数学分析(2)：定积分计算与应用
数学分析第十章 定积分的应用
x x(t) y y(t)
t [, ]
给出,在[, ]上y(t)连续, x(t)连续可微,
且x'(t) 0,记a x( ),b x( ),则
曲边梯形的面积
A y(t)x' (t) dt.
例2
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
对一个立体，如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算.
如图，设 A( x)
表示过点 x且 a o
垂直于 x轴的
x
bx
截面面积。
A( x)为 x的已知连续函数，
取积分变量为 x，变化范围[a,b]
相应于[a, b]上的任一小区间[ x, x dx]，
立体位于该小区间部分而成的薄片的体积近似看成是 以 A(x) 为底面积、 dx 为高的扁圆柱体的体积，即
1.由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、x 轴与两条直线 x a、 x b所围成的平面图形
的面积。
y
y f (x)
oa
bx
2.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图
定积分的一个公式及其应用
８
ｓｉｎ ｘ＋ ｃｏｓ ｘ
ｄｘ．
解： ∵ｆ（ｘ）＋ ｆ（０＋ π－ ｘ） ２
＝
ｓｉｎ４ｘ
８
８
－
ｓｉｎ４ｘ
８
８
ｓｉｎ ｘ＋ ｃｏｓ ｘ ｓｉｎ ｘ＋ ｃｏｓ ｘ
＝０
π
π
" " ∴
２ ０
ｓｉｎ４ｘ
８
８
ｓｉｎ ｘ＋ ｃｏｓ ｘ
ｄｘ＝
１ ２
２
０ｄｘ＝ ０
０
" 例 ３
计算
π ｘｓｉｎｘ
０
２
１＋ ｃｏｓ ｘ
ｄｘ．
摘 要： 函数 ｆ（ｘ）的原函数难以求出的情况下， 如何求 ｆ（ｘ）的定积分？ 如果函数 ｆ（ｘ）满足一定的条件， 则可
通过转化的方法， 求出函数 ｆ（ｘ）的定积分的值， 并给出相关定理及实例。
关键词： 定积分； 公式； 应用
中图分类号： Ｏ１７２．２
文献标识码： Ａ
文章编号： １６７２－ ００６７（ ２００６） ０６－ ０１５７－ ０１
Ｋｅ ｙ ｗｏｒｄｓ ：Ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｆｏｒｍｕｌａ；Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
－ １５９ －
计算函数 ｆ（ｘ）的定积分， 通常是先求出它的一个原函
数， 再利用牛顿—莱布尼兹公式求解。然而， 对于有些被
积函数， 要想直接求出它的原函数是比较困难的。这里介
绍利用转化的思想， 求满足一定条件的函数 ｆ（ｘ）的定积分
的一种方法。
定理 设函数 ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续， 若存在常数
"ｂ
λ和 μ（λ＋ μ≠０）， 使得 λｆ（ｘ）＋ μｆ（ａ＋ ｂ－ ｘ）＝ ｇ（ｘ），则 ｆ（ｘ）ｄｘ＝ ａ
定积分的计算方法与技巧解析
出定积分的值。
2.5 利用被积函数的性质及积分区间的特点求解定积分
在求解定积分时，有时候被积函数具有奇偶性和周期性，
而积分区间也比较特殊，这时可利用性质求解[1-2]：
（1）若函数 在区间
上连续且为奇函数，
则
；
（2）若函数 则：
在区间
上连续且为偶函数，
①
；②
（3）若 在上 可积，且是周期为 的周期函数， 为 任意实数，则有[3]：
定积分的换元法主要针对当被积函数中含有
等因子时，可
令
消去根号，或通过作三角代换消去根号，再进行求解，值得注意的是换元必
相应改变定积分的上下限。
例3 求
。
解令
，则
。当
时， ；当
时， 。
例4 解令
。 ，则
。当
时，
；当 时， 。
2.4 利用分部积分法 分部积分法主要用于求解当被积函数是两类函数的乘积的形式的定积分，分部积分法 的关键是要正确选择 和 。分部积分法在解题过程中可以多次使用，但应注意在多次 使用分部积分法时要“从一而终”，即若第一次选取指数函数作为 ，那么后面再次使用③
， 为自然数；④正弦函
数在周期区间上的积分值为0，余弦函数在半周期区间上的积分 值为0。
定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。
数学分析定积分应用讲课文档
y
星形线
(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
P
所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
. . –a
o
ax
x a cos 3
y
a
sin
3
0 2 .
第三十一页，共83页。
例3 求曲线y段 x2,x[0,1],与直线 y0, x1所围图形分x轴 别, y绕 轴旋转所得旋 转体体积。
一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx
2a
y2
(x)dx
0
a
2a
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) d s5t2a3. 0
[x, x+dx] (区间微元)，
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， (2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记dA f(x)dx称为面积面微元积y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0 a x x+dx b x
这种方法通常称为微元法或元素法
第四页，共83页。
4ab2.
3
(3) 绕y c旋转所得旋转体体积
d c V a ba2x2c 2 a ba2x2c 2 dx
dV c 4baca2x2dx
2c a.b
V c4a b2 c0 a第三十五a 页，2 共8 3页。 x2d x22ab . c
第六章 定积分的概念及应用
解: 画图，求得交点(-1,1)及(3,9) 3 32 2 由公式 A ( 2 x 3 x )dx 1 3
1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2 问:若选x为积分变量如何？
4
mathsoft
二.参数方程情况 例3. 求椭圆 x a cos t , y b sin t 所围成的面积。 第 解: 由对称性 二
若干个分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
n 个小区间，各小区间的长度依次为 把区间[a, b]分成
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ， 在各小区间上任取
作乘积 f ( i )x i 一点 i （ i x i ），
解: 1 选取变量 [ , ];
。
[ , d ]; 2 取微区间
3 面积A
。
。
1 2 d 2
mathsoft
例5.
计算心形线（或心脏线 ）r a (1 cos ) (a 0)所围图形面积. 第 二 节 解: 0,2 2 1 2 平 A a 1 cos d 面 2 0 图 2 2 对称性 ( 1 2 cos cos )d 形 a 0 的 sin 2 3 2 2 面 a 2 sin a 积 2 4 0 2
错误！为什么？
mathsoft
三、存在定理
第 一 节 定 积 分 的 概 念
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续时，
则 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界， 且只有有限个间断点 （第一类间断点），
数学分析（二）预习——2、定积分（2）：可积性问题
数学分析（⼆）预习——2、定积分（2）：可积性问题2、定积分（2）：可积性问题 上⼀篇中我们介绍了定积分的黎曼和定义，然后介绍了⽜顿-莱布尼茨公式，这是求定积分的最简单⽅法。
不过我们还没有解决“可积性问题”，即什么样的函数是可积的。
这是⼀个⽐较理论的问题，⽽且有些繁琐，甚⾄可能超出我们⽬前的知识范围，因此只是介绍，但当然，它是我们研究定积分的必须解决的基本问题。
只有明⽩了什么函数可积，才能放⼼地使⽤定积分。
这要求我们去寻找函数在闭区间上可积的充要判则。
为了找到这些充要条件，还需要⼀些准备。
⾸先我们有这样⼀个必要条件：闭区间上可积的必要条件：若f∈R[a,b]，则f在[a,b]上有界。
定理的证明可以不应⽤反证法，但反证法⽐较容易理解：假设f在[a,b]上⽆界，则对任意分割：Δ:a=x0<x1<...<x n=b，⾄少存在1≤i0≤n，使得f在[x i−1,x i0]上⽆界。
对于Δ的任意黎曼和，我们取定除[x i0−1,x i0]外的其余区间上的介点，记S1=∑ni=1,i≠i0f(ξi)Δx i。
对于任意的M>0，由于f在[x i0−1,x i0]上⽆界，则可以取到ξi0，使得|f(ξi0)|>M+|S1|Δx i0，从⽽知道这个黎曼和S>M。
这就证明了f不可积，因⽽与条件⽭盾，从⽽证明了可积的必要条件。
有了这个必要条件，我们下⾯便不讨论⽆界的函数。
为了得到可积的充分必要条件，有⼏种不同的理论，下⾯我们介绍⽬前可以充分地证明的达布理论。
准备：若⼲规定 上⼀篇介绍了分割、黎曼和等定义，达布理论引⽤了更多的定义。
因此在介绍达布理论之前，我们再来规定⼀下各种记号：1、闭区间[a,b]上的分割Δ是这样⼀些点：Δ:a=x0<x1<...<x n=b，其中集合{x i:i=0,1,...,n}称为分点集。
记Δx i:=x i−x i−1,i=1,2,...,n。
定积分的一个公式及其应用
2.期刊论文 田立平.TIAN Liping 定积分应用中的一个问题 -河南教育学院学报（自然科学版）2008,17(1)
就定积分应用中的几个常用的公式加以分析说明,并指出"微元法"在实际应用中应当注意的问题.
3.期刊论文 范彩霞.张智平 正确使用定积分中的定理公式 -山西煤炭管理干部学院学报2005,18(3)
被积函数中含有三角函数,对这种积分往往要用到很多三角公式,而且灵活多变,难记,本文试目用欧拉公式将三角函数转化为复变量指数函数求定积分,减少公式 记忆,降低难度.
