第三章 综合素质检测
高二数学选修第3章综合素质检测
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知二次函数y ＝ax 2＋(a 2＋1)x 在x ＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是( ) A.2516 B.258 C.254 D.2522．曲线y ＝x 3的切线中斜率等于1的直线( )A ．不存在B ．存在，有且仅有一条C ．存在，有且恰有两条D ．存在，但条数不确定 3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝04．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞) 5．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 的单调区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞) 6．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4＋27．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( ) A ．20B ．9C ．－2D ．28．已知f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )等于( ) A ．4x ＋3B ．4x －1C ．4x －5D ．4x －39．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确10．函数f (x )＝x 2＋(2－a )x ＋a －1是偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝－xD ．y ＝－x ＋2 11．设函数f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是下图中的( )12．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴，直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．14．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．15．曲线y ＝－133－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－53处的切线的倾斜角为________．16．函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)、Q (－1，12)．求：(1)曲线在点P 处，点Q 处的切线斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程．18．(本题满分12分)已知f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a 、b 的值．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋12(a －1)x 2＋bx (a ，b 为常数)在x ＝1和x ＝4处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,2]时，y ＝f (x )的图象在直线5x ＋2y －c ＝0的下方，求c 的取值范围．20．(本题满分12分)(2010·陕西文，21)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．21．(本题满分12分)已知x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m <0.(1)求m 与n 的关系表达式． (2)求f (x )的单调区间．22．(本题满分14分)若t 为大于－2的常数，求函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，t ]上的最值．1[答案] B[解析] y ′＝2ax ＋a 2＋1，∵y ′|x ＝1＝2a ＋a 2＋1＝1， ∴a 2＋2a ＝0，a ＝0或a ＝－2，又∵a ≠0，a ＝－2，y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －542＋258，∴函数的最大值为258，故选B. 2[答案] C[解析] y ′＝(x 3)′＝3x 2，令3x 2＝1，得x ＝±33，切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，故选C.3[答案] A[解析] 考查斜率与导数及直线方程基本知识．因为y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1.而x ＝1时y ＝1，故l 方程为4x －y －3＝0. 4[答案] B[解析] 由导数几何意义知，在(－∞，2]上f ′(x )<0，故单调递减． 5[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1) ＝3(x ＋1)2≥0对x ∈R 恒成立，所以f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 在R 上为增函数，故选A. 6[答案] B[解析] 把答案代入验证，排除A 、C 、D ，故选B. 7[答案] C[解析] 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9， 又点(2，－1)在抛物线上， ∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C. 8[答案] A[解析] ∵f (x －1)＝2x 2－x ，令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝2(t ＋1)2－(t ＋1)＝2t 2＋3t ＋1， ∴f (x )＝2x 2＋3x ＋1，∴f ′(x )＝4x ＋3，故选A. 9[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7， 由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立， ∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D. 10[答案] A[解析] 考查利用导数确定切线方程．由f (x )为偶函数得a ＝2，即f (x )＝x 2＋1，从而f ′(1)＝2.切点(1,2)，所以切线为y ＝2x .11[答案] D[解析] 由y ＝f (x )图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.12[答案] A[解析] y ＝x sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2处切线为y ＝－x ，所围成的三角形面积为π22.13[答案] ⎝⎛⎭⎫22，＋∞[解析] f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )>0得x >a 或x <－a ， 令f ′(x )<0得－a <x <a ，∴当x ＝－a 时，f (x )取极大值f (－a )＝2a 3＋a ， ∵a >0，∴2a 3＋a >0，当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝a －2a 3，由题意得a －2a 3<0， 又a >0，∴1－2a 2<0，∴a >22. 14[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x 2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x 2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15[答案] 135°[解析] y ′|x ＝－1＝－1，所以k ＝－1，即倾斜角为135°. 16[答案] [－2,1)[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1.易知(－∞，－1)上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减．故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值条件为⎩⎪⎨⎪⎧a <1，10－a 2>1，f (1)≥f (a ).所以－2≤a <1.17[解析] ∵－1＝1t －2，∴t ＝1 ∴y ＝11－x， ∴y ′＝1(1－x )2. (1)当P 为切点时，k 1＝y ′|x ＝2＝1， 当Q 为切点时，k 2＝y ′|x ＝－1＝14.(2)当P 为切点时，方程为x －y －3＝0； 当Q 为切点时，x －4y ＋3＝0.18[解析] 显然a ≠0(否则f (x )＝b 与题设矛盾)，由f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]得，x ＝0.(1)当a >0时，列表：由上表知，f (x )在[f (x )在[0,2]上是减函数．且当x ＝0时，f (x )有最大值，从而b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3， ∵a >0，∴f (－1)>f (2)，从而f (2)＝－16a ＋3＝－29，∴a ＝2.(2)当a <0时，用类似的方法可判断当x ＝0时，f (x )有最小值，当x ＝2时，f (x )有最大值， 从而f (0)＝b ＝－29，f (2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2. 综上，a ＝2、b ＝3或a ＝－2、b ＝－29. 19[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋(a －1)x ＋b .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝1＋(a －1)＋b ＝0，f ′(4)＝16＋4(a －1)＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4.所以f (x )＝13x 3－52x 2＋4x .(2)由题设知f (x )<－12(5x －c )，即c >23x 3－5x 2＋13x .设Q (x )＝23x 3－5x 2＋13x ，x ∈[－2,2]，所以c 只要大于Q (x )的最大值即可．Q ′(x )＝2x 2－10x＋13，当x ∈(－2,2)时Q ′(x )>0.所以Q (x )max ＝Q (2)＝343，所以c >343. 20[解析] 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题和解决问题的能力．f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝ax，解得a ＝e2，x ＝e 2，∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)．21[解析] (1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ，∵x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴3m －6(m ＋1)＋n ＝0，∴n ＝3m ＋6.(2)函数f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6＝3(x －1)[mx －(m ＋2)]＝3m (x －1)⎝⎛⎭⎫x －m ＋2m ＝3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m .∵m <0，∴1＋2m<1，令f ′(x )>0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0，∴1＋2m<x <1， 故函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤1＋2m ，1，令f ′(x )<0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0，∴x >1或x <1＋2m， 故函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m 和(1，＋∞)．22[解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，知f (x )在区间[－2，－1]，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减．①当t ∈(－2，－1)时，f (x )在区间[－2，t ]上单调递增． 所以f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .②当t ∈[－1,1]时，f (x )在(－2，－1)上单调递增，在(－1，t )上单调递减．由f (t )≥f (1)＝－2＝f (－2)知f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (－1)＝2.③当t ∈(1，＋∞)时，f (x )在区间(－2，－1)上递增，在区间(－1,1)上递减，在(1，t )上递增，所以f (x )的最小值为f (－2)，f (1)中较小者．因为f (－2)＝f (1)＝－2，所以f (x )min ＝－2.令f (t )＝2，即t 3－3t －2＝0○ ，据f (－1)＝2知t ＝－1是○ 式的一个根．所以t 3－3t －2＝(t ＋1)(t 2－t －2)＝(t ＋1)2(t －2)，所以t ＝2也为○ 式的根，即f (2)＝2.由f (x )的单调性知，当t ∈(1,2]时，f (x )max ＝f (－1)＝2，当t ∈(2，＋∞)时，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .综上，f (x )min ＝－2.f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，t ∈[－1，2]，t 3－3t ，t ∈(－2，－1)∪(2，＋∞).[点评] 利用导数求最值，关键是极值点与端点值比较，最大的为f (x )最大值，最小的为f (x )最小值．本题按照导数为0的点与区间的位置关系进行讨论．进而对最值情况展开讨论．。
浙教版七年级科学上册第3章综合素质检测含答案
第3章综合素质评价一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分。
每小题只有一个选项符合题意)1．如图为天文爱好者拍摄的月食照片。
从图中可以推测出地球的()A.形状特点B.自转方向C.海陆分布D.体积大小2．地球是人类的家园。
下列关于地球的说法中，不正确的是()A.地球的最大周长约为4万千米B.地球的平均半径约为6 371千米C.地球是一个不规则的球体D.地球有一根巨大的地轴3．科学家发现一颗名为开普勒62e的宜居行星。
如图所示为该行星与其绕转的恒星所组成的天体系统，该天体系统相当于宇宙结构层次中的()A.地月系B.太阳系C.银河系D.河外星系4．下列关于经纬线的说法中，不正确的是()A.经线的形状是半圆弧，纬线的形状是圆圈B.经线指示南北方向，纬线指示东西方向C.经线长度相等，纬线长度不等D.所有的纬线都平行，所有的经线也都平行5．下列关于太阳系的叙述中，正确的是()A.太阳系的主要质量集中在八大行星上B.太阳系中类似地月系的天体层次只有一个C.大部分小行星位于木星与火星轨道之间D.太阳黑子是一些不发光、不发热的黑点6．截至5月底，2024年太阳已经发生多次大耀斑，这预示着第25个太阳周将进入高峰期。
下列关于太阳的说法中，不正确的是()A.耀斑一般发生在光球层B.太阳活动强时地球上可能会出现极光C.太阳黑子的多少往往作为太阳活动强弱的标志D.太阳大气从里到外依次为光球层、色球层和日冕层7．2024年4月25日，神舟十八号载人航天飞船成功发射，标志着我国对宇宙的探索又上升了一个新的台阶。
下列对宇宙的有关认识正确的是()A.夜晚看到的星星都是恒星B.宇宙的大小结构层次为：宇宙→太阳系→银河系→地月系C.流星现象是由于流星体闯入地球大气层，与大气层摩擦燃烧产生的D.从侧面看，银河系是一个车轮状的大漩涡8．下列各点既位于东半球又位于北半球的是()A.30°N，10°WB.30°S，10°WC.40°S，165°ED.10°N，165°E 9．2022年10月，我国科学家利用中国天眼(FAST)在致密星系群——“斯蒂芬五重星系”及周围天区发现了1个尺度约为200万光年的巨大原子气体系统，该系统比银河系大20倍，为研究宇宙打开了一个崭新的窗口。
北师大版高中数学【选修1-1】 综合素质检测3课时作业含答案
