第三章 综合素质检测

第三章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若a 、b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1

[答案] C

[解析] 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得a i －1＝b ＋i ，所以a ＝1，b ＝－1. 2．(2012·课标全国文，2)复数z ＝－3＋i

2＋i 的共轭复数是( )

A ．2＋i

B ．2－i

C ．－1＋i

D ．－1－i

[答案] D

[解析] 本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念． z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，故z 的共轭复数为

－1－i.

3．(2012～2013学年度山东沂水县高二期中测试)若a 、b ