泰勒公式及其应用典型例题
泰勒公式求极限题目
泰勒公式求极限题目以泰勒公式求极限计算是近代数学上一个重要的课题。
它不仅可以帮助我们计算复杂的函数表达式的极限，而且可以更深入地探讨数学中的各类概念。
本文旨在介绍如何用泰勒公式求极限，分析它的使用场景。
泰勒公式是由18世纪英国数学家约翰科斯特泰勒提出的。
它是一种应用多项式近似来分析函数曲线的算法。
其具体形式为：$ f(x)=f(a)+frac{f(a)(x-a)}{1!}+frac{f(a)(x-a)^2}{2!}+frac{ f(a)(x-a)^3}{3!}+cdots+frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}+O((x-a)^ {n+1})$其中$f(x)$为函数的导数，$f(x)$为二阶导数，$f^{(n)}$为n 阶导数，$n$为任意正整数，$O$表示无穷小项。
泰勒公式可以帮助我们计算函数的极限，这是其最重要的应用之一。
当$a$是函数$f(x)$在$x=a$时的上下极限时，若$f(x)$在$x$的邻域内可以用泰勒公式来近似，则$f(x)$的极限存在，并且等于： $ displaystyle lim_{x to a} f(x) =f(a)+frac{f(a)(x-a)}{1!}+frac{f(a)(x-a)^2}{2!}+frac{f(a)(x-a)^3}{3!}+cdots+frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!} $事实上，泰勒公式的应用不仅仅局限于求极限这一类。
它也可以用来分析函数表达式在不同区间内的变化趋势，以及用来证明某一函数及其极限的准确性等。
比如，当我们需要证明某一函数及其极限的准确性时，可以首先用泰勒公式以多项式的形式表示出来，然后比较形式之间的差距，最后结论出给定的函数及其极限是否满足条件。
此外，泰勒公式也可以用来求函数表达式在某一区间内的变化趋势。
下面我们将以一维函数为例，详细分析如何运用泰勒公式。
在这里，我们拟定一维函数$f(x)=sin(x)$，它在$[-3,3]$区间内变化如下：当$ -3 leq x leq -2 $时，由于函数有一个拐点，所以函数值随着$x$增大而减小。
泰勒公式知识点及习题
n
x 0
n!, n 0,1,2,... ；
x
x3 x5 x 2 n 1 n ... 1 R ( x) ； 2n 1! 2n2 3! 5! x 2 n 3 2n 3 sin(x ), (0,1) 2n 3! 2
n 1! n x0 n 1!x0 x0
n 0
所以 Rn x
f ( n 1) ( ) n 1 x , 介于 x 与 x0 之间． n 1 ！
定理中的关系称为 Taylor 公式． Rn x 称为 Taylor 公式的 Lagrange 余项． 特别地，在 x0 0 时，有
n
Peano 余项. 例 6.15 求函数 sin x ， cos x ， e ， 解 由于对任意的 n N ，有
x
1 ， ln 1 x 在 x 0 处的 Taylor 公式． 1 x
；
n sin n x sin x 2
n cos n x cos x ； 2
n 1 1 x0 n n 1x0 x0 n
n n n 1 n 1 0
n
..... n n(n 1) 2 x 0 f n 1 ． n 1!
f P f x P x
由上面结果可以直接得到如下推论 推 论 6.2 设 两 元 函 数 z f ( x, y) 在 区 域 D R 上 的 偏 导 数 恒 为 零 ， 那 么
2
z f ( x, y) 在区域 D 上为常数。
类似地，我们可以得到多元函数的中值定理 定理 6.17 设 n 元函数 z f ( x1 , x2 ,, xn ) 在凸区域 D R 上是一个可微函数，则对
泰勒公式在考研数学的常见应用
泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式在解题中的妙用——从几道数学考研题说起泰勒公式是数学分析中的重要工具之一，它反映了函数在某一点处的局部行为。
在很多数学问题中，泰勒公式的应用可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更简洁高效的解题方法。
本文将从几道数学考研题入手，详细阐述泰勒公式在解题中的应用，同时介绍一些应用技巧和注意事项，并进一步拓展泰勒公式在更高维度和更复杂问题中的应用。
求limx→0(1+x+x2/2−−−−−−−√)−1x−−−−−−−−−−−−−−−√ex−1ex−1这道考研题中，我们可以将函数f(x)=(1+x+x2/2)−−−−−−−−−−−−−−−√ex −1在x=0处展开成泰勒级数，然后利用级数求和的方法得到答案。
具体步骤如下：f(x)=ex−1+xex−1+x22ex−1=(x+1)+x22+O(x3)因此，limx→0f(x)=limx→0(x+1)+limx→0x22+O(x3)=12+1+0=32这道考研题可以利用泰勒公式将sinxx展开成幂级数，然后求导n 次得到答案。
具体步骤如下：y=sinxx=∑k=0∞(−1)k×x2k+O(x3)y(n)=∑k=n∞(−1)k×2k×x2k−n+O(x3)因此，y(n)(0)=∑k=n∞(−1)k×2k×1=(−1)n×2n×1=2n×(−1)n证明：(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)这道考研题可以利用泰勒公式将等式中的函数展开成幂级数，然后进行恒等变形得到答案。
具体步骤如下：f(x)=(1+x)ln(1+x)−xx=(1+x)(ln1+ln(1+x))−xx=x+x2+O(x3)−ln(1+x)+O(x3)=O(x3)因此，f(x)(0)=0+0+…=0，即(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)成立。
泰勒公式在很多数学问题中都有着广泛的应用，例如在微积分、线性代数、概率论等领域。
(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)
第2章 预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο这样当1<<∆x 时可得近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000或))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1 Taylor 公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢？假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=于是得：)(00x f a =第2章 预备知识2求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!2)(02x f a ''= 这样进行下去可得：!3)(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：k nk k nn x x k x f x x n x fx x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(000)(00)(000-=-++-'+=∑= （2.2） 即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+=称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数!)(0)(k x fk ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．2.2 Taylor 公式的各种余项对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有10)1(00)(000)()!1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2]10[ 在定理1中,若令)0()()1(!)()(101)1(>--⋅=+-++p x x n p fx R n p n n n θξ则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日型余项．若令1=p ，则得)0()()1(!)()(10)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,此式称为柯西余项公式．当00=x ，得到泰勒公式：11)(2)!1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式） 若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有∑=-=nk k k n x x k x fx P 000)()(!)()(， )()()(x P x f x R n n -=．则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有))(()(!)(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=， 称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中00=x 时，可得到)(!)0(...!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．第2章 预备知识4定理３ 设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为10,)!1()(!)(...)()()(10)1(0)(000<<+++++'+=+++θθn n n n h n h x fh n x fh x f x f h x f （2.7）则21lim 0+=→n h θ． 证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：)()!2()()!1()(!)(...)()()(220)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出)()!2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x fhn x fh x fοθ，从而220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(+++++++=-+⋅+n n n n n h h n x f h x f h x fn οθθθ，令0→h ，得)!2()()(lim )!1(10)2(0)2(0+=⋅⋅+++→n x fx f n n n h θ，故21lim 0+=→n h θ． 由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章 泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，)(0x f ''，…，)(0)(x fn ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1 应用Taylor 公式证明等式例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈∃，使得3))((241))(2()()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法)设k 为使下列式子成立的实数：0)(241))(2()()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1） 这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈∃，使得：)(c f k '''=令3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ． 根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg ，即：0)(82)()2()2()(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式：2))((812)()2()2()(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈∃，比较可得原命题成立．例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈∃，使得3))((241)2()()(a b c f b a f a b dx x f ba-''++-=⎰． （3.2） 证明：记20ba x +=，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为： 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ （3.3）对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈∃，使得第3章 泰勒公式的应用632020))((121)()())((a b c f dx x x c f dx x x f baba-''=-''=-''⎰⎰ξ 因此原命题式成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2 应用Taylor 公式证明不等式例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤∀...21，0≥i k ，11=∑=n i i k ，∑∑==>ni i i n i i i x f k x k f 11)()(．证明：取∑==ni i i x k x 10，将)(i x f 在0x x =处展开))(()()(2)())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11=∑=ni i k()00110=-=-∑∑==x x k x xk ni i i ni ii得：)()()(101∑∑===<ni i i ni i ix k f x f x f k．例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：2)(!2)())(()()(x t f x t a f x f t f -''+-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：2)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ （3.4） 2)(!2)())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=η （3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：22!2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+'=- 从而，312)1(2)(21)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''++≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈∃ξ，有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：21)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!2)())(()()(b x f b x b f b f x f -''+-'+=ξ，),(2b x ∈ξ令2ba x +=，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1ba a +∈ξ （3.6）4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2(2b b a +∈ξ （3.7） （3.7）－（3.6）得：[]0)()(8)()()(122=''-''-+-ξξf f a b a f b f 则有[])()(8)()()(8)()()(122122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ． 例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x ，试证：16)(min 10-≤''≤≤x f x ．证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 10=≤≤x f x ，0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈∃x 使得)(max )(100x f x f x ≤≤=于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈∃ηξ使得：第3章 泰勒公式的应用82002)()()0(0x f x f f ξ''+==， （3.8） 200)1(2)()()1(0x f x f f -''+==η． （3.9）因此{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,210x 时，16)1(4)1(4,4min 202020-≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,00x 时，164)1(4,4min 202020-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ． 所以，16)(min 10-≤''≤≤x f x ．由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．3.3 应用Taylor 公式求极限例3.3.1求422cos limxex x x -→-．解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有)(2421cos 542x x x x ο++-=)(82154222x x x ex ο++-=-)(12cos 5422x x ex x ο+-=--所以，121)(12lim cos lim4540242-=+-=-→-→xx x xex x x x ο． 像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．例 3.3.2 设函数)(x ϕ在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ϕ+∞→存在，且)(x ϕ''在[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞→x x ϕ．证明：要证明0)(lim ='+∞→x x ϕ，即要证明：0>∀ε，0>∃δ．当M x >时()εϕ<'x ． 利用Taylor 公式，0>∀h ，2)(21)()()(h h x x h x ξϕϕϕϕ''+'+=+ （3.10）即[]h x h x h x )(21)()(1)(ξϕϕϕϕ''--+=' （3.11） 记)(lim x A x ϕ+∞→=，因)(x ϕ''有界，所以0>∃M ，使得M x ≤'')(ϕ， )0(≥∀x故由（3.11）知[]h x A A h x h x |)(|21)()(1)(ξϕϕϕϕ''+-+-+≤' （3.12） 0>∀ε，首先可取0>h 充分小，使得221ε<Mh ， 然后将h 固定，因)(lim x A x ϕ+∞→=， 所以0>∃δ，当δ>x 时[]2)()(1εϕϕ<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εεεϕ=+<'22)(x ．即0)(lim ='+∞→x x ϕ例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程． （1）32)1)(2(+-=x x y ；（2）)1(cos 2215x e xx y --=．解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 xu 1=，则有：第3章 泰勒公式的应用100)(1lim )()321)(321(lim )1()21(lim])1)(2([lim 003231032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞→uu bu a u u bu a u u ubu a u u b ax x x u u u x οο从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．（2）设b ax y +=，xu 1=，则有 0)()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205542021522=+--⋅+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu au e u b ax e x x u u u xx ο从中解出：121-=a ，0,1==b a ． 所以有渐近线：x y 121-=．从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限例3.4.1]4[ 设(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；(3)当δ<≠h 0时有))(()()(000h h x f hx f h x f θ+'=-+． （3.13）其中1)(0<<h θ，证明：101)(lim -→=n h nh θ． 证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈∃θθ使得())(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+， （3.14） ))(()!1())(()())((20)(1100h h x f n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--， （3.15）于是（3.13）式变为=++'-)(!)(10)(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+'--从而120)(10)())(()()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ． 因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得101)(lim -→=n h nh θ． 这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．3.5 应用Taylor 公式近似计算由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为： 10,)!1(!...!2112<<++++++=+θθn xn x x n e n x x x e 当1=x 时，有)!1(!1...!2111++++++=n e n e θ故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ． 当9=n 时，有第3章 泰勒公式的应用 12691036288003!103)1(-<<=R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e (2) 当2=m 时， 6sin 3x x x -≈，使其误差满足： 355410!5!5cos )(-<≤=x x x x R θ 只需6543.0<x （弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过310-．3.6 应用Taylor 公式求极值定理3.1 ]12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)(===x f n ， 0)(0)1(≠+x f n（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)1(>+x fn 时，0x 是f 的严格极小值点；当0)(0)1(<+x f n 时，0x 是f 的严格极大值点．证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：))(()()!1()()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο 于是1010100)1(0)()())(()!1()()()(++++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于)!1()()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>∃δ，),(00δδ+-x x 中，10100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!1()(0)1(++n x f n 同号． （1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故)()(0x f x f -与)!1()(0)1(++n x f n 同号． 若0)(0)1(>+x f n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极小值点． 若0)(0)1(<+x f n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极大值点．例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此74,1,0=x 是函数的三个稳定点．f 的二阶导数为)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在74=x 时取得极小值． 求三阶导数)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.再求f 的四阶导数)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，有0)0()4(<f ．因为41=+n ，则3=n 为奇数，由定理3.1知f 在0=x 处取得极大值．综上所述，0)0(=f 为极大值，82354369127374)74(34-=-=）（）（f 为极小值． 由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为第3章 泰勒公式的应用 14))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x → 于是[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-'+-n n n nx x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!)()())(()()(000)(0000ο 由于!)()())((!)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→ο 由此可见：0>∃δ，),(0δx B X x ∈∀，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与n n x x n x f )(!)(00)(-同号． （1）当n 为偶数，如果0)(0)(>x f n ，则[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；如果0)(0)(<x f n ，则有[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x+∈∀ [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x-∈∀ 由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．3.8 应用Taylor 公式研究线形插值例 3.8.1（线形插值的误差公式） 设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a b a x a f a b x b x l --+--=，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈∃ξ，),(b x ∈∃η，使得 [][])(2))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(22ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f ab a x x f a f a b x b x f x l ''--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''--+''----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---=---+---=-其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于0>--a b x b ，0>--ab a x ． )}(),(max{)()())}((),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f ab x b f a b a x ab x b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤--+--''''='''' 以及Darboux 定理推得．如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取)(max ],[x f M b a x ''=∈），则误差估计为 M a b f a x x b x f x l 2)(|)(|2))(()()(2-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈∀ 这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）试证：)(x f 是一次或二次函数．证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）从而)()()()()(h x f hh x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18） 令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即第3章 泰勒公式的应用16 )(2)(x f x f ''=''θ 若21≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数； 若21=θ，则（3.17）式变成：)21(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题， 因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零。
泰勒公式用于一些函数极限问题 (1)
泰勒公式用于一些函数极限问题约定分别用f k和g k来记f(k)(0)和g(k)(0),k=0,1,2,···.命题1设f(x)和g(x)都在0点处4次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))−g(f(x))x4=18(︀f2g22−f22g2)︀+112(f3g2−f2g3).例1在命题1中，取f(x)=ln(1+x),g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]x4=112.例2在命题1中，取f(x)=1−e−x,g(x)=e x−1,可得lim x→02−e1−e x−e1−e−xx4=−112.命题2设f(x)和g(x)都在0点的某邻域中5次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+f−1(g(x))−g(f(x))−g(f−1(x))x5=38(︀f22g22−f32g2)︀+14(︀f2f3g2−f22g3)︀.例3在命题2中，取f(x)=e x−1,g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0x1−x+ln(2−e x)+ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]x5=−14.命题3设f(x)和g(x)都在0点的某邻域中5次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+g−1(f−1(x))−g(f(x))−f−1(g−1(x))x5=38(︀f2g32−f32g2)︀+14(︀f2f3g2+f3g22−f2g2g3−f22g3)︀.例4在命题3中，取f(x)=ln(1+x),g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]+2−e1−e x−e1−e−xx5=0.注进一步的计算可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]+2−e1−e x−e1−e−xx6=772.1命题4设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在0点处7次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))−g(f(x))x7=172(︀f3g23−f23g3)︀+1360(f5g3−f3g5).例5在命题4中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)−sin(tan x)x7=130.命题5设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在(−δ,δ)中9次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+f−1(g(x))−g(f(x))−g(f−1(x))x9=5216(︀f23g23−f33g3)︀+1216(︀f3f5g3−f23g5)︀.例6在命题5中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)+arctan(sin x)−sin(tan x)−sin(arctan x)x9=19.命题6设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在(−δ,δ)中9次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+g−1(f−1(x))−g(f(x))−f−1(g−1(x))x9=5216(︀f3g33−f33g3)︀+1216(︀f3f5g3+f5g23−f3g3g5−f23g5)︀.例7在命题6中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)+arcsin(arctan x)−sin(tan x)−arctan(arcsin x)x9=118.2。
泰勒公式 典型例题
例1 用泰勒公式，证明：当x>1时，.
