118 那么125 11.8 ；0 .125 0.3 535 。
2.若已7.知 452.72， 9y27.92； 那y么 74500 。
.
3.已知3 0.342 0.6993，3 3.42 1.507，
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
.
若点A在数轴上表示的数为3 5， 点B在数轴上对应的数为 5， 则A，B两点的距离为 4 5
解:（ 1 ） 2232 （ 23 ） 22
(2)｜ 2 ｜3 2 2 3 22 2 3 2
.
练习：计算：
(1)3 22 2
(2) 4 5 5
(3) (3 22 3)4 2
(4) 3 2(2 24 2)
.
练习：计算下列各式的值:
(1) 3 2 23 2
(2) 22(1 2)
(3)、 292 52
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
5 、 已 知 57 的 小 数 部 分 是 a ？ 57 的 小 数 部 分 是 b ？ 求 ab 的 值1
变 式 ： 已 知 9 1 3 和 9 1 3 的 小 数 部 分 分 别 为 a 和 b
求 a b 的 相 反 数 的 立 方 根 1
一、概念
❖ 算术平方根，平方根， ❖ 被开方数，根指数， ❖ 开平方，开立方， ❖ 无理数，实数
.
乘方
互 为 逆 运 算
开方
实数
有理数 无理数
平方根
立方根
.
定义
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做
a 的 算术平方根
a 的算术平方根记作 a
读作 “ 根号a ”
.
五、比较大小的方法
❖有理化法 估算法 求差法 v 1、有理化法比较大小
(1) 5 > 2 6 < (2) 2 3 3 2
v 2、估算法比较大小
比较 和4 1的大小 .
5
.
3、求差法比较大小
例：比较大小：4 2 5 与 2 3 5
解： （ 42 5） （ 23 5）
425235
2 5 < 0
< 42 5 23 5
3 27
x 2 3 125
y 3
3
y21或y32
3
3
3
27
x 25
33
x1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解 .
自测： 1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这 个数？ 3.已知y= 1 2x1 12x 求2（x+y）的平方根
2
4.已知5+ 11 的小数部分为 m, 7- 23
.
下列说法正确的是( B ) A. 16的平方根是4
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根 D. a2一定没有平方根
.
练习：1、—8是64 的平方根, 64的平方根是±8；
64____8_ -64的立方根是__-_4__ 9 __3__
9 的平方根是 。3
2、 64 的立方根是（ 2），
练习：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示。 化简：
ab (ab)2 －2b
.b a
ox
求下列数的相反数、倒数和绝对值： （1）3－ 8的相反2数 ； 倒 是数 12是 ；
绝对值 2 .是
（2） 3 的倒数是 3 ； （3） 3 －2的绝对值是 2－ 3 ； （4）若 x 2 5 ,y 1 2 ， x y 且 0 ， x ＋ y 则 ＝ 8或－5
｛ x≤2
X-2≥0
2-x≥0
∴x=2
当x=2时，y=3 yx 321
.
四、扩大，缩小
已 知 1.7201.31, 11.72014.14,7
掌 那0么 .0017的 20平 1 方 0.0根 414是 7 握 已知 2.361.53,623.64.85,8 规 若x0.485,则 8x是 0.236 律 已3知 5.251.73,385.253.74,4
（5） 2 5 9
5和 5 33
2.说出下列各数的立方根
（1） -0.008
（2） 0.512
（ 3） - 27 64
（4） -15 5 8
.
4、下列运算中，正确的是（ A） (A） 1 25 1 1 144 12
（B） (4)2 4
（ C ） 22222
（D） 11 119 16 25. 4 5 20
6 、 设 a 和 b 互 为 相 反 数 ， c 和 d 互 为 负 倒 数 ， x 的 绝 对 值 为 5 ，
则 代 数 式 x 2 （ a b c d ） x （ a b 3c d ） _ _ _ 4_ _ _ _ _ 5_ _ _ .
