企业培训-ACM培训03动态规划 精品

= min{4+1, 6+1} = 5 P[3][0] = P[2][0]+v[2][0] = 6+1 = 7
对于阶段4
P[1][3] = min{ P[0][3]+v[0][3], P[1][2]+h[1][2]} = min{8+4, 5+4} = 9
P[2][2] = min{ P[1][2]+v[1][2], P[2][1]+h[2][1]} = min{5+2, 5+4} = 7
P[0][j]=P[0][j-1]+h[0][j-1] ( i=0, j>0)
P[i][0]=P[i-1][0]+v[i-1][0] ( i>0, j=0)
画出用动态规划思想求出的各个路口对P点 的最小距离。图中圆圈里就是这个距离。 箭头表示所寻得的最佳行走路径。（图3）
7
3
1
6
3
4
2
2
2
0
3
P点
151 2 5 234 5 6
151 2 5 234 5 6
151 2 5 234 5 6
151 2 5 234 5 6
p( q+1,r,k-1 )
d ( l , q )= s[l] s[l+1]…s[q]
q的变化范围：从q+1到r之间所包含 的数字个数应大于k-1（乘号个数）。
r-(q+1)+1>k-1 q<r-k+1
p( l,r,k )=max{ d( l, q ) * p( q+1, r ,k-1 ) }
最后
P[3][3] = min{ P[2][3]+v[2][3], P[3][2]+h[3][2]}
= min{12+3, 8+2} = 10
综上，数组P的通项表示为
P[i][j]= min( ( p[i-1][j]+v[i-1][j]), (p[i][j-1]+h[i][j-1]) ) (i, j>0)
P[0][j]=P[0][j-1]+h[0][j-1]
( i=0, j>0)
P[i][0]=P[i-1][0]+v[i-1][0]
下面给出P数组中的数据
( i>0, j=0)
37
7
8
10
26
5
7
12
12
4
5
9
00
3
5
8
0
1
2
3
数组P的通项表示为 P[i][j]= min( ( p[i-1][j]+v[i-1][j]), (p[i][j-1]+h[i][j-1]) ) (i, j>0)
int v[3][4]={ {2,2,3,4},{4,1,2,4},{1,2,2,3} };
int p[4][4]={ {0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0} };
p[0][0]=0;
for(int j=1;j<4;j++)
//y轴上的点
p[0][j]=p[0][j-1]+h[0][j-1];
25 56
d( l,q)=d(0,3)=3215 p( q+1,r,k-1 )=p( 4,6,2 )
( p( 0,6,3)|q=3) = 3215 * p( 4,6,2 )
p( 0,6,3)= max{ 3 * p( 1,6,2 ) , // q=0 32 * p( 2,6,2 ) , // q=1 321* p( 3,6,2 ) , // q=2 3215 * p( 4,6,2 ) } // q=3
3
31223451
2
1
4
0
3
2
3
0
1
2
h[4][3] = { {3,2,3}, {2,1,4}, {3,4,5}, {3,1,2} };
南北方向上道路长度存至数组v[3][4]中，也规定 第一维为行号，第二维为列号。
2
1
2
2
3
1
4
1
2
4
02
2
3
4
0
1
2
3
v[3][4] = {{2, 2, 3, 4},{4, 1, 2, 4},{1, 2, 2, 3}};
10 动态规划
任务：
P是出发点，从P到A，求最短路径（图1）
G
3 D 1B 2
A
1
2
2
3
K
3 H
4 E
5
4
1
2
N
2 L
1 I
4
2
2
3
3
2
3
C
4
阶段5
F
4 阶段4
P
O
M
J
阶段1
阶段2 阶段3
图1
思路
1. 先看第5阶段，到达A点有两条路
– B A，需要2km – C A，需要3km
2. 令
– 从P A的最短路径为P(A)； – 从P B的最短路径为P(B)； – 从P C的最短路径为P(C) …… – P(A) = min{P(B)+2, P(C)+3}； – P(B) = min{P(D)+1, P(E)+2}； – P(C) = min{P(E)+5, P(F)+4}；
P(A) = min{P(B)+2, P(C)+3}；
P(B) = min{P(D)+1, P(E)+2}；
P(C) = min{P(E)+5, P(F)+4}；
D1 B 2 A
2
3
5
P(B)
E
C
4 P(C)
F
…
P(N) = 2;
P(O) = 3;
上述递推公式告诉我们，要求P(A)需要先 求出阶段5中的P(B)和P(C)；要求 P(B) (或者 P(C)），又要先求出阶段4中的 P(D) 和 P(E) (或P(F)和P(E))……
两种算法的差别在于，贪心法产生一个 按贪心策略形成的判定序列，该序列不 保证解是全局最优的。而动态规划会产 生许多判定序列，再按最优性原理对这 些序列加以筛选，去除那些非局部最优 的子序列。
举例说明动态规划思路
问题： 在数字串中插入若干乘号使 总的乘积最大
* s
3215 0123
**
125 456
if (a<=b ) return a; else return b; }
动态规划的几个概念:
阶段：据空间顺序或时间顺序对问题的求 解划分阶段。
状态：描述事物的性质，不同事物有不同 的性质，因而用不同的状态来刻画。对 问题的求解状态的描述是分阶段的。
决策：根据题意要求，对每个阶段所做出 的某种选择性操作。
状态转移方程：用数学公式描述与阶段相 关的状态间的演变规律。
动态规划是运筹学的一个重要分支，是解 决多阶段决策过程最优化的一种方法。
所谓多阶段决策过程，是将所研究的过程 划分为若干个相互联系的阶段，在求解 时，对每一个阶段都要做出决策，前一 个决策确定以后，常常会影响下一个阶 段的决策。
动态规划所依据的是“最优性原理”。
q=l=0
q=l,l+1,…,r-k *
32151 2 5 01234 5 6
d( l,q)=d(0,0)=3 p( q+1,r,k-1 )=p( 1,6,2 )
(p( 0,6,3)|q=0) = 3 * p( 1,6,2 )
q= l+1=1 * 32151 2 5 01234 5 6
d(l,q)=d(0,1)= 32 p( q+1,r,k-1 )=p( 2,6,2 )
for(int i=1;i<4;i++)
//x轴上的点
p[i][0]=p[i-1][0]+v[i-1][0];
for(int i=1;i<4;i++)
//内部的点
for(int j=1;j<4;j++)
p[i][j]=min( ( p[i-1][j]+v[i-1][j]),
(p[i][j-1]+h[i][j-1]) );
P[0][0] = 0;
对于阶段1:
P[0][1] = P[0][0]+h[0][0] = 0+3 = 3;
P[1][0] = P[0][0]+v[0][0] = 0+2 = 2;
对于阶段2
P[1][1] = min{ P[0][1]+v[0][1], P[1][0]+h[1][0]} = min{3+1, 2+2} = 4
4. 为了计算方便，将图1改为图2
x
3 h[3][0]
h[3][1]
h[3][2] (3, 3)
v[2][0]
v[2][1]
v[2][2]
v[2][3]
2 h[2][0]
h[2][1]
h[2][2]
v[1][0]
v[1][1]
v[1][2]
v[1][3]
1 h[1][0]
h[1][1]
h[1][2]
显然，要依照上述递推过程求解，需要倒 过来，从P(P)出发，先求出第一阶段的P(O) 和P(N)，再求第二阶段的P(K)，P(L)， P(M)；……，最后得到P(A)。
3. 选择数据结构，将每条路经的长度存在数 组中。
东西方向上的道路长度存在两维数组h[4][3]中规 定数组的第一维为行号，第二维为列号。