证设，则f (x)当x>1时有二阶导数，且.
将f (x)点x=1处依泰勒公式展开，得
即
由于，故f (x)>0，即.
从而
例2 设f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内二阶可导，若，则在
(a, b)内至少有一点，使
证由泰勒公式，得
令，代入得
相减，得
设
则
例3 验证当时，按公式
计算的近似值，所产生的误差小于0.01；并求的近似值，使误差小于0.01.
解因为公式右边是的三阶麦克劳林公式，故误差
又已知，从而，故
误差
例4 求函数按(x－4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.
解由于，故
因此
其中介于x与4之间.
例5 利用泰勒公式求极限
解
例6 求函数在x = 0处的n阶导数(n≥3)
解由f (x)和的麦克劳林公式
比较的系数得
故
五、练习题
1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.
(1) (2) sin18°
（答：(1) ；(2) 0.3090，误差为）
2、设函数f (x)在(－1, 1)内具有二阶连续导数，且，试证：对于任
意非零，存在唯一的，使成立，且.
（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）
3、求函数的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.
（答：）
4、利用泰勒公式求极限
（答：）
5、求函数的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式
（答：）
Welcome To Download !!!
欢迎您的下载，资料仅供参考！。
用泰勒公式求极限的例题
用泰勒公式求极限的例题
利用泰勒公式求函数极限的一般方法。
（当然洛必达法则+等价无穷小替换仍是求函数极限的首先方法，泰勒公式通常用来处理“疑难杂症”。
）
含根号的复合函数的极限。
常见函数的麦克劳林公式见下文：
高等数学入门——常见函数的泰勒公式的推导与总结
四、对例1的一些补充说明。
在利用泰勒公式求极限时经常涉及o项的运算，其实就是利用四则运算或变量代换法求泰勒公式，其方法见下文：
高等数学入门——求泰勒公式的四则运算法和变量代换法
五、含复合三角函数的极限。
六、含幂指函数的极限（请思考余项是如何处理的）。
七、利用泰勒公式求数列极限的一般方法（注意用泰勒公式求数列极限时通常是不必事先转化为函数极限的）。
八、利用泰勒公式求数列极限的典型例题。
泰勒公式求极限典型例题
泰勒公式求极限典型例题若将函数f(x)随x的取值从某一个数a取到正无穷大时，函数f(x)取得的值p趋于某一个定值L，则称L为函数f(x)在x=a取极限，记作lim x→a f(x)=L，其中L称为极限值，a称为极限点，f(x)称为极限函数。
泰勒公式是求极限的一种常用方法，其公式有无限项式求和形式： lim x→a f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ (1/2)f(a)(x-a)2 +(1/6)f(a)(x-a)3 + ... + (1/n!)(f^(n)(a)(x-a)n+ ...其中f^(n)(a)是函数f(x)的n阶导数。
这里以典型例子来说明如何使用泰勒公式求极限：例题1：求lim x→0 sinx/x的极限。
解：由泰勒公式可知：lim x→0 sinx/x = f(0)+f(0)(x-0)+ (1/2)f(0)(x-0)2 + ...经过求导可知：f(0) = 0, f(0) = 1, f(0) = 0，所以lim x→0 sinx/x = 1例题2：求lim x→1 (x^3-1)/(x-1)的极限。
解：由泰勒公式可知：lim x→1 (x^3-1)/(x-1) = f(1)+f(1)(x-1)+ (1/2)f(1)(x-1)2 + ...经过求导可知：f(1) = 0, f(1) = 3, f(1) = 6，所以lim x→1 (x^3-1)/(x-1) = 3以上就是使用泰勒公式求极限的一般步骤，当函数f(x)的几阶导数可以计算出来时，就可以采用此方法来求极限了。
泰勒公式可以用来计算出大多数复杂函数的极限，对求极限有很大的帮助，它可以帮助我们分析复杂的函数关系，也可以帮助我们理解函数在某一点的取值情况，并由此分析函数在该点处的连续性等特征。
泰勒公式并非万能，有时候你会遇到函数f(x)，其函数的某阶导数不存在，这也就意味着我们无法用泰勒公式来计算该函数的极限，或者某些次高阶导数取值很大，这就会使得该项在求极限的过程中的贡献很大，这时候、泰勒公式就可能不太准确。
泰勒中值定理与泰勒公式计算思路与典型题分析
泰勒中值定理与泰勒公式计算思路与典型题分析泰勒（Brook Taylor）英国数学家，主要以泰勒公式和泰勒级数出名。
一、泰勒多项式与麦克劳林多项式设函数f(x)在x0某邻域内有定义，并且在x0处有n阶导数，则称为函数f(x)在x0处的n阶(次)泰勒多项式. 其中系数称为f(x)在x0处的泰勒系数.特别，如果x0=0时，称为函数f(x)的n阶麦克劳林多项式.二、泰勒中值定理与泰勒公式定理(泰勒中值定理)如果函数f(x)在x0的某个邻域内具有直到n+1阶导数，则对邻域内任一点x，至少存在介于x0与x之间的一点ξ，使得该公式也称为带拉格朗日余项的泰勒公式，其中ξ也可以表示成三、带皮亚诺余项的泰勒公式如果函数f(x)在x0处具有直到n阶导数，则存在x0的一个邻域，对于该邻域内任一x，有此公式称为带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.