排列组合1

引例2 从不在同一条直线上的三点A 、B 、C 中， 每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不同 的直线？


根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线， 并且只能作一条直线，所以过A 、B 两点只能连成 一条直线，因此可以得到三条直线：AB 、BC 、 AC ，直线AB 与直线BA 是一条直线，这也就是说， “把两点连成直线”时，不考虑点的顺序．
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数， 记作 注意区别“一个排列”与“排列数”的不同： “一个排列”是指“从n个不同元素中，任取m个元素按照 一定的顺序排成一列”，不是数； “排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排 列的个数”，是一个数．因此符号分只代表排列数，而不表 示具体的排列．
10.3.1 组合
(第一课时)
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1.排列定义? 判断是不是排列问题的标志?
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按 照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列． 我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重 复元素，也没有重复抽取相同的元素 排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”； 二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关， 这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．
Ⅱ. 讲授新课
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例2 计算：（1） 解：（1）
（2）

（ 2）

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例3 求证：

证明： 右边

左边，
所以原式得证．
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1. A. 课本 P99 1-2(口答), 3-6(板演)
B. 补充练习： 1．解方程：
Ⅲ. 课堂练习

11C 24C
3 x
2 ． x 1
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归纳：以上两个引例所研究的问题是不同的，但是， 它们有数量上的共同点，即它们的实质都是：从3个 不同的元素里每次取出2个元素，不管怎样的顺序并 成一组，一共有多少不同的组？ 组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中 取出m 个元素的一个组合． 从排列与组合的定义可知，排列与元素的顺序有 关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区 别． 因此，如果两个组合中的元素相同，那么不管元 素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中 的元素不完全相同时，才是不同的组合
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第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合 数______ ． m
第2步，求每个组合中m 个元素的全排列数______ m ．
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A

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据分步计数原理，得到 ____________ 因此
这里m 、n∈N* ，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式． 该公式可以写成： 上面第一个公式一般用于计算，但当m 、n 较大时，利用 第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数 的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
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例题：从四名同学a、b、c 、d中选出2名参加一
项活动，求有多少种不同的选法．
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2．组合数及其公式 从 n个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的 所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个 元素的组合数．记作______． 这里要注意 是一个数，应该把它与“组合”区 别开来．例如，从3个元素a ，b ，c 中每次取出2 个元素的所有组合是ab 、bc 、ac ，而组合数是 ___________． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一 般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数 ， 可以分为以下2步：
4．排列数公式
一般情况下，第一个公式常用于计算；第二个公 式是常用于证明。
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Ⅰ. 复习与引入



1． 有5本不同的书 （1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，有几 种不同的分法？ （2）取出4本给甲，有几种不同的取法？ 分析：问题（1）中，书是互不相同的，人也互不 相同，所以是排列问题， 而在问题（2）中，书不相同，但甲所有的书只有 数量的要求而无“顺序”的要求，因而问题（2） 不是排列问题，它就是我们这一节要研究的组合问 题 ．
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3．例题分析 例1 下面的问题是排列问题？还是组合问题？ （1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可 6 以得到多少个不同的和？ 组合问题 _________ （2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可 10 以得到多少个不同的商？ 排列问题 _________ （3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共 排列问题 90 写了多少封信？ _________ （4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次 组合问题 45 手，共握了多少次手？ _________
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1．组合概念
看下面的问题： 引例1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一 项活动，有多少种不同的选法？ 很明显，从3名同学中选出2名，不同的选法有3 种： 甲、乙 乙、丙 丙、甲 所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和 乙、甲是同一种选法．


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C

2．已知
m n2
:C
m1 n2
:C
m2 n2
3:5:5
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求m 、n 的值．
Ⅲ. 课堂练习

［参考答案］ 1．解： 原方程可化为： 整理得： 解得x=10, 或x=-5/11 （不合题意舍去）． 经检验 x=10 是原方程的根． 2．解：依题意得


整理得
解得: m=2;n=5
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Ⅳ.课时小结

组合的定义简单地说，一是取出元素，二是并 成一组，与排列是有区别的．但事物总是一分 为二的，排列与组合也有一定的联系，从两者 的联系中推导出组合数公式，要能理解、记住 并正确地运用，尤其要注意逆用公式．
Ⅰ. 复习与引入
2.相同的排列? 不同的排列?
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．
如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯 定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但 摆的顺序不同，那么也是不同的排列．
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Ⅰ. 复习与引入
3．排列数的定义