泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用

常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：

1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化：

对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。

【问题一】

设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式

近似?

【问题二】

若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数。

……………

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是，所求的多项式为：

(2)

二、【解决问题二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成

这里是与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明：

只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

【证明】

以与为端点的区间或记为，。

函数在上具有直至阶的导数，

且

函数在上有直至阶的非零导数，

且

于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有

三、几个概念

1、

此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式；

或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。

当时，泰勒公式变为

这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。

为拉格朗日余项。

2、对固定的，若

有

此式可用作误差界的估计。

故

表明：误差是当时较高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。

3、若，则在与之间，它表示成形式，泰勒公式有较简单的形式——麦克劳林公式

近似公式

误差估计式

【例1】求的麦克劳林公式。

解：

，

于是

有近似公式

其误差的界为

我们有函数的一些近似表达式。

(1)、 (2)、 (3)、

在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。

【例2】求的阶麦克劳林公式。

解：

它们的值依次取四个数值。

其中：

同样，我们也可给出曲线的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。

【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。

解：

于是：

利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”，使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。

【例4】利用泰勒展开式再求极限。

解：，

【注解】

现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处

因为，从而

当时，，应为

【例5】利用三阶泰勒公式求的近似值，并估计误差。解：

故：