【注】以上两个公式当x0=0时，分别称为n阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式和带皮亚诺余项的麦克劳林公式，即有四、泰勒公式的意义及使用原则泰勒公式解决了用微分近似计算函数值或函数值增量精度不高问题；提供了误差的估计公式，并可实现对误差的有效控制.【注1】函数f(x)在x=x0的n阶导数存在，则可以写出该函数在x=x0处的n次泰勒多项式，但是泰勒多项式不一定会随着n的增加逐渐逼近函数在x处的函数值.【注2】只要存在常数C>0使当x∈(a,b)时，恒有|f(n+1)(x)|≤C(n=0,1,2,…)则用n次泰勒多项式P n(x)来近似代替f(x)时，余项的绝对误差|R n(x)|(x∈(a,b))随n的增大可变得任意小. 对于初等函数而言，在任意定义区间上一般都满足这个条件，所以对应的泰勒多项式可以满足这个要求.【注3】记住几个基本初等函数的带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，其他的常见初等函数的在任意点的泰勒公式，一般都可以基于等式恒等，公式唯一的间接法来获得相应的泰勒公式.五、常用的几个麦克劳林公式带拉格朗日余项的麦克劳林公式带皮亚诺余项的麦克劳林公式【注1】一般在应用中都使用麦克劳林公式，因为一般位置的泰勒公式通过平移变换可以转换为麦克劳林公式描述.【注2】借助泰勒公式，可以计算函数在指定点的任意阶导数，即有六、计算函数泰勒公式的方法与典型题1. 直接法(1)计算n阶带拉格朗日余项的泰勒公式，直接求函数在x0的1~n+1阶导数，然后由公式代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.(2)计算n阶带皮亚诺余项的泰勒公式，直接求函数在x0的1~n阶导数，然后由公式代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.【注】计算麦克劳林公式即为x0=0处的泰勒公式. 该方法适合于所求阶数较低，函数不方便描述为具有以上几个已知泰勒公式的初等函数结构，或者函数求导结果具有一定规律的问题，比如上面几个基本初等函数的麦克劳林公式的计算.例1 求f(x)=secx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.【分析】该函数不好直接描述为以上五个函数，即sinx, cosx, e x, ln(1+x), (1+x)a的结构，所以使用直接法计算系数来获取相应的麦克劳林公式，由于要计算三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式，所以要求x0=0处的函数值及三阶导数值，于是有所以有【注1】由于secx是偶函数，所以在计算导数的过程中也只需要计算偶数阶导数，奇数阶导数肯定为0.【注2】对于抽象函数一般使用直接法.例2(1996年数学一(199607)) 设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a, |f’’(x)|≤b.其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点.(1)写出f(x)在点x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；(2)证明|f’(x)|≤2a+b/2.【分析】首先，这是一个抽象函数的泰勒公式计算问题，并且在x=c处各阶导数都无法直接计算出，所以只能用抽象函数的导数描述形式描述，于是直接由泰勒公式定义形式，有其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1. 这就是该考题第(1)的结果.对于第二问，考虑的是f’(x)，由于c为任意点，所以就相当于考察泰勒公式中的f’(c)，所以希望将它用有相关已知条件的函数与二阶导数来描述，如果直接用一阶泰勒公式表示，则分母中出现x-c，无法获取最小下界. 因此，按照常规的泰勒公式的应用于证明题的思路，写出在某点的泰勒公式后，分别求其它已知点，或者中点、端点的函数值，然后借助两个泰勒公式消去一些不好讨论的项，得出能够讨论出结果的表达式.比如这里，除了c，就只有两个相关端点了，于是对一阶泰勒公式求x=0,x=1的值，有两式相减，则可以将f’(c)的变量系数消去，从而有而有绝对值不等式，有由于g(c)=(1-c)2+c2的导数为g’(c)=4c-2，所以驻点只有一个，即c=1/2，比较函数g(c)在0，1/2，1的值，即1,1/2,1，所以有1/2<g(c)<1，从而有结论成立.2. 间接法该方法基于函数表达式恒等变换与泰勒公式的唯一性.(1)将函数的变量描述为x-x0的函数形式，x变量不再以其它形式存在于函数表达式中；(2)将函数描述为已知麦克劳林公式的基本初等函数的结构，即sinx,cosx, e x, ln(1+x), (1+x)a，其中x可以是任意的表达式，如果将其替换为x-x0，则得函数在x=x0处的泰勒公式.【注】变换思路可以考虑两个方向，求麦克劳林公式则从考虑变换函数结构出发，求非零点的泰勒公式，则先考虑变量结构，在考虑函数结构.(3)写出构成函数的各基本初等函数的泰勒公式，合并化简系数，写出最终泰勒公式例2 分别求x2/(4+x)的n阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式和x=2处的n阶带皮亚诺余项的泰勒公式.【分析】(1)求带皮亚诺余项的麦克劳林公式，它从变换函数结构出发：具有x2/(4+x)结构的，已知泰勒公式的初等函数为于是有或者(2)求带皮亚诺余项的x=2泰勒公式，首先从变量出发，把变量都变为x-2，则有例3 求f(x)=e sinx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.【分析】：直接法：该函数不具有直接的以上五个函数结构，所以考虑直接法，于是有所以有间接法：于是有例4(2000数学二)：求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(3≤n).