7.期刊论文 陈思源.孙爱民.CHEN Si-yuan.SUN Ai-min 定积分中两个常见公式的推广与应用 -宜春学院学报2006,28(6)
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责任编辑
郑 文
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2567 89/+:;<’
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定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
!定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法······························ (1)2.2 分段积分法······························ (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：，若右端的积分会求，则应用法则1122()()f x k g x k g x =()+,其中，是不全为零的任意常数，就可求1122()()bbba aaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+1k 2k 出积分，这就是分项积分法.()baf x dx ⎰例2-1[1] 计算定积分. 414221(1)dx x x π+⎰解 利用加减一项进行拆项得==414221(1)dx x x π+⎰2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dxx x π+-+⎰=+=++.41421dx xπ⎰-41221dx x π⎰412211dx x π+⎰-313x 412π4121xπarctan x412π=.364415arctan 323ππ-+-+例2-2 计算定积分.1⎰解 记J ==1⎰1⎰=+3221x dx ⎰21⎰再将第二项拆开得J=++=++3221x dx ⎰3221(1)x dx -⎰1221(1)x dx -⎰522125x 52212(1)5x -32212(1)3x -=+.52225232.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分.221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰解 由于为偶函数，在上的分界点为，所以1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π=+221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰==.+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰23π+例2-4 计算定积分，其中.20(1)f x dx -⎰111,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩解 由于函数的分界点为，所以，令后，有()f x 01t x =-==+20(1)f x dx -⎰11()f t dt -⎰0111x dx e -+⎰1011dx x +⎰=+=+011xx e dx e---+⎰10ln(1)x +01ln(1)x e ---+ln 2=.ln(1)e +2.3 换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）例2-5[3] 计算定积分.21sin tan dxx xπ+⎰解==21sin tan dxx x π+⎰21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰= =2211tan 2tan 22tan 2xx d x π-⎰2111(tan tan 222tan2x xd x π-⎰=2221111ln tan tan 2242x x ππ-=.21111ln tan tan 2424-+-例2-6 计算定积分.解==1()x x -+=1()x x -+= ⎡-⎣=.152.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．下面具体介绍这些方法．① 三角替换例2-7[4] 计算定积分.31240(1)x x dx -⎰解 由于=，故可令，于是31240(1)x x dx -⎰3124201(1)2x dx -⎰2sin x t ===31240(1)x x dx -⎰arcsin1401cos 2tdt ⎰2arcsin11(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 42t dt +=arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t ++2arcsin10sin sin ))t -=2241(3arcsin 4(1216x x x x ++-=.21(3arcsin 5216x x x +-3arcsin116②幂函数替换例2-8 计算定积分.220sin sin cos xdx x xπ+⎰解 作变量代换，得到2x t π=-=，因此220sin sin cos x dx x xπ+⎰220cos sin cos t dt t t π+⎰==220sin sin cos x dx x x π+⎰2222001sin cos ()2sin cos sin cosx t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰=20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰.3441cos )sin x x ππ-+③倒替换例2-9 计算定积分.解=令得1t x====.1-1-6π2.4 分部积分法定理 3-1[5]若，在上连续，则()x μ'()x ν'[],a b 或.bb b a aa uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰bbba a a udv uv vdu =-⎰⎰利用分部积分求的解题方法()ba f x dx ⎰（1）首先要将它写成得形式．ba udv ⎰()ba uv dx '⎰或选择，使用分布积分法的常见题型：,u v 表一被积函数的形式所用方法，，()x n P x e α()sin n P x x α()cos n P x xα，其中为次多项式，为常数()n P x n α进行次分部积分，每次均取，n x e α，为，多项式部分sin x αcos x α()v x '为()u x ,，()n P x ln x ()n P x arcsin x α即多项式与对数函数或()n P x arctan x 取为，，，()n P x ()v x 'ln x arcsin x α等为．分部积分一次后被arctan x ()u x反三角函数的乘机积函数的形式发生变化，x e αsin x βx e αcos xβ取=（或），，x e α()v x '()u x sin x β为（或），进行两次分cos x β()u x ()v x '部积分（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出．（3）用分部积分法有时可导出的方程，然后解出．()ba f x dx ⎰（4）有时用分部积分法可导出递推公式．例2-10[6]计算定积分.2220sin x xdx π⎰解 于，所以21sin (1cos 2)2x x =-==222sin x xdx π⎰2201(1cos 2)2x x dx π-⎰322211sin 264x x d x ππ-⎰连续使用分部积分得=222sin x xdx π⎰32220111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰=3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰=3221111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=.3488ππ+例2-11[7]计算定积分．220sin x x e xdx π⎰解 因为==20sin xe xdx π⎰20sin xxde π⎰20sin xe xπ-20cos xxde π⎰= 所以20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰= = 于是2sin xe xdx π⎰1220(sin cos )xe x x π-21(1)2e π+=+20cos xe xdx π⎰cos xe x20π20sin x e xdxπ⎰==201(sin cos )2x e x x π+21(1)2e π-从而=220sin xx e xdx π⎰2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dxπ--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-21(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdxπ-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=22201(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=.221(1)242e ππ-+例2-12[8] 计算定积分，其中为正整数．sin n x x dx π⎰n 解=(21)2sin k k x x dx ππ+⎰(21)2sin k k x xdxππ+⎰作变量替换得2t x k π=-=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰(2)sin t k tdtππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdtπππ+⎰⎰==0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰(41)k π+=(22)(21)sin k k x x dx ππ++⎰(22)(21)sin k k x xdxππ++-⎰作变量替换得2t x k π=-==-(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰2(2)sin t k tdt πππ-+⎰22sin 2sin t tdt k tdtπππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+当为偶数时，n =0sin n x x dx π⎰12(21)(22)2(21)0(sin sin )n k k k k k x x dx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑=(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦2n π当为奇数时，n =0sin n x x dx π⎰32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x x dx x x dx x x dxππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑=324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=.2nπ2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4] 形如=的含参变量积分称为函数，或(,)p q B 1110(1)p q x x dx ---⎰Beta 第一类积分。
数学分析之定积分的应用
第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积（ 2 时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：型平面图形 .1.简单图形：型和2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.求由曲线围成的平面图形的面积.例1例2求由抛物线与直线所围平面图形的面上的曲边（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间梯形的曲边由方程给出 .又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .求由摆线的一拱与轴例3所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为,的扇形面积为 . )顶角为例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点,的两条直线之间 ) . 以代方程不变,倾角为图形关于因此.三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积.（一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为推导出该立体之体积.祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )例1求由两个圆柱面和所围立体体积 .P244 例1 ( )例2 计算由椭球面所围立体 (椭球 )的体积 .[1] P244例2 ( )（二）旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式..例3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.例4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.绕轴一周所得旋转体体积.( 1000)例5 求由圆§ 3 曲线的弧长( 1 时 )教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。
定积分的计算及应用
