华工应用随机过程试卷及参考答案

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应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

第一章习题解答1. 设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,k P X k pq k === 。

求X 的特征函数,EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=(其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、(1) 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩(2) 其期望和方差;(3) 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。

解 (1)设X 服从(,)p b Γ分布,则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ (2)'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===(4) 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得:()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量,()F x 是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。

《应用随机过程》A卷及其参考答案

《应用随机过程》A卷及其参考答案

,求
E
X
X
c;
2、(15 分,选做一题)(1)设 Xi E i , i 1, 2 ,且 X1, X 2 独立,试
由条件数学期望的一般定义以及初等条件概率定义的极限分别求
E IX1X2 X1 X 2 t P X1 X 2 X1 X 2 t ,t 0 ;(2)设 X1, X 2 , , X n 独
T 2 t dt 0
,令
Z
t
exp
t
0
u
dW
u
1 2
t 0
2
u
du
,则
dZ
t
t
Z
t
dW
t

从而Z t ,0 t T 是一个连续鞅。
1
三、计算证明题(共 60 分)
得分
1、(13 分)假设 X~E ,给定 c 0 ,试分别由指数分布的无记忆性、
条件密度和 E X
A
E
P
XI A
A
x
0
,且
q
x
dx
1
;(b)存在
a
0
,使得
p q
x x
a(当
p
x
0
时),令 r x a qpxx(当 p x 0 时,规定 r x 0 );又记 M U r X ,
3
试证明:
P
X
z
M
z
q
x dx
,即
X

M
发生的条件下的条件密度
函数恰是 q x ;(2)设有 SDE:dXt (aXt b
(2) ___________________________________________________;

华工综评机试题目广州

华工综评机试题目广州

华工综评机试题目广州
综评机试题目广州华工
1. 在一个数组中,找出两个数的和等于目标值的所有组合。

2. 请实现一个函数,判断一个字符串是否是回文串。

3. 编写一个程序,判断一个正整数是否为素数。

4. 实现一个函数,将给定的二叉树展开为一个单链表,要求链表的顺序为二叉树的先序遍历顺序。

5. 编写一个函数,输入两个字符串,判断第二个字符串是否为第一个字符串的子串。

6. 设计一个缓存结构,满足以下要求:
- 缓存大小固定,当缓存满时,再加入新的数据时,需要删除最久没有被访问的数据;
- 每个数据项都有一个访问次数,当访问某个数据项时,需要增加其访问次数,且每次访问之后的次数会更新为最新值; - 需要支持以访问次数为排序方式的范围查询,即查询在某个范围内访问次数的数据项。

7. 设计一个多线程程序,使用互斥锁解决线程并发访问共享资源的问题。

8. 实现一个简单的迷宫求解算法,输入一个迷宫地图,求从起
点到终点的最短路径。

9. 实现一个简单的单词计数器,统计一个文本文件中每个单词出现的次数,并按照出现次数从大到小排序输出。

10. 设计一个计算器程序,支持四则运算和括号,并能处理表达式中的错误情况。

以上为华工综评机试题目的一部分,具体题目可能会根据不同年份和专业的要求变化。

应聘者可以根据自己的能力和兴趣进行选择,并在规定的时间内完成相应的编程任务。

华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案

华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案

二、(12分)在某种牌赛中,5张牌为一组,其大小与出现的概率有关。

一付52张的牌(四种花色:黑桃、红心、方块、梅花各13张,即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14),求(1)同花顺(5张同一花色连续数字构成)的概率;(2)3张带一对(3张数字相同、2张数字相同构成)的概率;(3)3张带2散牌(3张数字相同、2张数字不同构成)的概率。

三、(10分)某安检系统检查时,非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02;而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。

假设过关人中有96%是非危险人物。

问:(1)在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率?(2)如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率,至少需安设多少道这样的检查关卡?四、(8分)随机变量X 服从),(2σμN ,求)0( >=a a Y X 的密度函数五、(12分)设随机变量X、Y的联合分布律为:已知E(X+Y)=0,求:(1)a,b;(2)X的概率分布函数;(3)E(XY)。

六、(10分)某学校北区食堂为提高服务质量,要先对就餐率p进行调查。

决定在某天中午,随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。

设调查了n个同学,其中在北区食堂用过餐的学生数为m,若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内,问n应取多大?七、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域:{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。

(1)求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度;(2)已知36,12==DY DX ,求参数a 、b ;(3)判断随机变量X 与Y 是否相互独立?八、(8分)证明:对连续型随机变量ξ,如果c E =3||ξ存在,则0>∀t ,3)|(|t ct P ≤>ξ。

九、(12分)设(X ,Y )的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求(1)常数A ;(2)P(X<0.4,Y<1.3);(3)sY tX Ee +;(4)EX ,DX ,Cov(X ,Y)。

华南理工大学期末考试试卷及参考答案Ba

华南理工大学期末考试试卷及参考答案Ba

,考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试《信号与系统》试卷B1. 考前请将密封线内填写清楚;所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); .考试形式:闭 卷;2分/题,共20分)1) 信号x(n), n=0,1,2,3,…是能量有限的意思是a) x(n)有限;b) |x(n)|有界;c)()2n x n ∞=<∞∑; d)()01Nn x n N=<∞∑。

c2) 一个实信号x(t)的偶部是a) x(t)+x(-t); b) 0.5(x(t)+x(-t)); c) |x(t)|-|x(-t)|; d) x(t)-x(-t)。

b 3) LTI 连续时间系统输入为(),0ate u t a ->,冲击响应为h(t)=u(t), 则输出为a)()11at e a --; b) ()()11at e t a δ--; c) ()()11at e u t a --; d) ()()11at e t aδ---。

c 4) 设两个LTI 系统的冲击响应为h(t)和h 1(t),则这两个系统互为逆系统的条件是 a) ()()()1h t h t t δ*=; b) ()()()1h t h t u t *=; a c) ()()()1h t h t u t *=-; d) ()()10h t h t *=。

