第16讲 三角形的基本概念和性质
03880_八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a
。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
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实例分析与解题技巧
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实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
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直角三角形中特殊角度计算
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30°-60°-90°三角形性质
等。
HL全等条件只适用于直角三角 形，不能用于其他类型的三角形
。
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SAS与ASA在直角三角形中应用
要点一
SAS（Side-Angle-Side）全等 条件在直角…
如果两个直角三角形的两条边和它们之间的夹角对应相等 ，那么这两个直角三角形全等。
要点二
ASA（Angle-Side-Angle）全 等条件在直…
拓展到解三角形
学习如何使用已知信息（如角度或边长）来解三角形，包括使用正 弦定理、余弦定理等。
实际应用与问题解决
尝试将直角三角形的性质应用于实际问题解决中，如测量、建筑和 物理等领域。
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THANKS
感谢观看
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测量距离
在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
中考冲刺 数学 提分攻略--第16讲 三角形的基本知识全等三角形
第16讲三角形的基本知识全等三角形【试试火力】1.（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A．4 B．8 C．10 D．132. （2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A．120° B．90°C．100° D．30°3. （2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= 14 ．4.如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．【把握火苗】火点1三角形的概念及其分类⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩⎩概念：由不在同一直线上的三条线段连接所得到的图形叫做三角形.角三角形按角分类角三角形角三角形分类不等边三角形底与腰不相等的等腰三角形按边分类等腰三角形三角形①②③④⑤火点2 与三角形有关的线段【掌握火候】1.判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁.【突破火点】燃点1 三角形中的线段例1 （2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线 C．高 D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．【思路点拨】不管是哪种类型的三角形，三角形的角平分线、中线和中位线都在三角形内部，但是锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高与直角边重合，钝角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部.方法归纳：解答本题的关键是熟练掌握三角形高、角平分线和中线的画法.燃点2 三角形中的角例2 （2017湖南株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（）A．145° B．150° C．155° D．160°【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∴6x=180，∴x=30，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．方法归纳：当问题中含有平行线时，可利用平行线的性质将其转化为其他角；当该角是一个三角形的外角或内角时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行计算.燃点3 三角形的中位线例3 . (2017湖北宜昌)如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=（）A．50m B．48m C．45m D．35m【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m．【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵DE=24m，∴AB=2DE=48m，故选B．方法归纳：解答本题的关键是要依据题目条件，活用中位线定理的结论.燃点4 全等三角形的性质与判定例4如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED ≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定．方法归纳：证明两条边或两个角相等时，若两条边或两个角分别在两个三角形当中，通常证明这两条边或两个角所在的三角形全等.【冰火不容】1. （2017甘肃张掖）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b ﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．02. （2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．3. （2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A．6 B．4 C．7 D．124. （2017四川眉山）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．114° B．122° C．123° D．132°5. 如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件BC=EF ，就得△ABC ≌△DEF．6. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是AE=AB ．7.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．8. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．9. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．10. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A 与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【展示火情】【试试火力】1.（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A．4 B．8 C．10 D．13【考点】K6：三角形三边关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵AB=5，AC=8，∴3＜BC＜13．故选D．【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．2. （2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A．120° B．90°C．100° D．30°【考点】K8：三角形的外角性质．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°，故选：C．3. （2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= 14 ．【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，BC=2DE，进而由DE的值求得BC．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE=7，∴BC=2DE=14．故答案是：14．4.如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠CAB=∠DAE ，再由SAS 证明△BAC ≌△DAE ，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠CAB=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，，∴△BAC ≌△DAE （SAS ），∴BC=DE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．【把握火苗】①首尾顺次 ②锐 ③直 ④钝 ⑤等边 ⑥锐角 ⑦直角顶点 ⑧一点 ⑨相等⑩一点 ⑪内心 ⑫相等 ⑬大于 ⑭小于 ⑮中点 ⑯平行 ○17一半 ○18180°○19互余 ○20和 ○21相等 ○22相等 【冰火不容】1. （2017甘肃张掖）已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a+b ﹣c|﹣|c ﹣a ﹣b|的结果为（ ）A ．2a+2b ﹣2cB ．2a+2bC ．