第三章综合素质检测 时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y ＝2x ＋6从x ＝2到x ＝2.5的平均变化率是( ) A ．0 B ．0.5 C ．2 D ．2.5[答案] C[解析] y ＝2x ＋6从x ＝2到x ＝2.5的平均变化率是Δy Δx ＝2×2.5＋6－2×2＋62.5－2＝2，故选C.2．已知物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若v ＝s 1＋Δt －s 1Δt ，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8m/s ，则9.8m/s( )A ．是物体从0s 到1s 这段时间的平均速度B ．是物体从1s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度C ．是物体在t ＝1s 这一时刻的瞬时速度D ．是物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 [答案] C[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．3．物体运动方程为s ＝14t 4－3t 2，则t ＝4时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．64 C ．16 D ．40[答案] D[解析] ∵s ′＝(14t 4－3t 2)′＝t 3－6t ， ∴s ′(4)＝43－6×4＝40.4．f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( ) A ．－43 B ．－3 C ．－1 D ．3[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.5．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图像过原点，且满足lim Δx →fΔxΔx＝－1，则f ′ (0)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] ∵f (x )图像过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →f0＋Δx －f 0Δx ＝lim Δx →0 f ΔxΔx＝－1，∴选B.6．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1<k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定 [答案] A[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， ∴k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0， ∴k 1>k 2.7．曲线y ＝x 3，x >0在点P 处的切线的斜率为k ，当k ＝12时，P 点坐标为( ) A ．(－8，－2) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．(－12，－18) [答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0)， ∴k ＝3x 20＝12，∴x 0＝±2，∴x ＝2， ∴P 点坐标为(2,8)，故选C.8．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B ．333 C ． 3 D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D.9．(2013·烟台质检)已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图像为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′ ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8.∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′(π3)＝________. [答案] －23＋2 3[解析] f ′(x )＝(1sin x ＋1cos x )′＝－cos x sin 2x ＋sin xcos 2x ， ∴f ′(π3)＝－12322＋32122＝－23＋2 3. 12．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x＝2·x 2－x －2x ＝2·x ＋1x －2x，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)． 13．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2， 令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.14．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝____________. [答案] 6[解析] ∵f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝12＋2f ′(2)． ∴f ′(2)＝－12. ∴f ′(x )＝6x －24. ∴f ′(5)＝30－24＝6.15．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是________．(填上正确的序号)①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x ，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，⑤f (x )＝x ＋1x . [答案] ①③⑤[解析] ①中的函数f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则x 20＝2x 0，解得x 0＝0或2，故①中函数存在巧值点；对于②中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则e －x 0＝－e －x 0，易知此方程无解，故②中函数不存在巧值点；对于③中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则ln x 0＝1x 0，由于函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图像有交点，因此方程有解，故③中函数存在巧值点；对于④中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则tan x 0＝1cos 2x 0，即sin x 0cos x 0＝1，显然无解，故④中函数不存在巧值点；对于⑤中的函数，要使f (x 0)＝f (x 0)，则x 0＋1x 0＝1－1x 20，即x 30－x 20＋x 0＋1＝0，设函数g (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，则g ′(x )＝3x 2－2x ＋1>0且g (－1)<0，g (0)>0，显然函数g (x )在(－1,0)上有零点，故⑤中函数存在巧值点．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列函数的导数： (1)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)； (2)f (x )＝2－2sin 2x2； (3)f (x )＝e x ＋1e x －1；(4)f (x )＝2tan x .[答案] (1)f ′(x )＝3x 2＋2x －1 (2)f ′(x )＝－sin x (3)f ′(x )＝－2e xe x－12(4)f ′(x )＝2cos 2x[解析] (1)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(2)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ， 所以f ′(x )＝－sin x .(3)f ′(x )＝e x ＋1e x －1－e x ＋1e x －1e x －12＝－2e x e x －12.(4)因为f (x )＝2tan x ＝2sin xcos x ， 所以f ′(x )＝2sin xcos x －cos x2sin xcos 2x＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＝2cos 2x .17．求曲线y ＝f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x 在(3，f (3))处切线的斜率及切线方程． [答案] 斜率23 切线方程y ＝23x －132＋2ln3 [解析] 由已知x >0， ∴f ′(x )＝x －3＋2x .曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.又f (3)＝92－9＋2ln3＝－92＋2ln3. ∴方程为y －(－92＋2ln3)＝23(x －3)， 即y ＝23x －132＋2ln3.18．求过原点作曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x －1的切线方程． [答案] x ＋y ＝0或23x －4y ＝0 [解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴切线斜率为3x 20－6x 0＋2，∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0) ∵切点在曲线C ，∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0－1，①又切线过原点，∴－y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(－x 0)，②由①②得0＝－2x 30＋3x 20－1， ∴2x 30－3x 20＋1＝0，因式分解得：(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝－12，∴两个切点为(1，－1)，(－12，－238)∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋12) 即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0.19．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．[答案] (1)16℃ (2)1.6℃ (3)t ＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min[解析] (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.(2)平均变化率为T10－T 010＝－1610＝－1.6(℃)．它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.(3)T ′(5)＝lim Δt →1205＋Δt ＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2，它表示t ＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min.20．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )，g (x )的表达式．[答案] f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16 [解析] ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8，∴f (x )＝2x 3－8x . ∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，得4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16.∴g (x )＝4x 2－16. 综上，可知f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16. 21．求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是一元三次函数，且f (0)＝0，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(3)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [答案] (1)f (x )＝12x 3－94x 2 (2)f (x )＝2x 2＋2x ＋1 [解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝0＝df0＝0＝cf1＝3a ＋2b ＋c ＝－3f3＝0＝27a ＋6b ＋c，解之，得a ＝12，b ＝－94，c ＝0，d ＝0. 故f (x )＝12x 3－94x 2.(2)由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数． 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1中， x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， 由多项式恒等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0b －2c ＝0c －1＝0，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1.所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。
第三章 空间向量与立体几何2
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量[答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确． 2．在下列条件中，使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 [答案] C[解析] ∵点M 在平面ABC 内，∴对空间任一点O ，有OM →＝xOA →＋yAB →＋zAC →且x ＋y ＋z ＝1，故A 、B 、D 均不对．3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0° [答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．4．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14[答案] D[解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D.5．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·(12b )等于( )A ．15B ．3C ．－3D ．5 [答案] B[解析] (6a )·(12b )＝3a ·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2＝3.6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D ′→〉＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] D[解析] B ′D ′→＝BD →， ∵△A ′BD 为正三角形， ∴〈A ′B →，BD →〉＝120°.7．如图，四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝12MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－13a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c [答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－13OA →＝12(b ＋c )－13a ＝－13a ＋12b ＋12c . 故选B.8．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 是线段AB 上一点，且AC AB ＝13，则C 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－3，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，73 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－72，32 [答案] C[解析] 由题意知，2AC →＝CB →，设C (x ，y ，z )，则2(x －4，y －1，z －3)＝(2－x ，－5－y,1－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －8＝2－x ，2y －2＝－5－y ，2z －6＝1－z .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.即C ⎝⎛⎭⎪⎫103，－1，73. 9．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) [答案] D[解析] ∵l ∥α，∴a ·n ＝0， 经检验知选D.10．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法一：设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －1，y ＋1，z －2)，BD →＝(x －5，y ＋6，z －2)，AC →＝(0,4，－3)，∵AD →∥AC →，且BD →⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，4y ＋1＝－3z －2，4(y ＋6)－3(z －2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－215，z ＝225.∴|BD →|＝5.解法二：设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)，∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ. ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝(－4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5.11．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A.12B.22C.13D.16[答案] C [解析]如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)．从而D 1E →＝(1,1，－1)，AC →＝(－1,2,0)，AD 1→＝(－1,0,1)， 设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝0，－a ＋c ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a ＝c .