二次曲面区域泊松方程第一边值问题的格林函数解法

数学物理学报

2018,38A (4):800-809

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二次曲面区域泊松方程第一边值问题的格林函数解法

氺

相培傅景礼

(浙江理工大学数学物理研究所

氺氺

杭州 310018)

摘要：关于泊松方程第一边值问题，目前大部分研究仅给出了球域、圆域等情况的格林函数解 法，而对其他类型的区域讨论甚少.该文从二次曲面成像公式出发，用电像法统一研究椭球 面、双曲面、抛物面、球面等二次曲面区域内的泊松方程第一边值问题，旨在给出其各自的格 林函数解及相应的第一积分表示式.研究发现，在近轴情况下，二次曲面区域内泊松方程第一 边值问题的格林函数解及第一积分表示式有统一形式，该文最终给出了这种统一形式并分别 对这几种二次曲面域进行了讨论.

关键词：旋转二次曲面；焦点；电像法；格林函数.

M R (2010)主题分类：35J25; 78A25

中图分类号：O411.1 文献标识码：A

文章编号：1003-3998(2018)04-800-10

1引言

格林函数，亦称点源影响函数，用以表示点源在一定边值条件和（或）初始条件下所产 生的场，结合叠加原理，就可以通过点源的场得到任意源产生的场（见文献[1])•因此，格

林函数法成为求解近代物理定解问题的重要手段.波动方程、扩散方程、亥姆霍兹方程和作 为描述稳定场的重要方程之一的泊松方程，以及近代工程中的许多问题都可以用格林函数 法来求解（见文献[2-5]),例如，F 〇d a 和A b d u lja b b a r 曾用格林函数方法研究无阻尼有限长 E u la r -B e r n o u lli 梁横向振动的动力学偏移问题（见文献[4])•用格林函数法求解问题，可归 结为寻找相应的格林函数.而电像法是寻找格林函数的一种简单有效的方法，并且得到的格 林函数具有明显的物理意义.然而，用电像法求解格林函数，对区域边界的对称性有较高要 求.对于内外球域都可以给出相应的格林函数，进一步可给出系统的第一积分公式.对于像 以椭球面和双曲面为边界的问题，要给出相应的格林函数就比较困难.作者从焦点和焦点参 数（半正焦弦）出发，统一研究了椭球面、双曲面、拋物面和球面成像问题，给出了二次曲面 的一系列成像公式（见文献[6])•本文从二次曲面的成像公式出发，利用电像法给出椭球面 边界、双曲面边界、拋物面边界和球面边界泊松方程第一边值问题的格林函数，并给出相应 的积分公式. *

收稿日期：2017-05-16;修订日期：2017-10-19

E-mail: 1049110768@; sqfujingli@

*基金项目：国家自然科学基金（11272287, 11472247)

Supported by the NSFC (11272287, 11472247)

**通讯作者

No.4相培等：二次曲面区域泊松方程第一边值问题的格林函数解法801

2圆雒曲线的极坐标方程

在平面极坐标系中，以焦点为极点，圆锥曲线方程可统一为以下形式

P=

1 士 e cos 沒(2.1)其中，P为极径，e为离心率，为焦点到准线的距离，0为极径与极轴的夹角，式中的 “±”取决于极点为左焦点还是右焦点.但这个极坐标方程无法将圆包含进去，因为对于圆而 言，离心率e等于0,则（2.1)式变为p =0,这显然是不合理的.在对旋转二次曲面的成像研 究中，作者采用了新的极坐标形式d = p/(1+e c o s h)(见文献间),最终得出了旋转二次曲面 近轴条件下折射成像的公式，其中包含球面折射成像公式.按照旋转二次曲面成像中的研究 方法，将（2.1)式修正为

P=

1 士 e cos 0

(2.2)对于椭圆及双曲线而言，y=b2/a;对拋物线来说，因为其离心率为1,所以y仍为焦点到 准线的距离；对圆而言，y=r(r为半径)，则变为p =r,与圆的极坐标方程一致.由此可 见，利用极坐标方程（2.2)式可将圆锥曲线统一起来.由此，我们可以统一研究旋转二次曲 面区域内泊松方程第一边值问题的格林函数和第一积分公式.

3旋转二次曲面区域内泊松方程第一边值问题的格林函数

假定旋转二次曲面区域内的静电场，满足泊松方程第一边值问题，即

^0

u (r)|S =^(r),

r <|r〇|,(3.1)

这里S表示旋转二次曲面区域的边界.则，旋转二次曲面区域内的格林函数满足新的边值 问题（见文献[1])

A G=^(r- r〇),

G |s=0,

r<|r〇|.(3.2)

下面将采用电像法求解此格林函数，为了简化问题，我们先考虑试验点电荷在旋转轴上的情 况.以旋转二次曲面的焦点F为极点（取椭球右焦点，双曲面左焦点；对于球面而言，此点 即为球心)，旋转轴为极轴建立极坐标系（如图1所示).

设试验点电荷M〇(电量q〇=-e〇)与极点的距离为d区域外一点M i(电量为q)为像 点，在旋转二次曲面上有一点A,其与极点的连线和极轴的夹角为朽则有

F M〇= d ■e〇, F A=F A■ev,(3.3)其中，e〇为与F M〇同向的单位向量，e v为与F A同向的单位向量，而由圆锥曲线的极坐标方程可得

F A=p =

P

1 + e cos ^

(3.4)

802

数学物理学报

Vol .38A

1

M i

ke 〇(k > 0), ^

x ,

F M i = x e 〇(

Mi

M 〇

), M 〇 i

Mi A

^〇h

Wi l s

-^0

4ns 〇

|F A — F M

〇|

4n

|p • e ^ — d • e 〇|7

k ^0

1

k

1

4n e 〇 |F A — F M i | 4n

|p • e ^ — x • e 〇|

r t!格林函数的边界条件（3.2) |

^o |s + ^i |s = 〇•

将（3.5)式和（3.6)式代入（3.7)式，整理后得到

k |p • e ^ — d • e 〇| = |p • e ^ — x • e 〇|(k > 0),

等式两边同时平方，得到

k 2p 2 十 k 2d 2 — 2p . k 2d co s p 二 p 2 十 x 2 — 2p . x cos

令 x = k 2d (k = 1),则有

k 2p 2 十 k 2d 2 — 2p • k 2d co s p = p 2 十 k 4d 2 — 2p • k 2d co s p ,

整理后得到

(k 2 — 1)p 2 = (k 2 — 1)d 2k 2

又因为k

=1

且

k >0

,于是解得

d

d (1十

e cos p ) ’

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

1

P P

k