2cD ．0【考点】K6：三角形三边关系．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．2. （2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，故答案为：120．3. （2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A．6 B．4 C．7 D．12【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，∴CD=AB=4.5．∵CF=CD，∴DF=CD=×4.5=3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE=2DF=6．故选A．4. （2017四川眉山）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．114° B．122° C．123° D．132°【考点】MI：三角形的内切圆与内心．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=114°，∵点I是内心，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=57°，∴∠BIC=180°﹣57°=123°，故选：C．5. 如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件BC=EF ，就得△ABC ≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】补充条件BC=EF，首先根据AF=DC可得AC=DF，再根据BC∥EF可得∠EFC=∠BCF，然后再加上条件CB=EF可利用SAS定理证明△ABC≌△DEF．【解答】解：补充条件BC=EF，∵AF=DC，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFC=∠BCF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：BC=EF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是AE=AB ．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】添加条件AE=AB，根据等式的性质可得∠BAC=∠EAD，然后再用SAS证明△BAC≌△EAD．【解答】解：添加条件AE=AB，∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，∴∠BAC=∠EAD，在△BCA和△EDA中，，∴△BAC≌△EAD（SAS）．故答案为：AE=AB．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．【解答】解：边数n=360°÷72°=5．故答案为：5．8. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．10. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A 与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A，得出∠BIC的度数即可；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．【解答】解：（1）∠1+∠2=2∠A；（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65°∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB），=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+×65°=122.5°；（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，∴∠A=（∠1+∠2），∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）．【点评】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．。
三角形的基本概念和性质
三角形的基本概念和性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段相连而成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用三角形。
一、基本概念1. 三角形定义：三角形是由三条线段组成的图形，三条线段分别称为三角形的边。
三个顶点将边相连，形成三个内角和三个外角。
2. 顶点：三角形的顶点是三个不共线的点，它们确定了三角形的形状和大小。
3. 边：三角形的边是连接顶点的线段，它们是三角形的基本构成元素。
4. 内角：三角形的内角是由两条边相交所形成的角，共有三个内角。
5. 外角：三角形的外角是由一条边和延长线所形成的角，共有三个外角。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则该三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角也相等，都是60度。
5. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则该三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角也相等。
6. 直角三角形：如果一个三角形拥有一个直角（90度），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的两条边平方和等于斜边平方，即a² + b² = c²。
7. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则该三角形是锐角三角形。
8. 钝角三角形：如果一个三角形中有一个内角大于90度，则该三角形是钝角三角形。
三、应用三角形的基本概念和性质在几何学和实际生活中有广泛的应用。
1. 测量：三角形的性质使得它成为测量地理距离、高度以及倾斜角度的重要工具。
2. 工程设计：在建筑和工程设计中，三角形的性质用于计算角度、边长和面积，保证结构的稳定和准确。
三角形的概念和性质
三角形的概念和性质三角形是几何学中重要的基本图形之一，由三条线段组成的封闭图形。
本文将介绍三角形的概念和常见性质。
一、三角形的概念三角形是由三条线段组成的封闭图形，其中每两条线段之间都有一个顶点。
三角形的三个边可以是不同长度的线段，而且不存在两条边之和小于第三条边的情况。
根据三条线段的长度关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1.等边三角形如果一个三角形的三条边长度相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的三个内角相等，每个内角都是60度。
2.等腰三角形如果一个三角形的两条边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
3.一般三角形如果一个三角形的三条边长度各不相等，那么这个三角形就是一般三角形。
一般三角形的三个内角不相等。
二、三角形的性质除了按边长和角度分类外，三角形还有一些重要的性质。
1.内角和三角形的三个内角的和是180度。
这个性质被称为三角形内角和定理。
无论三角形是等边、等腰还是一般三角形，其内角和始终等于180度。
2.外角和对于任意一个三角形，其三个外角的和也是180度。
这个性质被称为三角形外角和定理。
三角形的一个内角和其相对的外角之和等于180度。
3.三边关系三角形的三条边之间也有一些特殊的关系。
(1)三角不等式三角不等式是指三条线段的长度满足以下关系：任意两条线段之和大于第三条线段的长度。
如果三条线段的长度满足不等式中的等号，那么这三条线段可以组成一个退化三角形。
(2)直角三角形如果一个三角形的一个内角是90度，我们称它为直角三角形。
直角三角形中较长的边被称为斜边，其他两条边分别称为直角边。
(3)勾股定理勾股定理是直角三角形最重要的性质之一，它表明直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方的和。
勾股定理可以表示为a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边。
总结：三角形是由三条线段组成的封闭图形，根据边长和角度的关系可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
01 三角形的基本概念和性质+彭作超录入