定积分的计算及应用一、定积分的概念设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点，把区间[a，b]分成n个小区间，当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数在区间[a，b]上的定积分，记作∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=I=limλ→0∑ni=1f（ξi）·Δxi.二、定积分的意义（一）几何意义设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为曲线，则∫baf（x）dx表示[a，b]上曲边梯形的面积.（二）物理意义设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为速度，则∫baf（x）dx表示[a，b]上变速运动的路程.三、定积分概念的应用及推广1.可以把积分区间[a，b]推广到无限区间上，如[a，+∞）等，或者，函数推广到无界函数，也就是广义积分.2.可以把积分区间[a，b]推广到一个平面区域，被积函数为二元函数，那么积分就是二重积分;同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分.（一）积分的计算方法定义法：定积分的定义法计算是运用极限的思想，简单地说就是分割求和取极限.任意分割任意取值所计算出的i值如果全部相同的话，则定积分存在.第一步：分割.将区间[a，b]分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式.h=b-an，那么分割点的坐标为（a，0），（a+h，0），（a+2h，0），…，（a+（n-1）h，0），（b，0），ξk在[xk-1，xk]任意選取，但是我们在做题过程中会选取特殊的ξk，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小长方形.第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和，也就是∑nk=1f（ξk）h.第三步：取极限I=limh→0∑nk=1f（ξk）h=hlimh→0∑nk=1f（ξk），h→0即n→∞，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.（二）牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好地把定积分与不定积分联系在一起.利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分.这个公式要求函数在区间内必须连续.求连续函数的定积分只需求出的一个原函数，再按照公式计算即可.定理若函数f（x）在区间[a，b]连续，且F（x）是f（x）的原函数，则∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.例1 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分∫10xdx.解原式=12x210=12.总结：我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的.但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义.同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单.四、定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算.一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，换元积分法解决了这一问题.例2 求定积分∫21lnxdx.解∫21lnxdx=xlnx“21-∫21xdlnx=2ln2-0-x|21=2ln2-1.：因为u（x），v（x）在[a，b]有连续导函数，并且u（x）易求微分，v（x）容易被计算出来时用分部积分法比较简单.五、定积分在数学中的应用（一）概率问题例3 在区间[-1，1]上任取两数a，b，求方程有两个正根的概率.解由题意，样本空间Ω={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}表示边长为2的正方形区域，面积SΩ=4.要使方程两根均正，需Δ=4a2-4b≥0，x1+x2=2a0，x1x2=b0，即a2≥b，a0，b0.记方程有两正根为事件A，它对应的区域是由抛物线b=a2，直线a=1和a=0围成的，于是SA=∫10a2da=13.所以P（A）=SASΩ=112.：用定积分求概率问题更多是把问题分为样本空间区域求其覆盖面积，并且找到所求事件的空间区域求其面积，从而求出题目所要求的概率问题，运用了最基本的方法来运用到较复杂问题上.。
定积分的计算方法
定积分的计算方法（临沧师专数理系云南临沧677000）姻文/马忠莲董茂昌摘要：定积分是数学分析的三大基本运算之一。
是计算所有积分的基础。
文章概括了求定积分的各类方法，通过实例介绍了如何运用各类方法求定积分。
关键词：定积分计算定理 若函数()x f 在[a,b]上连续,且()x F 是()x f 的原函数（即'F (x)=f(x),x ∈[a,b]）,则).()()(a F b F dx x f ba-=ò。
这称为牛顿一菜布尼茨公式。
它也常写成()().bab f x dx F x a=ò。
例1 计算定积分ò-2024dx x x 。
分析：先用不定积分法求出24)(x x x f -=的任一原函数，然后完成定积分计算。
解：òò+--=---=-C x x d x dx x x 3222)4(31)4(42142ò=--=-203223802)4(314x dx x x 。
应用牛顿莱布尼兹公式求定积分，这种做法使得所有求不定积分的方法对于定积分都适应。
2.利用换元法计算定积分 定理 （定积分的换元积分法）若函数)(x f 在],[b a 上连续，()t x j =在],[b a 上有连续导数，当b a ££t 时，有b t a ££)(j ，又a =)(a j ，b =)(b j ，则òòò=¢=bebaj j j j )())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f ba。
注意：在定积分的换元法中换元时一定要记得讲积分上下限换成新元的对应范围。
（1）第一换元法.具体做法是令被积函数中的一项()t j 为x 。
例2.计算ò202cos sin p tdt t 。
分析： 令t x cos =，逆向应用换元积分公式即可。
解：ò202cos sin ptdt t =ò202)(cos cos p t td =ò012dx x =01331x=-31 （2）第二换元法：具做法是令被积函数中的x 为()t j 。
《数学分析II》期末试卷+参考答案
《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。
yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。
a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。
四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。
]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。
求。
∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。
证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。
1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。
八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。
求级数的和。
∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。
二．。
3=a 三． 是紧集。
四．一致收敛。
五．43。
六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。
数学分析（二）预习——3、定积分的基本性质
数学分析（⼆）预习——3、定积分的基本性质3、定积分（3）：基本性质 解决了可积性问题，这⼀篇来介绍除定积分中值定理外的基本性质。
⼀、运算性质1、线性性：设f、g∈R[a,b]，α、β∈R，则有∫b a[αf(x)+βg(x)]dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx2、可乘性：设f、g∈R[a,b]，则fg∈R[a,b]。
证明：由定义，f、g均有界，则它们有共同界M。
由于可积，则对于任意ϵ>0，存在分割Δ，使f、g的振幅⾯积都有∑n i=1ωiΔx i<ϵ2M在每个⼩区间上，有|f(x1)g(x1)−f(x2)g(x2)|≤|f(x1)g(x1)−f(x1)g(x2)|+|f(x1)g(x2)−f(x2)g(x2)|≤Mωi(f)+Mωi(g)因此fg的振幅⾯积就有∑n i=1ω′iΔx i≤2·M·ϵ2M=ϵ可积性就得到了证明。
注意，这⾥只是证明了可积，但没有如线性性般给出积分的值。
上⾯两条性质告诉我们可积性在加减法、乘法下是保持的，但是除法不⼀定保持；复合也是不⼀定的。
不过关于复合函数仍有以下性质：3、设g∈R[a,b]，f∈C(I)，其中I是g在[a,b]上的值域，则f(g)∈R[a,b]。
证明是容易的，依靠f的⼀致连续性，加上g在区间上的振幅随λ(Δ)→0⽽趋于0即可。
关于绝对值运算有下⾯的性质：4、设f∈R[a,b]，则|f|∈R[a,b]，且有|∫b a f(x)dx|≤∫b a|f|dx证明：事实上，在任何区间上，|f|的振幅都不会超过f的振幅，由此可积性⽴刻得到证明。
⾄于性质的后半部分，考虑两者在Δ下的任意黎曼和，我们有：|∑n i=1f(ξi)Δx i|≤∑n i=1|f(ξi)|Δx i性质也得到了证明。
⼆、积分性质 讨论下⾯的性质之前，做⼀个⼀般性的规定：对任意f、a，规定∫a a f(x)dx=0。
1、设a<c<b，则f∈R[a,b]的充分必要条件为f∈R[a,c]且f∈R[c,b]。
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用1.常识预备微积分学在大学的数学进修中占领相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中经常要面对的问题.是以,积聚更多求极限的办法应是每位大学生必备的素养.“00”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式合适于解决求分式极限平分子或分母有加减运算的问题,经由过程泰勒展式后可以达到某些项抵消后果.但若细心不雅察这些办法,其特色不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学常识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时期进修过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘使也能用到积分学常识来解决求极限的问题,那么求极限的办法才算完美.而应用定积分求极限正表现了这一理念. 1.2定积分的概念下面起首让我们回想一下定积分以及极限的界说:定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有界说,在闭区间[],a b 内随意率性拔出n-1个分点将[],a b 分成n个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ∆=-=）,1[,]i i x x ξ-∀∈,作乘积()i i f x ξ∆(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1()niii f xξ=∆∑(称为积分情势)设{}max :1i x i n λ=∆≤≤,若1lim ()ni ii f x λξ→=∆∑极限消失独一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个独一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a ()f x dx⎰,即1()lim ()nbai ii f x dx f x λξ→=⎰=∆∑.不然称()f x 在[],a b 上不成积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,盘算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若()b a f x dx⎰消失,区间[],a b 进行特别朋分,分点i ξ进行特别的取法得到的和式极限消失且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思惟在考题中经常消失,请读者要真正懂得.注3:定积分是否消失或者值是若干只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母暗示无关,即()()().b b ba a a f x dx f t dt f u du ⎰=⎰=⎰细心不雅察定积分的界说,我们必定会发明定积分的极限有以下两个特点.第一,定积分是无穷项和式的极限,轻易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必定趋近于零,不然和式极限不消失.第二,定积分与某一持续函数有慎密的关系,它的一般项受到这一持续函数的束缚,它是持续函数在某个区间长进行了无穷的朋分,各小区间上随意率性的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学重要进修了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的天然数的相干极限,而函数的极限则重要用于解决持续函数的相干极限.那么就让我们先一一往返想它们吧！ 极限的概念数列的极限设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总消失正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a趋于a ).因为n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.注1:关于ε:①εε的感化在于权衡数列通项n a 与常数a 的接近程度,ε越小,暗示接近得越好;而正数ε可以随意率性小,解释n a 与常数a 可以接近到任何程度;②εε有其随意率性性,但一经给出,就临时地被肯定下来,以便依附它来求出Ｎ;③ε的多值性.ε既是随意率性小的正数,那么2,3,2εεε等等,同样也是随意率性小的正数,是以界说１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替;④正因为ε是随意率性小的正数,我们可以限制ε小于一个肯定的正数.注2:关于N :①响应性,一般地,N 随ε的变小而变大,是以常把N 界说作()N ε来强调,N 是依附于ε的;ε一经给定,就可以找到一个N ;②N 多值性N 的响应性其实不料味着N 是由ε独一肯定的,因为对给定的ε,若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =N 不是独一的.事实上,在很多场合下,最重要的是N 的消失性,而不是它的值有多大.基于此,在实际应用中的N 也不必限于天然数,只如果N 正数即可;并且把“n N >”改为“n N >”也无妨.函数的极限设函数()f x 在点0x A ,对于随意率性给定的正数ε(不管它有何等小),总消失某正数δ,使得当x 知足不等式00x x δ<-<时,对应的函数值()f x 都知足不等式()f x A ε-<,那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限,记为0lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或当.可以看出,数列极限与函数极限界说的思惟是一致的,都是响应的某个表达上的值无穷地接近某个常数值.不合的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是持续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与响应的常数值以随意率性程度地接近. 2.定积分与极限定积分在求极限中应用概述不难看出,无论是数列的极限照样函数的极限,它们都与定积分的界说消失着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥妙吧.事实上,定积分的界说中蕴含着一列数｛()i i f x ξ∆｝的和,并且只要ix ∆充分地小,和式1()niii f xξ=∆∑就可以随意率性地接近肯定的实数J=()b a f x dx⎰,这恰是极限思惟的消失,即1lim ()J ()nb i i a n i f x f x dxξ→∞=∆==⎰∑.这就为我们求极限供给了一种奇特而有力的办法——应用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们应用之解决浩瀚类型的和式极限. 定积分求极限中应用思惟的形成先让我们看一个简略的例子: 例1.求极限111lim()122n J n n n →∞++=++….分析:此极限式的求解,不轻易直接用极限的界说解决,因为该法往往是用来一边盘算一边证实某个极限成果已经比较明显的问题,是以这里不合适;重要极限的结论显然也在这里没有效武之地,因为情势上根本不合;再斟酌洛必达轨则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不成能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决持续函数的极限问题,经由过程泰勒展式往往能把非多项式情势的表达式转化成多项式情势,以简化情势从而求解,看来这里也不实用.