2017-2018学年成都市双流区八年级(下)期末数学试卷(含解析)

2017-2018学年成都市双流区八年级（下）期末数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
A卷（共100分）
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．已知2x＜﹣1，则下列结论正确的是（）
A．x＞B．x＜C．x＞﹣D．x＜﹣
2．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．根据天气预报，2018年6月20日双流区最高气温是30℃，最低气温是23℃，则当天双流区气温t（℃）的变化范围是（）
A．t≤30 B．t≥23 C．23＜t＜30 D．23≤t≤30
4．下列哪组条件能判别四边形ABCD是平行四边形（）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
5．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（）
A．（x+2）（x﹣1）B．（x﹣2）（x+1）
C．（x﹣1）2D．（2x﹣1）（x+2）
6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点．已知AB＝4，BC＝5，AC＝6，则四边形AFDE 的周长为（）
A．B．9 C．10 D．11
7．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）
8．下列分式中，无论a取何值，分式总有意义的是（）
A．B．C．D．
9．已知点A（﹣3，0）在直线y＝kx+b（k＞0）上，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
10．如图，点E在正方形ABCD外，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝，BF＝．则下列结论不正确的是（）
A．△AFD≌△AEB B．点B到直线AE的距离为2
C．EB⊥ED D．S△AFD+S△AFB＝1+
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．分解因式：9x2+6x+1＝．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AB的垂直平分线．若CD＝a，AD＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为．
13．已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，
则∠BAE＝度．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）因式分解：2ax3﹣8ax．
（2）解不等式组：．
16．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
17．（8分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知△ABC在网格图中的位置如图所示．
（1）请在网格图中画出△ABC向右平移7个单位后的图形△A1B1C1，并直接写出平移过程中线段BC扫过的面积．
（2）请在网格图中画出△ABC以P为对称中心的图形△A2B2C2（保留作图痕迹）．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G，且BE⊥CF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝，BC＝6，求线段EF的长．
19．（10分）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，顺风车行经营的A型车2017年7月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后，A型车每辆的销售价比去年增加400元，若今年7月份与去年7月份卖出的A 型车数量相同，则今年7月份A型车销售总额将比去年7月份销售总额增加25%．求今年7月份顺风车行A 型车每辆的销售价格．
20．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC．（1）如图1，当∠APB＝90°时，①求证：PC平分∠ACB；②若PC＝6，求BC的长；
（2）如图2，当∠APB＝60°，PC＝5时，求BC的长．
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且BD⊥AD．已知AB＝5，BC＝3，则AO＝．
22．不等式3x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是．
23．如图，将直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为．
24．若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是．
25．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，正方形EFGH绕点E旋转，直线FB与直线CH相交于点P，若AB＝2，∠DBP＝75°，则DP2的值是．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格污水处理价格
每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨
17吨及以下 2.2 0.80
超过17吨但不超过30吨的部分 4.2 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费）
（1）设小王家一个月的用水量为x吨，所应交的水费为y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家7月份最多能用水多少吨？
27．（10分）如图1，在正方形ABCD和正方形AEFG中，边AE在边AB上，AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕
点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）．
（1）如图2，当α＞0°时，求证：△DAG≌△BAE；
（2）在旋转的过程中，设BE的延长线交直线DG于点P．
①如果存在某时刻使得BF＝BC，请求出此时DP的长；
②若正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°，求旋转过程中点P运动的路线长．
28．（12分）已知直线y＝﹣x+6与x轴，y轴分别相交于点A，B，将∠OBA对折，使点O的对应点E落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若已知第四象限内的点D（，﹣），在直线BC上是否存在点P，使得四边形OPAD为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设经过点D（，﹣）且与x轴垂直的直线与直线BC的交点为F，Q为线段BF上一点，求|QA﹣QO|的取值范围．