5) 一个LTI 系统稳定指的是a) 对于周期信号输入,输出也是周期信号;b)对于有界的输入信号,输出信号趋向于零;c)对于有界输入信号,输出信号为常数信号;d)对于有界输入信号,输出信号也有界 d6) 离散信号的频谱一定是a) 有界的;b) 连续时间的;c) 非负的;d) 连续时间且周期的。

d 7) 对于系统()()()dy t y t x t dtτ+=,其阶跃响应为 a) ()/1t e u t τ-⎡⎤-⎣⎦; b) ()/1t e t τδ-⎡⎤-⎣⎦; c) ()/1t e u t τ-⎡⎤+⎣⎦; d) ()/1t e t τδ-⎡⎤+⎣⎦. a8) 离散时间LTI 因果系统的系统函数的ROC 一定是a) 在一个圆的外部且包括无穷远点; b)一个圆环区域;c) 一个包含原点的圆盘;d) 一个去掉原点的圆盘。

应用化工考试题目及答案

应用化工考试题目及答案

应用化工考试题目及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列哪种物质不属于化工原料?A. 硫酸B. 尿素C. 聚乙烯D. 铁矿石答案:D2. 化工生产中常用的催化剂是?A. 氧化铜B. 氢氧化钠C. 硫酸D. 硝酸答案:A3. 化工生产中,下列哪种设备用于分离液体混合物?A. 反应器B. 分馏塔C. 过滤器D. 蒸发器答案:B4. 化工生产中,下列哪种操作不属于单元操作?A. 混合B. 过滤C. 蒸馏D. 化学反应答案:D5. 在化工生产中,下列哪种物质常用作制冷剂?A. 氨B. 二氧化碳C. 氮气D. 氧气答案:A6. 化工生产中,下列哪种物质不属于有机化合物?A. 甲烷B. 乙醇C. 氯化钠D. 苯答案:C7. 化工生产中,下列哪种物质常用作抗氧化剂?A. 维生素CB. 硫酸亚铁C. 碳酸氢钠D. 氢氧化钠答案:B8. 在化工生产中,下列哪种设备用于加热?A. 冷凝器B. 蒸发器C. 反应器D. 热交换器答案:D9. 化工生产中,下列哪种物质常用作干燥剂?A. 氯化钙B. 硫酸铜C. 氢氧化钠D. 硫酸答案:A10. 在化工生产中,下列哪种操作用于控制反应速率?A. 增加反应物浓度B. 提高温度C. 增加催化剂D. 以上都是答案:D二、填空题(每题2分,共20分)1. 化工生产中,常用的酸碱指示剂有________和________。

答案:酚酞、甲基橙2. 化工原料中的“三酸两碱”指的是硫酸、盐酸、________和氢氧化钠、________。

答案:硝酸、氢氧化钾3. 在化工生产中,________是一种重要的化工原料,广泛应用于合成橡胶、合成纤维和塑料等领域。

答案:乙烯种化工产品。

答案:氢气5. 化工生产中,________是一种常用的有机溶剂,广泛应用于油漆、涂料和清洁剂等领域。

答案:甲苯6. 化工生产中,________是一种常用的氧化剂,可用于制备多种化工产品。

答案:氧气7. 化工原料中的“三烯”指的是乙烯、丙烯和________。

华工新生入学数学考试试卷与解答(1)

华工新生入学数学考试试卷与解答(1)

第 1 页/共 6 页一、 填空题(每小题5分,共10题)1)在三角形ABC ∆,三个内角A 、B 、C 对应的边分离为,,a b c ,已知22222sin 5b c a bc A bc +=-+,则cos A =35-。

2),0,2a b π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,函数()()sin f x a ax b =+关于轴2x =对称,则112a b +的取值范围是9[,)π+∞。

3)随意画一个三角形,其随意两个内角之和大于第三个内角的概率为14。

4)F 是椭圆22143x y +=的一个焦点,12,,,n P P P 是此椭圆上的点,倘若{}nFP 是以150为公差的等差数列,S 是此数列的和,则S 的最大值为202。

5)三棱锥P ABC -中90APB BPC APC ︒∠=∠=∠=,2,4,6PA AB BC ===,则三棱锥P ABC -的外接球的半径为。

6)已知函数()21010x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则不等式()()212f x f x ->的解集为[1,[1)-=-。

7)已知F 是抛物线24y x =的焦点,点,,A B C 是此抛物线上的点,且有0FA FB FC ++=,则FA FB FC ++=6。

8)圆221x y +=与直线2y x m =+相交于,A B 两点,且,OA OB 与x 正方向所成的角为,αβ(以x 正方向为始边,逆时针旋转),()sin αβ+=45-。

9)已知函数()()22log log a a y a x ax =⋅,当[]2,4x ∈时,y 的取值范围是1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则a 的取值为12。

10)对于二次函数()2f x ax bx c =++有()00f '>,且对任给的x R ∈使得20ax bx c ++≥恒成立,则()0a b cf ++'的最小值为2。

二、 解答题(本大题共5题,每小题10分)11)数列{}n a 是正数数列,且对随意正整数n 有11n na a +≤-,试证实: 1、当1n ≥时,n a ≤ 2、当2n ≤时,()212n a n ≤+证实:1、因为11n na a +≤-所以12n n a a a +-又因为数列{}n a 是正数数列,所以数列{}n a 是递减的,因此12n n a a a +≤-=≤第 3 页/共 6 页n a ≤2、由n a ≤1≤当2n =(221111416a ⎤≤≤⇒≤⎦ 假设n k =时有()212k a k ≤+,当1n k =+时,(1112k ≤≤+ 12k a k ≤⇒+综上命题得证。

华南理工大学概率论-04-05含答案

华南理工大学概率论-04-05含答案
,n=5, -------------------8分
所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77](单位:℃)-------10分
解答与评分标准
一.1.(D)、2.(D)、3.(A)、4.(C)、5.(C)
二.1.0.85、2.n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4
(1) 4个球全在一个盒子里;
(2)恰有一个盒子有2个球.
四.(本题10分)设随机变量ξ的分布密度为
(1)求常数A; (2)求P(ξ<1);(3)求ξ的数学期望.
五.(本题10分)设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是
η=1
η=2
η=4
η=5
ξ=0
0.05
0.12
0.15
0.07
ξ=1
0.03
0.10
概率论试题(2004-2005学年第一学期)(含答案)
一.单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设事件A和B的概率为 则 可能为()
(A) 0; (B) 1; (C) 0.6;(D) 1/6
2.从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为()
(A) ; (B) ;(C) ;(D)以上都不对
3.投掷两个均匀的骰子,已知点数之和是偶数,则点数之和为6的概率为()
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
4.某一随机变量的分布函数为 ,则F(0)的值为()
(A) 0.1; (B) 0.5;(C) 0.25; (D)以上都不对
5.一口袋中有3个红球和2个白球,某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得5分,摸得白球得2分,则他所得分数的数学期望为()