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否认的,事实上,它从情势上与定积分的界说照样有一些相像的,那么就让我们测验测验用定积分的办法来解决这个问题吧！解:把此极限式转化为某个积分情势,从而盘算定积分.为此做如下变形:111lim 1nn i J i n n →∞==+∑.不难看出,个中的和式是函数1()1f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和(这里取得是等量朋分,11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…).所以,J=11001ln(1=ln21dx x x =++⎰）.从该例题的解法中可以看出,本题的症结是将极限和转化为积分和,从而应用了定积分将所求极限水到渠成.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般办法步调:Sept1将和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑经由变形,使其成为积分情势1lim ()ni in i f x ξ→∞=∆∑.这里常取11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…;Sept2肯定积分函数的高低限. a=lim (i n i ξ→∞取第一个值）lim (i n b i ξ→∞=取最后一个值）;Sept3用x 代换i ξ,写出定积分表达式()baf x dx⎰,并求出原极限的值.经由过程以上的一般办法步调,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.如今让我们再来看一个例子,并从中细心领会以上办法步调. 例2.求极限222222111lim (12n n n n n n →∞+++++…+）.解:Sept1 化和式极限为积分情势.原极限=22211111lim lim 1(nn n n i i i n i n n →∞→∞===++∑∑）. 显然,这里1,(i i ix n nξ=∆=即是进行N 等分）,被积函数可算作()21f x ,1,2,.1+i n x ==…Sept2 肯定积分函数高低限.Sept3 写出积分表达式并求出积分值.原极限=110201arctan 14dx x x π==+⎰.对于本题,我们是紧紧按照方才总结出的办法步调进行的,并顺遂地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢？答案天然是肯定的. 3.应用定积分求极限 一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论1假如函数()f x 在区间[],a b 上持续,将区间[],a b 进行n 等分,1[(()],i i i i b a b a b a x n n n ξ--∈--∆=），,那么,1lim ()()nb i a n i b a f f x dx n ξ→∞=-=∑⎰.事实上,持续函数必定可积,而将区间[],a b 进行n 等分也是朋分T的一种特别情况.依据定积分的界说,上述结论成立.当然,其实不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严厉用到上面总结出的三个步调,我们可视情况灵巧处理,比方无需用到某一步调或者还需用到其他求极限的思惟等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感触感染结论1的用处. 习题组11)sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n ….这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思惟应用到求极限中去.如今就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不合习题中查找出异同,以加深对结论1的控制和熟习.解:(1) 分析 原极限显然可以算作()sin f x x π=在[]0,1上的定积分.故(2)分析 先经由过程恒等变形,原极限式=11lim nn i n →∞=,被积函数()f x =,积分区间是[]0,1,于是原极限值=11022(13)33dx x =+=⎰; (3)分析 原和式极限的通项是sin in i n n π+不成以算作是关于i n的某一个函数,但是留意到:应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即111211lim (sin sin sin )lim sin [lim sin ][lim ]1+1+1nn n n n n i i n n i i n n n n n n n n n n n πππππ→∞→∞→∞→∞==+++=⋅⋅=⋅+∑∑…=12[sin ]1xdx ππ⋅=⎰,上面不等式右端可以取极限,即1011212lim (sin sin sin )lim sin sin n n n i n i xdx n n n n nn ππππππ→∞→∞=+++=⋅==∑⎰…. 于是,由极限的迫敛性可知原极限值=2π.这组题均典范地应用了定积分的盘算,从而求出了各极限.我们发明,只要找到某个持续函数()f x ,并能把这个和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑转化成积分情势1limf ()n i n n→∞⋅,我们就只需盘算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而肯定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等变形,因为其情势上已经是limn →∞f(i n )1n ⋅了;习题2与习题3情势上直不雅上不是limn →∞f(i n )1n⋅的情势,因为式子n →∞与式子sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n …都不含i n的项.为此,我们须要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,经由过程提取公因式等手腕使其消失in ()f x ,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值. 一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论1进行恰当的推广,以得到更多情势的极限的求法.推论1假如函数(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积, 证实:起首,(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积. 又因为1,,i i i i n n ξη-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,0(i x n ∆→→∞当）,所以,lim lim .i i n n ξη→∞→∞=于是,1lim ()()ni i ii f g x λξη→=∆∑=1lim ()()ni i ii f g x λξξ→=∆∑=()()baf xg x dx⎰.例3.求极限:122lim [sin cos()sin cos()sin cos()]222n n n n n n n n n n n n n πππππππππ→∞-+-++-….解:由推论1可知,f(x)= 于是,原极限式=1210011sin cos sin 02x xdx x ππππ=⋅⋅=⎰.推论2设1ln ()ln ()0,1]lim.f x dx n f x e →∞⎰=在区间[上可积，则例4.试求:112lim()nn n n n n n n n →∞+++⋅⋅….推论3假如函数()f x 在区间[]0,1上可积,且()1()11121f x 0,lim[1+()][1+()][1+()]f x dx n nf f f e n n n n n n →∞⎰≥⋅⋅=则….证实:记A=11121lim[1+()][1+()][1+()]n nf f f n n n n n n→∞⋅⋅…,则11ln lim ln[1+()]nn i i A f n n →∞==∑10()()11()1011()1111lim ln[1+()]lim ln[1+()]11lim ln lim ()()A .n if i n nnf n nn n i i i nn f n n n i i f x dx i if f n n n nn n ie f f x dxn nn e ⋅→∞→∞==→∞→∞======⋅=⎰=∑∑∑∑⎰于是，例5.盘算22212lim(1)(1)(1)333n n n n n →∞+⋅++….解:本题也可以直接应用推论3,这三个推论是对结论1的须要填补与完美.情势上我们不但有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思绪持续进行摸索,从情势上丰硕了定积分在求极限中应用这一思惟,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的本质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基赋性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不合情势的极限向定积分界说中的和式上去挨近.最终经由过程简略清楚明了的定积分公式,求出定积分的值来,以肯定出原极限的值.由这三个推论来看,111111111lim (),lim ()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n n nn ni i i i n n n n i i i i i i i i i f f g f f n n n n n n n n ξηξη→∞→∞→∞→∞====-⋅∈∑∑∏∏对于等情势的极限,我们都有方可循,用定积分的办法轻易求出其极限来.对于任何一种数学办法,只要我们细心地不雅察与推究,都能将其结论或应用规模加以推广,就像结论1.如今让我们来看一组习题,以领会以上诸推论.如今,我们已经积聚了多种乞降式极限的办法,它们是往后应用定积分化决极限类问题的最佳模子与典范.那就再让我们来看一组习题,以熟习与巩固1111lim (),lim nnn n i i i f n n n →∞→∞==∑∑等情势的极限吧.下面这组习题分解用到了以上各结论与推论. 习题组2用定积分的办法盘算下列各极限.11111()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n nn i i i in n i i i i i i f g f f n n n n n ξηξη→∞→∞==-⋅∈∏∏(1)222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++…; (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…）;(3)lim n →∞(4)111lim(1)(1)(1)12n n n n n →∞++++++….解:分析以上例题都轻易恒等变形,使其知足结论1或者推论1至推论3的前提.于是, (1)122222*********lim []();(1)(2)()(1)21n n i n dx i n n n n n x n →∞=+++===+++++∑⎰ (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…） =11sin ni i i n ξη=⋅∑,1,[,],1,2,1i i i i i n n n ξη-∈=-… =10sin sin1cos1;x xdx =-⎰(3)1011ln(1)21lim lim[(1)]2n x dx n n n i i e n ππ-+→∞→∞=⎰=+⋅=∏ 22(1)ln(1)1ππ=++-; (4)1011111111lim(1)(1)(1)(1)2121n dx x n i e i n n n n n n +→∞=⎰+++=+⋅==++++∏….定积分在求极限中应用思惟的转移至此,我们已经深深的领会到了各类情势的定积分在极限中应用的感化.仅仅于此,我们尚不克不及知足,我们可以把定积分在求极限中的应用思惟借鉴到其他方面.例如,应用这种思惟办法来证实一些不等式,或者用之解决一些庞杂一点的求极限问题.下面将举例解释.例 6.证实:若函数()f x 在[],a b 上持续,且对于[],x a b ∀∈,有()0f x >,则21()()()bb a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.证实:已知()f x 与()g x 在[],a b [],a b 进行N 等分,分点是01n a x x x b =<<=…<.在第K 个区间上取1,k k k k b a x x x n ξ--=-=.由算数平均不小于几何平均,有 121111(()1(()()n n k n nk k k k k k k f x f x b a b a f x b a n f x n n n ====--⋅⋅⋅=-⋅⋅≥∑∑∑∑））22(()b a b a -=-）21()()()b b a a n f x dx dx b a f x →∞≥-⎰⎰当时，有.领会:本例刚巧反过来,将积分和转化为极限和的情势,并应用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地熟习与控制定积分与极限之间的关系是解决本问题的症结.该例题解释,我们应当充分熟习到定积分在极限中的感化,并能做到灵巧变通,恰当情况下,二者可以互相转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目标.例7.试求极限(21)!!lim[](2)!!n m m →∞-.分析:该问题似乎不克不及直接应用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不轻易化成以上结论或者推论的情况.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗？答案是否认的.在解决该问题之前,照样先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！沃利斯公式:2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.证实:令20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…,则当2n ≥时用分部积分法轻易求得移项并整顿后可得递推公式:21, 2.n n n J J n n --=≥因为 220100,sin 1,2J dx J xdx πππ====⎰⎰反复应用上面的递推公式可得2212123122222()2222121213m m m m J m m m m J m m π+--⎫=⋅⋅⋅⎪⎪-**⎬-⎪=⋅⋅⋅⎪+-⎭……, 又因为2122-1222000sin sin sin m m m xdx xdx xdx πππ+<<⎰⎰⎰,再将**（）式代入,即可以得到 22(2)!!1(2)!!1[][](21)!!212(21)!!2m m m m A B m m m m π=<<=-+-,因为2(2)!!110[]0()(21)!!2(21)22m m m B A m m m m m π<-=<⋅→→∞-+,依据极限的迫敛性可知lim()0m m m B A →∞-=.而02m m m A B A π<-<-,故得沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.如今让我们来细心看看沃利斯公式毕竟与定积分有什么关系吧!事实上,在盘算定积分20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…时,我们奇妙地应用了定积分的递推表达式,如许我们才正真地查找到懂得决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算照样在个中施展了不成低估的感化.