七、实数的计算
(1)2 2 3 2
(2)｜ 2 3 2 2
5、 (5) 2 的平方根是（D）
(A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5
6、下列运算正确的是( D)
(A)3 13 1 (B)3 33 3
(C)3 13 1 (D)39
3 0.008
( 4 )2 13
2、若M＝ab2 a＋8是（a＋8）的算术平方
3 34.2 3.246，求下列各式的值。
（1）3 0.000342
0.06993
（2）3 34200000 －324.6
（3） 3 0.00342 －0.1507
4.已 知 3 32.83.20， 313.281.48， 6 3 0.3280.689， 36x14.86， 3 y68.96， 则x 3280 ； ｙ 3 28000 。
的平方根是 （ 3）
4.若 （ 3 x7） 37x,则 x的值 _ X=7_是 ___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 , x=
4
.
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
2. 2（ 7x2） 31250 解: 27(3x2)3 125
3 (x2)3 125
.
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数轴上两点A，B分别表示实数 3 和 3 1 ，求A，B两点之间的距离。
3( 31)1 .
三、相反数、（负）倒数、绝对值、
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有 理数的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如： a、b互为相反数，c与d互为倒数
则a+1+b+cd= 2 。
| 3|3,|0|0,|-|.
a (a0)
a0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
.
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
（ 1） 169 （ 2）0.16 （ 3 ）
（ 4 ） 1 02
（ 5 ） 2 7 9
2 14 25
（1）169
13和13
64 （2）0.16 （3）2 5
0.4和0.4
8和 8 55
： （4）100 10和10
N＝2ab4 b3是（b3）的立方根，求： MN的值.
3、如果一个数的平方根是a＋3和 2a－15，求这个数的立方根。
.
8是 64 的平方根
不 64的平方根是
±8
要 64的值是 8 搞
错 64的立方根是 -4 了
大于 17小于11的所有整数 ＿＿-04,＿＿1,-,32＿＿为 ,,-32. ,-1,
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
a
a
3a
a≥ 0
a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
.
0,1,-1
a2 a =
一般有三种情况 2、“ ”，“3 ”开不尽的数
(3)、. 类似0.于 01001000000 110
下列各数中有理数是
:
3 2 ， 7，，-22，2，
7
20， - 5， -38，4， 0.
3
9
••
0.3737737773…… 0.3 21;
.
判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数； （5）无理数都是实数; （6）没有根号的数. 都是有理数.
.
补充练习
(1)、（3 4） 3
(2)2(5 5 2 2) (2 5 3 2)
(3)、 (-2)2(3)2(32)34
(4) 2 3 3 2 3 .
1、x3 y30， 求x y
2、 3 x33 y30， 求x y
3 、 |x 3 |y 2 0 ， 求 x 2 2 x y y 2
则 3 52的 50值17.是 38
注意平方根和立方根的移位法则
.
学以致用
1.若12.53.53， 51.251.118 那么125 11.8 ；0 .125 0.3 535 。
2.若已7.知 452.72， 9y27.92； 那y么 74500 。
.
3.已知3 0.342 0.6993，3 3.42 1.507，
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
.
若点A在数轴上表示的数为3 5， 点B在数轴上对应的数为 5， 则A，B两点的距离为 4 5
解:（ 1 ） 2232 （ 23 ） 22
(2)｜ 2 ｜3 2 2 3 22 2 3 2
.
练习：计算：
(1)3 22 2
(2) 4 5 5
(3) (3 22 3)4 2
(4) 3 2(2 24 2)
.
练习：计算下列各式的值:
(1) 3 2 23 2
(2) 22(1 2)
(3)、 292 52
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
5 、 已 知 57 的 小 数 部 分 是 a ？ 57 的 小 数 部 分 是 b ？ 求 ab 的 值1
变 式 ： 已 知 9 1 3 和 9 1 3 的 小 数 部 分 分 别 为 a 和 b
求 a b 的 相 反 数 的 立 方 根 1
一、概念
❖ 算术平方根，平方根， ❖ 被开方数，根指数， ❖ 开平方，开立方， ❖ 无理数，实数
.
乘方
互 为 逆 运 算
开方
实数
有理数 无理数
平方根
立方根
.
定义
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做
a 的 算术平方根
a 的算术平方根记作 a
读作 “ 根号a ”
.
五、比较大小的方法
❖有理化法 估算法 求差法 v 1、有理化法比较大小
(1) 5 > 2 6 < (2) 2 3 3 2
v 2、估算法比较大小
比较 和4 1的大小 .
5
.