华工应用随机过程试卷及参考答案

华工应用随机过程试卷及参考答案

华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷(A 卷)(闭卷时间 120 分钟)院/系年级 __专业姓名学号1、设X 是概率空间(Ω,F ,P )且EX 存在,C 是F 的子σ-域,定义E (XC )如下:(1)_______________ ;(2)_____________________________________________ ; 2、设{N (t ),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程,则 N (t )具有_____、_____增量,且∀t >0,h >0充分小,有:P ({N (t + h )− N (t ) = 0})= ________,P ({N (t + h )− N (t ) =1})=_____________;3、设{W (t ),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动,则∀t >0,W (t ) ~____,且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅(过程);4、倒向随机微分方程(BSDE )典型的数学结构为__________ ______________________________,其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。

二、证明分析题(共 12 分,选做一题)1、设X 是定义于概率空间(Ω,F ,P )上的非负随机变量,并且具有指数分布,即:P({X ≤ a}) =1−e−λa ,a >0,其中λ是正常数。

设λ是另一个正常数,定义:Z = λλe−(λ−λ)X ,由下式定义:P(A)=∫A ZdP,∀A∈F ;(1)证明:P(Ω) =1;(2)在概率测度P 下计算的分布函数:P({X ≤ a}),a>0;2、设X0~U (0,1),X n+1~U (1−X n,1),n≥1,域流{F n,n≥ 0}满足:F n =σ(X k,0 ≤k≤n),n≥ 0 ;又设Y0 = X0 ,Y n = 2n ⋅∏kn=1 1 X−k X −1 k ,n ≥1,试证:{Yn,n ≥ 0}关于域流{F n,n ≥ 0}是鞅!三、计算证明题(共60 分)1、(12 分)假设X~E(λ),给定c >0,试分别由指数分布的无记E(XI A )忆性和E(X A) = ,求E(XX >c);P(A)2、(10 分,选做一题)(1)设X~E(λ),Y~E(μ),λ> μ,且X,Y 相互独立;∀c >0,设fX X )为给定X +Y = c 时X 的条件概率密度,试求之并由此求+Y (x cE(X X +Y = c);⎧1)及(2)设(X,Y)~f (x, y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;,试求fY X (y x⎪⎩0,其它;P(X 2 +Y 2 ≤1X = x),并由此(连续型全概率公式)求P({X 2 +Y 2 ≤1});3、(4 分,选做一题)(1)设X,Y独立同U [0,1]分布,试基(2)设于微元法由条件密度求E(XX <Y);(X,Y)~U (D),D:0 ≤ y≤x≤1,试由条件数学期望的直观方法求E(YX )、E ⎡⎣(Y −X )2X ⎤⎦;[0,1]分布,Y = min{X1, X2, , 4、(10 分)设X1, X2, , X n 独立同U求E(X1Y) = E(X1 σ(Y));X n},试由条件数学期望的一般定义5、(14 分)设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的Poisson 过程,S0 = 0,S n 表示第n个事件发生(到达)的时刻,试求:(1)P(N (s) =kN (t) = n)(s <t,k = 0,1, ,n);(2)E(S k N (t) = n),k ≤ n;6、(10 分)设{W (t),t ≥ 0}为标准Brown 运动,试由Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程 d ⎡⎣S(t)⎤⎦= μS(t)dt +σS(t)dW (t),并求E ⎡⎣W4 (t)⎤⎦,E ⎡⎣W6 (t)⎤⎦。

华南理工大学概率论试卷4(含答案)

华南理工大学概率论试卷4(含答案)
P ( X 2004 ) ( A) 2 F ( 2004 ) ; (C ) 1 2 F ( 2004 ) ;
.
( B ) 2 F ( 2004 ) 1 ;
( D) 2[1 F ( 2004 )] .
2.
设二维随机变量 ( X , Y ) 服从 G 上的均匀分布, G 的区域由曲线 y x 2 与 y x 所围, .
1 96.04 4

n > [ 96.4 ]+1 = 97 人 .
x| 1 2 | x e dx 2 2 , 2
5. 解:
E( X 2 )


矩估计量 极大似然估计量 6.解:

1 n 2 Xi ; 2n i 1
1 n | Xi | . n i 1
五. 证明题 (6 分) 设 A , B , C 是不能同时发生但两两独立的随机事件,且 P ( A ) P ( B ) P (C ) , 证明 可取的最大值为 1/2. [ 附 正态分布、 t 分布、 2 分布数值表 ]
(1 .285 ) 0 .9, (1 .645 ) 0 .95 , (1 .96 ) 0 .975 , ( 2 .33 ) 0 .99
t 0.025 (5) 2.5706, t 0.025 (6) 2.4469, t 0.05 (5) 2.0150, t 0.05 (6) 1.9432
2 2 2 2 0.05 (5) 11.071, 0.05 (6) 12.592, 0.025 (5) 12.833, 0.025 (6) 14.449
解法二 设事件 B {两个中至少有一个是新球}, A {两个都是新球},则 A B ,

华南理工大学《物理化学》64-1试卷

华南理工大学《物理化学》64-1试卷

华南理工大学《物理化学》64-1试卷华南理工大学《物理化学》64-1试卷专业________ 班级编号______ 姓名分数一、选择题( 共10题, 15分)1. 下列的过程可应用公式△H = Q进行计算的是( ) (2分)A. 不做非体积功,始末态压力相同但中间压力有变化的过程B. 不做非体积功,一直保持体积不变的过程C. 273.15K,pθ下液态水结成冰的过程D. 恒容下加热实际气体2. 苯和甲苯在恒温恒压条件下混合形成理想液体混合物,其△mix S ( ) (1分)A. >0B. <0C. =0D. ≠03.N2(g)、O2(g)系统中加入一种固体催化剂,可生成一种气态氮氧化物,则系统的自由度为( ) (2分)A. A. 1B. 2C. 3D. 44. 纯水的表面张力为γ1,某溶质的表面张力为γ2 ,且γ2> γ1,制成水溶液后,溶质的表面浓度为c s,本体浓度为c,则( ) (2分)A. c s> cB. c s< cC. c s= cD. c s= 05. 在400 K时,液体A和B的蒸气压分别为40 kPa和60 kPa,两者组成理想液体混合物。

当气-液平衡时,溶液中A的摩尔分数为0.6,则在气相中B的摩尔分数应为( ) (2分)(A) 0.31 B. 0.40 C. 0.50 D. 0.606. 电解CuSO4溶液时,当通过溶液的电量为2F时,则在阴极上将析出Cu的量为( ) (1分)(A) 0.5 mol B. 1 mol C. 1.5 mol D. 2 mol7. 同外压恒温下,微小液滴的蒸气压比平面液体的蒸气压:( ) (1分)(A) 大 B. 一样 C. 小 D. 不定8. 在相图上,当系统处于下列哪一点时只存在一个相? ( ) (1分)(A) 恒沸点 B. 熔点 C. 临界点 D. 低共熔点9.反应A → 2B在温度T时的速率方程为d c B / d t = k B c A,则此反应的半衰期为:A.ln2/k B B.21n2/k B C.k B ln2 D.2k B ln210.下列哪一种不属胶系统统的电动现象? ( ) (1分)A.电导B.电泳C.电渗D.沉降电位二、填空题( 共6题,10分)1. 1.稀溶液的依数性计算公式有__________, __________, __________, __________。

(完整版)答案应用随机过程a

(完整版)答案应用随机过程a

山东财政学院2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A )(考试时间为120分钟)参考答案及评分标准考试方式: 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉一. 判断题(每小题2分,共10分,正确划√,错误划ⅹ)1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。

(ⅹ )2. 非周期的正常返态是遍历态。

(√ )3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元,则可断定该马氏链不是遍历的。

(ⅹ )4. 有限马尔科夫链没有零常返态。

(√ )5.若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有:0)(〉nd iip 。

(ⅹ )二. 填空题(每小题5分,共10分) 1. 在保险公司的索赔模型中,设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司,若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布,一年中保险公司的平均赔付金额是__240000元___。

2.若一个矩阵是随机阵,则其元素满足的条件是:(1)任意元素非负(2)每行元素之和为1。

三. 简答题(每小题5分,共10分)1. 简述马氏链的遍历性。

答:设)(n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率,,如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(〉=j n ij p p ,则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。

2. 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同?答:非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于:强度λ不再是常数,而是与t 有关,也就是说,不再具有平稳增量性。

它反映了其变化与时间相关的过程。

如设备的故障率与使用年限有关,放射物质的衰变速度与衰败时间有关,等等。

四. 计算、证明题(共70分)1. 请写出C —K 方程,并证明之. (10分)解:2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. (15分)解:若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程,是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量,并且与{}0),(≥t t X 也是独立的, )(t X =∑=t N i i Y1,那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程3. 顾客以泊松过程到达某商店,速率为小时人4=λ,已知商店上午9:00开门,求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时总计已达5位顾客的概率。

华工概率论与数理统计试卷及答案1

华工概率论与数理统计试卷及答案1
其中 是未知参数。从整体X中抽取简单随机样本 ,
(1)求的矩估量 ;
(2)讨论 是不是具有无偏性。
解:1、
其中:
2、
是参数 的无偏估量
(3)以95%的把握估量商场销售该商品一年中能取得的最高利润是多少?
解:设ξi:第i周的销量,则:ξi~P(9),i=1,…,50
令:μ=Eξi=9,σ2=Dξi=9
(1)
=
= = =

=,m=4151元
(3)设:M为最高利润,求M,.




总分
得 分
评卷人
可能用到的分位点:
一、(10分)已知: 求:
解:
=1-
=1-( )
=
( )
二、(15分)袋中有15个球,10个红球,5个黄球。不放回地分两次从袋中将球逐个掏出,第一次取5个球,第二次取6个球。求以下事件的概率:
(1)第二次6个球中的第5个是红球;
(2)第一次5个球中有2个黄球且第二次6个球中有4个红球;
=
(2)P(Bk|A)=
=
五、(15分)商场销售某种商品,每周销售量(件数)服从λ=9的泊松散布,各周的销售量彼此独立,一年按50个销售周计。每销售一件该商品商场可取得10元利润。求(精准到元):
(1)一年中商场售出该商品件数在400件到500件之间的概率;
(2)以95%的把握估量商场销售该商品一年中能取得的最低利润是多少?
(1)掏出的产品为次品的概率;
(2)当掏出的产品为次品时,它来自第1、2、3盒的概率各是多少?
解:设A:产品为次品
Bi:产品取自第i盒,i=1、2、3
则:P(B1)=1/2,P(B2)=1/6,P(B3)=1/3

华工《线性代数与概率统计》(工程数学)随堂练习参考答案

华工《线性代数与概率统计》(工程数学)随堂练习参考答案

华⼯《线性代数与概率统计》(⼯程数学)随堂练习参考答案《线性代数与概率统计》随堂练习参考答案1.计算?(A)A. B. C. D.2.⾏列式?(B)A.3 B.4 C.5 D.63.利⽤⾏列式定义计算n阶⾏列式:=?( C) A. B.C. D.4.⽤⾏列式的定义计算⾏列式中展开式,的系数。

(B) A.1, 4 B.1,-4 C.-1,4 D.-1,-45.计算⾏列式=?(B )A.-8 B.-7 C.-6 D.-56.计算⾏列式=?(D )A.130 B.140 C.150 D.1607.四阶⾏列式的值等于( D)A. B.C. D.8.⾏列式=?(B )A. B. C. D.9.已知,则?(A) A.6m B.-6m C.12m D.-12m10.设=,则? (D)A.15|A| B.16|A| C.17|A| D.18|A|11.设矩阵,求=?(B)A.-1 B.0 C.1 D.212.计算⾏列式=?(C)A.1500 B.0 C.1800 D.120013.齐次线性⽅程组有⾮零解,则=?(C )A.-1 B.0 C.1 D.214.齐次线性⽅程组有⾮零解的条件是=?(A)A.1或-3 B.1或3 C.-1或3 D.-1或-315.齐次线性⽅程组总有___解;当它所含⽅程的个数⼩于未知量的个数时,它⼀定有_B__解。

A.零零 B.零⾮零 C.⾮零零 D.⾮零⾮零16.设,,求=?(D )A. B. C. D.17.设矩阵,,为实数,且已知,则的取值分别为?(A )A.1,-1,3 B.-1,1,3 C.1,-1,-3 D.-1,1,-318.设, 满⾜, 求=?(C )A.B. C. D.19.设,,求=?(D )A. B. C. D.20.如果,则分别为?(B )A.0,3 B.0,-3 C.1, 3 D.1,-321.设,矩阵,定义,则=?( B)A.0 B. C. D.22.设,n为正整数,则=?( A)A.0 B.-1 C.1 D.23.设为n阶对称矩阵,则下⾯结论中不正确的是(C )A.为对称矩阵 B.对任意的为对称矩阵C.为对称矩阵 D.若可换,则为对称矩阵24.设为m阶⽅阵,为n阶⽅阵,且,,,则=?( D)A. B. C. D.25.下列矩阵中,不是初等矩阵的是:( C)A. B. C. D.26.设,求=?( D)A. B. C. D.27.设,求矩阵=?( B)A. B. C. D.28.设均为n阶矩阵,则必有(C )A. B. C. D.29.设均为n阶矩阵,则下列结论中不正确的是(D )A.若,则都可逆 B.若,且可逆,则C.若,且可逆,则 D.若,且,则30.设均为n阶可逆矩阵,则下列结论中不正确的是( B)A. B.C.(k为正整数) D.(k为正整数)31.利⽤初等变化,求的逆=?( D)A BC D.32.设,则=?( B)A. B. C. D.33.设,是其伴随矩阵,则=?(A )A. B. C. D.34.设n阶矩阵可逆,且,则=?(A )C. D.35.阶⾏列式中元素的代数余⼦式与余⼦式之间的关系是(C)A. B. C. D.36.设矩阵的秩为r,则下述结论正确的是( D)A.中有⼀个r+1阶⼦式不等于零 B.中任意⼀个r阶⼦式不等于零C.中任意⼀个r-1阶⼦式不等于零 D.中有⼀个r阶⼦式不等于零37.初等变换下求下列矩阵的秩,的秩为?(C )A.0 B.1 C.2 D.338.求的秩为?(D )A.2 B.3 C.4 D.539. 44.,且,则=?( B)A.1 B.-3 C.1或-3 D.-140.求矩阵的秩=?(B)A.1 B.2 C.3 D.441.设,则?(C)A. B. C. D.42.⽤消元法解线性⽅程组,⽅程的解为:(A)A. B. C. D.43.齐次线性⽅程组有⾮零解,则必须满⾜( D)A. B. C. D.44.已知线性⽅程组:⽆解,则=?(A)A.-1 B.0 C.1 D.245.⾮齐次线性⽅程组中未知量个数为n,⽅程个数为m,系数矩阵的秩为r,则(A )A.r=m时,⽅程组有解 B.r=n时,⽅程组有唯⼀解C.m=n时,⽅程组有唯⼀解 D.r46.设是矩阵,齐次线性⽅程组仅有零解的充分条件是( B)A.的列向量组线性相关 B.的列向量组线性⽆关C.的⾏向量组线性⽆关 D.的⾏向量组线性⽆关47.线性⽅程组:有解的充分必要条件是=?( A)A. B.-1 C. D.148.求齐次线性⽅程组的基础解系是( C)A. B.C. D.49.求齐次线性⽅程组的基础解系为(A)A. B.50.设n元⾮齐次⽅程组的导出组仅有零解,则(D)A.仅有唯⼀解 B.必有⽆穷多解 C.必⽆解 D.未必有解51.设为矩阵,线性⽅程组的对应导出组为,则下⾯结论正确的是(C)A.若仅有零解,则有唯⼀解 B.若有⾮零解,则有⽆穷多解C.若有⽆穷多解,则有⾮零解 D.若有⽆穷多解,则仅有零解52.写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表⽰:掷⼀颗骰⼦,出现奇数点。

应用随机过程第3章习题简答

应用随机过程第3章习题简答

第 3 章补充作业
1. 设 {N (t ), t 0} 是速率为 的泊松过程,请计算其均值函数、自相关函数与
协方差函数。
N (t ) E ( N (t )) t ,
RN (s, t ) E ( N (s) N (t )) E{N (s)(( N (t ) N (s)) N (s)]} ,(s t )
F( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) P{ X1 t1 , X 2 t2 , X 3 t3} i 1(1 e ti )
3
( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合密度为:
f ( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) 3e (t1 t2 t3 )
et?0t??rfs1tdt??ss?wfs1tdtw?r?1?e?r?1?det??s2?w?r?1??edsdet当w1r时?0平均到家时间是s的增函数所以1的ds期望时间在s0时最小
随机过程_第 3 章泊松过程习题简答
教材 P16 习题 2,4,5,10,11,13,15,17,21
4. 计算泊松过程前三个事件到达时刻 S1,S2,S3 的联合分布。 解:设事件到达的时间间隔为 { X n , n 0} ,则有 X n 独立同分布于参数为λ的 指数分布,进而, ( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合分布函数为:
(1) P{ X (3) 5} e 3
(3 )5 ; 5!
P{ X (2) 5, X (3) X (2) 0} P{ X (3) 5} e2 (2 )5 e 2 5! ( )5 ; 5 (3 ) 3 e3 5!
( 3 ) P{ X (2) 5 | X (3) 5}