那么就让我们直接应用该公式来商量例8问题吧！ 依据沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+,可知1(21)!!21lim lim 0(2)!!2m m m m m π→∞→∞-+==.从某种程度上讲,我们应用了定积分办法解决了例8中极限的问题.倘使我们采取其办法来求这个极限,生怕会走一些弯路.定积分在求极限中应用思惟的完美我们知道反常积分也是定积分在极限下界说出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分情势,从而应用了定积分奇妙地求出了原极限的成果,那么能不克不及把定积分在求极限中局部应用呢？如今我们再来看一个有味的问题,以便解释此问题.例8.证实:1112lim 1ln n n n →∞++=…+.分析:这个例题不合于前面所有的例题,前面的例题,我们都能敏捷地将所求极限的表达式转化成1lim ()n i i n i f x ξ→∞=∆∑,而本例不成,但它情势上与我们评论辩论的定积分在求极限中应用的例子异常相像,因为式子中有无穷多项和11n i i =∑,所以我们就测验测验用定积分的办法来求它吧！ 把这个极限式子的分子进行恰当变形11111n n i i i in n ===∑∑.假如依据前面的经验,我们知道101111lim n n i dx i n x n →∞==∑⎰的.可是如今我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分情势;第二,即使局部用到了定积分101dx x ⎰,但我们知道101dx x =∞⎰ 110001111111lim(ln )lim(ln )ln 2lim lim lim 1ln ln lim ln lim ln lim ln ln n i x x n n x x x x i n dx x x n n x x n n x x x x ++=→→→∞→∞→+∞→+∞→+∞→+∞++-======∑⎰…+(这里我们同一了分子分母中的变量,同一用变量x,这里已经暗示变量x 是慢慢趋近,由数学分析中归结道理”,这个手腕是不影响极限成果的).最后我们求得其成果,1112lim 1ln n n n →∞++=…+.由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思惟不但可以对表达式整体应用,也可以对其进行局部应用.总之,只要我们擅长思虑书本上的一些概念以及分析它们之间接洽,我们就往往可以或许游刃有余地把一种数学思惟用于解决其他数学问题上.最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应当留意的几个问题.第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经由恰当的恒等变形之后能转化为定积分的情势.第二,应用定积分求极限时,往往还须要用到其他的一些求极限的办法和手腕,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手腕等.第三,求极限一类问题往往须要应用各类手腕,如许才干做到事半功倍.4.论文总结再熟习数学经由过程以上商量,我们从新熟习了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切领会的.数学本身是一门严谨的天然科学,因为它是一种思维的对象,是一种思惟办法,它照样一种理性的艺术.,数学具抽象性.数学概念是以极端抽象的情势消失的.本文中评论辩论的定积分以及极限更是如斯.与此同时,数学的研讨办法也是抽象的,这就是说数学命题的真谛性不克不及树立在经验之上,而必须依附于严厉的证实.当数学应用于实际问题的研讨时,其症结在于能树立一个较好的数学模子.我们在应用定积分求极限时,就已经失去了较好的数学模子——函数模子.解决实际问题的表现.第二,数学付与科学常识以逻辑的周密性和结论的靠得住性,是使熟习从感性阶段成长到理性阶段,并使理性熟习进一步深化的重要手腕.在数学中,每一个公式,定理都要严厉地从逻辑上加以证实今后才干够确立.当我们发清楚明了“结论1”之后,接踵经由周密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种帮助对象和表示方法.我们在解决数学问题本身时,还必须依附于数学中的其他相干办法思绪.别的数学反应的是一种庞杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象光鲜的图形等来暗示它.无论是定积分照样极限,个中都用到了丰硕的数学符号,分开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.数学是一种思惟办法.数学是研讨量的科学.它研讨客不雅对象量的变更,关系等,并在提炼量的纪律性的基本上形成各类有关量的推导和演算的办法.数学的思惟办法表现着它作为一般办法论的特点和性质,是物资世界质与量的同一,内容与情势的同一的最有效的表示方法.无论是定积分照样极限都离不开盘算,这就意味着它们中都蕴含着量的变更.数学照样一种理性的艺术.一般我们认为,艺术与数学是两种作风与本质都有着明显不合的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精力世界的枢纽地带;一个是天然科学的代表,另一个则是美学的佳构.但是,在各种概况上无关甚至完整不合的现象死后却隐蔽着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研讨纯粹是我们朝长进步以及求知欲的使令.艺术与数学都是公认的地球说话.艺术与数学在描写万事万物的进程中,还同时完美了自身的表示情势,这种表示情势最根本的载体等于艺术与数学各自奇特的说话特点.其配合特色有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有广泛意义的人类配合的心声,因而它们可以超出时光和地域界线,实现不合文化群体之间的广泛传播和交换.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表示的广泛性和广泛性;数学的整体性来自于数学同一的符号系统,各个分支之间的有力接洽,配合的逻辑轨则和既约的表达方法.(3)简明性.它起首表示为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表代表性可以诱发某种强烈的情绪体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把留意力转向思维,上升为理念,成为表示人类心坎意图的方法.(5)情势性.在艺术与数学各行其是的符号与信息的寄义交换中,其配合的特点就是达到了实体与情势的分别.我们研讨的定积分在求极限中的应用,那种思惟以及符号呈现方法可被世界人悦纳.艺术与数学具有配合的精力价值.接洽关系的;艺术的价值也是不克不及以人的意志而转移.艺术与数学的价值根本上是在自身框架内被辨别,鉴赏和评价的.(2)超出性.它们可以超出时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超出进程中,实际得以异于其他种类文化与科学的明显特点之一.(4)多样化,物资化与广泛化.在现代技巧与贸易化的推进下,艺术与数学的价值也开端产生升华,消失了各自价值在很多范畴内的散射,渗入渗出,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不但仅进献于数学本身,它将逐渐在其他范畴也施展必定的感化.停止语我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各类情势.事实上,只要我们对学过的某些概念居心的领会,并加以深入的思虑,我们就可能将其精华应用到数学的其他范畴.正如我们这里把定积分与极限联合起来,并进行了恰当推广,得到了较为知足的结论和推论.本文重要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开端我们就回想了定积分以及极限等大学数学进修中的重要概念.然后分析它们之间的内涵接洽,进而查找到了一种奇特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思惟也并不是空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思惟办法或者一些奇特的步调.因为不是所有的数学概念之间经由思虑推理,互相之间就能树立起接洽来.是以,在日常平凡的数学进修中,我们务必对教材中的根本概念加深领会,尤其是要把互相之间或多或少消失着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行必定的逻辑证实.假如我们的假设成立,那就是我们发明的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地控制不合概念之间差别,这对于我们懂得常识都是有利益的.所以,在我们日常平凡的进修进程中,我们要积极去思虑,并大胆地进行某些恰当的假设,以晋升我们创新思维才能.求极限的办法可能还有更多,值得大家去思虑与发掘.愿望本文能起到抛砖引玉的目标,能激发更多的数学快活爱好者携起手来摸索出更多实用与奇妙的求极限的办法来.迎接大家对本文进行批驳与斧正.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高级教导出版社,2001．[2]刘玉琏,刘伟等.数学分析课本习题选解.北京,高级教导出版社,2002．[3]同济大学数学教研室.高级数学[M]北京, 高级教导出版社,1997．[4]王业.关于积分在求极限中的初探[R].全国专科院校数学会,1992．[5]刘树利.盘算机数学基本.北京.高级教导出版社,2001．[6]刘利茹,孙永华.高级黉舍经济数学系列教材.北京,高级教导出版社,2004．[7]陈吉象,戴英等.文科数学基本.北京高级教导出版社,2003．[8]天津大学数学比赛(人文学科及医学等类),2005．英文摘要Abstract:In solving limit problem, we often think of the ways including the definition of limit, important limits, L’Hospital’s rule an d Taylor’s formula etc. These methods have some limitations, however the definite integral is also limit form in essentially, it is also simple in。
定积分的计算与应用 (1)
哈尔滨师范大学学年论文题目定积分的计算与应用学生刘影指导教师皮晓明年级2010级6班专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年12月电话：180045056定积分的计算与应用刘影摘 要：定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。
本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分的一些基本应用。
关键词：牛顿莱布尼兹公式 积分 定积分恩格斯增经指出微积分是变量数学的重要组成部分,微积分是数学一个分支,学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具，定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。
如复杂图形的研究，化学反应过程的分析，求数列极限等等。
一、定积分的计算方法1、 按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求面积和的极限：∑⎰=→∆=nk k kT l bax f dx x f 10)()()(limξ例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。
解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分⎰12dx x .显然，这个定积分是存在的。
取分割T 为n 等份，并取k ξnk 1-=，n k ,,2,1 =，则所求面积为： 1220111lim ()nn k k S x dx S n n→∞=-==⋅∑⎰ 2311lim (1)n n k k n →∞==-∑3(1)(21)1lim63n n n n n →∞--==2、用牛顿--莱布尼兹公式计算定积分若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，即)()(x f x F ='，x ∈[a,b],则)(x f 在],[b a 上可积，且 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()( ， 这称为牛顿—莱布尼兹公式，它也常写成⎰=baba x F dx x f )()(有了牛顿—莱布尼兹公式后，计算定积分关键就是找)(x f 的一个原函数)(x F 。
考研数学二考试范围是什么考试范围全解析2024年
考研数学二考试范围是什么考试范围全解析引言概述：考研数学二是考研数学科目中的一个重要部分，很多考生在备考中都会对考试范围有所疑问。
本文将全面解析考研数学二的考试范围，包括5个大点：（1）数学分析；（2）线性代数；（3）概率统计；（4）高等代数；（5）常微分方程。
正文：（1）数学分析：-实数与数列：实数的定义与性质、数列极限的概念与性质等。
-函数与极限：函数的概念与性质、函数的极限与连续等。
-导数与微分：导数的定义与性质、微分的定义与性质、函数的导数与微分的应用等。
-积分与定积分：定积分的概念与性质、定积分的计算与应用等。
-一元函数积分学：函数的不定积分与定积分、反常积分等。
（2）线性代数：-矩阵与行列式：矩阵的基本操作、矩阵的运算与性质、行列式的定义与性质等。
-向量空间与线性方程组：向量空间的定义与性质、线性方程组的解的存在唯一性等。
-线性变换与特征值：线性变换的定义与性质、特征值与特征向量等。
-内积空间与正交变换：内积空间的定义与性质、正交变换的概念与性质等。
-特殊矩阵与矩阵的相似：对称矩阵、正定矩阵、矩阵的相似与对角化等。
（3）概率统计：-随机事件与概率：随机试验与随机事件、概率的基本性质与计算等。
-随机变量与概率分布：随机变量的定义与性质、离散型与连续型随机变量的概率分布等。
-多维随机变量与联合分布：多维随机变量的定义与性质、联合分布与边缘分布等。
-随机变量的数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数等。
-大数定律与中心极限定理：大数定律的基本概念、中心极限定理的应用等。
（4）高等代数：-线性空间与线性映射：线性空间的定义与性质、线性映射的概念与性质等。
-矩阵与线性空间：矩阵的基本概念与运算、线性方程组与矩阵的关系等。
-线性算子与线性空间：线性算子的定义与性质、线性算子的矩阵表示等。
-幺半群与群：幺半群的定义与性质、群的基本概念与性质等。
-群的同态与同构：群的同态与同构的概念与性质、群的分类等。
数学分析(华东师大)第十章定积分的应用