【解题分析】由于是求x=0处的n阶导数，所以由麦克劳林公式，有于是由ln(1+x)的麦克劳林公式：可得【另解】由于这是一个幂函数与对数函数的乘积，所以它的导数也可以由莱布尼兹计算公式来求，其中公式为：如果令则由于有所以有因此当x=0时，代入上式，则有相关推荐•柯西中值定理证明中值命题的基本思路与典型例题分析•拉格朗日中值定理证明中值命题的基本概念、基本步骤与典型题思路分析•罗尔定理证明中值命题的基本概念、步骤与典型题思路分析关于泰勒公式、泰勒中值定理的应用实例思路探索与分析可以参见全国大学生数学竞赛初赛非数学解析视频课堂，主要视频有：•第二届第2题：基于对数函数法和麦克劳林公式计算函数极限（1个视频片段）•第三届第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析（3个视频片段）•第三届第三题：借助带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值等式（1个视频片段）•第四届第三题：借助麦克劳林公式探索方程近似解（1个视频片段）•第六届第三题：用泰勒公式解题的一般思路与步骤及实例分析（2个视频片段）•第八届第1题：函数极限计算的一般思路与方法（3个视频片段）。
泰勒公式生活中例子
泰勒公式生活中例子1. 你看那烤蛋糕，不就像泰勒公式吗？我们想要知道蛋糕在不同温度下的状态，就好像用泰勒公式去逼近一个复杂函数，知道了大致情况，才能烤出完美的蛋糕呀！比如我上次烤蛋糕，就是通过一点点试验和调整，才做出让大家都赞不绝口的美味呢！2. 咱平时跑步锻炼，速度的变化也能用泰勒公式来类比呀！开始跑慢些，中间加速，最后又放慢，这不就和泰勒公式对一个运动轨迹的近似一样嘛！就像我和朋友一起跑步那次，我们根据不同阶段调整速度，多有意思。
3. 还记得我们装修房子选颜色吗？那挑选的过程不就类似泰勒公式。
我们在各种色彩中抉择，力求找到最合适的搭配，就如同用泰勒公式去找到最接近理想效果的那个组合。
那次我们为了客厅的颜色可是纠结了好久呢！4. 泰勒公式在生活中无处不在呀！像我们玩游戏得分的过程，每一步的积累不就是在构建一个类似泰勒公式的东西嘛。
每次和小伙伴们玩游戏争夺分数，不都像在解一个有趣的谜题一样。
5. 想一想啊，购物时计算优惠折扣也和泰勒公式有那么点儿关系呢！怎么组合使用优惠券能省更多钱，不就像是在寻找最精确的函数逼近嘛！上次我购物时可是绞尽脑汁算优惠呢，哈哈！6. 大家一起拼乐高的时候，不也是一种泰勒公式的体现嘛！从一个个小零件到一个完整的作品，和用泰勒公式去逐步完善一个复杂图形很像呀！我们一起拼乐高那次，真的感觉像创造了一个小世界。
7. 学骑自行车的过程不也可以用泰勒公式来看嘛！从开始的跌跌撞撞到最后熟练驾驭，不就是在不断地逼近那个完美的骑行状态嘛！我记得我第一次学骑车的时候，可摔了不少跤呢。
8. 甚至我们聊天时情绪的变化都有点像泰勒公式呢！从开心到生气再到平静，就像一个曲线在起伏变化。
就像有次和朋友聊天，情绪那叫一个多变呀！总之，泰勒公式真的在我们生活中处处有体现呀，只要细心观察就能发现呢！。
泰勒公式例题
泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用1引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大sin* —分v2n+l 1-X量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.2预备知识定义2.1[1]若函数/在X。
存在〃阶导数，则有= /（兀）+ 晋（―兀）+ -（X - XJ + …+斗％7。
）+©7）”）（1）n\这里0 （（X-X。
）"）为佩亚诺型余项，称⑴f在点X。
的泰勒公式.当兀二0 时，（1 ）式变成f（x） = /（0） + / 丫）x + ' 丫）/ + …+ 一x"+o（x"）,称此式为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2[21若函数/在入某邻域内为存在直至” + 1阶的连续导数，则f（x） = f（x0） + f '（x Q）（x-x Q） +丄平（X- X。
）' + ... + -一y（X- X。
）" + 心（X）,2! n\f 5十1）（已（2）这里尺,（x）为拉格朗日余项R代x）= —（A- + x0）w+1,其中点在x与兀。
之间，称（2）仪 + 1）!为/在兀的泰勒公式.当心二0 时，（2）式变成/•（Q = /（O） + /'（O）x+厶岁亍+...+£21H + R“（X）2! n\称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.常见函数的展开式：X ’ X2 X"产…+1e =1 + x+ -------- ・・•+一H------ x ・2! n\（” + 1）!V2 V4工 6 ”曲八亍矿h…+7而+。
泰勒公式例题
泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例3.3利用泰勒展开式再求极限 。
泰勒公式练习题
泰勒公式练习题泰勒公式练习题泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近的近似值表示为该点处的函数值及其各阶导数的线性组合。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用泰勒公式。
1. 练习题一：计算函数在给定点的泰勒展开式考虑函数f(x) = sin(x)，我们要计算它在x = 0处的泰勒展开式。