化工应用数学分析

化工应用数学分析

若环是均匀的,即 k =常数,则得
又∵ θ 1 = Rθ ,∴ 1-7 证明略; 1-8
hL 1 ∂ 2u 1 ∂u − bu = 2 , (b = ,a = 2 2 kσ R ∂θ a ∂t
在杆上沿轴向取微元段 [ x, x + Δx] ,在 x 和 x + Δx 处分别对应的截面为 S 2 和 S1 。 通过 S1 、S2 和侧面的热量分别为:
u x =0 = 0 , t > 0 ,
7
在 x = l 处, 有恒定的热流 q 进入杆内, k 是杆的热传导系数,则有,
∂u ∂x =
x =l
q ,t > 0 k
2-12 设圆筒的内半径为 r1 ,外半径为 r2 。泛定方程为
∂ 2 u 1 ∂u u t = DΔu = D( 2 + ) r ∂r ∂r
( D 3 + D 2 − D + 1)[e 2 x ( x 2 + x + 1)] = e 2 x (11x 2 + 41x + 40)
2பைடு நூலகம்6 证明略
( D − 2) 2 y =
e2x 的通解为 x2
y = (C1 + C 2 x)e 2 x − e 2 x ln x
2-7 证明略 2-8 选取柱坐标系。
化工应用数学分析
习题参考解答
第 1 章 《化工数学模型》习题解答
1-1 在导线内任取一小段 dx, 考虑这一小段在 dt 时间内的热量流动的情况。 设 k、 c、
ρ分别为导线的热传导系数、比热和质量密度,u 代表温度.
则由 Fourier 实验定律知,在 dt 时间内流入体元 dV 内的净热量为

华南理工大学《线性代数与概率统计》随堂练习及答案

华南理工大学《线性代数与概率统计》随堂练习及答案

第一章行列式·1.1 行列式概念1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C6.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D7.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C8.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B第一章行列式·1.2 行列式的性质与计算1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D6.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B7.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A8.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D9.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B10.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C第一章行列式·1.3 克拉姆法则1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C第二章矩阵·2.2 矩阵的基本运算1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D6.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C7.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D第二章矩阵·2.3 逆矩阵1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C6.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D7.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B8.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C9.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D10.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B第二章矩阵·2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A6.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D7.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C8.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C9.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C10.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D11.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B12.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A13.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B第三章线性方程组·3.1 线性方程组的解1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A第三章线性方程组·3.2 线性方程组解的结构1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A6.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C7.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A8.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D9.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C第四章随机事件及其概率·4.1 随机事件1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B第四章随机事件及其概率·4.2 随机事件的运算1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B4.(单选题)甲乙两人同时向目标射击,甲射中目标的概率为0.8,乙射中目标的概率是0.85,两人同时射中目标的概率为0.68,则目标被射中的概率为()A.0.8 ;B.0.85;C.0.97;D.0.96.答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D第四章随机事件及其概率·4.4 条件概率与事件的独立性1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:AA4.(单选题)设有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.9和0.8,在两批种子中各随机取一粒,则两粒都发芽的概率为()A.0.8 ; B.0.72 ; C.0.9 ; D.0.27 .答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B5.(单选题)设有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.9和0.8,在两批种子中各随机取一粒,则至少有一粒发芽的概率为()A.0.9 ; B.0.72 ; C.0.98 ; D.0.7答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C6.(单选题)设有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.9和0.8,在两批种子中各随机取一粒,则恰有一粒发芽的概率为()A.0.1 ; B.0.3 ; C.0.27 ; D.0.26答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D第四章随机事件及其概率·4.5 全概率公式与贝叶斯公式1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B第五章随机变量及其分布·5.2 离散型随机变量1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C3.(单选答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A5.(单选题)从一副扑克牌(52张)中任意取出5张,求抽到2张红桃的概率?A 0.1743;B 0.2743;C 0.3743;D 0.4743答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B第五章随机变量及其分布·5.3 连续型随机变量1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A第五章随机变量及其分布·5.4 正态分布1.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B2.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C3.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B4.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C5.(单选题)答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C。

(完整版)——学学期应用随机过程试卷(修正版)