1 三角形的基本概念和性质一、每个三角形都有三条边和三个角，它们是互相联系、互相制约的，这体现在以下方面： （l ）边与边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． （2）角与角之间的关系：三个内角的和等于180．，即在△ABC 中有，∠A 十∠B ＋∠C ＝180°，由此即知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做：三角形的中线．三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．中位线平行于第三边且等于第三边的一半．三角形的外角平分线：三角形一个内角的邻补角的平分线与这个角的，对边的延长线相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的外角平分线．三角形的内角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．同一个三角形中，大角的角平分线短于小角的角平分线．三角形中任何一边上的中线都把三角形分成面积相等的两部分．同一个三角形中，大边上的中线短于小边上的中线．三角形的任何一边上的高都垂直于该边，三角形的三条高未必都在三角形的内部．三角形的内角平分线、中线和高又有相同之处：在同一个三角形中，无论是三条中线，还是三条高，或者三条内角平分线，它们分别相交于一点．三角形顶角的平分线与底边上的高所夹的角等于两底角差的一半． 事实上，如图1－1，AT 为∠BAC 的平分线，AH 为BC 边上的高，令∠TAH 为θ，则2()BAH BAT θ=∠-∠ ()(90)(90)CAT CAH BAH CAH B C C B +∠-∠=∠-∠=︒-∠-︒-∠=∠=∠．图1-1在不混淆的情况下，有时，三角形的角平分线、中线和高也指它们所在的直线．例1：点1C 、1A 、1B 分别在△ABC 的边AB 、BC 和CA 上，且满足111111:::1:3AC CB BA AC CB B A ===．求证：△ABC 的周长p 与111A B C 的周长'p 之间有不等式：13'24p p p <<． （第15届全俄奥林匹克题）证明：如图1－2，图1-221注意到三角形两边之差小于第三边，故有1111AC CB A B -<，1111B A AC B C -<，1111C B BA C A -<， 设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，111B C a =，111C A b =，111A B c =，则13144a b c -<，13144b c a -<，13144c a b -<， 三式相加，得1111()2a b c a b c ++<++，即1'2p p <再在△ABC 各边上截取1212A A a =，1212B B b =，1212C C c =，易证明2114A B c =，2114B C a =，2114C A b =．又注意到三角形两边之和大于第三边，有12144a b c +>，121+44b a a >，12144c b b +>，三式相加，得1113()4a b c a b c ++>++，即3'4p p <，故13'24p p p <<． 例2：如图1－3，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数为（ ）A ．450°B ．540°C ．630°D ．720° 524671图1-3（1997年安徽部分地市联赛题）解：选B ．理由：记∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7的顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，设AE 交BG 于M ，AD 交BG 于N ．记∠EMN ＝∠8，∠DNM ＝a ，图1-3则1801808+1a MNA =︒-∠=︒-∠∠，即81180a +∠-∠=︒． 连结BD 、EG ，则234360α∠+∠+∠+=︒．1234567123456713603608720(81)720180540a α∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+︒-+︒-∠=︒-+∠-∠=︒-︒=︒从而（）（）（）（） 例3：在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点D ．如果∠A ＝27°，那么∠BDC ＝ ．（2002年“我爱数学”夏令营竞赛题）解：填13．5°．理由：如图1－4，图1-4因为∠A＝27°，∠BCE＝1()2A ABC∠+∠，则111()13.5222BDC BCE CBD A ABC ABC A∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=︒例4：如图1－5，AA'、BB'分别是∠EAB、∠DBC的平分线．若AA'＝BB'＝AB，则∠BAC的度数为．（2003年全国联赛题）B'B'解：填12°，理由：设∠BAC的度数为x．因AB＝BB'，故∠B'BD＝2x，∠CBD4x．又AB＝AA'，则∠AA'B＝∠ABA'＝∠CBD＝4x．因为∠A'AB＝1(180)2x︒-，故1(180)441802x x x︒-++=︒．解得12x=︒．例5：△ABC的边AB和BC上的高线（分别）不短于边长，试求该三角形的各个角度数．（第27届莫斯科奥林匹克题）解：如图1－6，设AD、CE分别是BC和AB上的高线，则AD≤AB，CE≤BC．但由题设，知AD≥BC，CE≥AB，所以AD＝AB＝CE＝CB．从而D、B、E重合．如图1－7．图1-6图1-7B(D E)所以△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，因此∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°．例6：如图1－8，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝13AD，CE交AB于点F．若AF ＝1．2cm，则AB＝cm．（2000年山东省竞赛题）图1-8解：填6．理由：过点D 作DG ∥CF 交AB 于G ，图1-8则1BG BDGF DC==，即BG ＝GF ．① 又由GD ∥FE ，有12AF AE GF ED ==②． 由此，即可求得FG ＝2．4cm ，故AB ＝6cm ． 注：此例可以推广，设D 为BC 边上一点，且BD ：DC =λ，E 是AD 上一点，且1AE AD n=，按此例求解方法，式①②分别变为BG GF λ=，(1)FG n AF =-，所以[(1)(1)1]AB n AF λ=-++．例7：在△ABC 中，P 、Q 分别是边AB 和AC 上的点，中线AM 与PQ 交于N ．若AB ：AP ＝5：2，AC ：AQ ＝4：3，则AM ：AN ．（1995年四川省竞赛题）解：填2312．理由：如图1－9，过C 作CD ∥PQ 交AB 于D ，过M 作MK ∥PQ 交AB 于K ，则MK ∥CD ．因BM ＝MC ，则BK ＝KD ．从而1()2AK AD AB =+，于是1()2AK AD ABAP AP AP=+．而AK AM AD AC AB AN AP AQ==，，故115423=)()222312AM AB AC AN AP AQ +=+=(． 习题11．有长度为下列数值的几组线段：（i ）3，4，5；（ii ）32，42，52；（iii ）111345，，；（iv ）222111345，，． 其中能组成三角形的有（ ）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的值等于（ ）A ．360°B ．450°C ．540°D ．720°（2003年“TRULY 信利杯”联赛题）第2题BF3．如图，∠CGE ＝a ，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝（ ） A ．360°－a B ．270°－a C ．180°＋a D ．2a（1999年山东省竞赛题）第3题4．如图，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝a ，∠DBE ＝β，则∠DCE ＝ （用a 、β表示）． （1998年山东省竞赛题）第4题5．△ABC 中，∠CAB －∠B ＝90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交D 于N ．已知CL ＝3，则CN ＝ ．（第1届“希望杯”邀请赛题）6．在△ABC 中，∠B ＝100°，∠C 的平分线交边AB 于E ，在边AC 上取点D ，使得∠CBD ＝20°，连结DE ．则∠CED 的度数是 ．（1993年北京市竞赛题）7．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，∠A 的平分线AE 交CD 于H ，交∠BCD 的平分线CF 于G ．求证：HF ∥BC ．（1995年天津市竞赛题）第7题D参考答案1．选B ．理由：因只要看每组线段中较短的两条之和是否大于最长的线段即可．（i ）3＋4>5；（ii ）32＋42＝52；（iii ）111545+>；（iv ）222111453+<，故其中只有(i )、(iii )两组符合“两边之和大于第三边”．2．选C ．理由：连BE 、CF ．设BD 与CE 交于M ，CE 与DF 交于N ．由∠B ＋∠BMN ＋∠E ＋∠G ＝360°，∠FNM ＋∠F ＋∠A ＋∠C ＝360°，而∠BMN ＋∠FNM ＝∠D ＋180°，所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝(∠A ＋∠C ＋∠F )＋( ∠B ＋∠E ＋∠G )＋ ∠D ＝360°－∠FNM ＋360°－∠BMN ＋∠D ＝720°－180°＝540°．3．选D ．理由：连AG 、DG ，则∠A ＋∠B ＋∠F ＋∠BGE ＋a ＋∠CGF ＝∠A ＋∠B ＋∠F ＋2(180°－a )＋a ＝360°，∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠CGF ＋a ＋∠BGE ＝∠C ＋∠D ＋∠E ＋2（180°－a ）＋a ＝360°，从而∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝（∠A ＋∠B ＋∠F )＋( ∠C ＋∠D ＋∠E )＝a ＋a ＝2a ．4．填1()2αβ+．理由：连AC 、BC ，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和，则∠DCE ＝∠CDA ＋a ＋∠CEA ＝12（∠ADB ＋∠AEB ）＋a ，β=∠BDC ＋∠DCE ＋∠BEC ＝12(∠ADB ＋∠AEB )＋∠DCE ，故∠DCE ＝12（∠ADB ＋∠AEB ）＋a ＝()DCE βα-∠+，即∠DCE ＝1()2αβ+． 5．填3．理由：如图，有∠NLC ＝∠B ＋∠LCB ＝(∠CAB －90°)＋ ∠LCB ＝∠CAB －∠LCN ＋12∠ACB ＝∠CAB －(∠LCN 一∠ACL )一∠CAB －∠CAN ＝∠N ．从而NC ＝LC ＝3．第5题6．填10°．理由：设BC 的反向延长线为BF ，则∠ABF ＝80°，∠ABD ＝80°，从而BA 为∠DBF 的平分线．而E 在BA 上，则E 到BF 与BD 的距离相等．又E 在∠ACB 的平分线上，则E 到CF 与CA 的距离相等，从而可知，E 到∠ADB 的两边距离相等，所以E 在∠ADB 的平分线上，则∠ADE ＝12∠ADB ．故∠CED ＝∠ADE －∠ACE ＝10°．7．由∠DCB ＝90°－∠B ＝∠BAC ，知∠HCG ＝12∠DCB ＝12∠BAC ＝∠HAD ．而∠CHG ＝∠AHD ，从而∠CGH ＝180°－(∠HCG ＋∠CHG )＝180°－(∠HAD ＋∠AHD )＝90°，知AG ⊥CG ，即AG ⊥CF ．此时，∠FCA ＝90°－∠GAC ＝90°－∠GAF ＝∠CF A ，故AC ＝AF ，即点A 在CF 的垂直平分线AG 上．又H在AG上，则HC＝HF，即知∠HFC＝∠FCH＝∠FCB，故HF∥BC．。
四年级下《三角形的内角和》PPT课件
三角形边长与角度关系
三角形边长关系
任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边。
三角形角度关系
三角形内角和等于180°，外角和等于 360°。
特殊三角形性质介绍
等腰三角形
有两条边相等，两 个底角相等。
学生自主发言，分享学习心得
分享对三角形内角和定理的理解
01
学生可以分享自己在学习过程中对三角形内角和定理的理解，
包括定理的表述、证明方法以及在实际问题中的应用等。
交流学习方法和经验
02
学生可以交流自己在学习三角形内角和定理过程中采用的方法
和经验，如如何记忆定理、如何应用定理解决问题等。
提出问题和困惑
锐角三角形
三个角都是锐角 （小于90°）。
等边三角形
三边相等，三个角 都是60°。
直角三角形
有一个角是90°，其 余两个角互余。
钝角三角形
有一个角是钝角 （大于90°），其余 两个角是锐角。
02 三角形内角和定理推导
直观感知法
01
通过测量不同类型的三角形的三个 内角，并求和，观察结果是否接近 或等于180度。
1 2
三角形内角和
已知三角形的内角和为180°。
多边形内角和公式 多边形的内角和 = (n - 2) × 180°，其中n为多 边形的边数。
3
公式推导
根据多边形划分为三角形的策略，多边形可以划 分为(n - 2)个三角形，因此多边形的内角和等于 三角形内角和的(n - 2)倍。
典型例题分析
例题1
求一个六边形的内角和。
已知三角形两边及夹角，判断三 角形形状
三角形的定义及性质
三角形的定义及性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间的交点称为顶点，两条线段之间的边称为边。
本文将探讨三角形的定义以及其常见的性质。
一、三角形的定义在几何学中，三角形可以定义为一个有三条边的图形。
每一条边都连接两个顶点，而每两条边之间的交点也是一个顶点。
三角形的三个顶点分别用A、B、C表示，三条边分别用a、b、c表示。
根据边长的关系，三角形可以分为以下三种类型：1. 等边三角形：如果三条边的长度都相等，即a=b=c，那么这个三角形就是等边三角形。
2. 等腰三角形：如果两条边的长度相等，即a=b或b=c或a=c，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 不等边三角形：如果三条边的长度都不相等，即a≠b≠c，那么这个三角形就是不等边三角形。
二、三角形的性质三角形有许多有趣的性质，下面将介绍其中一些常见的性质：1. 三角形的内角和为180度：对于任意三角形ABC，其内角A、B、C的度数之和等于180度。
这是因为在平面几何中，三角形的内角和总是固定的。
2. 外角等于两个不相邻内角之和：三角形的每个内角都有一个对应的外角，它是与内角不相邻的另外一条边所在的角。
对于三角形ABC来说，外角A等于内角B和C的度数之和，外角B等于内角A和C的度数之和，外角C等于内角A和B的度数之和。
3. 三边关系：在三角形ABC中，两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
换句话说，对于三角形ABC来说，a+b>c，a+c>b，b+c>a。
这个性质被成为三边关系定理，它是判断三条线段能否组成三角形的重要条件。
4. 直角三角形：如果三角形中有一个内角等于90度，那么这个三角形就是直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方之和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
5. 等腰三角形的性质：对于等腰三角形ABC来说，它有以下一些独特的性质：- 两个底角（即底边对应的内角）是相等的；- 等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直距离）是中线、中位线、角平分线和高线；- 等腰三角形可以划分为两个全等的直角三角形。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，包括三角形的定义、分类、元素、角度关系以及三角形的定理等。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接起来的图形，其中每个线段都被称为一个边，而连接两个边的点则被称为顶点。
三角形的三个顶点围成一个封闭的区域。
二、三角形的分类根据三角形的边长以及角度大小，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1) 等边三角形：三条边的长度均相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角度大小分类(1) 钝角三角形：一个角大于90°。
(2) 直角三角形：唯一一个角等于90°。
(3) 锐角三角形：三个角均小于90°。
3. 根据边长和角度大小综合分类(1) 正三角形：既是等边三角形，又是等腰三角形。
(2) 等腰直角三角形：既是等腰三角形，又是直角三角形。
三、三角形的元素三角形除了边和角之外，还有一些重要的元素：1. 顶点角：三角形的三个顶点所对应的角。
2. 底边：连接两个顶点的边。
3. 高：从底边到顶点所做的垂直线段。
四、三角形的角度关系1. 内角和定理：三角形内角的和等于180°。
2. 外角和定理：三角形的外角的和等于360°。
五、三角形的性质与定理1. 等腰三角形的性质：(1) 等腰三角形的两底角相等。
(2) 等腰三角形的高、中线、角平分线和垂心都是重合的。
2. 直角三角形的性质（勾股定理）：(1) 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(2) 根据勾股定理可以判断一个三角形是否为直角三角形。
3. 三角形的面积公式（海伦公式）：三角形的面积可以用海伦公式进行计算，公式如下：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边的长度。
通过了解三角形的基本概念与性质，我们可以更好地理解和分析三角形相关的问题。
初中数学三角形ppt完整版
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，具有广泛的应用和重要的性质。
在本文中，我们将探讨三角形的基本概念和一些常见的性质，以加深我们对三角形的理解。
一、基本概念三角形是由三条边和三个角组成的图形。
根据边的长度，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1.等边三角形：假设三条边的长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的三个角都是60度。
2.等腰三角形：假设三角形的两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的两个角也是相等的。
3.一般三角形：如果三角形的三条边的长度都不相等，那么这个三角形就是一般三角形。
除了边的长度外，三角形还可以根据角的大小来进行分类。
根据角的大小，我们可以将三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
1.锐角三角形：三个角都是锐角的三角形称为锐角三角形。
2.直角三角形：拥有一个90度角的三角形称为直角三角形。
直角三角形的两边相互垂直。
3.钝角三角形：拥有一个大于90度角的三角形称为钝角三角形。
二、性质除了基本的分类外，三角形还具有一些重要的性质。
1.三角形的内角和性质：三角形的三个内角的和总是等于180度。
这个性质被称为三角形的内角和定理。
2.直角三角形的性质：直角三角形是三角形中最特殊的一种。
如果一个三角形有一个90度角，那么它的另外两个角的和总是等于90度。
此外，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个性质被称为毕达哥拉斯定理。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两边相等，并且其底边的中线也是高和中线。
此外，等腰三角形的顶角的平分线也是高和中线。
4.等边三角形的性质：等边三角形的三边都相等，三个角也都是60度。
此外，等边三角形的高、中线、中位线、角平分线和垂直平分线都是同一条线。
5.海伦公式：对于一般的三角形，我们可以使用海伦公式来计算其面积。
海伦公式如下：设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S可以计算如下：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
三角形(知识点+题型分类练习+基础检测+能力提高)
三角形章节复习全章知识点梳理：一、三角形基本概念1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题方法：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。
②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。
④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。
二、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。