根据泰勒公式，我们可以得到：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...由于f(x) = sin(x)，我们可以计算出f(0) = 0，f'(x) = cos(x)，f''(x) = -sin(x)，f'''(x) = -cos(x)，以此类推。
将这些值代入泰勒展开式中，我们可以得到：f(x) = 0 + cos(0)x - sin(0)x^2/2! - cos(0)x^3/3! + ...简化后可得：f(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这就是函数sin(x)在x = 0处的泰勒展开式。
2. 练习题二：计算函数在给定点的泰勒展开式的近似值考虑函数f(x) = ln(x)，我们要计算它在x = 1处的泰勒展开式的近似值。
根据泰勒公式，我们有：f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + f''(1)(x-1)^2/2! + f'''(1)(x-1)^3/3! + ...由于f(x) = ln(x)，我们可以计算出f(1) = 0，f'(x) = 1/x，f''(x) = -1/x^2，f'''(x) =2/x^3，以此类推。
将这些值代入泰勒展开式中，我们可以得到：f(x) = 0 + 1/(1)(x-1) - 1/(1^2)(x-1)^2/2! + 2/(1^3)(x-1)^3/3! + ...简化后可得：f(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - ...这就是函数ln(x)在x = 1处的泰勒展开式的近似值。
泰勒公式(Taylor'stheorem)在高考中的应用之终极版
摘要（Abstract）：对历年以来高考数学导数题（主要是全国卷，因为笔者今年高考考全国卷）进行了研究，进行了导数题题设题背景的调查，发现大多导数题题设背景是由泰勒（Taylor）展开式（实则为麦克劳林（Maclaurin）展开式，由于笔者很喜欢霉霉，故称之为泰勒）进行变形、赋值、换元、放缩、累加、累乘等变换的方法衍生出来的。
关键词（Key words）:•泰勒展开式•放缩引言（Introduction）：高等数学中，e^{某} 的幂级数展开式是像霉霉一样特别优美。
具体表现为通过泰勒展开式能将一些较为复杂的函数e^{某} ,\ln(1+某)用较为简单的函数1+某,某-\frac{某^{2}}{2} （二阶展开式）表示之。
这颇有一番以直代曲的韵味。
上图为f(某)=e^{某} (yellow )和它在某=0处的线性逼近P_{1}=1+某（blue ），通俗来说就是f(某)=e^{某} 在某=0处的切线方程为P_{1}=1+某。
由上图可直观感知到一个重要的不等关系：e^{某}\geq 1+某 (某\in R)，可以毫不夸张的说，高考导数涉及到的以泰勒展开式为题设背景的题都是以这个重要不等式变换而来的。
例如：•15年福建卷理20题•14年全国卷新课标I理21题•14年全国卷新课标III理22题•13年全国卷新课标II理21题•13年辽宁卷理21题•12年辽宁卷理21题•11年全国卷新课标II文导数题•10年全国大纲卷22题•07年辽宁卷理22题•06年全国卷II22题可见，以泰勒展开式为背景命制的导数题的地位在高考压轴题中还是较高的。
当然，有关试题并一一例举完，读者可以把自己做过的有关试题的出题处在评论区向大家分享。
在未了解泰勒展开式之前，解决相关导数题时往往采用不等式和导数为工具，进行逻辑推理来解决问题。
正所谓：“会当凌绝顶，一览众山小”，如果没有站在相应高等数学知识的高度，那么很难轻松地看透问题的本质。
泰勒公式证明中值公式例题
泰勒公式证明中值公式例题泰勒公式证明中值公式例题_______________________________泰勒公式是微积分中十分重要的一个概念，它可以用来求出曲线的精确曲线，也可以用来证明中值公式。
一、泰勒公式概述————————————泰勒公式是由18世纪英国数学家艾伦·泰勒发现的，是一个数学公式，它可以用来求出曲线的精确曲线，从而可以帮助我们解决曲线上的微分方程、函数的极限、积分等复杂问题。
二、泰勒公式的基本原理——————————————泰勒公式是建立在函数无穷多次导数及函数连续性的基础上，它可以将函数展开成一个无穷级数，并将这个无穷级数的前n项和作为函数的近似表达式，这样就可以用计算机来计算函数的近似值，从而可以解决复杂的微分方程和函数极限问题。
三、泰勒公式在证明中值公式中的应用——————————————————泰勒公式在证明中值公式中有着重要的作用，我们可以用它来证明中值公式：如果函数f(x)在区间[a,b]内连续，那么有f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c∈(a,b)。
四、证明中值公式例题—————————————————例题：已知函数f(x)=x^2-2x+1在区间[-1,2]内连续，证明f(2)-f(-1)=f'(c)(2-(-1))。
证明：由于f(x)在区间[-1,2]内连续，根据泰勒公式有：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)(x-a)^2}{2}。
将x=2,a=-1代入，可得：f(2)-f(-1)=f'(c)(2-(-1))+\frac{f''(c)}{2}。
而由于f''(c)=0，所以有f(2)-f(-1)=f'(c)(2-(-1))。
∴证毕。
五、总结——————————泰勒公式是微积分中一个重要的概念，它可以用来求出曲线的精确曲线，也可以用来证明中值公式。
泰勒公式练习题
f (b) 0, 试证明存在一点 (a , b), 使得
证 分别在a点与b点应用泰勒公式 ,有
1 2 f ( a ) f ( a )( x a ) f ( )( x a ) f ( x) 1 2! 1 f (a ) f (1 ) ( x a )2 , (a 1 x ) 2!