参考答案与试题解析
1．【解答】解：不等式两边都除以2，
得：x＜﹣，
故选：D．
2．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．【解答】解：由于最高气温是30℃，最低气温是23℃，
∴23≤t≤30，
故选：D．
4．【解答】解：根据平行四边形的判定，A、C、D均不能判定四边形ABCD是平行四边形；B选项给出了四边形中，两组对边相等，故可以判断四边形是平行四边形．
故选：B．
5．【解答】解：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）
故选：A．
6．【解答】解：∵D，E分别是边BC，CA的中点，
∴DE＝AB＝2，AF＝AB＝2，
∵D，F分别是边BC，AB的中点，
∴DF＝AC＝3，AE＝AC＝3，
∴四边形AFDE的周长＝AF+DF+DE+AE＝2+3+2+3＝10，
故选：C．
7．【解答】解：点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
8．【解答】解：A、∵a2≥0，
∴a2+1＞0，
∴总有意义；
B、当a＝﹣时，2a+1＝0，无意义；
C、当a＝1时，a3﹣1＝0，无意义；
D、当a＝0时，无意义；无意义；
故选：A．
9．【解答】解：点A（﹣3，0）在直线y＝kx+b（k＞0）上，∴当x＝﹣3时，y＝0，且函数值y随x的增大而增大；
∴关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣3．
故选：C．
10．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵AF⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
又∵∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△AFD和△AEB中，，
∴△AFD≌△AEB（SAS），故A正确；
∵AE＝AF，AF⊥AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴∠AEB＝∠AFD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEF＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥ED，故C正确；
∵AE＝AF＝，
∴FE＝AE＝2，
在Rt△FBE中，BE＝＝＝，
∴S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE，
＝××+×2×，
＝1+，故D正确；
过点B作BP⊥AE交AE的延长线于P，
∵∠BEP＝180°﹣135°＝45°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴BP＝×＝，
即点B到直线AE的距离为，故B错误，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．【解答】解：原式＝（3x+1）2，
故答案为：（3x+1）2
12．【解答】解：∵AB＝AC，
CD＝a，AD＝b，
∴AC＝AB＝a+b，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝b，
∴∠DBA＝∠BAC＝36°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ACB﹣∠CBD＝72°，
∴BD＝BC＝b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝2a+3b．
故答案为：2a+3b．
13．【解答】解：边数n＝360°÷72°＝5．
故答案为：5．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB═OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故答案为22.5°．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．【解答】解：（1）原式＝2ax（x2﹣1）＝2ax（x+1）（x﹣1）；（2），
由①得：x＞﹣3，
由②得：x＜5，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜5．
16．【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•（a﹣1）
＝﹣，
当a＝﹣1时，
原式＝＝﹣．
17．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，线段BC扫过的面积＝7×4＝28；（2）如图，△A2B2C2为所作．
18．【解答】（1）证明：∵BE⊥CF，
∴∠BGF＝90°，
∴∠GBC+∠GCB＝90°，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，
∴∠ABC＝2∠GBC，∠BCD＝2∠DCF，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC＝AB＝，AD＝BC＝6，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝，
同理：DF＝DC，
∴AE＝DF，
∴AF＝DE，
∵AE+DF＝AD+EF，
∴2AB＝AD+EF，
∴EF＝2AB﹣AD＝9﹣6＝3．
19．【解答】解：设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，
根据题意得＝，
解之得x＝1600，
经检验，x＝1600是方程的解．
答：今年A型车每辆2000元．
20．【解答】证明：（1）①如图1，过点P作PM⊥CA于点M，作PN⊥CB于点N，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵∠ACB＝90°
∴四边形MCNP是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∵PA＝PB，∠APB＝90°，
∴∠MPN﹣∠APN＝∠APB﹣∠APN，
∴∠APM＝∠NPB，
∵∠PMA＝∠PNB＝90°，
在△APM和△BPN中，
∴△APM≌△BPN（AAS），
∴PM＝PN，
∴CP平分∠ACB；
②∵四边形MCNP是矩形，且PN＝PM，
∴四边形MCNP是正方形，
∴PN＝CN＝PM＝CM
∴PC＝PN＝6，
∴PN＝6＝CN＝CM＝MP
∴AM＝CM﹣AC＝1
∵△APM≌△BPN
∴AM＝BN，
∴BC＝CN+BN＝6+AM＝6+1＝7．
（2）如图，以AC为边作等边△AEC，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，
∵△AEC是等边三角形
∴AE＝AC＝EC＝5，∠EAC＝∠ACE＝60°，
∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝60°
∴△APB是等边三角形，