令a ＝2，则n ＝(2,1,2)． 所以点E 到平面ACD 1的距离为 h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13.12．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于()A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°[答案] D [解析]建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B (2,0,0)，A (2,2,0)，G (0,0,1)，F (1,1,0)，C 1(0,0,2)，E (1,2,1)．则BA →＝(0,2,0)，GF →＝(1,1，－1)，C 1E →＝(1,2，－1)，∴cos 〈BA →，GF →〉＝|BA →·GF →||BA →|·|GF →|＝13，cos 〈BA →，C 1E →〉＝|BA →·C 1E →||BA →|·|C 1E →|＝23，∴cos α＝13，sin α＝23，cos β＝23，sin β＝13，cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a 、b 、c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.[答案] (－64，－26，－17)[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17.14．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为________．[答案] 14 [解析]设上、下底面中心分别为O 1、O ，则OO 1⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，A 1B 1＝1，∴AC ＝BD ＝22，A 1C 1＝B 1D 1＝2， ∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B 1BO ＝60°，设棱台高为h ，则tan60°＝h2－22，∴h ＝62，∴A (0，－2，0)，D 1(－22，0，62)，B 1(22，0，62)，C (0，2，0)，∴AD 1→＝(－22，2，62)，B 1C →＝(－22，2，－62)， ∴cos 〈AD 1→，B 1C →〉＝AD 1→·B 1C →|AD 1→|·|B 1C →|＝14，故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14.15．三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为______．[答案] 45°[解析] 由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2， ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°， 取BC 边中点E ，则 PE ＝22，AE ＝22，又P A ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠P AE ＝45°， ∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AE ， ∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴∠P AE 为直线P A 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________．[答案]102[解析] 过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N .则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32，MN ＝1.由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75.即c ＝15a －75b .∴a 、b、c 共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →.[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →.又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， ∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且BC ＝CD ＝1.(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ； (2)求二面角C －AB －D 的大小；(3)若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度．[解析] 解法一：(1)∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面ABC . 又∵CD ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC .(2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BD .∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°. ∴二面角C －AB －D 的大小为45°.(3)过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH . ∵平面ACD ⊥平面ABC ， ∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°. 在Rt △BHD 中，BD ＝2， ∴BH ＝22.又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1， ∴∠BCH ＝45°， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝1.解法二：(1)同解法一．(2)设AB ＝a ，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)，A (0,0，a )，C (0,1,0)，D (1,1,0)，BD →＝(1,1,0)，BA →＝(0,0，a )．平面ABC 的法向量CD →＝(1,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有BD →·n ＝x ＋y ＝0，BA →·n ＝az ＝0，∴z ＝0，取y ＝1，则x ＝－1， ∴n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈CD →，n 〉＝CD →·n |CD →||n |＝－22，由图可知二面角C －AB －D为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°.(3)AC →＝(0,1，－a )，CD →＝(1,0,0)，BD →＝(1,1,0)．设平面ACD 的一个法向量是m ＝(x ′，y ′，z ′)，则AC →·m ＝y ′－az ′＝0，CD →·m ＝x ′＝0，令z ′＝1，∴y ′＝a ，则m ＝(0，a,1)． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos 〈BD →，m 〉＝BD →·m |BD →||m |＝aa 2＋1·2＝cos60°，解得a ＝1，∴AB ＝1.20．(本小题满分12分)底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠C ＝π2，AA 1＝AC ，D 为CC 1上的点，且CC 1＝3C 1D ，求二面角B －B 1D －A 的余弦值．[解析] 以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AC ＝3，则A (0,3,0)，B 1(3,0,3)，D (0,0,2)．∴AD →＝(0，－3,2)，AB 1→＝(3，－3,3)． 设平面ADB 1的法向量n ＝(1，λ，μ)，则⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AB 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－3λ＋2μ＝0，3－3λ＋3μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－3.∴n ＝(1，－2，－3)．又平面BB 1D 的法向量CA →＝(0,3,0)， ∴cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝－614×3＝－147.由题意可知，二面角B －B 1D －A 为锐角， ∴二面角B －B 1D －A 的余弦值为147.21．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1.(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,5)，E (0,0,1)，F (2,2,4)．∴AC →＝(－2,2,0)，AF →＝(0,2,4)，BE →＝(－2，－2,1)，AE →＝(－2，0,1)．∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF .(2)解：由(1)知，BE →为平面ACF 的一个法向量， ∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →|＝53.故点E 到平面ACF 的距离为53.22．(本小题满分14分)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．[解析] 解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1), BE →＝(－1,1，12)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 得一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE→＝0，得⎩⎨⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)． 设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)，而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在一点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE . 解法二：(1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD . 又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1， 所以EM ⊥ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影， ∠EBM 为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 共面．所以BG ⊂平面A 1BE . 因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.。
高一数学上册第三章模块综合检测试题及答案
高一数学上册第三章模块综合检测试题及答案第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是( ) A．对立事件B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上答案均不对 [答案] C [解析] 根据互斥事件和对立事件的定义，由题设易知两事件互斥但不对立． 2．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球；②两球中恰有一白球；③两球中至少有一个白球．其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ [答案] A [解析] 从口袋内一次取出2个球，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件；而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件． 3．下面是古典概型的是( ) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时 B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将正整数作为基本事件时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止 [答案] C [解析] 抛掷两枚骰子，所得点数之和为2,3,4，…，12中的任意一个，但它们不是等可能出现的，故以所得点数之和作为基本事件，不是古典概型；求任意一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件，有无穷多个，故不是古典概型；从甲地到乙地共n条路线，选任一条路线都是等可能的，而最短路线只有一条，其概率为1n是古典概型；抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，基本事件空间不确定． 4．在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2件都是正品的概率是( ) A.45 B.15 C.35 D.25 [答案] C [解析] 将正品编号为1,2,3,4，次品编号为5，所有可能取法构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共10种，其中两件都是正品的取法有6种，∴概率P＝610＝35. 5．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一黑球的概率是( ) A.15 B.45 C.13 D.12 [答案] B [解析] 从袋中任取2个球，有15种等可能取法(不妨将黑球编号为黑1、黑2、黑3，将白球编号为白1、白2、白3)．取出的两个球都是白球有3种等可能取法，取出的两个球，一白一黑有9种等可能取法，∴事件A＝“取出的两个球至多1黑”，共有9＋3＝12种取法，∴P(A)＝1215＝45. [点评] “至多一黑”的对立事件为“两个都是黑球”故可用对立事件求解． 6．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1、P2、P3，则( ) A．P1＝P2<P3 B．P1<P2<P3 C．P1<P2＝P3 D．P3＝P2<P1 [答案] B [解析] 点数之和为12的只有一次(6,6)，∴P1＝136；点数之和为11的有两次(5,6)和(6,5)，∴P2＝236＝118，点数之和为10的有三次(4,6)，(5,5)和(6,4)，∴P3＝336＝112. 7．A是圆上固定的一点，在圆上其它位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( ) A.12 B.23 C.32 D.14 [答案] B [解析] 这是一个几何概型的题目，要使弦长大于半径，只要A′选在如图所示的上．∵AA1′＝AA2′＝R， OA＝OA1′＝AA1′＝R，∴∠A1′OA＝60°，∠AOA2′＝60°，∴∠A1′OA2′＝120°，它所对的弧长为13圆周，故选B. 8．如果下了课后，教室里最后还剩下3位女同学，2位男同学，一会儿又走了一位女同学．如果没有两位同学一块儿走，则下一位是男同学走的可能性为( ) A.13 B.14 C.12 D.15 [答案] C [解析] 已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共6种．那么下一位是男同学的可能只有(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，故P＝36＝12. 或因为又走了一个女同学，还有两男、两女四位同学，男、女生人数相等，故有几种男生先走的情形，就有几种女生先走的情形，∴下一位走的是男同学的可能性为12. 9．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率： (1)豆子落在红色区域概率为49； (2)豆子落在黄色区域概率为13； (3)豆子落在绿色区域概率为29； (4)豆子落在红色或绿色区域概率为13； (5)豆子落在黄色或绿色区域概率为49. 其中正确的结论有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 [答案] B [解析] 这是几何概型问题，一颗豆子落在每一点的可能性都是一样的，计算每个事件发生的概率，也就是先求出事件发生的区域，一共9个方块． (1)P＝4个方块9个方块＝49；(2)P＝3个方块9个方块＝13； (3)P＝2个方块9个方块＝29； (4)P ＝红色或绿色区域全部区域＝(4＋2)个方块9个方块＝23； (5)P＝黄色或绿色区域全部区域＝3＋29＝59. ∴只有(1)(2)(3)正确． 10．甲、乙两人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若另一个人还没有来就可离开．如果甲1点半到达．假设乙在1点到2点之间何时到达是等可能的，则甲、乙能会面的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.16 [答案] B [解析] 设事件A1：“乙在1点到1点20分内到达”；事件A2：“乙在1点20分到1点40分内到达”；事件A3：“乙在1点40分到2点内到达”．由题设知，以上三个事件的发生是等可能的．在A1或A3发生的情况下，甲、乙不能见面，在A2发生的情况下，甲、乙能够见面．∴甲、乙能见到的概率为13. 11．