( n 1 )
其中在x与b之间.
因为 f (b) f (b) f (b) f ( n 1) (b) 0, 所以
f ( x)
f
( n)
( ) ( ) n n f (a ) f ( a b ) , ( x b) , n! n!
( n)
又f (a ) 0, (a b)n 0, 故f ( n ) ( ) 0, (a , b).
上具有三阶连续在闭区间设函数内至少存在一点区间介于其中由麦克劳林公式有证明在开导数从而从而由介值性定理和最大值上必有最小值计算cosx的近似值使其精确到0005试确定x的适用范围
泰勒公式的应用 例1 证明 证
1 x (1 x 1 1 1 1 ( 1) x 2 2 2! 2 2 5 3 1 1 1 1 ( 1)( 2)(1 x ) 2 x 3! 2 2 2 5 3 x x2 1 (0 1) 1 (1 x ) 2 x 2 8 16 2 x x ( 1)( n) n 1 n 1 (0 1) 0 ). 1 x 1 (1 ( xx ) x (n 1) ! 2 8
4
4
4
例3
| f ( x ) | a , 设f ( x )在[0， 1]上有二阶导数，
泰勒公式及其应用实践
泰勒公式及其应用实践第一部分：泰勒公式的基本原理泰勒公式是数学中的一种重要工具，用于表示一个函数在某点附近的近似表达式。
其基本原理可以简单描述为利用函数在某点处的导数来近似表示这个函数的值。
泰勒公式的一般形式可表示为：$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \\cdots $$其中，f(a)代表函数在点a处的函数值，f′(a)代表函数在点a处的一阶导数，f″(a)代表函数在点a处的二阶导数，依次类推。
第二部分：泰勒公式的应用实践实例一：求函数在某点处的近似值假设有一个函数$f(x) = \\sin(x)$，要求在x=0处的函数值。
首先，我们可以计算出$f(0) = \\sin(0) = 0$，然后我们可以利用泰勒公式来近似表示$\\sin(x)$在x=0处的值。
根据泰勒公式的展开形式，我们可以得到：$$ \\sin(x) = x - \\frac{x^3}{3!} + \\frac{x^5}{5!} - \\cdots $$将x=0带入上式，可以得到$\\sin(0) = 0$，这与实际情况吻合。
实例二：解析求导问题泰勒公式还可以应用于解析求导的问题。
通过泰勒公式的展开，我们可以得到函数在某点处的导数表达式，从而可以简化导数的计算过程。
以函数f(x)=e x为例，我们可以通过泰勒公式展开来求f′(x)的表达式。
首先，我们知道e x在x=0处的求解，可以得到e0=1，然后根据泰勒公式展开：$$ e^x = 1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + \\cdots $$对上式求导，可以得到：$$ \\frac{d}{dx}e^x = 1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + \\cdots = e^x $$这样，我们就成功地求出了e x的导数表达式，从而简化了导数的计算过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泰勒公式及其应用
常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。
当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。
上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：
1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。
2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。
将上述两个想法作进一步地数学化：
对复杂函数，想找多项式来近似表示它。
自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。
【问题一】
设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式
近似?
【问题二】
若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?
一、【求解问题一】
问题一的求解就是确定多项式的系数。
……………
上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：
于是，所求的多项式为：
(2)
二、【解决问题二】
泰勒(Tayler)中值定理
若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成
这里是与之间的某个值。
先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：
这表明：
只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。
【证明】
以与为端点的区间或记为，。
函数在上具有直至阶的导数，
且
函数在上有直至阶的非零导数，
且
于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有
三、几个概念
1、
此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式；
或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。
当时，泰勒公式变为
这正是拉格朗日中值定理的形式。
因此，我们也称泰勒公式中的余项。
为拉格朗日余项。
2、对固定的，若
有
此式可用作误差界的估计。
故
表明：误差是当时较高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。
3、若，则在与之间，它表示成形式，泰勒公式有较简单的形式——麦克劳林公式
近似公式
误差估计式
【例1】求的麦克劳林公式。
解：
，
于是
有近似公式
其误差的界为
我们有函数的一些近似表达式。
(1)、 (2)、 (3)、
在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。
【例2】求的阶麦克劳林公式。
解：
它们的值依次取四个数值。
其中：
同样，我们也可给出曲线的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。
【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。
解：
于是：
利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”，使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。
【例4】利用泰勒展开式再求极限。
解：，
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为，从而
当时，，应为
【例5】利用三阶泰勒公式求的近似值，并估计误差。
解：
故：。