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安徽大学2010—2011学年第二学期《 应用随机过程 》考试试卷(A 卷)(闭卷 时间120分钟)一、填空题(每小题4分,共24分) 1、设X 是概率空间(),,F P Ω上的一个随机变量,且EX 存在,C 是F 的子σ-域,定义()E X C 如下:()1 ________________ ;()2 ________________________________________ ;2、 在全数学期望公式()EX E E X C ⎡⎤=⎣⎦中,取X =____,C =____,即得连续型(广义)全概率公式___________________;3、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程,则()N t 具有_____、 _____增量,且0t ∀>,0h >充分小,有:()(){}()0P N t h N t +-== ________,()(){}()1P N t h N t +-==_____________;4、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程,{},1n X n ≥、{},1n S n ≥分别为其时间间隔序列和等待时间序列,则12,,,,n X X X L L 独立同参数为λ的指数分布, n S ~ ______, ()11N t X =~ _______,()()12,,,n N t n S S S d =L _____________________________________;5、设(){},0W t t ≥为一维标准Brown 运动,则0t ∀>,()W t ~____, 且与Brown 运动有关的三个随机过程____________、_____ ______________、______________都是鞅(过程);6、倒向随机微分方程(BSDE )典型的数学结构为__________ ______________________________,其处理问题的实质在于 __________________________________________________.二、证明分析题(共15分,选做一题)1、设X 是概率空间(),,F P Ω度函数()f x 满足:(),0x R f x ∀∈>.设g 是严格递增的可微函数,并满足:()lim y g y →-∞=-∞,()lim y g y →∞=∞,定义随机变量()Y g X =;设()h y 是满足()1h y dy +∞-∞=⎰的任一非负函数.我们希望改变概率测度,使得()h y 是随机变量Y 的密度函数.为此,定义:()()()/h g X g X Z f X ⎡⎤⎣⎦=,(1)证明随机变量Z 是非负的且1EZ =;(2)定义:()()(),A A A F P A Z dP ZdP ωω∀∈==⎰⎰,则随机变量Y 在P 下具有密度h ;2、设(){},0W t t T ≤≤是概率空间(),,F P Ω上的Brown 运动,{},0t F t T ≤≤是Brown 运动的域流;设(){},0t t T Θ≤≤是一个适应过程,定义:()X t =()()0t u dW u -Θ⎰,()()[]()1exp ,2Z t X t X X t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,()()()0t W t W t u du =+Θ⎰,并且假设:()()220T E u Z u du ⎡⎤Θ<∞⎢⎥⎣⎦⎰;令()Z Z T =,则1EZ =;且在概率测度():,AP P A ZdP A F =∈⎰下,过程(){},0W t t T ≤≤是一个Brown 运动.三、计算证明题(共46分) 1、(12分)假设()X E λ~,给定0c >记忆性、条件密度和()()()A E XI E X A P A =,求()E X X c >; 2、(10分)设12,,,n X X X L 独立同[]0,1U 分布,{}12max ,,,n Y X X X =L ,试分别由条件数学期望的直观方法和条件数学期望的一般定义求()()()E X Y E X Y σ=;3、(6分)乘客按每分钟2人的Poisson 流到达车站候车,公交车每5分钟到达一辆,用W 表示时间(]0,5内到达的乘客的候车时间之和;当0t =时有车到达,试求EW ;4、(8分)设质点做一维标准Brown 运动(){},0W t t ≥,0a ≠,则,(1)“质点最终到达a ”的概率为1;(2)质点到达a 的平均时间是a ET =∞;5、(10分,选做一题)(1)设(){},0W t t ≥表示P 下的一维标准Brown 运动,定义:()()exp Z t uW t =⎡⎤⎣⎦,利用Ito-Doeblin 公式写出()Z t 满足的随机微分方程,由此求出()()m t def E Z t ⎡⎤⎣⎦满足的常微分方程,并通过求解其来证明:()()2exp exp 2u t E uW t ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭; (2)设(){},0W t t ≥为标准Brown 运动,试由Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程()()()()d S t S t dt S t dW t μσ=+⎡⎤⎣⎦, 并求()()46,E W t E W t ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 四、应用分析题(共15分,选做一题) (1)设股价遵循几何布朗运动()()dS t S t dt μ=率为常数r .定义风险的市场价格为:r μσ-Θ=以及状态价格密度过程为:()()21exp 2t W t r t ζ⎧⎫⎛⎫=-Θ-+Θ⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭;a )证明: ()()()()d t t dW t r t dt ζζζ=-Θ-;b )设X表示投资者采用组合过程()t ∆时其资产组合的价值(自融资组合),即有: ()()()()()()()()dX t rX t dt t r S t dt t S t dW t μσ=+∆-+∆,证明:()()t X t ζ是鞅;c )设0T >是固定的终端时刻,证明:如果投资者从初始资本()0X 出发,希望在时刻T 资产组合价值为()V T ,其中()V T 为T F -可测随机变量,则其初始资本必为:()()()0X E T V T ζ=⎡⎤⎣⎦;(2)试从对冲欧式看涨期权空头的角度导出原生资产遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的Black-Scholes-Merton 偏微分方程,并给出风险中性测度下的定价公式.。

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∂(u,v) ⎪⎩ 0,其他;
⎧u
有U = X +Y~fU (u) = ∫−+∞∞ g(u,v)dv = ∫ ⎨⎪ 0 λμe−(λ−μ)v−μudv,u > 0 ; =
⎪⎩ 0,其他;
⎪⎨ ⎧ λμ ⎡e−μu − e−λu ⎤⎦,u > 0; ;从而, λ
−μ ⎣
⎪⎩ 0,u ≤ 0 ;