2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。
三角形的基本概念
三角形的基本概念 三角形的概念：如图，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形的主要线段：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的中线是一条线段．从三角形一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)．这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线． 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的这个性质在生产和生活中应用很广，需要稳定的东西都制成三角形的形状． 10.2. 三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：①三角形有三条线段；②三条线段不在同一条直线上； ③首尾顺次连接．以上三点表明三角形是封闭图形，如图就不是三角形．“三角形” 用符号“∆” 表示，顶点是C B A ,,的三角形记作“ABC ∆” ，读作“三角形ABC ” ． 10.3. 三角形的分类及角边关系10.3.1. 三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形 三角形按角的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形．它是两条直角边相等的直角三角形．注意：一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角． 10.3.2. 三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形． ②当已知两边时，可确定第三边的范围． ③证明线段不等关系．10.3.3. 三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180． 推论：①直角三角形的两个锐角互余．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．注意：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．10.3.4. 三角形的面积三角形的面积＝21×底×高． 10.4. 全等三角形 10.4.1. 全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．10.4.2. 全等三角形的表示和性质下图中的两个三角形能够完全重合，就是全等三角形，“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于” ．下图中的ABC ∆和C B A '''∆全等，记作“ABC ∆≌C B A '''∆” ．注意:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 因为能够重合的两条线段是相等的线段，能够重合的两个角是相等的角，所以全等三角形的对应边相等，对应角相等．这是全等三角形的性质．10.4.3. 三角形全等的判定 三角形全等的判定公理：三角形全等的判定公理有下面几个：(1)边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ” )． (2)角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ” )．这个公理还有下面的推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ” )．(3)边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等．(可以简写成“边边边”或“SSS ” )． 三角形全等判定公理的选择：已知条件 可选择的判定公理 一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判断它全等时，还有HL 公理即斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写为“斜边、直角边”或“HL ”)．注意：①HL 公理是直角三角形独有的，它对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定公理同样适用于直角三角形．②有两边和其中一边的对角(直角或钝角)对应相等，则这两个三角形全等． 10.4.4. 全等变换只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换．如图1，把ABC ∆沿直线BC 移动到C B A '''∆和C B A ''''''∆位置就是平移变换．②对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换．如图2，将ABC ∆翻折180到ABD ∆位置的变换就是对称变换．③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换．如图3，将ABC ∆绕过A 点旋转180到ADE ∆的位置，就是旋转变换．这里我们应该知道，无论是平移变换，对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．图1 图2 图310.5. 等腰三角形 10.5.1. 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)．即：在ABC ∆中，若AC AB =，则C B ∠=∠． 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60．等腰三角形的其它性质：1、 等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互 相重合．即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．2、 等腰直角三角形的两个底角相等且等于45．3、 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可以为钝角(或直角)．4、 等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则a b<2． 5、 等腰三角形的三角关系：设顶角为A ∠，底角为C B ∠∠,，则有：B A ∠-=∠2180，2180AC B -=∠=∠ ．10.5.2. 等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成：等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 注意：推论1，推论2常用于证明一个三角形是等边三角形；推论3常证明线段的倍分． 证明一个三角形是等腰三角形的方法：1、利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形．2、等腰三角形的判定定理：等角对等边．证明一个三角形是等边三角形的方法：1、利用定义证明：证明三条边相等．2、证明三角形三个角相等．3、证明它是等腰三角形并且已有一个角是60．等腰三角形性质等腰三角形判定中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边)那么这个三角形是等腰三角形2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角)那么这个三角形是等腰三角形2、有两条高相等的三角形是等腰三角形 角 等边对等角等角对等边边 底的一半<腰长<周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形10.6. 直角三角形； 10.6.1. 直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余． 即：︒=∠+∠⇒︒=∠9090B A C ．2、直角三角形中，︒30角所对的直角边等于斜边的一半． 即：AB BC C A 219030=⇒⎭⎬⎫︒=∠︒=∠．3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 即：AD BD AB CD AB D ACB ===⇒⎭⎬⎫︒=∠2190中点为．4、勾股定理：直角三角形两直角边b a ,的平方和，等于斜边c 的平方．即：222c b a =+．注意：此定理揭示了直角三角形三边关系，蕴含了数形结合思想，是从图形到数量的关系，常用来求线段的长．5、射影定理：直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．即：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅=⇒⎭⎬⎫⊥︒=∠．，，AB BD BC AB AD AC BD AD CD AB CD ACB 22290 注意： 1、它是线段计算、比例求等积式或证明中的常用定理； 2、这个双垂直图形中还有：①两对等角(除直角)ACD B BCD A ∠=∠∠=∠，； ②三个相似三角形即ACD ∆∽CBD ∆∽ABC ∆；③由面积公式推导出来另一等积式：BC AC CD AB ⋅=⋅． 10.6.2. 直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形．2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 注意：它是“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆定理．3、勾股定理逆定理：如果三角形三边长c b a ,,有下面关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形． 注意：它是利用三角形边长的数量关系判断三角形形状，体现了数形结合思想． 