奇偶性PPT教学课件
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奇偶性ppt课件
二、奇函数定义：
一般地，设函数()的定义域为 ,如果∀ ∈ ,
都有− ∈ ,且(−) = −(),那么函数()就叫做
奇函数。
定义理解： 1.定义域关于原点对称。
2.图象关于原点对称。
例析
例.判断下列函数的奇偶性.
(1)() = 4 ;
(3)() = +
(2)() = 5 ;
(2)再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立；
(3)根据定义下结论．
三、达标检测
1．下列函数是偶函数的是(
A．f(x)＝x
)
B．f(x)＝2x2－3
C．f(x)＝ x
C
D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]
3. 若函数y = f x , x ∈ −1, a a > −1 是奇函数，则 = （
答：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值()也是一对相反数.
推理证明
例如，对于函数f(x) = x，有
(−3) = −(3)
(−2) = −(2)
(−1) = −(1)
实际上，∀x ∈ R, 都有 f −x = −x = −f(x)
这时称函数() = x为奇函数.
新课讲解——奇函数
3.2函数的基本性质
➢3.2.2 奇偶性
一、观察探究：
画出并观察函数f x = x 2 和g x = 2 − x 的图象，你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
两个函数图象都关于y轴对称
一、观察探究
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
相反数
发现：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
. > −3 > (−2)
函数的奇偶性课件PPT(共20张PPT)
已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，
并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下
图补充完整。
y
y
o
x
f(x)
o
x
g(x)
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方用 到了今天的知识吗？
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方 用到了今天的知识吗？
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方用到 了今天的知识吗？
3、什么是轴对称图形和中心对称图形。
y
y=x
2
9 从图象上你能发 如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x
2、通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括力。
8 如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x
从图象上你能发现什么吗？
现什么吗？
已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
f(-1)=1 =f(1) 已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
-3 -2 -1 0 1 2 3 已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
观察图象，你能发现它们的共同特征吗？
6 4
y
y=x
2
6y 4
y=
1 x
2
42 -2 -4 -6
246 x
42 -2 -4 -6
246 x
f(-3)=3 =-f(3) f(-2)=2 =-f(2)
f(-1)=1 =-f(1)
f(-3)=- 13=-f(3) f(-2)=- 12=-f(2)
函数的奇偶性ppt课件
(3) f (x) x x2 非奇非偶函数
关于原点对称
f (x) 1x2
1 x2
既是奇函数又是偶函数
f (x)
f (x)为偶函数
七、回顾总结——提纲挈领
知识
函数
奇偶性
方法
数学思想
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 函数
表格中数字的特 点猜想出一般的 结论
特殊到 一般
奇偶函数
奇偶函数
的定义 数形结合 图象性质
四、判断偶函数的方法
方法一：定义法
是 否
方法二：图象法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 f (x) x f (x) x2 表格中数字的特点猜
想出一般的结论
特殊到 一般
偶函数 数形结 偶函数 定义 合 图象性质
判断偶函 数的方法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
判断奇偶函数的 方法
• 奇函数定义：
设函数 y f ( x) 的定义域为D，
如果对定义域D内的任意一个 x，都有 x D
且 f (x) f (x) ，则这个函数叫做奇函数.
• 奇函数
图象 关于原点对称
• 判断奇函数的方法: 定义法 图象法
六、学以致用——概念强化
1、已知f (x)是偶函数，且x 3, a,求a的值。
f (x) x … 3 2 1 0 1 2 3 … f (x) x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
特 f (1) ＝f (1)
例 f (2) ＝ f (2)
f (3) ＝f (3)
f (a)＝ f (a)
一般 规律： f(-x)＝ f(x)
结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，
关于原点对称
f (x) 1x2
1 x2
既是奇函数又是偶函数
f (x)
f (x)为偶函数
七、回顾总结——提纲挈领
知识
函数
奇偶性
方法
数学思想
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 函数
表格中数字的特 点猜想出一般的 结论
特殊到 一般
奇偶函数
奇偶函数
的定义 数形结合 图象性质
四、判断偶函数的方法
方法一：定义法
是 否
方法二：图象法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 f (x) x f (x) x2 表格中数字的特点猜
想出一般的结论
特殊到 一般
偶函数 数形结 偶函数 定义 合 图象性质
判断偶函 数的方法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
判断奇偶函数的 方法
• 奇函数定义：
设函数 y f ( x) 的定义域为D，
如果对定义域D内的任意一个 x，都有 x D
且 f (x) f (x) ，则这个函数叫做奇函数.
