多元回归分析报告SPSS

多元线性回归分析预测法

多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method ，多元线性回归分析法）

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多元线性回归分析预测法概述

在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，

也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者

有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，

也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。

多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立

预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。

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多元线性回归的计算模型⑴

一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因

变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来

解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。

设y为因变量，I」-…为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：

y = 6()+ ^1X1 + &2为2 丨■…+ b k Xk+ e

其中，b o为常数项，•- ' ■「为回归系数，b i为’•' 「固定时，x i每增加一

个单位对y的效应，即X i对y的偏回归系数；同理b2为’•二•，固定时，X2每增加一

个单位对y的效应，即，X2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x i,X2同一个因变量y呈线

相关时，可用二元线性回归模型描述为：

y = fto 4 &15C1 + 血力!2 + …+ bkXk I E

其中，b o为常数项，• • ■ •「为回归系数，b i为固定时，X2每增加一个单位对y的效应，即X2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量X i,X2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：y = b o + b i X i + b2X2 + e

建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果变量的选择，

，应首先注意自

其准则是：

(1) 自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关；

(2) 自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；

(3) 自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之

因的相关程度；

(4) 自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。

多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和(二「)

为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为

工＞=宛馆+加刀巧I检刀牝刀衍“=论刀①1 + %力听+傀刀巧①2 刀x7y= % £叼I加刀①炖I直刀诡

解此方程可求得b o,b i,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得

多元线性回归模型的检验⑴

多元性回归模型与一元线性回归模型一样

，在得到参数的最小二乘法的估计值之后

，也需要

进行必要的检验与评价，以决定模型是否可以应用。

1、拟合程度的测定。

与一元线性回归中可决系数 r 2相对应，多元线性回归中也有多重可决系数

r 2,它是在因变量

的总变化中，由回归方程解释的变动 (回归平方和)所占的比重，R 2越大，回归方各对样本数据点 拟合的程度越强，所有自变量与因变量的关系越密切。计算公式为：

丘2 =刀(@_@)2

E(y - y)2

=1 E(y-y)2 =

E(y-y)2

其中，

力(妙一 y)2 =工/ —(悅£片+ % £②1“ +址5T ②汕+…+加5T 巩卩)

I

- y)2 =为『一：(为诉 I V

2. 估计标准误差

9

1 21JC-

2

2 ^22

£

估计标准误差，即因变量y的实际值与回归方程求岀的估计值A

之间的标准误差，估计标准

误差越小，回归方程拟合程度越程

Sy

y

其中，k为多元线性回归方程中的自变量的个数。

3. 回归方程的显著性检验

回归方程的显著性检验，即检验整个回归方程的显著性，或者说评价所有自变量与因变量的线性关系是否密切。能常采用F检验，F统计量的计算公式为：

= Ed歹尸/氐

=页_卯加_应_ 1

R2/k

(l-7?2)/n-fr-l

根据给定的显著水平a,自由度（k,n-k-1）查F分布表，得到相应的临界值F a,若F > F a,则回归方程具有显著意义，回归效果显著； F < F a，则回归方程无显著意义，回归效果不显著。

4. 回归系数的显著性检验

在一元线性回归中，回归系数显著性检验（t检验）与回归方程的显著性检验（F检验）是等价的，但在多元线性回归中，这个等价不成立。t检验是分别检验回归模型中各个回归系数是否具有显著性，以便使模型中只保留那些对因变量有显著影响的因素。检验时先计算统计量t i；然后根据给定的显著水平a,自由度n-k-1查t分布表，得临界值t a或t a / 2,t > t - a或t a / 2，则回归系数b i与0有显著关异，反之，则与0无显著差异。统计量t的计算公式为：

其中，C j是多元线性回归方程中求解回归系数矩阵的逆矩阵（x'x）-1的主对角线上的第j个元素。对二元线性回归而言，可用下列公式计算: