概率统计习题5.3

&5.3 统计量及其分布

习题与解答5.3

1.在一本书上我们随机地检查了 10页，发现每页上的错误数为 4560314214

试计算其样本均值，样本方差和样本标准差 解样本均值又=；二—^亠3. 样本方差 s

X j - x ■ 4 - 3

4 - 3 二3-78,

n -1 y 1

9 _

样本标准差s 二 s 2 =1.94. 2证明:对任意常数c,d 有

n

n

'

X j - c y j - d ]

_ I * - x y

n X

- c Y

- d .

j 1

j z!

n

n

_

n

_

送(X _c )(y j

_d )=Z (X j

_X+X-c )(y j _Y + y _ d )=送(X j -X )( y )+

i 1 八

j =1

j =1

八

n

_

n

n

_

迟(X -c jt yj _ y )+迟(Xj -X )( yj -d ) + 瓦(X -c )( y-d ),

j 1 j j 二 j

j m

n

n

_

由一 i X j —X i ； = 0〕 y — y ：U 0,得

j=1

im

n

n

_

_

'

X —c y j —d ! _ iX j —X y j

— y n X-c y — d ,

j 1

j *

因而结论成立.

3.设X 1,..., X n

和％,..., y n 是两组样本观测值，且有如下关系: y=3X j -4, i

=1,2.., n,试求样本均值X 和y 间的关系以及样本方差 S X 和S

y 的关系.

1 n

-1 n..

八

y Y i 3X j - 4 =

n i 4

2 1

1

E 3x i 4 3x+4n—lJXj-X 化因而得y二3x-4与 2 2

S厂

9S x

4•记x

n+1

n -1

X n d -X n

,n =1,2.…,证

明

S

n

S n 1

J X i

(X i -x n

x+x

n

IL

n +1

X

(X i -X n )

n +^1 ■

X n+1)

n+1 n+1

(X i -X n+1 n+1 n+1

X i 「

X -X n+1 )2n+1 n+1 (X n+1 -X n) -4 二3x-4,

3/

X i

n y

2

1 n

X n+1 -*

n (n +1 丿

n-1

1 n

_ 2

1 _ 2

(X i -X n ) X n+1 -X n

n n -1 ij

n 1

1 - 2

I.

X n +1 - X n

n 1

5•从同一总体中抽取两个容量分别为 n,m 的样本,

样本均值分别为

X 1,X 2,样本方差分别为s 2,s ；,将两组样本合并，其均

值力差分别为

2

x,s ,证明:

-mx 2 x 二 2 2

2

2

(n - 1)s (m-1)s 2 nm(X [-x 2)

s 二

证设取自同一总体的两个样本为

X 11 , X 12，...，X in ； X 21，

X

22

，…，X 2m .

由x ；'1代…Nn

X

^ %…B 得

x 11 ... ■ x 1n x 21

x 22 …

x 2m

mx 2

1 n

— — - 2

.

-- ---- —

[Z (X [i — X [ + X [

— X ) +》(X 2i 一 X 2 * X 2 — x)]

1 ° — — —

2 ----------------------------------------------------------------------- ------------------- - 2

[£ (冷一人)+n(x 〔—x) +瓦(X? —X 2)+m(x 2 -x)

i A

n^ mx 2 2

2

1 2

S n 1

(X i -X n )-

n i J i _ 2

X n+1 -X n

由s 2

亠' (N i -为)2

2

n -1 y

,S 2

1

佑“

2

m -1 id

1

(X 1i -x)2

-

n m -1 y

(X 2i -X )]

nx-i mx 2

)m(X 2