• 奇函数
图象 关于原点对称
• 判断奇函数的方法: 定义法 图象法
六、学以致用——概念强化
1、已知f (x)是偶函数，且x 3, a,求a的值。
f (x) x … 3 2 1 0 1 2 3 … f (x) x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
特 f (1) ＝f (1)
例 f (2) ＝ f (2)
f (3) ＝f (3)
f (a)＝ f (a)
一般 规律： f(-x)＝ f(x)
结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，
函数的奇偶性PPT精品课件
∴f(x)为非奇非偶函数
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
点此播放讲课视频
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
点此播放讲课视频
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
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在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
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观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
奇偶性-完整版PPT课件
少种？
小结收获：
❖ 请你回顾一下本节课研究什么内容，从哪些 角度去研究，用到了哪些什么思想方法。
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数
它的图象关于原点对称。 它的图象关于y轴对称。
课内作业：
❖ P36.第一题；P4410(1)(2)
例2.证明函数f(x)=
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
√1-x2 的奇偶性。
|x+2|-2 -1≦x≦1
-1≦x ≦1且x ≠0
x≠0且x≠-4
∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
∴f(x)= √1-x2 (x+2)-2
= √1-x2 x
∵f(-x)=
√1-(-x)2 -x
= - √1-x2 x
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(ห้องสมุดไป่ตู้)就叫奇函数.
思考：对比函数的单调性，函数的奇偶性是局部性质 还是整体性质？
判断下列函数的奇偶性
(1). f(x)=x3 x∈[1 , 3] (2). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
f(x)为非奇非y偶函数
f(x)为非奇非偶函数 y
o1 3 x
-1 o
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
g(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3
对于函数f(x)=x2 f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
你能否推广到一个一般的结论, 并证明呢？
思考：请大家不看课本自己尝试 着从代数的角度来给偶函数下个
小结收获：
❖ 请你回顾一下本节课研究什么内容，从哪些 角度去研究，用到了哪些什么思想方法。
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数
它的图象关于原点对称。 它的图象关于y轴对称。
课内作业：
❖ P36.第一题；P4410(1)(2)
例2.证明函数f(x)=
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
√1-x2 的奇偶性。
|x+2|-2 -1≦x≦1
-1≦x ≦1且x ≠0
x≠0且x≠-4
∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
∴f(x)= √1-x2 (x+2)-2
= √1-x2 x
∵f(-x)=
√1-(-x)2 -x
= - √1-x2 x
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(ห้องสมุดไป่ตู้)就叫奇函数.
思考：对比函数的单调性，函数的奇偶性是局部性质 还是整体性质？
判断下列函数的奇偶性
(1). f(x)=x3 x∈[1 , 3] (2). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
f(x)为非奇非y偶函数
f(x)为非奇非偶函数 y
o1 3 x
-1 o
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
g(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3
对于函数f(x)=x2 f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
你能否推广到一个一般的结论, 并证明呢？
思考：请大家不看课本自己尝试 着从代数的角度来给偶函数下个
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
奇偶性课件ppt百度文库
代数证明方法还包括利用奇偶函数的定义和性质进行证明，如奇函数和偶函数的 定义、奇偶函数的性质等。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
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分析 f(1： a)f(2a1)0 f(1a)f(12a) 11a1 0a2 112a1 0a1 0a1 1a12a a0
2020/12/09
7
课堂小结
➢1.函数的奇偶性可以帮助画图，求值域，进而简化问 题. ➢2.抽象函数的问题，往往都要回归函数的基本性质去 解决.
2020/12/09
8
有效训练
1.已知定R义 上在 的函 f(x)数 对任意x实 ,y恒 数有 f(x)f(y)f(xy),且当 x0时， f(x)0, f(1)2
3 (1)求证f(： x)为奇函数； (2)求证f(： x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在3,6上的最大值.和最小值
解： (1)令x y 0,得f (0) 0 令y x,得f (x) f (x) f (0) 0 f (x) f (x) 故f (x)为奇函数
2020/12/09
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(2)设x1 x2,则
f (x1)f (x2) f(x1x2)x2f (x2)
f (x1x2)f (x2)f (x2)f (x2) f (x1x2) x1x1 0 f (x1x2)0即f (x1) f (x2) 故f (x)是R上的减函 . 数
(3)由 (2)知函数 单 f(x)调 mi nf递 (6),f减 (x)maxf(3) f(2)2f(1)4f(3)f(1)f(2） 2
2020/12/09
11
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谢谢观看
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2020/12/09
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Байду номын сангаас
检测交流
1.奇函数y=f(x)在x=0处有意义,则有f(0)= 0 ,奇函
数的图像关于 (0，成0中) 心对称;偶函数y=f(x),则f(x)
=f(-x) =
;f偶(|函x|数) 的图像关于
成轴y轴对称.
2.已知y=f(x)，当x>0时，函数值的取值范围[1,2],若
y=f(x)为奇函数，则函数的值为
1.3.2奇偶性
第二课时
2020/12/09
1
学习目标
➢1.理解奇偶函数的定义、图像的对称性. ➢2.会应用奇偶函数的定义、性质解决简单抽象函数问 题.
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2
自学指导
➢ 1.独立完成检测交流知识填空部分，6分钟时间完成. ➢ 2.同学交流探讨，如何解决例题.
