动态几何之胡不归阿氏圆 旋转相似问题

“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似

一、胡不归型

【背景知识】

有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”

早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。

但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。

那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。用现代的科学语言表达，就是：

若在驿道上行走的速度为

，在沙地上行走的速度为，即求的最

小值.

例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______

解析：∵正方形A B C D为轴对称图形

∴A P =P C

A

B C

D P

∴A P+B P+C P=2A P+B P=

∴即求的最小值

接下去就是套路

我们要构造一个出来

连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，

∵∠P B F=30°

∴

由此我们把构造出来了

∴的最小值即为A F线段的长

∵∠B A E=45°，∠A E B=60°

∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=

根据面积法，·=·

求出A F=

（此外本题费马点亦可）

例题2

图1图2

总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）

第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=

第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可

模型具体归纳如下：

练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)

练习2

练习4

如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______

练习5

如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．

练习6

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；

练习7

如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．

（1）试说明C E是⊙O的切线；

（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；

（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．

二、阿氏圆型

阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。

“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足

当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。（时点的轨迹是线段的中垂线）

如图：为固定值，则此时点P的运动轨迹为。

证明：设B点坐标为（0，0）；A点坐标为（m，0）；P（x,y）.

则，.

由得

整理得：

所以当且时，点的轨迹是个圆，圆心为，半径。所以此时有

所以一定会有△O P B∽△O A P。

例1.在△A B C中，∠A B C =90°，B C =8,A C =6,以C为圆心，4为半径的圆上

有一个动点D ,连接A D 、B D 、C D ，则B D +A D最小值

解析：根据阿氏圆定义

=为定值，不妨设B C与圆C交与E点取E C 中点F ,由已知且∠F C D =∠D C B 所以△F C D ∽△D C B F D =B D 所以B D +A D =F D +A D A F 由勾股定理可得A F =2

图1图2

注意：阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应线段成比例夹角相等从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题例2.如图，在△A B C中，∠A C B =90°，A C =B C =4，

的半径为2，点D是

上的动点，点E在B C上，C E =1，连接A D 、D E ，则的最小值为__________。

例3.在△A B C中，A B =9，B C =8，∠A B C =60°，

的半径为6，P 是上的动点，连接P B 、P C ，则

的最小值为___________。

练习

1例2题图

例3题图