∫ ∫ ∫∫∫第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积在上一章开头讨论过由连续曲线y = f ( x) (≥0) , 以及直线x = a, x = b( a <b) 和 x 轴所围曲边梯形的面积为b bA =∫ f ( x ) d x =∫y d x .aa如果 f ( x)在[ a , b]上不都是非负的, 则所围图形的面积为b b A=f (x)d x =aay d x .一般地,由上、下两条连续曲线y = f 2 ( x )与y = f 1 ( x )以及两条直线x = a与 x = b( a <b) 所围的平面图形 ( 图 10 - 1) , 它的面积计算公式为bA=[ f 2( x) - f 1 ( x) ] d x. (1)a图 10 -1图 10 - 2例 1 求由抛物线 y 2= x 与直线 x - 2 y - 3 = 0 所围平面图形的面积 A . 解 该平面图形如图 10 - 2 所示 .先求出抛物线与直线的交点 P(1 , - 1 ) 与Q(9 , 3 ) .用 x = 1 把图形分为左、右两部分, 应用公式(1 ) 分别求得它们的面积 为1A 1 =x -- xd x =∫2x d x = 4 , 39 A 2 =1x - x - 32d x = 28 .31 01 ∫ ∫ ∫ ∫∫3240第十章 定积分的应用所以 A = A 1 + A 2 = 32.3本题也可把抛物线方程和直线方程改写成x = y 2= g ( y) , x = 2 y + 3 = g 2 ( y) , y ∈ [ - 1 , 3].并改取积分变量为y , 便得3A=[ g 2(y)-g 1 ( y)] d y - 1=(2 y +3 -y 2) d y = 32.-13设曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [α,β] (2)给出,在[α,β]上y(t)连续,x(t)连续可微且x ′(t)≠0(对于y(t)连续可微且 y ′( t )≠0的情形可类似地讨论) .记a = x(α), b = x(β)(a <b 或b <a),则由 曲线 C 及直线 x = a , x = b 和 x 轴所围的图形 ,其面积计算公式为βA=y( t) x ′( t )d t. (3)α例 2 求由摆线 x = a( t - sin t ) , y = a( 1 - cos t ) ( a > 0 ) 的一 拱与 x 轴所 围平面图形( 图10 - 3 ) 的面积 .图 10 - 3解 摆线的一拱可取 t ∈[ 0 , 2π] .所求面积为2πA=a(1 - co s t )[a( t - s in t)]′d t 0 = a∫22π( 1 - cos t ) 2d t = 3πa2.如果由参数方程(2 ) 所表示的曲线是封闭的, 即有x(α) = x (β) , y(α) = y(β),且在(α, β) 内曲线自身不再相交, 那么由曲线自身所围图形的面积为βA=y( t ) x ′( t ) d t α●∫∫∫§1 平面图形的面积241β或x ( t ) y ′( t)d t . (4)α此公式可由公式(1)和(3)推出,绝对值内的积分,其正、负由曲线(2)的旋转方向 所确定.2 2 例3 求椭圆 x+ y = 1 所围的面积 .a 2b 2解 化椭圆为参数方程x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0 , 2π] .由公式(4 ) , 求得椭圆所围面积为2πA=b s in t (a co s t)′d t 0 = a ∫b2πsin2t d t = πab .显然, 当 a =b = r 时, 这就等于圆面积πr 2.设曲线 C 由极坐标方程r= r(θ),θ∈[α,β]给出, 其中 r(θ) 在[α, β] 上连续, β- α≤2π.由曲线 C 与两条射线θ= α, θ= β所围成的平面图形, 通常也称为扇形( 图 10 -4).此扇形的面积计算公式为βA = 1 2 αr 2 (θ)d θ. (5)图 10 -4图 10 - 5这仍可由定积分的基本思想而得 .如图 10- 5 所示, 对区间[α, β] 作任意分 割T :α= θ0 <θ1 <<θn-1 <θn = β,射线θ=θi (i =1,2, , n -1)把扇形分成n 个小扇形.由于r (θ)是连续的,因 此当‖T ‖很小时,在每一个Δi =[θi - 1 ,θi ]上r (θ)的值变化也很小.任取ξi ∈ Δi ,便有r(θ) ≈r (ξi ),θ∈Δi , i = 1,2,, n .这时, 第 i 个小扇形的面积242第十章 定积分的应用Δ A i ≈12于是r 2 (ξi )Δθi ,nA ≈ ∑1 r 2(ξ)Δθ .i ii = 1由定积分的定义和连续函数的可积性, 当‖T ‖→0 时, 上式右边的极限即为公 式(5 ) 中的定积分 .例 4 求双纽线 r 2= a 2cos 2θ所围平面图形的面积. 解 如图10 - 6所示,因为r 2≥0,所以θ的取值范围是 -π,π与 4 43π 5π 4,4 .由图形的对称性及公式(5),得 到π A =4·1 4 a 2cos2θd θ 2∫π = a 2 sin 2θ 4 0= a 2 .图 10 - 6习 题1 . 求由抛物线 y = x 2与 y = 2 - x 2所围图形的面积 .2 . 求由曲线 y = | ln x | 与直线 x = 1, x = 10 , y = 0 所围图形的面积.10 3 . 抛物线 y 2= 2 x 把圆 x 2+ y 2≤8 分成两部分 , 求这两部分面积之比. 4 . 求内摆线 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ( a > 0 ) 所 围图 形的 面积( 图 10 - 7).5 . 求心形线 r = a( 1 + cos θ) ( a > 0) 所围图形的面积 .6 . 求三叶形曲线 r = a sin 3θ( a >0) 所围图形的面积.7.求由曲线x a+ y b= 1 ( a 、b > 0 ) 与坐标轴所围 图形的面积 .8 . 求由曲线 x = t - t 3, y = 1 - t 4所围图形的面积.9 . 求二曲线 r = sin θ与 r = 3 cos θ所围公共部分的面图 10 - 7积 .2 2 2 2 10 . 求两椭圆x + y = 1 与 x+ y = 1( a > 0 , b > 0 )所围公共部分的面积.a2b 2b2a 22§2 由平行截面面积求体积243§2 由平行截面面积求体积设Ω为三维空间中的一立体,它夹在垂直于x 轴的两平面x =a 与x =b 之间(a <b).为方便起见称Ω为位于[a,b]上的立体.若在任意一点x ∈[a,b] 处作垂直于x 轴的平面,它截得Ω的截面面积显然是x 的函数,记为A(x),x∈[a,b] ,并称之为Ω的截面面积函数(见图10-8).本节将导出由截面面积函 数求立体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式.图 10 - 8设截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数.对[a,b]作分割 T :a=x 0 < x 1 << x n = b.过各个分点作垂直于 x 轴的平面 x = x i , i = 1 , 2 ,, n , 它们把 Ω 切割成 n 个薄 片.设A( x )在每个小区间Δi =[x i - 1 , x i ]上的最大、小值分别为M i 与m i ,那么 每一薄片的体积ΔV i 满足m i Δx i ≤ΔV i ≤M i Δx i ①.n于是, Ω的体积 V = ∑ΔV i 满足i = 1n∑ i = 1nm iΔ xi≤ V ≤ ∑M i Δx i .i = 1因为 A ( x)为连续函数, 从而在[ a, b] 上可积, 所以当‖T ‖足够小时, 能使nn∑ωiΔx i=∑(Mi- m i )Δ x i <ε,i=1i =1其中ε为任意小的正数 .由此知道① 严格地说, 这里对 Ω的形状需作如下假设: 把 Ω的上述平行截面正投影到某一垂直于 x 轴的平 面上, 它们永远是一个含在另一个的里面( 这时能保证此处的不等式成立) .一般还可推广到 Ω由满足这 种假设的若干个立体相加或相减而得的情形.∫0 2 2 a2 244第十章 定积分的应用nnV=lim ∑M i Δx i或 lim ∑ m i Δx i‖ T ‖ →0 i =1‖ T ‖ →0 i = 1n= lim ∑A(ξi )Δx i ,‖ T ‖ →0 i = 1其中A(ξi )= M i (或m i ),所以有bV=A ( x )d x. (1)a 例 1 求由两个圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 与 z 2 + x 2= a 2所围立体的体积 .解图10-9所示为该立体在第一卦限部 分的图象(占整体的八分之一).对任一x 0∈ [0 , a] , 平面 x = x 0 与这部分立体的截面是一个 边长为 a 2- x 2的正方形,所以A(x)= a 2- x 2,x ∈[0 , a].由公式( 1) 便得aV =∫8 (a 2 - x 2) d x = 16 a 3 . 0 3例2 求由椭球面 x a 2 y 2+ 2 b + z c 2= 1 所围立图 10 - 9体( 椭球) 的体积 .解 以平面 x =x 0 ( |x 0 | ≤a) 截椭球面, 得椭圆( 它在 yOz 平面上的正投影):y2z22+ 2= 1 .b 21 - x 0a 2所以截面面积函数为(根据§1例3): c 2 1 - x 0a22于是求得椭球体积A( x ) = πbc 1 - xa2 , x ∈[-a , a] .V =∫πbc 1- x d x = 4πabc.- a a 23 显然, 当 a =b =c = r 时, 这就等于球的体积4πr 3 .3设ΩA ,ΩB 为位于同一区间[a,b]上的两个立体,其体积分别为V A , V B .若 在[a,b]上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续,且A(x)=B(x),则由 公式(1)推知V A = V B .这个关于截面面积相等则体积也相等的原理,早已为我国齐梁时代的数学家祖¹3(祖冲之(429—500)之子,生卒年代约在公元5世纪末∫§2 由平行截面面积求体积245至6 世纪初) 在计算球的体积时所发现 .在 《九章算术》一书中所记载的祖¹3原理是“: 夫 叠絔成立积,缘幂势既同则积不容异”,其中 幂就是截面面积,势就是高.这就是说,等高 处的截面面积既然相等,则两立体的体积不 可能不等(图10-10).17世纪意大利数学家 卡伐列利(Cavalieri)也提出了类似的原理,但 要比祖¹3晚一千一百多年.下面讨论旋转体的体积 .设 f 是[ a,b] 上的连续函数, Ω是由平 面图形图 10 - 100≤ y ≤ f (x) , a ≤ x ≤b绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 .那么易知截面面积函数为 A ( x ) = π[ f ( x ) ] 2, x ∈ [ a , b] .由公式(1 ) , 得到旋转体Ω的体积公式为bV =∫π [ f ( x) ]2d x. (2)a例3 试用公式( 2) 导出圆锥体的体积公式 .解 设正圆锥的高为 h , 底圆半径为 r .如图 10- 11 所示, 这圆锥体可由平面图形0≤| y | ≤ rx ,x ∈[ 0 , h]绕 x 轴旋转一周而得 .所以其体积为 hV = π0 r x h d x = 1πr 2 h, 3这个结果读者在中学课程里便已熟知了 .又因同底同高的两个圆锥, 在相同高程 处的截面为相同的圆, 即截面面积函数相同, 所以任一高为 h , 底半径为 r 的圆锥( 正或斜) , 其体积恒为1 πr 2h .3例 4 求由圆 x 2+ ( y - R) 2≤ r 2(0 <r <R ) 绕 x 轴旋转一周所得环状立体 的体积 .解如图10- 12所示,圆x 2+(y - R )2= r 2 的上、下半圆分别为y= f 2 ( x ) = R+ r 2- x 2, x ≤ r.y= f 1 ( x ) = R -r 2- x 2,故圆环体的截面面积函数是A ( x) =π[ f 2 ( x ) ] 2 - π[ f 1 ( x ) ] 2=4πRr 2- x 2, x ∈ [ - r , R].h 22∫∫246第十章 定积分的应用图 10 -11 图 10 - 12由此得到圆环体的体积为V = 8πRr 2 - x 2d x = 2π2 r 2 R .如果把上述结果改写成 V = 2πR ·πr 2, 读者不难看出这相当于一个圆柱体 的体积 .习 题1. 如图10 - 13 所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的 体积 .2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体 积:( 1) y = sin x , 0≤ x ≤π, 绕 x 轴;(2 ) x = a ( t - sin t ) , y = a ( 1 - cos t ) ( a > 0) , 0≤ t ≤2π, 绕 x 轴;( 3) r = a(1 + cos θ) ( a > 0 ) , 绕极轴;2 2( 4) x + y= 1 , 绕 y 轴.ab2图 10 - 13 3 . 已知球半径为 r , 验证高为 h 的球缺体积V =πh 2r - h3( h ≤ r ) .4 . 求曲线 x = a cos 3 t , y = a sin 3t 所围平面图形 ( 图 10 - 7 )绕 x 轴旋转所得立体的体积 . 5. 导出曲边梯形0≤y ≤ f ( x) , a ≤x ≤b 绕 y 轴旋转所得立体的体积公式为bV =2πx f ( x) d x. a6 . 求 0≤ y ≤sin x , 0≤ x ≤π所示平面图形绕 y 轴旋转所得立体的体积.r∫§3 平面曲线的弧长与曲率247§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长 先建立曲线弧长的概念 .设平面曲线 C = AB .如图 10 - 14 所 示 , 在 C 上从 A 到 B 依次取分点:A = P 0 , P 1 ,P 2,, P n - 1 , P n = B,它们成为对曲线 C 的一个分割, 记为 T .然后用线 段联结 T 中每相邻两点, 得到 C 的 n 条弦P i - 1 P i ( i = 1 , 2 , ,n) , 这 n 条弦又成为 C 的一条内接折 线 .记n图 10 - 14‖ T ‖ = max 1 ≤ i ≤ nP i -1 P i, s T =∑ i = 1P i -1 P i,分别表示最长弦的长度和折线的总长度 .定义 1 对于曲线 C 的无论怎样的分割T , 如果存在有限极限lim ‖ T ‖→ 0s T = s ,则称曲线 C 是可求长的, 并把极限 s 定义作为曲线C 的弧长 .定义 2 设平面曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [α,β](1)给出.如果x (t)与y (t)在[α,β]上连续可微,且x ′( t)与y ′( t)不同时为零(即 x ′2( t)+ y ′2(t)≠0, t ∈[α,β]),则称C 为一条光滑曲线.定理10.1 设曲线 C 由参数方程( 1 ) 给出 .若 C 为一光滑曲线① , 则 C 是 可求长的, 且弧长为βs =x ′2 (t) + y ′2 (t)d t .(2)α证 如前所述 , 对 C 作任意分割 T = { P 0 ,P 1 , , P n } , 并设 P 0 与 P n 分别对应 t = α与t = β, 且P i ( x i , y i ) = ( x( t i ) , y( t i ) ) , i = 1 ,2,, n - 1. 于是, 与 T 对应地得到区间[α, β] 的一个分割T ′:α= t 0 <t 1 <t 2 < < t n-1 <t n = β.在T ′所属的每个小区间Δi =[t i - 1 , t i ]上,由微分中值定理得①这是曲线可求长的一个充分条件,而连续曲线不一定是可求长的.i i i248第十章 定积分的应用Δx i = x(t i ) -x(t i-1 ) = x ′(ξi )Δt i ,ξi ∈Δi ;Δy i = y (t i ) - y ( t i-1 ) = y ′(ηi )Δt i ,ηi ∈Δi .从而曲线 C 的内接折线总长为n2 2s T =∑ i = 1 Δx i + Δy in= ∑x ′2(ξ) + y ′2(η)Δt .iiii = 1又因 C 为光滑曲线, 当 x ′( t ) ≠0 时, 在 t 的某邻域内 x =x ( t ) 有连续的反 函数, 故当Δx →0 时Δt →0; 类似地, 当 y ′( t ) ≠0 时, 亦能由Δy →0 推知Δt → 0 .所以当 | P i - 1 P i |=Δx 2 +Δy 2→0时,必有Δt i→0.反之, 当Δt i →0 时, 显然有|P i - 1 P i |→0 .由此知道:当C 为光滑曲线时,‖T ‖→0与‖T ′‖→0是等价 的.由于 x ′2( t ) + y ′2(t)在[α,β]上连续从而可积,因此根据定义1,只需证明:nlim s T =lim∑x ′(ξi ) + y ′(ξi )Δt i ,(3)‖ T ‖ →022‖T ′‖→0 i= 1而后者即为(2 ) 式右边的定积分 .为此记2 22 2ζi =x ′(ξi ) + y ′(ηi ) -x ′(ξi ) + y ′(ξi ),则有ns T = ∑i = 1x ′2 (ξi ) + y ′2(ξi ) +ζi Δt i .