六、点差法求轨迹方程(高中数学解题妙法)

六、点差法求轨迹方程
本内容主要研究点差法法求轨迹方程.圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为21
21
y y x x --，由此可
求得弦AB 中点的轨迹方程.
先看例题：
例：已知椭圆2
212
x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程
.
①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有
()()022
12
12121=-+++x x y y y y x x
将③④代入得022
12
1=--+x x y y y
x ．⑤
将
22
12
1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）
已知椭圆2
212
x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的重点的轨迹方程.
（3）将2
1
2121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部
分） 整理：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，
12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 122y y y =+且直线AB 的斜率为
21
21
y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程.
再看一个例题，加深印象
例：已知椭圆2
212
x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.
解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则
221122
221212
222222x y x y x x x y y y ⎧+=⎪+=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩，①，②，③，④
①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．
总结：
1.圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，
12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，
122y y y =+且直线AB 的斜率为2121
y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程.
2.求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上． 练习：
1．抛物线24x y =的焦点为F ,过点(0,1)-作直线l 交抛物线A 、B 两点,再以AF 、BF 为邻边作平行四边形AFBR ，试求动点R 的轨迹方程.
2.抛物线y =2x 2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是
3.已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点P (-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是
答案：
而P 为AB 的中点且直线l 过点(0,1)-，所以121
1
322,22
l y x y x x x k x x ++++=⨯===代入
③可得34y x x +=⨯，化简可得22
124124
x x y y -=+⇒=④
由点1(,
)22x y P +在抛物线口内，可得221()48(1)22
x y x y +<⨯⇒<+⑤
将④式代入⑤可得22
212
8(1)16||44
x x x x -<+⇒>⇒>
故动点R 的轨迹方程为24(3)(||4)x y x =+>
.
2.解：设弦为AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点为(x ，y)，
则y 1=2x 12，y 2=2x 22，y 1-y 2=2(x 12-x 22
)
∴
)(2212121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ，2
1
=x
将21=
x 代入y=2x 2
得21=y ，轨迹方程是21=x (y>2
1) 答案：)2
1
(21>=y x
又弦中点在已知抛物线内P ，即y 2
<2x ，即x+2<2x ，∴x>2 答案：y 2
=x+2(x>2)。