一个人连续射击2次，则下列各事件中，与事件“恰中一次”互斥但不对立的事件是( ) A．至多射中一次 B．至少射中一次 C．第一次射中 D．两次都不中 [答案] D [解析] 记射中为1，不中为0，用(x，y)表示第一次射击结果为x，第二次射击结果为y，则所有可能结果有：(1,0)，(1,1)，(0,1)，(0,0)，恰中一次包括(1,0)和(0,1)．当(1,0)发生时，A，B，C都发生了，故选D. 12．从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c 的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为( ) A.79 B.712 C.59 D.512 [答案] A [解析] 首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个． f(x)若有变号零点，不论a>0还是a<0，均应有Δ>0，即b2－4ac>0，∴b2>4ac. ①首先b取0时，a、c须异号，a＝－1，则c有2种，a取1或2，则c只能取－1，∴共有4种．②b＝1时，若c＝0，则a有2种，若c ＝－1，a只能取2. 若c＝2，则a＝－1，共有4种．③若b＝－1，则c只能取0，有2种．④若b＝2，取a有2种，取c有2种，共有2×2＝4种．综上所述，满足b2>4ac的取法有4＋4＋2＋4＝14种，∴所求概率P＝1418＝79. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A、B两个不同的岗位，每个岗位至少1人，则甲、乙被分到同一岗位的概率为________． [答案] 13 [解析] 所有可能分配方式如表 A 甲、乙甲、丙乙、丙甲乙丙 B 丙乙甲乙、丙甲、丙甲、乙共有基本事件6个，其中事件M＝“甲、乙两人被分到同一岗位”含2个基本事件，∴P(M)＝26＝13. 14．从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为________． [答案] 310 [解析] 用(x，y)表示取出的两个球的号码为x与y，则所有基本事件构成集合．Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有基本事件10个．设A＝“所取球的最大号码不超过3”，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}含基本事件3个，∴P(A)＝310. 15．沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是______． [答案] 23 [解析] 解法1：按规定要求从A往N走只能向右或向下，所有可能走法有：A→D→S→J→N，A→D→C→J→N，A→D→C→M→N，A→B→C→J→N，A→B→C→M→N，A→B→F→M→N共6种，其中经过C点的走法有4种，∴所求概率P ＝46＝23. 解法2：由于从A点出发后只允许向右或向下走，记向右走为1，向下走为2，欲到达N点必须两次向右，两次向下即有两个2两个1.∴基本事件空间Ω＝{(1122)，(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，(2211)}共6种不同结果，而只有先右再下或先下再右两类情形经过C点，即前两个数字必经一个1一个2，∴事件A＝“经过C点”含有的基本事件有(1212)，(1221)，(2112)，(2121)共4个，∴P(A)＝46＝23. 16．如图为铺有1～36号地板砖的地面，现将一粒豆子随机地扔到地板上，豆子落在能被2或3整除的地板砖上的概率为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [答案] 23 [解析] 因为每块地板砖的面积相等，所以豆子落在每块地板砖上是等可能的，因为能被2整除的有18块，能被3整除的有12块，能被6整除的有6块，所以能被2或3整除的一共有18＋12－6＝24(块)，所以所求概率P＝24S36S＝2436＝23. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4. 试问：(1)他乘火车或乘飞机来的概率； (2)他不乘轮船来的概率； (3)如果他来的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具来的． [解析] (1)记“他乘火车来”为事件A1，“他乘轮船来”为事件A2，“他乘汽车来”为事件A3，“他乘飞机来”为事件A4，这四个事件中任两个不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P(A1∪A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火车或乘飞机来的概率为0.7. (2)P(A2)＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8. 即他不乘轮船来的概率为0.8. (3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5，故他有可能是乘火车或轮船来的；也有可能是乘汽车或飞机来的． 18．(本题满分12分)(08•宁夏海南文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下： 5,6,7,8,9,10. 把这6名学生的得分看成一个总体． (1)求该总体的平均数； (2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． [解析] (1)总体平均数为16(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5. (2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果．事件A包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果．所以所求的概率为P(A)＝715. 19．(本题满分12分)已知集合A＝{－3，－1,0,2,4}，在平面直角坐标系中，点(x，y)的坐标x∈A，y∈A且x≠y，计算： (1)点(x，y)不在x轴上的概率； (2)点(x，y)在第二象限的概率． [解析] ∵x∈A，y∈A且x≠y，∴数对(x，y)的取法共有5×4＝20种． (1)事件A＝“点(x，y)不在x轴上”即点(x，y)的纵坐标y≠0. ∵y＝0的点的取法有4种，∴P(A)＝20－420＝45. (2)事件B＝“点(x，y)在第二象限”即x<0，y>0，∴数对(x，y)取法有：2×2＝4种，∴P(B)＝420＝15. 20．(本题满分12分)一直角梯形ABCD，AD∥BC，AD＝1，AB＝1，BC＝2，随机向梯形围成平面区域内投一点P，由P向梯形的底作垂线l，求l 能与梯形的部分边围成矩形的概率． [解析] 如图，作DE⊥BC垂足为E，当点P落在正方形ABED内时，过P作底的垂线，能与梯形的部分边围成一个矩形，∴概率P＝正方形的面积梯形的面积＝23. 21．(本题满分12分)从甲地到乙地有一班车9∶30到10∶00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，用随机模拟方法求他能赶上车的概率． [解析] 能赶上车的条件是到达乙地时，汽车还没有出发．我们可以用两组均匀随机数x与y来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当x<y时，他能赶上车，设事件A＝“他能赶上车”． S1 用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足x<y，首先置n＝0，m＝0； S2 用变换rand( )*0.5＋9.5产生9.5～10之间的均匀随机数x表示到达乙地时间，用变换rand( )*0.5＋9.75产生9.75～10.15之间的均匀随机数y表示汽车从乙地出发的时间； S3 判断他是否能赶上车，即是否满足x<y，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，则m的值保持不变； S4 表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则程序结束．程序结束后，事件A发生的频率mn作为事件A的概率的近似值． [点评] 解题的关键是找两个随机数表示甲地到乙地汽车到达的时间和乙地到丙地汽车的出发时间，自己把求其概率的解法写出． 22．(本题满分14分)某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示： (1)依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分； (2)已知在[90,100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率． [解析] (1)由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为， (0.020＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.80，所以，抽样学生成绩的合格率是80% 利用组中值估算抽样学生的平均分： x－＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72. 估计这次考试的平均分是72分． (2)从95,96,97,98,99,100中抽取2个数，全部可能的基本事件有： (95,96)，(95,97)，(95,98)，(95,99)，(95,100)，(96,97)，(96,98)，(96,99)，(96,100)，(97,98)，(97,99)，(97,100)，(98,99)，(98,100)，(99,100)．共15个基本事件如果这2个数恰好是两个学生的成绩，则这2个学生在[90,100]段，而[90,100]的人数是3人，不妨设这3人的成绩是95,96,97. 则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本事件有：(95,96)，(95,97)，(96,97)．共有3个基本事件．所以所求的概率为P(A)＝315＝15.。
第三章综合素质检测
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知非零向量a 、b ，及平面α，若向量a 是平面α的法向量，则a·b ＝0是b 所在直线平行于α或在α内的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 若a ·b ＝0，则a ⊥b ，∵b ≠0，a 是平面α的法向量， b 所在直线平行于α或在α内，反之结论也成立． 2．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线时，D 才正确．3．已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( ) A.DA →·PB →＝0 B.PC →·BD →＝0 C.PD →·AB →＝0D.P A →·CD →＝0[答案] B[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥P A ⇒DA ⊥平面P AB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0；②同①知AB →·PD →＝0；③P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥CD ⇒P A →·CD →＝0；④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，故BD ⊥AC ， 但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，故选B.4．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A5．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数k ，使b ＝k a ，即：(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ kλ＋k ＝62μ－1＝02λ＝2k，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝12λ＝2k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ＝－3k ＝－3，故选A.6. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°[答案] B[解析] 解法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，AB ＝2，则 |a |＝|b |＝2，|c |＝1，a ·c ＝0，b ·c ＝0，a ·b ＝1. ∴AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， BC 1→＝BC →＋CC 1→＝(b －a )＋c ，∵AB 1→·BC 1→＝a ·b －|a |2＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＋|c |2＝0，∴AB 1→⊥BC 1→，即AB 1⊥C 1B .解法二：取AC 中点D ，建立如图所示的坐标系．设AB ＝1，则B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，22，A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，22， ∴cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝0.∴AB 1与C 1B 所成的角为90°.7．在下列条件中，使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 [答案] C[解析] ∵点M 在平面ABC 内，∴对空间任一点O ，有OM →＝xOA →＋yAB →＋zAC →且x ＋y ＋z ＝1，故A 、B 、D 均不对．8．如图，P 是边长为a 的正六边形ABCDEF 平面外一点，P A ⊥AB ，P A ⊥AF ，为求P 与CD 的距离作PQ ⊥CD 于Q ，则( )A ．Q 为CD 的中点B ．Q 与D 重合C ．Q 与C 重合D ．以上都不对 [答案] C9．如图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝12MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－13a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c [答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－13OA →＝12(b ＋c )－13a ＝－13a ＋12b ＋12c . 故选B.10．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( ) A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60° [答案] D[解析] 正方体中，BD ∥B 1D 1，且BD ⊄面CB 1D 1，知BD ∥平面CB 1D 1，A 正确；AC 1在面ABCD 内的射影为AC ，又AC ⊥BD ，由三垂线定理知AC 1⊥BD .故B 正确；同理可得AC 1⊥B 1D 1，AC 1⊥CD 1，且B 1D 1∩CD 1＝D 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1，故C 正确；由AD ∥BC 知，∠B 1CB 为AD 与CB 1所成的角，应为45°，故D 错误．11．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则AC →与AB →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°[答案] C[解析] AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)．设〈AB →，AC →〉＝θ，则cos θ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝332·2＝12， ∴θ＝60°.12．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 解法一：设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －1，y ＋1，z －2)，BD →＝(x －5，y ＋6，z －2)，AC →＝(0,4，－3)，∵AD →∥AC →，且BD →⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝04y ＋1＝－3z －24(y ＋6)－3(z －2)＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝－215z ＝225，∴|BD →|＝5.解法二：设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ. ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252＝5.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过二面角α－l －β内一点P 作P A ⊥α于A ，作PB ⊥β于B ，若P A ＝5，PB ＝8，AB ＝7，则二面角α－l －β为________．[答案] 120°[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由条件知|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7， ∴AB 2＝|AB →|2＝|b －a |2 ＝|b |2＋|a |2－2a ·b ＝64＋25－2a ·b ＝49，∴a ·b ＝20，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，∴二面角α－l －β为120°.14．若△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为________．[答案] 27[解析] 由条件知PC 、AC 、BC 两两垂直，设CA →＝a ，CB →＝b ，CP →＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∵∠BAC ＝60°，AB ＝8，∴|a |＝CA ＝8cos60°＝4，|b |＝CB ＝8sin60°＝4 3.|c |＝PC ＝4，设AM →＝xAB →＝x (b －a )，则PM →＝PC →＋CA →＋AM →＝－c ＋a ＋x (b －a )＝(1－x )a ＋x b －c ，|PM →|2＝(1－x )2|a |2＋x 2|b |2＋|c |2＋2(1－x )x a ·b －2x b ·c －2(1－x )a ·c ＝16(1－x )2＋48x 2＋16＝32(2x 2－x ＋1)＝64⎝⎛⎭⎫x －142＋28， ∴当x ＝14时，|PM →|2取最小值28，∴|PM →|min ＝27.15．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成的角的正弦值为________．[答案] 45[解析] 不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如右图所示空间直角坐标系，其中x 轴垂直于AB ，y 轴平行于AB .则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛⎭⎫33，－12，2，则CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2，CB 1→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0n ·CB 1→＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，∴sin θ＝|cos 〈DA →，n 〉|＝45.16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为________． [答案] 120°[解析] 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )，∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )， 设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0， ∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ， 令z ＝1，则n ＝(1,0,1)，同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)， cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－12，而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75.即c ＝15a －75b .∵a 、b 不共线，∴a 、b 、c 共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →.[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →.又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， ∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a －13b ＋23c . 19．(本小题满分12分)如图所示，已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心．求证：PQ ∥平面ACD .[证明] ∵P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心． ∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →)＝13AD →. ∴PQ →∥AD →即PQ ∥AD ， 又PQ平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD .20．(本小题满分12分)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2，1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a .[解析] 设a ＝(x ，y ，z )， 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1.所以a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21．(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，在直线CC ′上是否存在一点N ，使得MN ⊥AB ′？若存在，请指出它的位置；若不存在，请说明理由．[解析] 假设在直线CC ′上存在一点N ，使得MN ⊥AB ′，设CN →＝xCC ′→. ∵MN →＝MC →＋CN →＝12BC →＋xCC ′→，AB ′→＝AB →＋BB ′→＝AB →＋CC ′→，∴MN →·AB ′→＝⎝⎛⎭⎫12BC →＋xCC ′→·(AB →＋CC ′→)＝0， 即12BC →·AB →＋12BC →·CC ′→＋xCC ′→·AB →＋xCC ′→2＝0， 12|BC →||AB →|cos 〈BC →，AB →〉＋4x ＝0. ∴－14＋4x ＝0，∴x ＝116.即在直线CC ′上存在一点N ， 当|CN →|＝18时，MN ⊥AB ′.22．(本小题满分14分)(2010·重庆·理，19)如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离；(2)若AD ＝3，求二面角A —EC —D 的平面角的余弦值． [解析] 解法一： (1)如下图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离．因P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥AB ，由P A ＝AB 知△P AB 为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面P AB ，故BC ⊥AE ，从而AE ⊥平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离．在Rt △P AB 中，P A ＝AB ＝6，所以AE ＝12BP ＝12P A 2＋AB 2＝ 3.(2)过点D 作DF ⊥CE ，交CE 于F ，过点F 作FG ⊥CE ，交AC 于G ，则∠DFG 为所求的二面角的平面角．由(1)知BC ⊥平面P AB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面P AB ，故AD ⊥AE ，从而DE ＝AE 2＋AD 2＝ 6. 在Rt △CBE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝ 6.由CD ＝6，所以△CDE 为等边三角形，故点F 为CE 的中点，且DF ＝CD ·sin π3＝322.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，FG 綊12AE ，从而FG ＝32，且G 点为AC 的中点．连接DG .则在Rt △ADC 中， DG ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝32.所以cos ∠DFG ＝DF 2＋FG 2－DG 22·DF ·FG ＝63.解法二：(1)如右图，以A 为坐标原点，射线 AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)，则B (6，0,0)，C (6，a,0)，P (0,0，6)，E (62，0，62)． 因此AE →＝(62，0，62)，BC →＝(0，a,0)， PC →＝(6，0，－6)．则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0，所以AE ⊥平面PBC .又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线 AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE →|＝ 3.(2)因为|AD →|＝3，则D (0，3，0)，C (6，3，0)．设平面AEC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0.又AC →＝(6，3，0)，AE →＝(62，0，62)，故 ⎩⎪⎨⎪⎧ 6x 1＋3y 1＝0，62x 1＋62z 1＝0，所以y 1＝－2x 1，z 1＝－x 1.可取x 1＝－2，则n 1＝(－2，2，2)．设平面DEC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DC →＝0，n 2·DE →＝0，又DC →＝(6，0,0)，DE →＝(62，－3，62)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0，62x 2－3y 2＋62z 2＝0.所以x 2＝0，z 2＝2y 2，可取y 2＝1，则n 2＝(0,1，2)．故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63. 所以二面角A －EC －D 的平面角的余弦值为63. [点评] 利用法向量解决立体几何问题时要注意正确写出点的坐标，求出法向量，从而表示出所要求的距离及角．。
高一数学必修3第三章综合素质检测
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列现象是随机事件的是( )A ．方程x －1＝2x 有实数根B ．若x ∈(－1,1)，则x >2C ．x ∈R ，x 2＋3>1D ．从分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到1号签[答案] D2．12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是( )A ．3件正品B ．至少有一件正品C ．至少有一件次品D ．3件正品或2件次品1件正品[答案] A3．下列说法正确的是( )A ．由生物学知道生男生女的概率均约为12，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女B ．一次摸奖活动中，中奖概率为15，则摸5张票，一定有一张中奖C ．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大D ．10张票中有1张有奖，10人去摸，无论谁先摸，摸到有奖票的概率都是110[答案] D4．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( )A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增多，频率越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定[答案] C[解析] 频率不是概率，所以A 项不正确；频率不是客观存在的，具有随机性，所以B 项不正确；概率是客现存在的．不受试验的限制，不是随机的，在试验前已经确定，随着试验次数的增多，频率越来越接近概率，所以D 项不正确，C 项正确．5．下列命题不正确的是( )A ．根据古典概型概率计算公式P (A )＝n A nA 发生的概率的精确值B ．根据几何概型概率计算公式P (A )＝μA μΩ求出的值是事件A 发生的概率的精确值C ．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N 和事件A 发生的次数N 1，得到的值N 1N是P (A )的近似值 D ．根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N 和事件A 发生次数N 1，得到的值N 1N是P (A )的精确值 [答案] D[解析] 很明显A ，B 项是正确的；随机模拟中得到的值是概率的近似值，则C 项正确，D 项不正确．6．口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7[答案] C[解析] 摸出黑球的概率P ＝1－0.42－0.28＝0.3.7．某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为( )A.113B.19C.14D.12[答案] B[解析] 此人射击击中靶点与靶心的距离小于2的概率为π×22π×62＝19. 8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( ) A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品[答案] D[解析]从5件产品中任取2件，共有10种结果，2件都是二等品的可能性只有1种，2件都是一等品的可能性结果有3种，1件一等品1件二等品的可能结果有6种．9．某班从2名男生与3名女生中挑选2名同学参加歌咏比赛，再又从剩下的3名学生中挑选1名参加体育比赛，则被挑选的3名同学中是2男1女的概率为()A.110 B.1 3C.310 D.2 5[答案] C[解析]从2名男生与3名女生中挑2名参加歌咏比赛，再从剩余的同学中挑一名参加体育比赛，共有10种挑法，而事件“挑选2男1女”对应着3种选法，故所求概率P＝310.10．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是()A.110 B.7 15C.815 D.13 15[答案] C[解析]根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．则选取这2人不在同一组的概率为815.11．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )A.235B.2350 C ．10D ．不能估计[答案] A[解析] 利用几何概型的概率计算公式，得138300×(2×5)＝235. 12．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 与b ，确定平面上一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4 [答案] D[解析] 点P (a ，b )共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)6种情况，得x ＋y 分别等于2,3,4,3,4,5，所以出现3与4的概率最大，故n 为3或4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在区间[－2,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为___．[答案] 14[解析] x ∈[0,1]的概率为1－02－(－2)＝14. 14．三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．[答案] 13[解析] 题中三张卡片随机地排成一行的情况有BEE ，EBE ，EEB共3种，恰好排成英文单词BEE 的概率为13. 15．为了测算如图的阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是________．[答案] 9[解析] 设阴影部分的面积为S ，向正方形内随机投掷1个点，落在阴影部分的概率的估计值是200800＝14，则S S 正方形＝14，又正方形的面积是36，则S ＝14×36＝9. 16．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172.根据样本频率分布估计总体分布的原则，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5cm ～170.5cm 之间的概率为________．(用分数表示)[答案] 25[解析] 样本中有8人身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间，所以估计在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为820＝25. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2011～2012·辽宁模拟)某种日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如右图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，按照指针所指区域的数字购买商品的件数，每人只能参加一次这个活动．(1)某顾客参加活动，求购买到不少于5件该产品的概率；(2)甲、乙两位顾客参加活动，求购买该产品件数之和为10的概率．[解析] (1)设“购买到不少于5件该产品”为事件A ，则P (A )＝812＝23. (2)设“甲、乙两位顾客参加活动，购买该产品数之和为10”为事件B ，甲、乙购买产品数的情况共有12×12＝144种，则事件B 包含(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，共9种情况，故P (B )＝9144＝116. 18．(本小题满分12分)现从5名优秀学生中选派2人参加数学竞赛，其中甲、乙两人至多有一个去参加比赛的概率是多少？[解析] 从5名优秀学生中选派2人去参加数学竞赛共有10种选派方法，即基本事件的总数为10.记事件A 为“甲、乙两人至多有一个去参加比赛”，它的对立事件A －是“甲、乙两人都去参加比赛”．而“甲、乙两人都去参加比赛”的选派方法只有1种，故P (A －)＝110，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－110＝910即甲、乙两人至多有一人去参加比赛的概率为91019．(本小题满分12分)(2011～2012·北京海淀模拟)某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(2)若已知树干周长在30～40 cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．[解析](1)因为用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，所以应该抽取银杏树100×4001 000＝40(株)，故4＋18＋x＋6＝40，所以x＝12.(2)记这4株树为树1，树2，树3，树4，不妨设树4就是那株患虫害的树．设“恰好在排查到第二株时发现树4”为事件A.基本事件空间为Ω＝{(树1，树2)，(树1，树3)，(树1，树4)，(树2，树1)，(树2，树3)，(树2，树4)，(树3，树1)，(树3，树2)，(树3，树4)，(树4，树1)，(树4，树2)，(树4，树3)，}共12个基本事件，其中事件A中包含的基本事件有(树1，树4)，(树2，树4)，(树3，树4)，共3个，所以恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率为P(A)＝312＝14.20．(本小题满分12分)(2011～2012·广东模拟)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示“和为6”的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，以B表示“甲至少赢一次”的事件，C表示“乙至少赢两次”的事件，则B与C是否为互斥事件？试说明理由；(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．[解析](1)令x，y分别表示甲、乙出的手指数，则基本事件空间可表示为S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤5,1≤y≤5}．因为S 中点的总数为5×5＝25， 所以基本事件总数n ＝25.事件A 包含的基本事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个，所以P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件，如“甲赢一次，乙赢两次”的事件中，事件B 与C 是同时发生的．(3)由(1)知，和为偶数的基本事件数为13，即甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平．21．(2011～2012东北三省四市第一次联考)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：(2)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，用(m ，n )的形式列出所有的基本事件[视(m ，n )与(n ，m )相同]，并求满足“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30”的事件A 的概率．[解析] 本小题考查频率及古典概型的概率及简单运算． (1)这5天的平均发芽率为23100＋25100＋30100＋26100＋161005×100%＝24%.(2)m ，n 的取值情况有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)．则基本事件总数为10.设“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30”为事件A ，，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，∴P (A )＝310.故该事件的概率为310.22．(本小题满分12分)如图，OA ＝1，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆弧上任取一点B ，求使△AOB 的面积大于等于14的概率．[解析] 如下图所示，作OC ⊥OA ，过OC 的中点D 作OA 的平行线EF .则当点B 位于EF ︵上时，S △AOB ≥14.连接OE ，OF ，因为OD ＝12OC ＝12OF ，且OC ⊥EF ，所以∠DOF ＝60°，所以∠EOF ＝120°，。
高二数学选修1-2全册第3章综合素质检测
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·安徽文，2)已知i 2＝－1，则i (1－3i )＝( ) A.3－i B.3＋iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] B[解析] 该题考查复数的四则运算i(1－3i)＝－3i 2＋i ＝3＋i ，故选B.2．复数z ＝－1＋i1＋i ＋1在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝－1＋i1＋i ＋1＝1＋i ，故复数z 所对应的点为(1,1)，在第一象限．3．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i1＋i 10的值是( )A ．－1B ．1C ．－32D ．32[答案] A[解析] 本题主要考查复数的基本运算，1－i1＋i ＝－i ，(－i )10＝－1，故选A.4．若z 1＝(x －2)＋yi 与z 2＝3x ＋i (x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x ，y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，∴z 1＝－3－i ，故选C.5．对于复平面，下列命题中真命题的是( )A ．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B ．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的C ．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D ．实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的[答案] D[解析] 复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系，其中实数对(a ，b )对应复数的实部与虚部．6．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i[答案] D[解析] 方法一：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则x ＋yi ＋|x －yi |＝2＋i ，即x ＋x 2＋y 2＋yi ＝2＋i ，∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1把y ＝1代入x ＋x 2＋y 2＝2中， 得x 2＋1＋x ＝2，∴x ＝34，∴z ＝34＋i .方法二：代入法验证答案易得．7．复数z 满足方程|z ＋21＋i |＝4，那么复数z 的对应点P 组成的图形为() A ．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆B ．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆C ．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆D ．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆[答案] C[解析] |z ＋21＋i |＝|z ＋(1－i )|＝|z －(－1＋i )|＝4，设－1＋i 的对应点为C (－1,1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆．8．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于()A ．1＋52i B ．－1＋52i C ．1－52i D ．－1－52i [答案] D [解析] 设x ＝it (t ∈R 且t ≠0)，于是2ti －1＋i ＝y －(3－y )i ，∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12t ＋1＝－(3－y )∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝－52y ＝－1∴x ＋y ＝－1－52i . 9．已知复数(x －2)＋yi (x ，y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( ) A.32B.33C.12D. 3[答案] D[解析] 因为|(x －2)＋yi |＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤y x ≤ 3.10．设复数z 为虚数，条件甲：z ＋1z是实数，条件乙：|z |＝1，则( ) A ．甲是乙的必要非充分条件B ．甲是乙的充分非必要条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件[答案] C[解析] 本题考查复数的运算和充要条件的判断．设z ＝a ＋bi (b ≠0且a ，b ∈R )，则z ＋1z ＝a ＋bi ＋1a ＋bi ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i .因为z ＋1z 为实数，所以b ＝b a 2＋b 2.因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝1，所以|z |＝1.而当|z |＝1，a 2＋b 2＝1，条件甲显然成立．11．如果复数z 满足条件|2z ＋1|＝|z －i |，那么在复平面内z 对应的点的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案] A[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|(2a＋1)＋2bi|＝|a＋(b－1)i|，所以(2a＋1)2＋4b2＝a2＋(b－1)2，化简，得3a2＋3b2＋4a＋2b＝0，此为圆的方程．12．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方D．z一定为实数[答案] C[解析]∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与z对应的点关于实轴对称．∴C项正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．(2010·上海文，4)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝________.[答案]6－2i[解析]本题考查了复数的基本运算．∵z·z＝|z|2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i.14．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋i sinβ，则复数z1·z2的实部是__________ [答案]cos(α＋β)[解析]z1·z2＝(cosα＋i sinα)(cosβ＋i sinβ)cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i故z1·z2的实部为cos(α＋β)．15．实数m满足等式|log3m＋4i|＝5，则m＝________.[答案]27或1 27[解析]本题考查有关复数模的运算．由|log3m＋4i|＝5，得(log3m)2＋16＝25，(log3m)2＝9，所以log3m＝±3，m＝27或m＝1 27.16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．[答案] π4或54π [解析] 本题主要考查复数的概念．z 为实数，则cos θ＝sin θ，即tan θ＝1.因为θ∈[0,2π]，所以θ＝π4或54π. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知复数z 满足z z －i (3z )＝1－3i ，求z .[解析] 将方程两边化成a ＋bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解．设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则x 2＋y 2－i [3(x ＋yi )]＝1－(3i )，即x 2＋y 2－3y －3xi ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3y ＝1－3x ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3 ∴z ＝－1或z ＝－1＋3i .18．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i (x ∈R )是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2.方程②的解为x ＝－3或x ＝6.所以实数x 的值为－3.[点评] 本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件．19．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ，(1)求w ＝z 2＋3z －4(2)如果z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a 、b . [解析] (1)w ＝－1－i(2)z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a ＋ai ＋b (1＋i )2－1－i ＋1＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝(a ＋2)－(a ＋b )i∴(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i∴a ＝－1 b ＝220．(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数，且(a ＋b )2－3abi ＝4－6i ，求a 和b .[解析] ∵a 、b 为共轭复数，∴设a ＝x ＋yi (x ，y ∈R )则b ＝x －yi ，由(a ＋b )2－3abi ＝4－6i ，得(2x )2－3(x 2＋y 2)i ＝4－6i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 2＝4－3(x 2＋y 2)＝－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1y 2＝1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1y ＝±1 ∴a ＝1＋i ，b ＝1－i ；a ＝－1＋i ，b ＝－1－i ；a ＝1－i ，b ＝1＋i ；a ＝－1－i ，b ＝－1＋i .21．(本题满分12分)证明：在复数范围内，方程|z |2＋(1－i )z －(1＋i )z ＝5－5i 2＋i无解． [证明] 原方程可化简为|z |2＋(1－i )z －(1＋i )z ＝1－3i .设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，代入上述方程，整理得x 2＋y 2－2xi －2yi ＝1－3i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1， ①2x ＋2y ＝3. ② 将②代入①，消去y 整理，得8x 2－12x ＋5＝0.因为Δ＝－16<0，所以上述方程无实数解．所以原方程在复数范围内无解．[点评] 本题主要考查复数代数形式的运算，解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解．22．(本题满分14分)复数z 满足|z ＋i |＋|z －i |＝2，求|z ＋1＋i |的最大值与最小值．[解析] 在复平面内，|z ＋i |＋|z －i |＝2表示复数z 对应的点Z 到点A (0，－1)，B (0,1)的距离之和为2，而|AB |＝2，所以点Z 的轨迹为以A ，B 为端点的线段(包括两端点)．而|z ＋1＋i |＝|z －(－1－i )|表示点Z 到点C (－1，－1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB 上的点到点C 的距离的最大值与最小值，如右图．易知|z＋1＋i|max＝|BC|＝5，|z＋1＋i|min＝|AC|＝1.[点评]本题主要考查复数|z－z1|的几何意义，即|z－z1|表示复数z与z1对应的两点之间的距离．利用数形结合法是求解本题的关键．。
中小学教资《综合素质》测试题及答案