∴∠PAB＝60°＝∠EAC，AB＝AP，
∴∠EAB＝∠CAP，且AE＝AC，AB＝AP，
∴△ABE≌△APC（SAS）
∴BE＝CP＝5，
∵∠ACE＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝EC＝，FC＝EF＝，
∵BF＝＝＝，
∴BC＝BF﹣CF＝
一、填空题（每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．【解答】解：延长CB，过点A作AE⊥CB交于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝5，BC＝AD＝3，DC∥AB，
∵AD⊥CB，AB＝5，BC＝3，
∴BD＝4，
∵DC∥AB，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°，
可得：∠ADB＝∠DAE＝∠ABE＝90°，
则四边形ADBE是矩形，
故DB＝EA＝4，
∴CE＝6，
∴AC＝＝2，
∴AO＝AC＝．
故答案为：．
22．【解答】解：解不等式3x﹣a≤0，得x≤，
∵不等式的正整数解是1，2，3，
∴3≤＜4，
解得9≤a＜12．
故答案为：9≤a＜12．
23．【解答】解：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，设直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y＝﹣x+a，
把A（2，﹣4）代入可得，a＝﹣2，
∴平移后的直线为y＝﹣x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，即B（0，﹣2）
∴B'（0，2），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得，
，解得，
∴直线AB'的解析式为y＝﹣3x+2，
令y＝0，则x＝，
∴P（，0），
故答案为：（，0）．
24．【解答】解：两边同时乘以2（x﹣2），
得：4x﹣2a＝x﹣2，
解得x＝，
由题意可知，x≥0，且x≠2，
∴，解得：a≥1，且a≠4，
故答案为：a≥1，且a≠4．
25．【解答】解：如图，设EF交AB于M，EH交BC于N，PF交EH于O，作PT⊥AD于T交BC于R．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AE＝EB，∠EAM＝∠EBN＝45°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠MEN＝∠AEB＝90°，
∴∠AEM＝∠BEN，
∴△AEM≌△BEN（ASA），
∴AM＝BN，EM＝EN，∠AME＝∠BNE，
∵AB＝BC，EF＝EH，
∴FM＝NH，BM＝CN，
∵∠FMB＝∠AME，∠CNH＝∠BNE，
∴∠FMB＝∠CNH，
∴△FMB≌△HNC（SAS），
∴∠MFB＝∠NHC，
∵∠EFO+∠EOF＝90°，∠EOF＝∠POH，
∴∠POH+∠PHO＝90°，
∴∠OPH＝∠BPC＝90°，
∵∠DBP＝75°，∠DBC＝45°，
∴∠CBP＝30°，
∵BC＝AB＝2，
∴PB＝BC•cos30°＝，PR＝PB＝，RC＝PR•tan30°＝，
∵∠RTD＝∠TDC＝∠DCR＝90°，
∴四边形TDCR是矩形，
∴TD＝CR＝，TR＝CD＝AB＝2，
在Rt△PDT中，PD2＝DT2+PT2＝（）2+（2+）2＝5+2，
故答案为5+2．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．【解答】解：（1）设小王家一个月的用水量为x吨，所应交的水费为y元，则
①当用水量17吨及以下时，y＝（2.2+0.8）x＝3x；
②当17＜x≤30时，y＝17×2.2+4.2（x﹣17）+0.8x＝5x﹣34；
③当x＞30时，y＝17×2.2+13×4.2+6（x﹣30）+0.8x＝6.8x﹣88．
∴；
（2）当用水量为30吨时，水费为：6.8×30﹣88＝116元，9200×2%＝184元，
∵116＜184，
∴小王家七月份的用水量超过30吨，
设小王家7月份用水量为x吨，
由题意得：6.8x﹣88≤184，
解得：x≤40，
∴小王家七月份最多用水40吨）．
27．【解答】（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，AD＝AB，AG＝AE，∠BAD＝∠EAG＝90°，∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠DAG+∠EAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△DAG和△BAE中，，
∴△DAG≌△BAE（SAS）；
∴BE＝DG；
（2）解：①∵AB＝2AE＝4，
∴AE＝2，
由勾股定理得，AF＝AE＝2，
∵BF＝BC＝4，
∴AB＝BF＝4，
∴△ABF是等边三角形，
∵AE＝EF，
∴直线BE是AF的垂直平分线
，设BE的延长线交AF于点O，交AD于点H，如图3所示：则OE＝OA＝＝＝，
∴OB＝＝＝，
∵cos∠ABO＝＝，cos∠ABH＝＝，
∴＝，
∴BH＝，
AH＝＝＝，
∴DH＝AD﹣AH＝4﹣，
∵∠DHP＝∠BHA，∠BAH＝∠DPH＝90°，
∴△BAH∽△DPH，
∴＝，
即：＝，
∴DP＝﹣；
②∵△DAG≌△BAE，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠BPD＝∠BAD＝90°，
∴点P的运动轨迹为以BD为直径的，
BD＝AB＝4，
∵正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°，
∴∠BAE＝60°，
∵AB＝2AE，
∴∠BEA＝90°，∠ABE＝30°，
∴B、E、F三点共线，
同理D、F、G三点共线，
∴P与F重合，
∴∠ABP＝30°，
∴所对的圆心角为60°，
∴旋转过程中点P运动的路线长为：＝．
28．【解答】解：（1）连接CE，则CE⊥AB，
y＝﹣x+6与x轴，y轴分别相交于点A，B，
则点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6），则AB＝10，
设：OC＝a，则CE＝a，BE＝OB＝6，
AE＝10﹣6＝4，CA＝8﹣a，
由勾股定理得：CA2＝CE2+AE2，即（8﹣a）2＝a2+42，
解得a＝3，
故点C（3，0）；
（2）不存在，理由：
将点B、C的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣2x+6，
设点P（m，n），当四边形OPAD为平行四边形时，
OA的中点即为PD的中点，
即：m+＝8，n﹣＝0，
解得：m＝，n＝，
当x＝时，y＝﹣2x+6＝1，
故点P不在直线BC上，
即在直线BC上不存在点P，使得四边形OPAD为平行四边形；
（3）当x＝时，y＝﹣2x+6＝﹣5，故点F（，﹣5），当点Q为AO的垂直平分线与直线BC的交点时，QO＝QA，
则|QA﹣QO|＝0，
当点Q在点B处时，|QA﹣QO|有最大值，
此时：点A（8，0）、点O（0，0）、点Q（0，6），
则AQ＝10，QO＝6，|QA﹣QO|＝4，
故|QA﹣QO|的取值范围为：0≤|QA﹣QO|≤4。