二重积分(1)

第9章重积分9.1 二重积分1 学习指导1.基本要求⑴理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。

⑵掌握二重积分的计算方法，能够熟练地计算各种类型的二重积分。

⑶会利用二重积分解决几何、物理中的主要应用。

2.重点与难点重点二重积分的概念、计算和在几何、物理中的主要应用。

难点计算二重积分时选择合适的坐标系、积分顺序并恰当地配置累次积分的积分限，二重积分在物理上的应用。

3.学习方法⑴二重积分是定积分的推广，因此研究方法、定义、性质都是类似的，学习时应与定积分类比，温故知新，并注意有些性质的几何意义，以便理解和记忆。

⑵计算二重积分的关键是在直角坐标系或极坐标系下将其化为累次积分，选择坐标系和累次积分顺序的目的是使计算简便，它包含两点：一是对被积函数易于寻求原函数；二是对积分区域分块要少且定限容易，当二者不能兼顾时，一般以简化积分区域为主。

通常，当区域是圆形域、扇形域、环形域或它们的一部分，被积函数含有因子()222nyx+或xy等形式时，利用极坐标计算较简便，其余情况多采用直角坐标系，有时需利用变量代换去计算二重积分。

⑶化二重积分为累次积分的一般方法是“画图定限法”，即画出积分区域D的草图，将它分割成几个简单区域（-Y型区X型区域，-域或-θ型区域），在直角坐标系下是先对哪个变量积分，就在区域D 上画哪个坐标轴的平行线，而在极坐标系下，则是从原点出发画射线，以此确定累次积分的上下限，此法可形象地叙述为“域中一线插，内限定上下，域边两线夹，外限利用它”。

当区域D的草图不易画出时，可以采用“代数定限法”，即联立区域边界曲线组成的不等式组来分别确定各积分变量的变化范围，从而得到累次积分的各个积分限，有时也兼顾应用两种方法综合定限，注意将二重积分化为累次积分时先积分的上下限是常数或后积分的积分变量的函数，而后积分的积分上下限都为常数；同时，两次积分的下限都小于上限，切不可弄错。

⑷计算二重积分时，还须考虑积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，尽可能地简化积分计算，在审题过程中注意以下几个原则：一是图形的对称性及被积函数的奇偶性；二是坐标系的选择；三是积分次序的先后顺序；四是计算定积分的准确性，从而更好掌握这一单元的学习。

⑸在计算及理论研究中，有时需要对已知二次积分变换积分顺序，更换的方法是：由已知二次积分的上下限，写出表示积分区域D的不等式组，画出积分区域D的草图，应注意不论已知二次积分由几项组成，区域D 的草图都要在一个坐标系下画出，然后根据区域D的草图，确定另一种顺序的二次积分的上下限，有时还需改变坐标系后再确定相应的二次积分的上下限。

⑹二重积分的元素法既是定积分微元素法的推广，也是三重积分、曲线积分、曲面积分元素法的基础，应掌握用二重积分元素法导出的解决几何和物理问题的计算公式，这不仅可解决二重积分的应用问题，还可以把这些公式推广到三重积分和线、面积分中去。

一般而言，只需将公式中的积分号“⎰⎰D”分别改为相应的积分号“⎰⎰⎰Ω”、“⎰L ”或“⎰⎰∑”，被积函数从二元函数改为相应的多元函数。

应用积分方法解决应用问题的一般步骤如下：①分析问题是否为积分问题，即所求量是否对积分区域具有可加性，若是，进行步骤②。

②选择某一种积分，使所求的几何量或物理量能用该积分清楚地表示出来。

③选取适当坐标系，并作草图，使积分表达式简单，定限方便且容易计算，注意选择坐标系时，一般应考虑对称性。

④写出积分表达式并计算所求量。

2 解题指导1.二重积分的性质例1 设积分区域21D D D =，其中(),21,1,,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≥≥=y xy x y y x D().21,1,,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≥≤=x xy x y y x D⑴比较⎰⎰122D dxdy y x 与⎰⎰222D dxdy y x 的大小，并说明理由； ⑵⎰⎰⎰⎰=122222D D dxdy y x dxdy y x 对吗？为什么？⑶dxdy y x yx dxdy y x y x dxdy y x y x D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++=++1222222222对吗？为什么？ 分析 这是利用二重积分性质来讨论二重积分的问题，比较被积函数相等的两个二重积分的大小，需比较两个积分区域的大小，即比较1D 与2D 的大小，关键是判别区域1D 和2D 与被积函数的关系，需用估值定理确定被积函数在D 上的最大值和最小值。

解 ⑴作区域21D D D =.已知0:1>≥x y D ，则102≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<y x ，由估值定理有122111100σσσσ=≤<=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D d d y x d （1σ为1D 的面积）。

又知x y D ≤:2，故12≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ，222221σσσ=≥⎰⎰⎰⎰D D d d y x （2σ为2D 的面积）。