中小学教资《综合素质》测试题及答案一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1. 素质教育的根本目的是（）A. 培养学生的创新精神和实践能力B. 选拔适合教育的人才C. 落实教育方针的要求D. 提高学生的学业成绩【答案】A2. 下列哪种做法最能体现尊重学生与严格要求学生相结合的原则？（）A. 学生犯了错误，教师严厉批评，要求其保证不再犯B. 对成绩优秀的学生，教师给予表扬和奖励C. 教师尊重学生的人格，关心学生的成长D. 对学生的不良行为，教师采取漠视态度【答案】C3. 下列哪种教学方法最有利于培养学生的独立思考能力？（）A. 讲授法B. 讨论法C. 实验法D. 练习法【答案】B4. 下列哪种评价方式最有利于促进学生的全面发展？（）A. 平时成绩加考试成绩B. 学科竞赛成绩C. 综合素质评价D. 只有考试成绩【答案】C5. 下列哪种做法是正确的，有利于学生的成长？（）A. 教师发现学生优点，给予表扬和鼓励B. 教师发现学生缺点，严厉批评和指责C. 教师对学生的错误行为采取视而不见的态度D. 教师对学生的要求过于严格，导致学生产生恐惧心理【答案】A6. 下列哪种说法是正确的，符合新课程改革的要求？（）A. 教师应该把课堂还给学生，让学生在课堂上自由发挥B. 教师应该把课程标准作为教学的唯一依据C. 教师应该把学生的学业成绩作为评价学生的唯一标准D. 教师应该把教学过程作为评价学生的唯一标准【答案】B7. 下列哪种做法最能体现教师的教育机智？（）A. 教师在课堂上严格要求学生，不允许有丝毫懈怠B. 教师在课堂上与学生互动，营造轻松愉快的课堂氛围C. 教师在课堂上发现学生有错误，立即指出并纠正D. 教师在课堂上对学生的提问，采取回避态度【答案】B8. 下列哪种做法是正确的，有利于学生的个性化发展？（）A. 教师根据学生的成绩分班B. 教师根据学生的特长分班C. 教师对所有学生采用一种教学方法D. 教师对所有学生采用一种评价标准【答案】B9. 下列哪种说法是正确的，符合教师职业道德的要求？（）A. 教师应该把学生的利益放在首位，为学生谋利益B. 教师应该把学校的利益放在首位，为学校谋利益C. 教师应该把家庭的利益放在首位，为家庭谋利益D. 教师应该把个人的利益放在首位，为个人谋利益【答案】A10. 下列哪种做法最能体现教师的责任心？（）A. 教师按时上下课，完成教学任务B. 教师认真备课，钻研教材C. 教师对学生不管不顾，任其发展D. 教师只关注学生的学业成绩，忽视其他方面的发展【答案】B11. 下列哪种做法是正确的，有利于学生的心理健康？（）A. 教师发现学生有心理问题，采取忽视态度B. 教师发现学生有心理问题，严厉批评指责C. 教师发现学生有心理问题，给予关心和支持D. 教师发现学生有心理问题，介绍专业心理咨询师【答案】C12. 下列哪种做法最能体现教师的教育公正？（）A. 教师对优秀学生给予特殊照顾B. 教师对成绩较差的学生给予特殊照顾C. 教师对所有学生一视同仁D. 教师对关系较好的学生给予特殊照顾【答案】C13. 下列哪种做法是正确的，有利于学生的自主学习？（）A. 教师布置大量作业，要求学生认真完成B. 教师进行灌输式教学，要求学生被动接受C. 教师引导学生制定学习计划，培养学生自主学习的能力D. 教师对学生的学习进度不管不顾，任其发展【答案】C14. 下列哪种说法是正确的，符合终身教育的要求？（）A. 教师应该把学生的学业成绩作为评价学生的唯一标准B. 教师应该把学生的综合素质作为评价学生的唯一标准C. 教师应该注重学生的个性发展，培养学生的兴趣爱好D. 教师应该注重学生的全面发展，培养学生的各种能力【答案】D15. 下列哪种做法最能体现教师的耐心和关爱？（）A. 教师对学生的错误行为采取严厉批评的态度B. 教师对学生的错误行为采取视而不见的态度C. 教师对学生的成长给予关心和支持D. 教师对学生的要求过于严格，导致学生产生恐惧心理【答案】C二、简答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1. 简述新课程改革的核心理念。
(完整版)综合素质练习题及答案
综合素质练习题一至三章（答案版）：1．“师者，人之楷模也”，这句话说明教师的劳动具有（）。
A．鲜明的示范性B．独特的复杂性C．特殊的复杂性D．显效的长期性2．我国的教师资格证书的适用的地域范围是（）。
A．只在本校适用B．只在本地区适用C．在全国范围适用D．在外国也适用3．在履行教育义务的活动中，教师职业的基本要求是( )。
A．爱国守法B．教书育人C．爱岗敬业D．团结协作4．我国全体教育工作者的基本信念应该是( )。
A．实现自我价值B．发展素质C．提高能力D．以人为本5．教师职业道德和其他职业道德的显著的区别标志是( )。
A．敬业爱业B．清正廉洁C．为人师表D．团结协作6．教师要树立终身学习理念，拓宽知识视野，更新知识结构，崇尚科学精神，潜心钻研业务，用于探索创新，不断提高专业素养和教育教学水平。
这说明教师要树立的职业道德是（）。
A．终身学习B．爱岗就业C．为人师表D．教书育人7．教育学生的感情基础是（）。
A．爱学生B．爱工作C．爱学校D．爱教育事业8．国家统一实施的所有适龄儿童、少年必须接受的教育，是国家必须予以保障的公益性事业是（）。
A．高等教育B．中等教育C．职业教育D．义务教育9．学校是否可以聘用曾经因故意犯罪被依法剥夺政治权利的人担任工作人员？（）A．可以B．不可以C．特别情况可以D．经批准可以10．《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》规定了我国教育发展战略目标，根据该纲要，下列说法不正确的是（）。
A．构建体系完备的终身教育B．实现更高水平的普及教育，基本普及学前教育C．坚持教育的公益性和惠普性，形成惠及全民的公平教育D．到2020年，全面实现教育现代化，基本形成学习型社会，进入人力资源强国11．把育人为本作为教育工作的根本要求，不包括（）。
A．以学生为主导，以教师为主体，充分发挥学生的主动性B．全面推进素质教育，面向全体学生，以育人为根本，以提高学生素质为目标，以促进学生全面发展为宗旨，为人的终身学习和终身发展服务C．坚持德育为先，把社会主义核心价值观体系融入国民教育全过程，引导学生形成正确的世界观、人生观和价值观D．全面提高国民素质，努力造就一批拔尖创新人才12．因校舍使用不当或失修，造成房屋倒塌造成学生伤亡事故的，主要责任人应追究（）。
高一数学(人教B版)必修4：第3章综合素质检测
阶段性测试题六(第三章综合素质检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； ②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；③x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1， 故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2009·广东)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 [答案] A[解析] y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π22x ＝sin2x∴函数是最小正周期为π的奇函数．3．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( )A ．－12 B.32 C.12或32 D.12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27，∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28.∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.4．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x .∴最小正周期T ＝π.5．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a 2B ．－1－a2C ．－1＋a 2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2.6．(2009·江西)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为() A ．1 B ．2C.3＋1D.3＋2[答案] B[解析] f (x )＝cos x ＋3sin xcos x ·cos x＝cos x ＋3sin x ＝2⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴f (x )的最大值为2.7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π[答案] B[解析] y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x＝cos 4x －cos 2x ＋1＝(cos 2x －12)2＋34＝(1＋cos2x 2－12)2＋34＝cos 22x 4＋34＝1＋cos4x8＋34＝18cos4x ＋78.∴T ＝2π4＝π2，故选B.8．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A.62 B.32C.54 D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.9．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])单调递增区间是()A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 [答案] D[解析] f (x )＝sin x －3cos x＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. ∵x ∈[－π，0]，∴x －π3⎣⎡⎦⎤－4π3，－π3. 当x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π3时，f (x )递增， 此时x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，0.故选D. 10．(2009·重庆)设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 [答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )， ∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1， ∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3. 11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2， ∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2， ∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0，∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0，∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0，∴cos A ·cos B ·cos C ＝0，∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0.∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，∴f (x )＝2＋2x 2∴f (cos x )＝2＋2cos 2x＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(2009·上海)函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．[答案] 1－ 2[解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x＝1＋2sin ⎝⎛2x ＋π4，∴y min ＝1－ 2. 14.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎫－331－⎝⎛⎭⎫－332＝－233·32＝－ 3. 15．cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2＝________. [答案] －2[解析] ∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°， ∴tan θ2，又∵cos θ＝－35，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 16．在△ABC 中，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________． [答案] 120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513>0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝1213∴cos2A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2A ＝sin2⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°. [解析] 解法一：原式＝⎝⎛⎭⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70°＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2.解法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20°＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20° ＝⎝⎛⎭⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2.18．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2， ∴－π4<α2－β<π2. ∵sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝53. 故sin α＋β2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β－cos ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝459×53－⎝⎛⎭⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cos α＋β2 ＝22277527＝22535. 19．(本小题满分12分)已知α＋β＝3π4，求证：cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝12. [解析] 左边＝1＋cos2α2＋1＋cos2β2＋2cos αcos β ＝1＋12(cos2α＋cos2β)＋2cos αcos β ＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋22[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝1＋cos 3π4cos(α－β)＋22⎣⎡⎦⎤cos 3π4＋cos (α－β)＝1－22cos(α－β)＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋22cos(α－β) ＝1－12＝12＝右边． 20．(本小题满分12分)若函数f (x )＝1＋cos2x 4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －a sin x 2·cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2的最大值为2，试确定常数a 的值．[解析] f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2＝12cos x ＋a 2sin x ， f (x )的最大值为14＋a 24 ∴14＋a 24＝2， 解得a ＝±15.21．(本小题满分14分)(2010·南安一中高一下学期期末测试)已知f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ，其中a ∈R .(1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在[－π6，π6]上最大值与最小值之和为3，求a 的值． [解析] f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1， (1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈[－π6，π6]，2x ∈[－π3，π3]， 2x ＋π6∈[－π6，π2]， sin(x ＋π6)∈[－12，1]， ∴f (x )max ＝a ＋3，f (x )min ＝a ，∴2a ＋3＝3，∴a ＝0.22．(本小题满分14分)(2009·湖南)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ，∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， ∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4. ∴θ＝π2或θ＝3π4.。
2023年人教版七年级下册科学第3章综合素质评价检测卷(一)打印版含答案
2023年人教版七年级下册科学第3章综合素质评价检测卷（一）限时：60分钟满分：100分一、选择题(每小题2分，共30分)1．【2022·余杭期末】科学源于生活，下列有关描述中最接近事实的是() A．一本浙教版七(下)《科学》课本平放在水平桌面上，它对水平桌面的压强约为50 PaB．一个初中生正常的步行速度约为1.4 km/hC．光在空气中的传播速度大约为340 m/sD．一个初中生所受重力约为100 N2．【2022·金东期末】我国天和核心舱在环绕地球运行时，以天和核心舱内部的冰箱为参照物，下列物体中静止的是()A．天和核心舱B．月球C．火星D．太阳3．【2022·绍兴柯桥区期末】小科用绳子系着水桶从井里打水，则使水从井中上来的施力物体是()A．绳子B．地球C．人D．水桶4．惯性在运动中无处不在。
下列运动过程中的行为，能减小惯性带来的损伤的是() A．跳高比赛起跳前助跑一段距离B．立定跳远时增加手臂摆动的幅度C．三步上篮起跳后落地膝盖弯曲D．自行车比赛上坡前用力蹬脚踏板5．研究二力平衡的条件时，小明将薄塑料片扭转一个角度，该步骤他要研究的是这两个力是否()A．作用在同一直线上B．方向相反C．作用在同一物体上D．大小相等6．构建思维导图是整理知识的重要方法。
如图是某同学复习力学知识时构建的思维导图，图中I处可补充的例子是()A．用力踢足球，足球被踢飞B．用力击排球，排球被扣回C．用力推铅球，铅球被推出D．用力捏气球，气球被捏扁7．【2022·诸暨期中】一根弹簧原长为10 cm，当挂上5 N的钩码时弹簧长度变为11 cm，若再挂上10 N的钩码时(不超过弹性限度)，则弹簧长度变为()A．13 cm B．12 cm C．23 cm D．21 cm8．投掷实心球是体育中考项目之一。