e−(λ−μ)v
1、(1)E(XC)为C-可测的;
, (2)∀A∈C ∫A XdP =∫A E(XC)dP⎡⎣∫A E(XC)dPC ⎤⎦; 2、
独立、平稳,1−λh+o(h),λh+o(h);
12
, 3、 N (0,t),{W (t),t ≥ 0},{W2 (t)−t,t ≥ 0} ⎧⎨eσW(t)−2σ t ,t ≥
0⎬⎫;
⎩⎭
、 ,随 4
⎪⎨⎧dX (t) = −g ⎡⎣X (t),Y (t)⎦⎤dt +Y (t)dW (t),t∈[0,T];
机微分方程处
⎪⎩ X (T) =ξ; 理问题的实质在于:尽管现在时刻投
资者无法预知将来某时刻的收益(随机变量),但 投资者仍可确切地计算出今天如何去做,才能达到 将来时刻的不确定收益! 二、证明分析题(选做一 题)
⎜ 2Yn ⋅E ⎟= ⎝ X n ⎠
程)! 三、 计算 证明题
1、(1)由几何分布的无记忆性, X −c X >c dX ,
E(X −cX > c)= EX = 1 ,E(XX > c)= E(X −c X > c)+ E(c X > c)= 1
+c ; λλ
(2)E(XX > c)= PE(⎣⎡{XIX{>X } >cc} ⎦⎤ ) ∫ ( ) = −+∞∞ xI{x>e c−}λfcX x dx = ∫ ; c+∞λexe−λc−λxdx =λ1 +c 2、(1)易见,(X,Y)~f (x, y) = ⎪⎨⎧λμe−(λx+μy) ,x, y > 0;,令⎧⎨U = X +Y ,从
⎪⎩ 0,其他; ⎩ V = X
而由⎧⎨u = x + y , ∂(u,v) = −1, ∂(x, y) = −1,从而
⎩ v = x ∂(x, y) ∂(u,v)
(X +Y, X ) = (U,V )~g(u,v) = ∂(x, y) ⋅ f (v,u −v) = ⎧ ⎨⎪λμe−(λ−μ)v−μu ,u > v > 0 ; ,则
(
( ] ( )
, X a
e
λ λ
λ λ
− − − ∞
(
( ] ( )
, X a
e
λ λ
λ λ
− − − ∞
∫ ∫ ( ) ∫ ; (−∞,a]λ λe−(λ−λ)xdPX = (−∞,a]λλe−(λ−λ)x f x dx = 0 aλe−λxdx =1
, 2、由于 Xn+1~U (1− Xn,1),1− Xn+1~U (0, Xn ) 1− Xn+1 ~U
(0,11;且∀n≥0,
( ) E Yn+1 Fn = E⎛⎜Yn ⋅2⋅1− Xn+1 Fn ⎞⎟ =Yn为Fn −可测的2Yn ⋅E⎛⎜1− Xn+1 Fn ⎞⎟1− X n+1 独立于Fn
⎝ Xn ⎠ ⎝ Xn ⎠ Xn
⎛1− Xn+1 ⎞ Yn,a.s.,即有:{Yn,n ≥ 0}关于域流{Fn,n ≥ 0}是鞅 (过
min{X1, X2,L, Xn},试由条件数学期望的一般定义
求E(X1Y) = (E X1 σ(Y));
5、(14 分)设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过 程,S0 = 0,Sn 表示第n个事件发生(到达)的时刻, 试求:(1)
P(N (s) =kN (t) = n)(s < t,k = 0,1,L,n);(2)E(SkN (t) = n),k ≤ n;
(2) _____________________________________________ ;
2、设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程,则 N (t) 具有_____ 、
_____增量,且∀t >0,h >0充分小,有:P({N (t + h)− N (t) = 0})=
E(XIA ) 忆性和E(X A) = ,求E(XX > c);
P(A) 2、(10 分,选做一题) (1)设 X~E(λ),Y~E(μ),λ> μ,且 X,Y 相互独立;∀c > 0,设 fX X +Y (x c)为给定 X +Y = c 时 X 的条件概率密 度,试求之并由此求
E(X X +Y = c);
( ) ∫ ( ) ∫ ; P 0 ≤Y ≤ 1− x2 X = x = f 0 1−x2 Y X y x dy = 0x∧ 1−x2 1x dy =1∧ 1−x x2
({ }) ( ) ( P X 2 +Y 2 ≤1 ∫ = −+∞∞ P X 2 +Y 2 ≤1 X = x fX (x)dx =∫01 P X 2 +Y 2
⎦ ⎣ ⎦ ( ) E ⎡⎣ (Y − X )2 X = x⎤ = E ⎡ (Y − x) 2X = x ⎤ = E Y 2 X = x − 2xE(Y X = x)+ x2 = x32 ;故有:E(Y X ) = X2 ,a ,E ⎣ ⎡(Y − X )2 X ⎦⎤ = X3 2 ,a.s.。
.s.
X~U [0,1];令Y X =x ~fY X (y x),即有:0 < x <1时,
f (x, y)
fY X (y x) = =
而,
1 =
,0 ≤ y ≤ x ,即:Y X x ~U [0,x],0 < x <1;从
fX (x) x
( ) ( ) ∀x∈(0,1),P X 2 +Y 2 ≤1 X = x = P − 1− x2 ≤ Y ≤ 1− x2 X = x =
得分
+σS(t)dW (t),利率为常数r 。定义风险的市场价格
为:Θ = μ−r 以及 状态价格密度过程 σ
为:ζ(t) = exp⎧⎨⎩−ΘW (t)−⎛⎜⎝ r + 1 2 Θ2 ⎠⎞⎟t⎭ ⎫⎬;a)证明:
dζ(t)=−Θζ(t)dW (t)−rζ(t)dt ;b)设 X 表示投资者采用组 合过程Δ(t) 时其资产组合的价值(自融资组合), 即有: dX (t)= rX (t)dt +Δ(t)(μ−r)S(t)dt +Δ(t)σS(t)dW (t),证明:ζ(t) X
4、易见,∀y < 0,P({Y ≤ y}) = 0;∀y >1,P({Y ≤ y}) =1;
n
∀y∈[0,1],P({Y ≤ y}) =1− P({Y > y}) =1−∏P({Xi > y}) =1−(1− y)n ; 从而,
1、(1)P(Ω) = ∫Ω ZdP = ∫Ωλλe−(λ−λ)X dP = ∫ ( ) R λλe−(λ−λ)xdPX ⎣⎡PX ⋅
− X的概率分布⎦⎤
X~f (x)∫R λλe−(λ−λ)x f (x)dx = ∫0+∞λe−λxdx =1;
(2)∀a>0,P({X ≤ a}) = ∫{X ≤a} ZdP = ∫ )X−1 dP =
⎩ 0,其他; 13 E(XX <Y) = ∫−+∞∞ xfXX<Y (x)dx = ∫012x(1− x)dx = ;
(2)易知,∀x∈(0,1),YX=x ~U [0, x],从而,E(Y X = x) = x,
2
x D(YX = x) = 12 2 ,E(Y 2X = x) = D(Y X = x)+ ⎣⎡E(Y X = x)⎤⎦2 = x32 ,
⎧1
(2)设(X,Y)~f (x, y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;, 试求 fY X (y x)及 ⎪⎩ 0,其它;
P(X 2 +Y 2 ≤1X = x),并由此(连续型全概率公式)
求P({X 2 +Y 2 ≤1});
3、(4 分,选做一题)(1)设X,Y独立同U [0,1]分 布,试基于微元法由条件密度求E(XX <Y);(2)设 (X,Y)~U (D),D:0 ≤ y≤x≤1,试由条件数学期望的直观 方法求E(YX )、E ⎡⎣(Y − X )2X ⎤⎦; 4、(10 分)设 X1, X2,L, Xn 独立同U [0,1]分布,Y =
程); 4、倒向随机微分方程(BSDE)典型的数学结构 为__________ ______________________________,其处理问题的 实质在于 ____________________________________________________ 二、证明分析题(共 12 分,选做一题) 得分 1、设X是定义于概率空间(Ω,F,P)上的非负随机变 量,并且具有
指数分布,即:P({X ≤ a}) =1−e−λa ,a > 0,其中λ是正常 数。设λ是
另一个正常数,定义:Z = λ λe−(λ−λ)X ,由下式定
义:P(A)=∫AZdP,
∀A∈F ;(1)证明:P(Ω) =1;(2)在概率测度P 下 计算的分布函
数:P({X ≤ a}),a> 0;
2、设X0~U (0,1),Xn+1~U (1−Xn,1),n≥1,域流{Fn,n≥ 0}满 足:
6、(10 分)设{W (t),t ≥ 0}为标准 Brown 运动,试
由 Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程d ⎡⎣S(t)⎤⎦ =
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