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3 f(6)2f(3)4 又 f(x)为奇 函 f(3数 )f(3)2
故 f(x)mi n4,f(x)max2
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问题归纳
➢1.抽象函数判断奇偶性，一般先赋值，再用定义. ➢2.求单调性，要根据用定义求单调性的三个步骤， 同时注意对题目恒等式的使用. ➢3.求最值或者值域时，前提要知道函数的单调性， 从而明确在什么位置取得最大值或最小值.
A.(- ∞，2)
B.(2，+∞)
C.(-∞，-2)∪(2，+ ∞) D.(-2，2）
y
-2 o 2
x
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例 2.设 f(x)在 R上是偶函数 -， 0， 递在 增区 ，
f(3a2a1)f(3a22a1)求 , a的取值 . 范
分析：
3a2 a13(a1)2 110,3a2 2a13(a1)2 20
6 12
33
而3a2 a1,3a2 2a1同处在0， （ ）这个单调递减区
f (3a2 a1) f (3a2 2a1)3a2 a13a2 2a1
a0
归纳： 与抽象函数有关的不等式，关键是“脱掉”对应
法则，往往要回归到函数的基本性质去解决问题.
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6
例3.奇函f(数 x)是定义 (1,1在 )上的减函数， f(1a)f(2a1)0,求实a的 数取值. 范围
.
[-2，-1]∪[1，2]
若y=f(x)为偶函数，则函数的值域为
.
[1,2]
3.奇函数在(0,+∞)递增，则在(-∞,0) 递增;偶函数在
(0,+∞)递增,则在(-∞,0) 递减.
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例1.（2005.重庆)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，
在（- ∞，0]上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0 的x的取值范围是（ D ）
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课堂小结
➢1.函数的奇偶性可以帮助画图，求值域，进而简化问 题. ➢2.抽象函数的问题，往往都要回归函数的基本性质去 解决.
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有效训练
1.已知定R义 上在 的函 f(x)数 对任意x实 ,y恒 数有 f(x)f(y)f(xy),且当 x0时， f(x)0, f(1)2
3 (1)求证f(： x)为奇函数； (2)求证f(： x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在3,6上的最大值.和最小值
解： (1)令x y 0,得f (0) 0 令y x,得f (x) f (x) f (0) 0 f (x) f (x) 故f (x)为奇函数
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(2)设x1 x2,则
f (x1)f (x2) f(x1x2)x2f (x2)
f (x1x2)f (x2)f (x2)f (x2) f (x1x2) x1x1 0 f (x1x2)0即f (x1) f (x2) 故f (x)是R上的减函 . 数
(3)由 (2)知函数 单 f(x)调 mi nf递 (6),f减 (x)maxf(3) f(2)2f(1)4f(3)f(1)f(2） 2
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检测交流
1.奇函数y=f(x)在x=0处有意义,则有f(0)= 0 ,奇函
数的图像关于 (0，成0中) 心对称;偶函数y=f(x),则f(x)
=f(-x) =
;f偶(|函x|数) 的图像关于
成轴y轴对称.
2.已知y=f(x)，当x>0时，函数值的取值范围[1,2],若
y=f(x)为奇函数，则函数的值为
1.3.2奇偶性
第二课时
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学习目标
➢1.理解奇偶函数的定义、图像的对称性. ➢2.会应用奇偶函数的定义、性质解决简单抽象函数问 题.
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自学指导
➢ 1.独立完成检测交流知识填空部分，6分钟时间完成. ➢ 2.同学交流探讨，如何解决例题.
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3 f(6)2f(3)4 又 f(x)为奇 函 f(3数 )f(3)2
故 f(x)mi n4,f(x)max2
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问题归纳
➢1.抽象函数判断奇偶性，一般先赋值，再用定义. ➢2.求单调性，要根据用定义求单调性的三个步骤， 同时注意对题目恒等式的使用. ➢3.求最值或者值域时，前提要知道函数的单调性， 从而明确在什么位置取得最大值或最小值.
A.(- ∞，2)
B.(2，+∞)
C.(-∞，-2)∪(2，+ ∞) D.(-2，2）
y
-2 o 2
x
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例 2.设 f(x)在 R上是偶函数 -， 0， 递在 增区 ，
f(3a2a1)f(3a22a1)求 , a的取值 . 范
分析：
3a2 a13(a1)2 110,3a2 2a13(a1)2 20
6 12
33
而3a2 a1,3a2 2a1同处在0， （ ）这个单调递减区
f (3a2 a1) f (3a2 2a1)3a2 a13a2 2a1
a0
归纳： 与抽象函数有关的不等式，关键是“脱掉”对应
法则，往往要回归到函数的基本性质去解决问题.
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例3.奇函f(数 x)是定义 (1,1在 )上的减函数， f(1a)f(2a1)0,求实a的 数取值. 范围
.
[-2，-1]∪[1，2]
若y=f(x)为偶函数，则函数的值域为
.
[1,2]
3.奇函数在(0,+∞)递增，则在(-∞,0) 递增;偶函数在
(0,+∞)递增,则在(-∞,0) 递减.
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例1.（2005.重庆)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，
在（- ∞，0]上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0 的x的取值范围是（ D ）