求极限的方法总结

求极限的方法总结

1．约去零因子求极限

例1：求极限11lim

41--→x x x

【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】4)1)(1(lim 1)

1)(1)(1(lim

2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题：2

33

lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+-

2．分子分母同除求极限

例2：求极限13lim 3

2

3+-∞→x x x x

【说明】∞∞

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 3

11323=+-=+-∞→∞→x x

x x x x x

【注】(1) 一般分子分母同除．．．．．．．．x ．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x ．是趋于无穷的．．．．．．

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

=<∞>=++++++----∞→n

m b a n m n m b x b x b a x a x a n

n

m m m m n n n n x 0lim 01101

1

习题 3232342lim 753x x x x x →∞+++-

n 1+13lim 3n n n n n +→∞++（-5)（-5)

n

n n

n n 323)1(lim

++-∞→

3．分子(母)有理化求极限

例1：求极限)

13(lim 22+-++∞→x x x

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】

1

3)

13)(13(lim

)13(lim 2222222

2+++++++-+=+-++∞

→+∞

→x x x x x x x x x x

1

32lim

2

2

=+++=+∞

→x x x

例2：求极限30

sin 1tan 1lim

x x

x x +-+→

【解】

x x x x

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim

3030

+-+-=+-+→→

41

sin tan lim 21sin tan lim

sin 1tan 11

lim

30300

=-=-+++=→→→x x x x x x x

x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键

习题：lim

1

x x →∞

+

12

13lim

1

--+→x x x

4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

） 22

034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】

5.利用无穷小与无穷大的关系求极限

例题

3

x → 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为

0而分母为0时 就取倒数！】

6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小

例题

sin lim

x x x →∞ , arctan lim

x x

x →∞

7.用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x

-,

()abx ax x x b

~11,21~

cos 12-+-；

(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。 例1：求极限0

ln(1)

lim

1cos x x x x →+=

-

【解】

02ln(1)lim

lim 211cos 2x x x x x x

x x

→→+⋅==-.

例2：求极限x x x x 3

0tan sin lim

-→

【解】x

x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 22

2102030-=-==-=-=→→→x x x x x x x x x x 习题

)arctan()31ln(lim 20x x x x +→ x x x x sin )1sin tan(lim 2

0→

x x e e x x x sin lim sin 0--→

x →

8.应用两个重要极限求极限

两个重要极限是1sin lim 0=→x

x

x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1

0)1(lim )11(lim )11(lim ，第

一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，