利用三角形不等式易证ζi ≤ | y ′(ηi ) |-| y ′(ξi ) |≤ y ′(ηi ) -y ′(ξi ) ,i = 1 ,2, , n.由y ′(t)在[α,β]上连续,从而一致连续,故对任给的ε>0,存在δ>0,当‖T ′‖<δ时,只要ξi 、ηi ∈Δi ,就有ζ <ε , i = 1 , 2, , n. β - α因此有n22ii in∑ζΔti = 1n≤∑ i = 1ζi Δt i <ε.iii = 1即(3 ) 式得证, 亦即公式(2 ) 成立 .∫2∫∫∫2π ∫π ∫§3 平面曲线的弧长与曲率249若曲线 C 由直角坐标方程y= f ( x ) , x ∈ [ a ,b]表示, 把它看作参数方程时, 即为x = x ,y= f ( x ) , x ∈ [ a , b].所以当 f ( x)在[ a , b]上连续可微时, 此曲线即为一光滑曲线 .这时弧长公式为bs=1 + f ′( x ) d x.(4)a又若曲线 C 由极坐标方程r= r(θ),θ∈[α,β]表示, 把它化为参数方程, 则为 x = r (θ) cos θ,y= r(θ) sin θ, θ∈ [α, β].由于x ′(θ) = r ′(θ)co s θ- r (θ)s in θ, y ′(θ)= r ′(θ)s in θ+ r (θ)co s θ, x ′2(θ) + y ′2 (θ) = r 2 (θ) + r ′2 (θ),因此当r ′(θ)在[α,β]上连续,且r (θ)与r ′(θ)不同时为零时,此极坐标曲线为 一光滑曲线.这时弧长公式为βs =r 2 (θ) + r ′2(θ)d θ.(5)α例1 求摆线 x = a(t - sin t ) ,y = a(1- cos t ) ( a > 0 ) 一拱的弧长( 见图 10 - 3) .解x ′(t)= a(1- co s t),y ′(t)= a s in t,由公式(2)得2π2πs =x ′2 (t) + y ′2( t )d t=2 a 2( 1 - cos t ) d t = 2∫as in td t = 8a .2x - x例 2 求悬链线 y =e+e从 x = 0 到 x = a > 0 那一段的弧长.2x- x x- x 2解y ′=e- e ,1+ y ′2 =(e +e ),由公式(4)得24 aax- xa - as =∫ 1+ y ′2d x =∫e +ed x =e-e .22例 3 求心形线 r = a( 1 + cos θ) ( a > 0 ) 的周长 .解 由公式 (5 ) 得2ππs =r 2 + r ′2d θ= 2 02 a 2 ( 1 + cos θ) d θ= 4∫a co s θθ= 8a . 0 2d∫250第十章 定积分的应用注意 若把公式(2)中的积分上限改为t,就得到曲线(1)由端点P 0 到动点 P( x ( t ) ,y( t ) ) 的弧长, 即ts( t )=αx ′2(η) + y ′2(η)d η.由于被积函数是连续的, 因此d sd t =d x 2d t+d y 2d t ,d s= d x 2+ d y 2. (6)特别称 s( t ) 的微分 d s 为弧微分 .如图 10-15 所示, PR 为曲线在点 P 处的切 线, 在直角三角形 PQR 中, PQ 为d x ,QR 为d y , PR 则为 d s .这个三角形称为 微分三角形 .图 10 -15图 10 - 16二 曲率曲线上各点处的弯曲程度是描述曲线局部性态的又一重要标志 .考察图10-16中由参数方程(1)给出的光滑曲线 C.我们看到弧段PQ 与QR 的长度相差 不多而其弯曲程度却很不一样.这反映为当动点沿曲线C 从点P 移至Q 时,切线转过的角度 Δα比动点从Q 移至R 时切线转过的角度Δβ要大得多.设α( t)表示曲线在点P(x(t),y(t))处切线的倾角,Δα=α( t +Δt) -α( t)表示动点由 P 沿曲线移至 Q( x( t + Δx) , y( t + Δt) ) 时切线倾角的增量 .若PQ 之长为Δs, 则称珡K =为弧段PQ 的平均曲率 .如果存在有限极限 K= lim ΔΔt →0 Δ则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 处的曲率.由于假设 C 为光滑曲线, 故总有y ′( t )=lim ΔαΔs →0 Δsα( t) = arctanx ′(t) 或 α(t) = a r ccot x ′(t) . y ′(t )又若 x ( t) 与 y( t )二阶可导, 则由弧微分(6) 可得=§3 平面曲线的弧长与曲率251所以曲率计算公式为d α d s = α′(t ) s ′(t) = x ′( t )y ″( t ) - x ″( t )y ′( t ) [x ′2 (t) + y ′2 (t)]362/ .K=(x ′2+ y ′2 )362/. (7)若曲线由 y = f ( x) 表示, 则相应的曲率公式为K=(1+ y ′2 )362/ . (8)例 4 求椭圆 x = a cos t , y = b sin t , 0≤ t ≤2π上曲率最大和最小的点 .解 由于 x ′= - a sin t , x ″= - a cos t , y ′= b cos t , y ″= - b sin t , 因此按 公式 (7 ) 得椭圆 上任意点处的曲率为K= ab =( a 2sin 2t + b 2cos 2 t )362/ ab[ ( a 2 - b 2 ) sin 2 t + b 2 ]362/ .3π 当 a >b >0 时,在t =0,π(长轴端点)处曲率最大,而在t =π、 ( 短轴端点) 处曲率最小, 且K max = a b2 , K min = 2 2 ba 2. 若在例 4 中 a = b = R , 椭圆成为圆时, 显然有K = 1 ,R即在圆上各点处的曲率相同, 其值为半径的倒数 .容易知道, 直线上处处曲率为零 .设曲线 C 在其上一点P 处的曲率 K ≠0 .若过点 P 作一个半径为ρ=1的圆, 使它在点 KP 处与曲线C 有相同的切线, 并在点 P 近旁与曲线位于切线的同侧(图 10 - 17).我们把这个圆称为曲线 C 在点 P 处的曲率圆或密切圆 .曲率圆的半径 ρ= 1 K和圆心( P 0) 称为曲线 C在点 P 处的曲率半径和曲率中心 .由曲率圆的定义可以知道, 曲线在点 P 与曲率圆既有相同 的切线, 又有相同的曲率和凸性 .例5 (铁路弯道分析) 如图10 - 18 所示, 火车轨道从直道进入到半径为 R 的圆弧形 弯道时, 为了行车安全, 必须经过一段缓冲轨道(用虚线表示者) , 使得曲率由零连续地增加到 1 R,以保证火车的向心加速度 a =v 2ρ 不发生跳跃性的突变.图 10 -17 图 10 - 18y ″3 0 0 252第十章 定积分的应用图中 x 轴( x ≤0) 表示直线轨道, AB 是半径为 R 的圆弧形轨道( 点 Q 为其圆心) , OA 为 缓冲轨道 .我国一般采用的缓冲曲线是三次曲线其中 l 是OA 的弧长 .对曲线(9)应用曲率公式(8),求得y = x,(9)6 R l2 2K= 8 R l x .(4 R 2 l 2 + x 4 )362/ 当 x 从 0 变为 x 0 时 , 曲率 K 从0 连续地变为K 0 = 8 R 2 l 2 x 0 (4 R 2 l 2 + x 4 )362/1 = R· 8 l 2 x 0 x 44 l 2362/ . R2x 0 1 1当 x 0 ≈l , 且 缓冲作用 .R 很小时, K 0 ≈ R .因此曲线段OA 的曲率从0 逐渐增加到接近于 R, 从而起了习 题1 . 求下列曲线的弧长: (1) y = x 362/,0≤x ≤4; (2)x +y =1;( 3) x = a cos 3t , y = a sin 3t ( a >0) , 0≤t ≤2π;( 4) x = a( cos t + t sin t ) , y = a( sin t - t cos t ) ( a >0) , 0≤t ≤2π;( 5) r = a sin 3 θ( a > 0) , 0≤θ≤3π;3( 6) r = a θ( a >0) , 0≤θ≤2π.2 . 求下列各曲线在指定点处的曲率: (1) xy = 4 , 在点( 2 , 2) ; (2) y = ln x , 在点( 1 , 0 ) ;(3) x = a( t - sin t ) , y = a(1 - cos t ) ( a >0) , 在 t = π的点; 2(4) x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ( a >0) , 在 t =π 的点.43 . 求 a 、b 的值 , 使椭圆 x = a cos t , y = b sin t 的周长等 于正弦曲线 y = sin x 在 0≤x ≤ 2π上一段的长 .4 . 设曲线由极坐标方程 r = r(θ) 给出, 且二阶可导, 证明它在点( r, θ)处的曲率为22K =r + 2 r ′ - rr ″.(r 2 + r ′2)362/ *5.用上题公式,求心形线r = a(1+co s θ)(a >0)在θ=0处的曲率、曲率半径和曲率圆.**∫∫∫§4 旋转曲面的面积253* 6 . 证明抛物线 y = ax 2 + bx + c 在顶点处的曲率为最大 . *7 . 求曲线 y = e x 上曲率最大的点 .§4 旋转曲面的面积定积分的所有应用问题,一般总可按“分割,近似求和,取极限”三个步骤导 出所求量的积分形式.但为简便实用起见,也常采用下面介绍的“微元法”.本节 和下一节将采用此法来处理.一 微元法x在上一章我们已经熟知,若令Φ(x) =f(t)d t,则当f 为连续函数时, aΦ′( x ) = f ( x) , 或d Φ= f ( x) d x ,且bΦ( a) = 0 , Φ(b)=f ( x) d x. a现在恰好要把问题倒过来:如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的,或 者说它是该区间端点x 的函数,即 Φ=Φ(x),x ∈[a,b],而且当x =b 时, Φ( b) 适为最终所求的值.在任意小区间[ x ,x + Δx ] Ì[ a , b]上, 若能把 Φ的微小增量ΔΦ近似表示 为Δx 的线性形式ΔΦ≈f(x)Δx,(1) 其中 f 为某一连续函数, 而且当Δx →0 时,ΔΦ- f ( x )Δx =o(Δx) , 亦即d Φ= f ( x) d x, (2)b那么只要把定积分 f(x)d x 计算出来,就是该问题所求的结果.a上述方法通常称为微元法 .在采用微元法时, 必须注意如下两点: 1) 所求量 Φ 关于分布区间必须是代数可加的.2)微元法的关键是正确给出ΔΦ的近似表达式(1 ) .在一般情况下, 要严格 检验ΔΦ-f ( x)Δx 是否为Δx 的高阶无穷小量往往不是一件容易的事 .因此对 (1 ) 式的合理性需特别小心.对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线弧长, 改用微元法来处 理, 所求量的微元表达式分别为ΔA ≈ y Δx , 并有 d A=y d x; Δ V ≈ A( x )Δx , 并有 d V = A ( x) d x ;Δs ≈1 + y ′2Δx,并有d s =1+ y ′2d x .§2 导出体积公式(1) 和 §3 导出弧长公式(2) 的过程, 实际上就是在验证 ΔΦ-∫222 1 2 2∫254第十章 定积分的应用bf(x)Δx= o(Δx).如果把弧长增量的近似表达式改取为Δs ≈Δx,将导致s=d x a= b - a 的明显错误 .其根本原因就在于Δs - Δx 并非是Δx 的高阶无穷小量 .二 旋转曲面的面积①设平面光滑曲线 C 的方程为y= f ( x ) , x ∈ [ a , b] ( 不妨设 f ( x) ≥ 0 ).这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面( 图10 - 19).下面用微元法导出它的面 积公式 .通过 x 轴上点 x 与 x + Δx 分别作垂直于 x 轴的平面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带 .当 Δx 很小时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面 积, 即 ΔS ≈π[ f(x)+ f(x+Δx)]Δx 2 + Δy 2= π[ 2 f ( x )+Δy]1+Δy 2 Δx, Δx图 10 - 19其中 Δy = f ( x + Δx ) - f ( x ) .由于lim Δy = 0,lim1+Δy 2= 1 + f ′( x),Δx →0Δx →0Δx因此由 f ′( x )的连续性可以保证π[2 f ( x)+Δy]1+所以得到Δy 2ΔxΔx - 2πf(x)1 + f ′( x)Δx = o(Δx ).d S = 2πf(x) 1 + f ′( x ) d x, bS =2π af(x)1 + f ′( x ) d x .(3)如果光滑曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [ α,β]给出, 且 y( t ) ≥0 , 那么由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的 面积为S = 2∫π βy ( t) x ′2(t) + y ′2( t)d t .(4)α例 1 计算圆 x 2+ y 2= R 2在 [ x , x ] Ì [ - R , R] 上的弧段 绕 x 轴旋转所①关于曲面面积的严格定义和一般计算公式要在下册重积分章节里给出.2 ∫ ∫§5 定积分在物理中的某些应用255得球带的面积 .解 对曲线y =R 2 - x 2 在区间 [ x 1 , x 2 ] 上应用公式(3 ) , 得到S=2π2 x1R 2 - x21+xd xR 2 - x2= 2π∫Rx 2d x = 2πR ( x2- x 1 ) .x1特别当 x 1 = - R , x 2 = R 时 , 则得球的表面积 S 球 = 4πR .例 2 计算由内摆线 x = a cos 3t , y = a sin 3t ( 见 图 10 - 7 ) 绕 x 轴旋 转所得 旋转曲面的面积 .解 由曲线关于 y 轴的对称性及公式(4 ) , 得π S = 4π 2 0a sin 3 t( - 3 a cos 2 t sin t )2 + (3 a sin 2 t cos t ) 2d t = 12πa ∫2π sin4t cos t d t=12 a 2.π 05习 题1 . 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积:( 1) y = sin x , 0≤ x ≤π, 绕 x 轴;( 2) x = a( t - sin t ) , y = a(1 - cos t ) ( a > 0) , 0≤ t ≤2π, 绕 x 轴 ;2 2 ( 3) x + y= 1 , 绕 y 轴;a 2 b2( 4) x 2 + ( y - a) 2 = r 2 ( r <a) , 绕 x 轴.2 . 设平面光滑曲线由极坐标方程r = r(θ) ,α≤ θ≤ β ( [α, β] Ì [0 ,π] , r(θ) ≥0)给出, 试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式 .3 . 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:( 1) 心形线 r = a(1 + cos θ) ( a >0) ; ( 2) 双纽线 r 2 = 2 a 2 cos 2θ( a > 0) .§5 定积分在物理中的某些应用定积分在物理中有着广泛的应用, 这里介绍几个较有代表性的例子 . 一 液体静压力例1 如图10 - 20所示为一管道的圆形闸门( 半径为 3 米).问水平面齐及x 2∫2 = ∫ ∫ 256第十章 定积分的应用直径时, 闸门所受到的水的静压力为多大?解 为方便起见, 取 x 轴和y 轴如图, 此时圆的方 程为x 2+ y 2= 9 .由于在相同深度处水的静压强相同,其值等于水 的比重(ν)与深度(x)的乘积,故当Δx 很小时,闸门上 从深度 x到 x + Δx 这一狭条ΔA 上所受的静压力为 ΔP ≈ d P=2νx9 - x 2d x .从而闸门上所受的总压力为图 10 - 203P=2νx9 - x 2 d x= 18ν.二 引力例2 一根长为 l 的均匀细杆, 质量为 M , 在其中垂线上相距细杆为 a 处 有一质量为 m 的质点 .试求细杆对质点的万有引力. 