10.6.3. 锐角三角函数的概念如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的 ①对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ， 即：caA A =∠=斜边的对边sin ；②邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos ，即：cbA A =∠=斜边的邻边cos ； ③锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan ，即：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan ； ④锐角A 的邻边与对边之比叫做A ∠的余切，记作A cot ，即：abA A A =∠∠=的对边的邻边cot ． 说明：①当A ∠固定时，A ∠的正弦值，余弦值，正切值，余切值都是固定的，这与A ∠的两边长短无关． ②上面各式从整体看是一个等式，而右边是一个分式，因而具有等式、分式的性质，当已知式中两个量时，可求第三量．锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A ∠的锐角三角函数．说明：由于锐角三角函数都是线段的比值，因而都是正数，而且没有单位． 10.6.4. 特殊角度的三角函数值特殊角度()的三角函数值：三角函数︒0︒30︒45︒60︒90αsin0 2122 23 1 αcos1 23 22 21 0 αtan33 13－10.6.5. 各锐角三角函数之间的关系式各锐角三角函数之间的关系式： (1)互余关系：)90cos(sin A A -︒=，()A A -︒=90sin cos ，)90cot(tan A A -︒=，()A A -︒=90tan cot ．(2)平方关系：1cos sin 22=+A A ．(3)倒数关系：1)90cot(cot ,1)90tan(tan ,1cot tan =-︒=-︒=A A A A A A ． (4)相除关系：AAA A A A sin cos cot ,cos sin tan ==． 10.6.6. 锐角三角函数的增减性当角度在︒-︒900之间变化时，(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)； (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)； (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)； (4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．10.6.7. 解直角三角形解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的工具：在Rt ∆ABC 中，90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠所对边分别为c b a ,,． 1、三边之间的关系：222c b a =+(勾股定理)． 2、锐角之间的关系：A ∠+B ∠=90． 3、边角之间的关系：c a A =sin ，c b A =cos ，b a A =tan ，a b A =cot ，c b B =sin ，c a B =cos ，abB =tan ，baB =cot ． 说明：①利用这些关系，知道其中的2个元素(至少有一个边)，就可以求出其余的3个未知元素．②已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等．因此其边的大小不确定．直角三角形解法：直角三角形解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型： 1、已知一条直角边和一个锐角(如a ，A ∠)其解法为：)(cot ,sin ,9022a c b A a b Aac A B -=⋅==∠-=∠或 ； 2、已知斜边和一个锐角(如c ，A ∠)其解法为：)(cos ,sin ,9022a c b A c b A c a A B -=⋅=⋅=∠-=∠或 ；3、已知两直角边(如a ，b )，其解法为：A B A baA b a c ∠-=∠∠=+= 90,tan ,22得由；4、已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为：A B A caA a c b ∠-=∠∠=-= 90,sin ,22得由．10.6.8. 解直角三角形的应用仰角、俯角：如图1，在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．图1坡度、坡角：如图2，我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或坡比)，用字母i 表示，即lh i =． 坡面与水平面的夹角叫坡角．坡度与坡角(若用α表示)的关系：αtan =i ．坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．图2 图3方向角：如图3，平面上，过观测点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．例如，图中“北偏东30”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西 45”(或“西偏北45” )．例.1.在平面直角坐标系χογ中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得∆AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有 个。
三角形的概念与性质
三角形的概念与性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条线段组成，这三条线段相互相交于端点，形成三个顶点。
本文将介绍三角形的概念和一些重要性质。
概念三角形是由三条线段组成的简单几何图形，每条线段被称为三角形的边，相邻两边的端点被称为三角形的顶点。
根据边的长度，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，而普通三角形的三条边长度都不相等。
性质一：内角和定理一个三角形有三个内角，它的内角和等于180度。
这是三角形的一个基本性质，也被称为内角和定理。
例如，在一个普通三角形中，三个内角的和是180度。
如果一个三角形中的一个内角是90度，那么我们称这个三角形为直角三角形。
性质二：外角和定理三角形的每个内角都有一个对应的外角。
对于任意一个三角形，它的外角和等于360度。
这是三角形的另一个重要性质，也被称为外角和定理。
在一个普通三角形中，三个外角的和是360度。
性质三：等腰三角形的性质等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一些独特的性质。
首先，等腰三角形的两个底角（顶点所对的角）是相等的。
其次，等腰三角形的两条边是相等的。
这些性质使得等腰三角形在解决一些几何问题中非常有用。
性质四：直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角是90度。
直角三角形有一些独特的性质。
首先，直角三角形的两个直角边（与直角相邻的两条边）满足勾股定理。
即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
其次，直角三角形可以由一个45度的等腰直角三角形与一个角是30度的等腰直角三角形组成。
性质五：三角形的三边关系三角形的三边之间有一些关系。
其中之一是三角不等式定理，它表明任意两边之和大于第三边。
另一个是海伦公式，它用于计算三角形的面积。
根据海伦公式，已知三角形的三边长度时，可以计算出三角形的面积。
总结三角形是平面几何中基本的图形之一，它的概念和性质对于理解和解决几何问题非常重要。
三角形的内角和ppt课件
按边可分为等边三角形、等腰三 角形和一般三角形；按角可分为 锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形。
三角形边长与角度关系
三角形边长关系
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形角度关系
三角形内角和为180°，外角和为360°。
特殊三角形性质介绍
等边三角形性质 三边相等，三个角都是60°。
01
02
03
知识掌握情况
学生自我评价对于三角形 内角和的定义、性质以及 推导过程有清晰的认识和 理解。
解决问题能力
学生能够运用三角形内角 和的知识解决一些简单的 三角形角度计算问题。
学习态度与习惯
学生表现出积极的学习态 度和良好的学习习惯，能 够认真听讲、积极思考并 主动发言。
课后作业布置及要求
作业内容
判断形状类问题解析
已知三边判断形状
01
通过三边关系判断三角形的形状，如等边、等腰或一般三角形
。
已知两角及夹边判断形状
02
根据角边角（ASA）或角角边（AAS）关系判断三角形的形状
。
已知三角判断形状
03
通过三角形内角和定理及三角形形状的判断条件进行综合分析
。
一题多解类问题探讨
多种方法求角度
除了直接应用三角形内角和定理 外，还可以利用正弦、余弦定理
若三角形中三边相等，则三个角也 相等，每个角均为60°，可以快速判 断出所有角的大小。
05
典型例题解析与思路拓展
求角度类问题解析
1 2
已知两角求第三角
通过三角形内角和定理，直接计算第三角的度数 。
已知两边及夹角求其他角
利用正弦、余弦定理求解其他角度。
三角形的题
三角形的题目录一、三角形的基本概念1.1 三角形的定义1.2 三角形的性质1.3 三角形的分类二、三角形的周长和面积公式2.1 周长公式2.2 面积公式三、特殊的三角形3.1 等边三角形3.2 等腰三角形3.3 直角三角形四、解决常见的三角形问题4.1 判断是否为直角三角形4.2 求解未知边长或未知角度大小4.3 求解高度和中线等问题五、练习题与答案解析一、三角形的基本概念1.1 三角形的定义在平面直角坐标系内，如果存在由任意两条线段所组成的一个闭合图形，并且这个闭合图形不在同一条直线上，那么这个图形就是一个三角形。