下列说法正确的是()A．在空中飞行的实心球相对于投掷者是静止的B．实心球在空中继续飞行是由于受到了惯性力C．实心球在空中飞行的过程中，运动状态在不断改变D．实心球抛出瞬间，人对球的推力和球对人的推力互为平衡力9．若小球由如图所示位置向右摆动到最低点时绳子断裂，假设此时所有外力均消失，此后，小球的运动情况是()A．匀速直线下落B．匀速直线上升C．静止D．水平向右做匀速直线运动10．一木块静止在盛满水的容器中，现将木块缓慢下压至浸没，水对容器底部的() A．压力不变，压强不变B．压力变大，压强变大C．压力不变，压强变大D．压力变大，压强不变11．【2022·长兴期末】2022年北京冬奥会冰壶比赛中，运动员右脚穿“花纹橡胶”的蹬冰鞋，不断蹬地，左脚穿着“光面塑料”的滑行鞋，用力向前滑行。
第三单元综合素质评价(含答案)
第三单元综合素质评价(含答案）第三单元综合素质评价一、积累运用(共7题；共35分)1．（12分）阅读下面文段，回答各题。
薄薄的雪，是不行的；总xū( )积雪盖了地面一两天，鸟雀们久已无处觅食的时候才好。
扫开一块雪，露出地面，用一枝短棒起一面大的竹筛来，下面些秕谷( )，棒上一条长绳，人远远地着，看鸟雀下来啄食，走到竹筛底下的时候，将绳子一，便罩住了。
（1）（2分）文中横线上应填的动词，正确的一项是( )A．撑放系拉牵B．支撒绑拿拉C．支撒系牵拉D．顶放连牵拽（2）（5分）选出加点字的读音正确的一项秕谷(ApǐBbǐ)（3）（5分）根据拼音选出汉字书写正确的一项总xū(需须）。
2．（2分）依次填入下面横线处的句子，顺序排列最恰当的一项是( )老师转身面向大家，他决定这一课，，。
，。
①他们才能理解并接纳这份爱，懂得感恩，懂得回报，也才能写出真挚感人的作文②不是具体地教孩子们怎样去写作文，也不是单纯地教他们怎样写自己的母亲③他觉得唯有让孩子们理解了父母无私的付出④而是启发孩子们，体会父母为他们所做的一切，那背后的良苦用心和炽热的爱A．②④③①B．③②①④C．③④①②D．②④①③3．（2分）下面词语中加横线的字注音、书写完全正确的一项是（）A．绽开（zhàn）搓捻（niē）疲倦（pí）小心翼翼（yì）B．惭槐（kuì）觅食（mì）繁衍（yǎn）花团锦簇（cù）C．预兆（zhào）迁徙（xǐ）企盼（qǐ）落英缤纷（bīn）D．穿梭（sōu）煎熬（áo）冥思（míng）不可名状（míng）4．（10分）默写。
（1）（1分）思乡怀人是中国诗歌的永恒主题。
马致远《天净沙·秋思》中的“①，②”两句，简明生动地写出了日暮时分异乡人浓浓的乡愁；李白《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》中的“③___ ，④___ ”两句，通过“杨花”“子规”两种意象烘托出凄凉悲惋的氛围，寄寓了诗人对友人被贬的惋惜；李白《峨眉山月歌》中的“⑤___ ，⑥___ ”两句，连用三个地名，传达出诗人对故乡和友人的思念。
综合素质试题及答案2024
综合素质试题及答案2024选择题：下列哪项不属于综合素质教育的重要组成部分？A.科学素养B.艺术修养C.考试成绩（正确答案，注意这是错误选项，表示不属于综合素质教育的重要组成部分）D.社交能力在提升个人综合素质的过程中，以下哪项活动最有助于培养创新思维？A.参加学术讲座B.参与团队创新项目（正确答案）C.重复练习已知技能D.独自学习理论知识综合素质教育强调的是？A.单一学科知识的深度掌握B.跨学科知识的融合与应用（正确答案）C.仅关注学生的学习成绩D.忽视学生的个性化发展以下哪项不是综合素质评价中常用的方法？A.观察记录法B.自我评价法（正确答案）C.他人评价法（如教师、同学评价）D.标准化测试法（虽然常用，但相对于其他选项更偏向单一维度评价）在综合素质教育中，培养学生的社会责任感主要通过以下哪种方式？A.强制参加社会公益活动B.通过课程学习和实践活动相结合（正确答案）C.仅依靠课堂教学D.不需要特别培养社会责任感综合素质教育倡导的学习方式是？A.死记硬背B.自主探究与合作交流相结合（正确答案）C.完全依赖教师讲授D.忽视学生的主体性以下哪项是综合素质教育中关于身心健康的重要内容？A.仅关注身体健康B.仅关注心理健康C.身心健康并重，注重培养学生的健康生活方式（正确答案）D.忽视身心健康的培养在综合素质评价中，以下哪项不是评价学生综合素质的重要指标？A.道德品质B.学习能力C.外貌形象（正确答案，注意这是错误选项，表示不是评价综合素质的重要指标）D.创新能力综合素质教育的最终目标是？A.让学生取得高分B.培养学生的全面发展和终身学习能力（正确答案）C.让学生成为应试机器D.忽视学生的个性化需求和兴趣发展。
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第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a 、b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] C[解析] 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得a i －1＝b ＋i ，所以a ＝1，b ＝－1. 2．(2012·课标全国文，2)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i[答案] D[解析] 本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念． z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，故z 的共轭复数为－1－i.3．(2012～2013学年度山东沂水县高二期中测试)若a 、b ∈R ，i 是虚数单位，且(1＋a i)i ＝1－b i ，则在复平面内，复数a ＋b i 所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] ∵(2＋a i)i ＝1－b i ，∴－a ＋2i ＝1－b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1－b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2， ∴复数a ＋b i ＝－1－2i 所对应的点在第三象限． 4．设复数z ＝2＋i (1＋i )2，则复数z 的虚部是( )A.12 B ．－1 C ．－i D ．1[答案] B[解析] z ＝2＋i 2i ＝－2i ＋12＝12－i ，∴复数z 的虚部是－1. 5．复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12i C.12－12i D.12＋12i [答案] C[解析] ∵i 2＋i 3＋i 4＝－1＋(－i)＋1＝－i ， ∴原式＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i.6．已知复数z 满足2－iz ＝1＋2i ，则z ＝( ) A ．4＋3i B ．4－3i C ．－i D ．i [答案] D[解析] 由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i＝(2－i )(1－2i )5＝2－4i －i －25＝－i ，∴z ＝i.7．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－32 D ．32[答案] A[解析] 本题主要考查复数的基本运算，1－i1＋i ＝－i ，(－i)10＝－1，故选A.8．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )25＝4－4i －15＝35－45i. ∴z 在复平面内对应的点为 (35，－45)，故选D.9．若复数z ＝a ＋3i1－2i (a ∈R )，且z 是纯虚数，则|a ＋2i|等于( )A. 5 B ．210 C ．2 5 D ．40 [答案] B[解析] z ＝a ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )5＝a ＋2a i ＋3i －65＝a －6＋(2a ＋3)i5，当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a －6＝02a ＋3≠0，得a ＝6，∴a ＋2i ＝6＋2i ， ∴|a ＋2i|＝210.10．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2[答案] D[解析] ∵z 2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1sin2θ＝0，∴2θ＝2k π＋π (k ∈Z )， ∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．11．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( )A ．1＋52i B ．－1＋52i C ．1－52i D ．－1－52i[答案] D[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12t ＋1＝－(3－y )，∴⎩⎨⎧t ＝－52y ＝－1.∴x ＋y ＝－1－52i.12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i[答案] A[解析] 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i ＝3－i.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. [答案] 6－2i[解析] 本题考查了复数的基本运算． ∵z ＝1－2i ，∴z －＝1＋2i ， ∴z ·z －＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i.14．已知a 、b ∈R ，且a －1＋2a i ＝4＋b i ，则b ＝________. [答案] 10[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝42a ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝10.15．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．[答案] 83[解析] z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －825＋4a ＋625i ， ∵z1z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧3a －825＝04a ＋625≠0，∴a ＝83.16．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．[答案] 四[解析] ∵a 、b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i， 即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝155a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－10. ∴复数z ＝a ＋b i ＝7－10i 在复平面内对应的点位于第四象限． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ [解析] z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12， 即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本题满分12分)已知复数z 满足z z －i(3z )＝1＋3i ，求z . [解析] 将方程两边化成a ＋b i 的形式，根据复数相等的充要条件来解．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则z ·z －＝x 2＋y 2， 3z ＝3x ＋3y i 3z ＝3x －3y i∴x 2＋y 2－3y －3x i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3y ＝1－3x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.19．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得 x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ， 根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2. 方程②的解为x ＝－3或x ＝6. 所以实数x 的值为－3.20．(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数，且(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，求a 和b .[解析] ∵a 、b 为共轭复数，∴设a ＝x ＋y i(x 、y ∈R ) 则b ＝x －y i ，由(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，得 (2x )2－3(x 2＋y 2)i ＝4－6i ，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＝4－3(x 2＋y 2)＝－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1y 2＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1y ＝±1. ∴a ＝1＋i ，b ＝1－i ；a ＝－1＋i ，b ＝－1－i ； a ＝1－i ，b ＝1＋i ；a ＝－1－i ，b ＝－1＋i. 21．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ， (1)求w ＝z 2＋3z －4；(2)如果z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a 、b 的值．[解析] (1)w ＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝2i ＋3－3i －4＝－1－i. (2)z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a ＋a i ＋b (1＋i )2－1－i ＋1 ＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i ， ∴(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i ， ∴a ＝－1，b ＝2.22．(本题满分14分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )． (1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． [解析] (1)由已知，得⎩⎨⎧log 2(1＋m )<0， ①log 12(3－m )<0， ②解①得－1<m <0. 解②得m <2.故不等式组的解集为{x |－1<m <0}， 因此m 的取值范围是{x |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2(1＋m )(3－m )＝1. 从而(1＋m )(3－m )＝2， 即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0. 故m ＝1±2.1．若复数a ＋3i1－2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6[答案] D[解析] a ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝a －6＋(3＋2a )i 5＝a －65＋3＋2a 5i. 由纯虚数的定义，得a －65＝0，且3＋2a5≠0， 解得a ＝6，故选D.2．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.∴z 1＝－3－i ，故选C.3．复数(3i －1)i 的共轭复数是( ) A ．3－iB ．3＋iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] D[解析] ∵z ＝(3i －1)i ＝－3－i ，∴z －＝－3＋i ，故选D. 4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i [答案] A[解析] z 2－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝1＋22i －2－2－22i ＝－3.5．当z ＝1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i[答案] D[解析] z 2＝12(1－2i －1)＝－i ，z 50＝(－i)25＝－i ，z 100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i.6．复数z ＝m －2i 1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[m －4]－2(m ＋1)i ，其实部为m －4，虚部为－2(m ＋1)由⎩⎪⎨⎪⎧ m －4>0－2(m ＋1)>0，得⎩⎨⎧m >4m <－1，此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．7．规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z i －i 2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________.[答案] 1－i[解析] 由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z i －i2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i.。