3、求差法比较大小
例：比较大小：4 2 5 与 2 3 5
解： （ 42 5） （ 23 5）
425235
2 5 < 0
< 42 5 23 5
3 27
x 2 3 125
y 3
3
y21或y32
3
3
3
27
x 25
33
x1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解 .
自测： 1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这 个数？ 3.已知y= 1 2x1 12x 求2（x+y）的平方根
2
4.已知5+ 11 的小数部分为 m, 7- 23
.
下列说法正确的是( B ) A. 16的平方根是4
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根 D. a2一定没有平方根
.
练习：1、—8是64 的平方根, 64的平方根是±8；
64____8_ -64的立方根是__-_4__ 9 __3__
9 的平方根是 。3
2、 64 的立方根是（ 2），
练习：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示。 化简：
ab (ab)2 －2b
.b a
ox
求下列数的相反数、倒数和绝对值： （1）3－ 8的相反2数 ； 倒 是数 12是 ；
绝对值 2 .是
（2） 3 的倒数是 3 ； （3） 3 －2的绝对值是 2－ 3 ； （4）若 x 2 5 ,y 1 2 ， x y 且 0 ， x ＋ y 则 ＝ 8或－5
｛ x≤2
X-2≥0
2-x≥0
∴x=2
当x=2时，y=3 yx 321
.
四、扩大，缩小
已 知 1.7201.31, 11.72014.14,7
掌 那0么 .0017的 20平 1 方 0.0根 414是 7 握 已知 2.361.53,623.64.85,8 规 若x0.485,则 8x是 0.236 律 已3知 5.251.73,385.253.74,4
（5） 2 5 9
5和 5 33
2.说出下列各数的立方根
（1） -0.008
（2） 0.512
（ 3） - 27 64
（4） -15 5 8
.
4、下列运算中，正确的是（ A） (A） 1 25 1 1 144 12
（B） (4)2 4
（ C ） 22222
（D） 11 119 16 25. 4 5 20
6 、 设 a 和 b 互 为 相 反 数 ， c 和 d 互 为 负 倒 数 ， x 的 绝 对 值 为 5 ，
则 代 数 式 x 2 （ a b c d ） x （ a b 3c d ） _ _ _ 4_ _ _ _ _ 5_ _ _ .
七、实数的计算
(1)2 2 3 2
(2)｜ 2 3 2 2
5、 (5) 2 的平方根是（D）
(A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5
6、下列运算正确的是( D)
(A)3 13 1 (B)3 33 3
(C)3 13 1 (D)39
3 0.008
( 4 )2 13
2、若M＝ab2 a＋8是（a＋8）的算术平方
3 34.2 3.246，求下列各式的值。
（1）3 0.000342
0.06993
（2）3 34200000 －324.6
（3） 3 0.00342 －0.1507
4.已 知 3 32.83.20， 313.281.48， 6 3 0.3280.689， 36x14.86， 3 y68.96， 则x 3280 ； ｙ 3 28000 。
的平方根是 （ 3）
4.若 （ 3 x7） 37x,则 x的值 _ X=7_是 ___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 , x=
4
.
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
2. 2（ 7x2） 31250 解: 27(3x2)3 125
3 (x2)3 125
.
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数轴上两点A，B分别表示实数 3 和 3 1 ，求A，B两点之间的距离。
3( 31)1 .
三、相反数、（负）倒数、绝对值、
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有 理数的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如： a、b互为相反数，c与d互为倒数
则a+1+b+cd= 2 。
| 3|3,|0|0,|-|.
a (a0)
a0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
.
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
（ 1） 169 （ 2）0.16 （ 3 ）
（ 4 ） 1 02
（ 5 ） 2 7 9
2 14 25
（1）169
13和13
64 （2）0.16 （3）2 5
0.4和0.4
8和 8 55
： （4）100 10和10
N＝2ab4 b3是（b3）的立方根，求： MN的值.
3、如果一个数的平方根是a＋3和 2a－15，求这个数的立方根。
.
8是 64 的平方根
不 64的平方根是
±8
要 64的值是 8 搞
错 64的立方根是 -4 了
大于 17小于11的所有整数 ＿＿-04,＿＿1,-,32＿＿为 ,,-32. ,-1,
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
a
a
3a
a≥ 0
a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
.
0,1,-1
a2 a =