1.2 三角形的性质（1）任意两边之和大于第三边；（2）任意两边之差小于第三边；（3）任意两个内部夹着一个顶点的夹角之和等于180度。
1.3 三角形的分类按照边长分类：（1）等边三角形：三边相等；（2）等腰三角形：两边相等；（3）普通三角形：三边都不相等。
按照角度分类：（1）锐角三角形：三个内角都小于90度；（2）直角三角形：一个内角为90度；（3）钝角三角形：一个内角大于90度。
二、三角形的周长和面积公式2.1 周长公式任意一个三角形的周长等于其三条边长之和，即C=a+b+c。
2.2 面积公式任意一个三角形的面积可以用海伦公式或底高公式来计算。
海伦公式：S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，p=(a+b+c)/2。
底高公式：S=1/2bh其中，b表示底边长，h表示对应的高线段长度。
三、特殊的三角形3.1 等边三角形在等边三角形中，每个内部夹着顶点的夹角都是60度。
此外，等边三角形还有以下性质：（1）每个内部夹着顶点的中线长度相等；（2）每个内部夹着顶点的高线段长度相等；（3）外心、重心、垂心和质心都重合于三角形的重心。
3.2 等腰三角形在等腰三角形中，两个底角相等。
此外，等腰三角形还有以下性质：（1）等腰三角形的高线段、中线和边长之间存在一定的关系；（2）如果一个三角形的两个内角相等，则它是一个等腰三角形。
三角形的面积和周长的性质
三角形的面积和周长的性质三角形是几何学中的一个基本概念，它由三条边和三个顶点构成。
面积和周长是描述三角形的两个重要性质。
一、三角形的面积三角形的面积是指平面上由三条边所围成的区域的大小。
我们可以通过不同的方法来计算三角形的面积，以下是常用的两种方法：1. 海伦公式当已知三角形的三条边长时，可以使用海伦公式来计算面积。
根据海伦公式，设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积可以通过以下公式计算：面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中s = (a+b+c)/2。
海伦公式的优点是适用范围广，无需知道三个角的大小，只需要知道三个边的长度即可。
但是对于边长较长的三角形，计算过程可能较为繁琐。
2. 高度法在平面上，一条直线可被视为一个面积为零的三角形。
如果我们将三角形的一边作为基边，从另外一个顶点引一条垂直于基边的线段，则这条垂线就可以看作是三角形的高。
通过测量基边和垂线的长度，可以使用以下公式计算三角形的面积：面积 = 1/2 * 基边长度 * 垂线长度高度法的优点是计算简单，但前提是需要知道三角形的高的长度。
二、三角形的周长三角形的周长是指三条边的总长度。
通过求解三个边长的和，可以得到三角形的周长，即：周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度三、面积和周长的关系三角形的面积和周长具有一定的关系。
根据数学知识，我们可以得出以下结论：1. 面积与周长的关系如果三角形的周长固定，那么三角形的面积是最大的时候，是等边三角形。
等边三角形的三边相等，也就是周长固定的情况下，它的面积最大。
2. 面积与边的关系其他条件不变的情况下，面积越大的三角形，至少有两边相等或者是一边固定，另外两边趋近于无穷大。
3. 面积与高的关系对于固定底边的三角形，底边长度越大，相应的高也越大，面积也越大。
总结：通过以上分析，我们可以得出三角形的面积和周长性质。
三角形的面积可使用海伦公式或高度法计算，而周长则是三条边的长度之和。
三角形的分类公开课PPT课件
三角形分类在数学建模中重要性
在数学建模中，三角形分类可以 帮助建立更准确的数学模型，解
决实际问题。
通过三角形分类，可以更好地理 解和描述实际问题的本质和特点 ，为数学建模提供有力的支持。
在一些复杂的数学模型中，三角 形分类也是模型简化和求解的关
在一些复杂的几何证明中，三角形分 类也是推导和证明的关键步骤之一。
通过三角形分类，可以更清晰地理解 题目要求，找到解题的切入点，提高 解题效率。
实际生活中三角形分类应用举例
建筑设计中，三角形分类被广泛应用于结构设计和稳定性分析中，如桥梁、建筑支 架等。
在地理测量和地图绘制中，三角形分类也是重要的工具之一，可以帮助测量和绘制 更精确的地图和地形图。
键步骤之一。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的定义及基本要素
回顾三角形的定义，强调三条边、三个角的基本要素。
三角形的分类标准
详细讲解按边分类和按角分类的标准，包括等腰三角形、 等边三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。
各类三角形的性质
总结各类三角形的性质，如等腰三角形的两腰相等、等边 三角形的三边相等且每个角都是60度等。
02
按角度大小进行分类
锐角三角形特点及性质
01
三个内角均小于90度。
02
任意两边之和大于第三 边。
03
具有稳定性，三边确定 后形状、大小固定不变 。
04
在等边三角形中，所有 角都等于60度，且所有 边都相等。
直角三角形特点及性质
01
02
03
04
直角三角形的性质课件初中数学PPT课件
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利用三角函数解决非直角三角形问题策略
已知两边求夹角
01
当已知非直角三角形的两边长时，可以利用正弦或余
弦定理求出夹角的大小。
已知一角和两边求另一角或第三边
02 通过正弦、余弦或正切函数，结合已知的角度和边长
信息，可以求出未知的角度或边长。
利用三角形内角和定理
03
在任何三角形中，三个内角的和等于180度。利用这
一性质，可以求出非直角三角形中的未知角度。
2024/1/28
25
案例分析
案例一
已知非直角三角形的两边长分别 为a和b，夹角为C，求第三边c的 长度。此时可以利用余弦定理 c²=a²+b²-2ab×cosC求出c的值 。
案例二
已知非直角三角形的两个角度分 别为A和B，以及一边长a，求另 一边b的长度。此时可以利用正弦 定理a/sinA=b/sinB求出b的值。
SSS判定
三边对应相等的两个三角形全 等。
ASA判定
两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等。
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分 别对应相等，则称这两个三角 形全等。
2024/1/28
SAS判定
两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等。
AAS判定
两角和其中一个角的对边对应 相等的两个三角形全等。
证明勾股定理。
欧几里得证明法
02
在《几何原本》中，欧几里得利用相似三角形的性质证明了勾
股定理。
加菲尔德总统证明法
03
美国第20任总统加菲尔德提出了一种简洁的勾股定理证明方法
，利用两个相似直角三角形的面积关系进行证明。
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勾股定理逆定理及应用
三角形的概念及基本性质-教案
.三角形相关的概念适用学科 初中数学初中数学 适用年级初中二年级初中二年级 适用区域 全国全国课时时长（分钟）120分钟分钟知识点1、 三角形中几条重要的线段三角形中几条重要的线段2、 三角形的一般性质三角形的一般性质3、 三角形边角关系、性质的应用三角形边角关系、性质的应用教学目标 理解掌握三角形的相关的概念；理解掌握三角形的相关的概念；能够利用三角形相关的概念解决一些实际问题能够利用三角形相关的概念解决一些实际问题教学重点三角形相关知识的点的灵活掌握三角形相关知识的点的灵活掌握 教学难点 三角形的边角关系、性质的灵活应用三角形的边角关系、性质的灵活应用教学过程一、复习预习二、知识讲解考点/易错点11. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
形。
2. 三角形中的几条重要线段：三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心））三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心））三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心））三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180180°°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。
）三角形具有稳定性。
4. 补充性质：在D ABC 中，中，D D 是BC 边上任意一点，边上任意一点，E E 是AD 上任意一点，则SSSSABECDEBDECAED D D D ×=×。
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典型例题
变式与思考：在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7， 则AB边的取值范围是（ ） A.1＜AB＜29 B.4＜AB＜24 C.5＜AB＜19 D.9＜AB＜19 分析：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直 接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知 识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法. 答案：D
参考答案
2.可以，设延伸部分为a，则长为2+a，3+a，5+a 的三条线段中，5+a最长， ∵ (2+a)+(3+a)-(5+a)>0, ∴只要a>0，长为2+a，3+a，5+a 的三条线段可 以组成三角形 设长为5+a的线段所对的角为α，则α为△ABC 的最大角. 又由 (2 a)2 (3 a)2 (5 a)2 a2 12 当 a 2 12 0 即 a 2 3 时，△ABC为直角三 角形.