1D 与2D 关于x y =对称，有21σσ=，所以.212222⎰⎰⎰⎰≤D D dxdy y x dxdy y x⑵,21222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=D D D dxdy y x dxdy y x dxdy y x由⑴知 ,212222⎰⎰⎰⎰≠D D dxdy y x dxdy y x 故.212222⎰⎰⎰⎰≠D Ddxdy y x dxdy y x ⑶()22,y x yx y x f ++=由()()x y f y x f ,,=知，()y x f ,关于x y =对称，区域21,D D 也关于x y =对称，从而有⎰⎰⎰⎰++=++212222D D dxdy y x yx dxdy y x y x 故dxdy y x y x dxdy y x y x dxdy y x y x D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++=++2122222222. 例2 证明8)4()4(1212≤+++=⎰⎰⎰⎰≤+≤+y x y x d yxy d x xy I σσ.分析 这是一个二重积分不等式证明题，注意到xy 与xy 的定义域相同，可对xy 估值，再整理化简，利用不等式及二重积分的性质证明。

证 作区域D ，由二重积分性质，有⎰⎰≤++++=122)](4[y x d y x xy xy I σ）（ 因为10≤+≤y x ，所以1222≤++y x y x .由于y x y x 222≥+，故14≤y x ，即41≤y x .又因为12122≤-≤+y x y x ，所以41)4121(4)(422=++≤+++y x xy xy ）（,≤I 841=⎰⎰≤+y x d σ.2.二重积分的计算 例3 计算下列各题：⑴⎰⎰=Dxydxdy I ，其中D 是由抛物线2x y =及直线2+=x y 所围的区域；⑵⎰⎰=Ddxdy xy xy I 2cos ，其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,20),(y x y x D π；⑶⎰⎰-=Dy dxdy e x I 22，其中D 是以)1,0(),1,1(),0,0(为顶点的三角形； ⑷⎰⎰=D xydxdy I ，其中{}02,1,0),(2222≤-+≥+≥=x y x y x y y x D .解题思路 计算二重积分的一般步骤是：⑴画出区域的草图；⑵正确选择坐标系；⑶化为二次积分，注意在直角坐标系下应正确选择积分顺序；⑷计算二次积分。

解 ⑴作区域，在直角坐标系下，若先x 后y 积分。

积分区域要分成1D 和2D ，若先y 后x 积分。

则无需分块。

方法1 先对y 后对x 积分，有⎰⎰⎰⎰--+-+=-+===21422122212855])2[(21)2(22dx x x x dx y x xydy dx I x x x x. 方法2 先对x 后对y 积分，有85524110=+=⎰⎰⎰⎰--yy y yxydx dy xydx dy I . ⑵作区域，在直角坐标系下计算，注意到积分上下限均为常数，则由被积函数决定先对x 积分或先对y 积分。

若先对x 后对y 积分，则 ⎰⎰=20220)cos(πdx xy xy dy I ，此时，虽用分部积分可计算对x 的积分，但对y 积分时不易求出原函数。

若先对y 后对x 积分，则⎰⎰⎰⎰==20202220202)()cos(21)cos(ππxy d xy dx dy xy xy dx I04cos 814sin 21)(sin 2120202022=-===⎰⎰πππx xdx dx xy .⑶因为dy e y ⎰-2不能用初等函数的有限形式表示出原函数，所以在直角坐标系下取先对x 后对y 的积分顺序，有dy e y dx x dy e I y yy ⎰⎰⎰--==10302102231 ).21(61)1(616112210222ee y dy e y y y -=+-==--⎰ ⑷积分域是圆域的一部分，被积函数形式为xy 形式，故选择极坐标计算简单。

由极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，则rdr r d xydxdy I D⋅==⎰⎰⎰⎰θθθπθ3cos 212sin cos⎰⎰-=⋅=30530cos 214)sin cos sin cos 16(4141sin cos ππθθθθθθθθθd d r）（⎰⎰-=30305s i n c o s s i n c o s 1641ππθθθθθθd d 169])2sin (6cos 16[41302306=--=ππθθ）（. 3.二次积分换序与计算例4 交换下列二次积分的积分顺序 ⑴⎰⎰⎰⎰-+=xx dy y x f dx dy y x f dx I 2021010),(),(；⑵⎰⎰-=axx ax ady y x f dx I 2202),(； ⑶⎰⎰=xxdy y x f dx I 121),(；⑷)0()sin ,cos (cos 2026>=⎰⎰-a rdr r r f d I a θππθθθ.解题思路 将已知二次积分化为另一种顺序的二次积分，需借助于二重积分，关键是利用已知二次积分的上下限，写出积分区域的不等式组，由不等式组在坐标系中画出积分区域的草图后，再将其表示为另一种积分顺序。

注意画图时对区域D 的边界应明了，且D 的草图须位于同一坐标系。

解 ⑴由}20,21),{(},0,10),{(21x y x y x D x y x y x D -≤≤≤≤=≤≤≤≤=，则D 可表示为}2,10),{(y x y y y x D -≤≤≤≤=.dx y x f dy d y x f I yyD D ⎰⎰⎰⎰-==210),(),(21 σ.⑵由}22,0),{(2ax y x ax a x y x D ≤≤-≤≤=，则D 可表示为}2,0),{(2221y a a x a y a y y x D --≤≤≤≤=和}2,2),{(22a x ay a y a y x D ≤≤≤≤=的并，即21D D D =，从而()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==--aay aay a a ayDadx y x f dy dx y x f dy d y x f I 22202222,,),(σ.⑶由()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=x y xx y x D 1,21,，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=21,121,1x yy y x D ，(){}2,21,2≤≤≤≤=x y y y x D 可知 ()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==22121121,,,y yDdx y x f dy dx y x f dy d y x f I σ.⑷这是极坐标系下积分次序的交换，一般极坐标系下的二重积分，若先对θ后对r 积分定限较难。