解 如图10 - 21 所示, 细杆位于 x 轴上的 l l 2,2,质点位于y 轴上的点a.任取[x, x +Δx ]Ì - l2 , l 2 , 当Δx 很小时可把这一小段细杆看作一质点 , 其质量为 d M = Md x .于l是它对质点 m 的引力为图 10 - 21d F = km d M r km a 2 + x 2 · Ml d x.由于细杆上各点对质点 m 的引力方向各不相同, 因此不能直接对 d F 进行积分 ( 不符合代数可加的条件) .为此, 将d F 分解到x 轴和y 轴两个方向上, 得d F x = d F · sin θ, d F y = - d F ·cos θ.由于质点 m 位于细杆的中垂线上, 必使水平合力为零, 即l 62/F x =- 6l 2/ d Fx= 0.又由cos θ=a ,得垂直方向合力为a 2+ x 2l 62/F y =- 6l 2/d Fy= -∫2l 2 km Ma ( a 2+ x 2 ) - 362/d x 0l-∫§5 定积分在物理中的某些应用257= -2kmMa 1 6l 2/xl·a2 · =- 2kmM,a 4 a 2+ l2负号表示合力方向与 y 轴方向相反 .a 2 + x 2例3设有一半径为 r 的圆弧形导线, 均匀带电, 电荷密度为δ, 在圆心正 上方距圆弧所在平面为 a 的地方有一电量为q 的点电荷 .试求圆弧形导线与点 电荷之间作用力( 引力或斥力) 的大小 .解 如图10 - 22 所示, 把点电荷置于原点,z 轴 垂直向下 , 圆弧形导线置于水平平面 z = a 上.根据库仑定律, 电量为 q 1 , q 2 的两个点电荷之间 的作用力( 引力或斥力) 的大小为kq 1 q 2F = ρ2, 其中ρ是两点电荷之间的距离,k 是库仑常数.图 10 - 22 把中心角为d θ的一小段导线圆弧看作一点电荷, 其电量为 d Q = δd s = δr d θ .它对点电荷 q 的作用力为d F = k · q d Q = ρ2k δrq a2 +r 2 d θ.把 d F 分解为 z 轴方向的垂直分力d F z 和水平方向的分力d F t .由于点电荷 位于圆弧导线的对称轴 Oz 上, 且导线上的电荷密度恒为常数, 因此水平分力 d F t 各向抵消.而d F z = d F ·cos θ =d F ·aa 2 + r 2= k δraq(a 2 + r 2 ) - 362/ d θ,于是垂直方向的合力为2πF z =d F z= 02πk δraq.( a 2+ r 2)362/这就是圆弧形导线与点电荷之间作用力的大小 .三 功与平均功率例4一圆锥形水池, 池口直径30 米, 深10 米, 池中盛满了水 .试求将全部 池水抽出池外需作的功 .解 为方便起见, 取坐标轴如图 10-23 所示 .由于抽出相同深度处单位体 积的水需作相同的功( 等于水的比重×深度) , 因此首先考虑将池中深度为 x 到V2V ∫2258第十章 定积分的应用x + Δx 的一薄层水ΔΩ抽至池口需作的功ΔW.当Δx 很小时, 把这一薄层水的 深度都看作 x , 并取ΔΩ的体积这时有Δ V ≈π 15 1 - x102Δx ,2Δ W ≈d W =πνx 15 1 - x10d x .从而将全部池水抽出池外需作的功为1 0 W = 225πν 0x 1 -x d x 10= 1 875πν.例5 在纯电阻电路( 图10 - 24) 中, 已知交流电压为V = V m sin ωt.图 10 -23图 10 - 24求在一个周期[0,T] T =2πω内消耗在电阻 R 上的能量W , 并求与之相当的直 流电压 .解 在直流电压 ( V = V 0 ) 下 , 功率 P =0 T2R, 那么在时间 T 内所作的功为W= PT = R.现在 V 为交流电压, 瞬时功率为V 2m 2P( t) = Rsin ωt .这相当于: 在任意一小段时间区间[ t ,t +Δt]Ì[ 0 ,T ] 上, 当Δt 很小时, 可把 V 近似看作恒为 V m sin ωt 的情形 .于是取功的微元为d W = P( t ) d t .并由此求得T 2π 22 W =∫ P (t)d t =∫ωVmπVmsin 2ωt d t =.0 RR ω而平均功率则为πV V m∫m *§6 定积分的近似计算259P = 1 2P( t )d t= ω· mT 0 2π R ω2( V 6/2)2= 2R = R. 上述结果的最末形式 , 表示交流电压 V = V m sin ωt 在一个周期上的平均功率与V m 直流电压珡V =的功率是相等的.故称珡V 为该交流电压的有效值.通常所说的2220 伏交流电 , 其实是V =220 2 sin ωt 的有效值.习 题1 .有一等腰梯形闸门,它的上、下两条底边各长为10米和6米,高为20米.计算当水面 与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.2 .边长为 a 和b 的矩形薄板,与液面成α(0<α<90°)角斜沉于液体中.设 a >b,长边平 行于液面,上沿位于深h 处,液体的比重为ν.试求薄板每侧所受的静压力.3. 直径为 6 米的一球浸入水中, 其球心在水平面下10 米处, 求球面上所受静压力 .4. 设在坐标轴的原点有一质量为 m 的质点, 在区间[ a , a +l] ( a > 0 ) 上有一质量为 M 的均匀细杆 .试求质点与细杆之间的万有引力 .5. 设有两条各长为 l 的均匀细杆在同一直线上, 中间离开距离 c, 每根细杆的质量为 M .试求它们之间的万有引力 .( 提示: 在第4 题的基础上再作一次积分 .)6. 设有半径为 r 的半圆形导线, 均匀带电, 电荷密度为δ, 在圆心处有一单位正电荷 .试 求它们之间作用力的大小 .7. 一个半球形( 直径为 20 米) 的容器内盛满了水 .试问把水抽尽需作多少功?8. 长10 米的铁索下垂于矿井中, 已知铁索每米的质量为 8 千克, 问将此铁索提出地面 需作多少功?9. 一物体在某介质中按 x =ct 3作直线运动, 介质的阻力与速度d x的平方成正比 .计算d t物体由 x = 0 移至 x = a 时克服介质阻力所作的功 .10 . 半径为 r 的球体沉入水中, 其比重与水相同 .试问将球体从水中捞出需作多少功?*§6 定积分的近似计算利用牛顿—莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于 被积函数的原函数能够求得的情形 .如果这点办不到或者不容易办到, 这就要考 虑近似计算的方法 .在定积分的很多应用问题中, 被积函数甚至没有解析表达式 (只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值),这时只能采用近似方法去Tb260第十章 定积分的应用计算相应的定积分 .其实, 根据定积分的定义, 每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值, 例如bnn∫f(x)d x ≈∑f(x i)Δxi或∑ f ( x i - 1)Δx i. (1)ai = 1i = 1在几何意义上,这是用一系列小矩形面积来近似小曲边梯形面积的结果.所以把这个近似算法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细很细时,矩形法 才有一定的精确度.如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似替代被积函数, 那么可以期望获得比矩形法效果好得多的近似计算公式.下面的梯形法和抛物 线法就是这一想法的产物.一 梯形法将积分区间[ a , b] 作 n 等分, 分点依次为a= x 0 < x 1 < x 2 << x n = b,Δ x i =b - a.n相应的被积函数值记为y 0 , y 1 ,y 2, , y n (y i = f ( x i ) , i = 0 , 1 ,2, , n ). 并记曲线 y = f ( x ) 上相应的点为P 0 , P 1 ,P 2 ,, P n ( P i ( x i , y i ) , i = 0 , 1 ,2,, n ).将曲线上每一段弧 P i - 1 P i 用弦 P i - 1 P i 来替代, 这使得每个小区间[ x i - 1 , x i ] 上的曲边梯形换成了真正的梯形( 图 10 - 25) , 其面积为y i - 1 + y i2Δ x i , i = 1 ,2, , n. 于是, 各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值, 即bn∫f ( x) d x ≈∑ y i - 1 + y i Δx i , a i=12 亦即∫f ( x) d x ≈b- a y 0 + y + y + + y y n+ . (2)a n 2 1 2 n-1 2称此近似式为定积分的梯形法公式 .二 抛物线法由梯形法求定积分的近似值, 当 y = f (x) 为凸曲线时偏大, 为凹曲线时偏 小 .如果每段曲线改用与它的凸性相接近的抛物线来近似时, 就可减少上述缺●2∫∫( x ) d x =∫(α 122 ∫∫1 *§6 定积分的近似计算261点 .下面介绍抛物线法 .图 10 -25图 10 - 26将积分区间[ a , b] 作2 n 等分( 图10- 26 ) , 分点依次为a= x 0 < x 1 < x 2 << x 2 n = b,Δ x i =b- a.2 n对应的被积函数值为y 0 , y 1 ,y 2,, y 2 n (y i =f ( x i ) , i = 0 , 1 ,2,, 2 n ). 曲线 y = f ( x ) 上的相应点为P 0 , P 1 ,P 2, , P 2 n ( P i ( x i , y i ) , i = 0 , 1 ,2,, n).现把区间[ x 0 , x 2 ] 上的曲线 y = f ( x ) 用通过三点P 0 ( x 0 , y 0 ) , P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 )的抛物线p 1( x ) =α1 x +β1 x +γ1 来近似替代,便有xx x2f ( x)d x ≈2p2xxx0 0x 2+ β x+γ1 )d x α1 33β122= 3 (x 2 - x 0 ) + 2 (x 2 - x 0 ) + γ1 (x 2 -x 0)x 2 - x 0 22=6[(α1 x 0 +β1 x 0 +γ1) + (α1 x 2 +β1 x 2 +γ1 ) +α1( x 0 + x 2) +2β1( x 0 + x 2) +4γ1 ] x 2 -x 0= 6 ( y 0 + y 2 + 4 y 1 ) = b - a 6n( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) .最末第二步的得来是利用了 x 0 + x 2 = 2 x 1 .同样地,在[x 2i - 2 , x 2i ]上用p i ( x)=αi x +βi x +γi 替代曲线y = f( x),将得到x2 ix2 i - 2xf ( x ) d x ≈ 2ix 2 i - 2p i ( x ) d x = b - a( y 2 i -2 6 n + 4 y 2 i - 1 + y 2 i ) . 最后,按i =1,2,, n 把这些近似式相加 ,得到 b n x n∫f( x )d x = ∑∫2i f(x)d x ≈b - a ∑(y 2 i - 2+ 4 y 2 i - 1 + y 2 i ) ,a i =1 即x 2 i -26n i =1 1b1111262第十章 定积分的应用∫f ( x ) d x ≈b- a[ y 0 + y 2 n + 4( y 1 + y 3 ++ y 2 n - 1 ) + a6n2( y 2 + y 4 ++ y 2 n - 2 )].(3)这就是抛物线法公式, 也称为辛普森( Simpson) 公式 .1 作为例子,我们计算定积分∫d x的近似值.0 1 + x 2将区间[0 , 1 ] 十等分, 各分点上被积函数的值列表如下( 取七位小数) :1)用矩形法公式(1 ) 去计算: ( 取四位小数)∫d x11 + x2≈ 10 ( y 0 + y 1 + + y 9 ) = 0 .809 9( 或110 ( y 1 + y 2 ++ y 1 0 ) = 0 .760 0).2)用梯形法公式(2 ) 去计算: ( 取四位小数)∫d x1 y 0y 1 01 + x2≈10 2 + y 1 +y 2 + + y 9 + 2= 0 .785 0.3)用抛物线法公式(3 ) 去计算: ( 取七位小数)∫d x11 + x2≈ 30 [ y 0 + y 1 0 + 4( y 1 + y 3 ++ y 9 ) + 2 ( y 2 + y 4 ++ y 8 )]= 0 .785 398 2 .用准确值①∫d xπ1 + x2= arctg 1= 4 = 0 .785 39816与上述近似值相比较,矩形法的结果只有一位有效数字是准确的,梯形法的结果 有三位有效数字是准确的,抛物线法的结果则有六位有效数字是准确的.可见公式(3)明显地优于公式(2),更优于公式(1).关于定积分近似计算的误差估计, 在《数值分析》一类课程中必有详述, 这里 不再讨论 .①这里用一个很容易求得准确值的定积分作为近似计算的例子,主要的理由就是有准确值可以与近似值相比较.实际使用中不会有这样的事.212∑12∑i* §6 定积分的近似计算263 习题1 .分别用梯形法和抛物线法近似计算∫d x(将积分区间十等分) .1 xπ2 .用抛物线法近似计算∫s in x d x(分别将积分区间二等分、四等分、六等分) .0x3 . 图10 - 27 所示为河道某一截面图.试由测得数据用抛物线法求截面面积.图10 - 274 . 下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温:(1) 按积分平均1b f ( t ) d t 求这一天的平均气温, 其中定积分值由三种近似法分别计算; b -∫a a12 12( 2) 若按算术平均1i= 1 C i - 1 或1 Ci= 1求得平均气温, 那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系?简述理由.。
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数学分析（2）：定积分计算与应用
1、4
01cos 2x dx x
π
+⎰ 2
、
ln 0⎰ 3
、
(211x dx -+⎰ 4
、1⎰
5、32122dx x x
-⎰ 6、21(1)dx x x +∞+⎰
7、
21arctan x dx x +∞⎰ 8
、10⎰ 9、120ln(1)1x I dx x +=+⎰
10
、设1
20()3()f x x f x dx =，求()f x .
11、设21,0(),0x x x f x e x -⎧+<=⎨≥⎩
，求30(2)f x dx -⎰ 12、求由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积.
13
、求曲线y =l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成平面图形面积最小.
14
、求函数2
y =
1[2上的平均值. 15、设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积
16、求摆线1cos sin x t y t t
=-⎧⎨
=-⎩一拱()02t π≤≤的弧长.
17、设有曲线y =x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
18、设xOy 平面上有正方形{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤及直线:l x y t +=.(0)t ≥ 若()s t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求
0()(0)x S t dt x ≥⎰. 19、设()0sin x
t f x dt t
π=-⎰，计算()0f x dx π⎰. 20、设()f x 在[]0,a 上具有连续的导数，且(0)0f =. 证明：20()2
a
Ma f x dx ≤⎰，其中{}'max ()a x b
M f x ≤≤=. 21、设()f x 在[0,1]上有二阶连续导数，证明：
1
10011()[(0)(1)](1)()22f x dx f f x x f x dx ''=+--⎰⎰。