典型例题
例2 如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝ 61°，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB ＝AB，求∠DAE的度数.
分析：用三角形内角和定理和外角定理， 等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数， 即可求得∠DAE的度数. 解：∵AB＝DB，AC＝CE ∴∠D＝ ∠ABC，∠E＝
二.知识要点
4.三边之间的关系: ①两边之和大于第三边； ②两边之差小于第三边; ③两边之差<第三边<两边之和. 5.三角之间的关系 : ①三角形三内角的和等于180°; ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和； ③直角三角形两锐角互余.
典型例题
例1 已知一个三角形中两条边的长分别是a、 b，且a>b，那么这个三角形的周长的取值范 围是（ ） A. B. C. D.
考纲要求
1．了解三角形有关概念（内角、外角、中线、 高线、角平分线），会画出任意三角形的角 平分线、中线和高，了解三角形的稳定性. 2．掌握三角形中位线的性质. 3．了解三角形的内心和外心.
知识要点
1．三角形、顶点、边、角(内角、外角)及 其表示; 2.三角形的主要线段(角平分线，中线，高 线、中位线)及其性质； 3.三角形的稳定性；
参考答案
一、填空题： 1、-9<a<-7；2、2；3、120°；4、30°或 120°；5、∠DCB；6、50°；7、8cm； 8、60°；9、130°；10、偶数.
参考答案
二、选择题：CBCBCB 三、解答题： 1.6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10； 8、8、12；8、10、12、4、10、12）
8.纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸 片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图）， 若∠1＝20°，则∠2的度数为 . 9.在△ABC中，∠A＝50°， A 高BE、CF交于点O，则 ∠BOC＝ . 1 10.若△ABC的三边分别 C 为a、b、c，要使整式 2 B ， 8题图 则整数应为 .
课堂训练
三、解答题： 1.有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根 可以组成几种不同形状的三角形？ 2.长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否 组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？ 3.如图，在△ABC中，∠A＝960，延长BC到D，∠ABC与 ∠ACD的平分线相交于A1， A1 ∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于 A A2 A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD 的平分线相交于A5，则∠ A5的大 小是多少？ B C 3题图 D
参考答案
3.3° a 4.（1）a；（2）2a或 ；
a （3） ＜OP＜2a； 2 a （4）0＜OP＜ 或OP＞2a. 2
2
课堂训练
4.如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点（即P可在射线 ON上运动），∠AON＝600，填空： （1）当OP＝ 时，△AOP为等边三角形； （2）当OP＝ 时，△AOP为直角三角形； （3）当OP满足 时，△AOP为锐角三角形； （4）当OP满足 时，△AOP为钝角三角形.
A 60° O 4题图 P N
分析： E D （1）DE是△AED与四边形 EBCD的公共边，只须证明 AD＋AE＝BE＋BC＋CD B P C （2）既有等边三角形的条件， 就有60。的角可以利用；又有垂线，可造成含 30°角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的 边角关系来证明.
课堂训练
一、填空题： 1.三角形的三边为1，1-a，9，则a的取值范围是 . 2.已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整 数，那么第三边的长为____. 3.在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝ 度. 4.如果△ABC的一个外角等于150°，且∠B＝∠C，则∠A ＝ . 5.如果△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则与 ∠A相等的角是 .
课堂训练
二、选择题： 1.若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三 角形共有（ ） A、6个 B、7个 C、8个 D、9个 2.在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则 ∠A的度数为（ ） A、30° B、36° C、45° D、72° 3.等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三 角形底边之长为（ ） A、7 B、11 C、7或11 D、不能确定
课堂训练
6.如图，在△ABC中，∠A＝800，∠ABC和∠ACB的外 角平分线相交于点D，那么∠BDC＝ . 7、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝ ∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB ＝ . A C
B E D 6题图 C F A
D E 7题图 B
课堂训练
课堂训练
4.在△ABC中，∠B＝50°，AB＞AC，则∠A的取值范围是 （ ） A、0°＜∠A＜180° B、0°＜∠A＜80° C、50°＜∠A＜130° D、80°＜∠A＜130° 5.若 、 、 是三角形的三个内角，而 x ， y ， z ，那么x、y、z中，锐角的个数的 错误判断是（ ） A、可能没有锐角 B、可能有一个锐角 C、可能有两个锐角 D、最多一个锐角 6.如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它 不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形
A
1 2Leabharlann 1 ∠ACB 21 ∴∠D＋∠E＝ （∠ABC＋∠ACB）＝53° 2
∴∠DAE＝1800－（∠D＋∠E）＝1270
D
B
C
E
典型例题
例3 如图，已知点A在直线外，点B、C在直线 上.点P是△ABC内任一点，求证：∠P＞∠A；
A P B C l
典型例题
例4 如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一 点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足 为E、D.问：△AED的周长与四边形EBCD的周 A 长之间的关系？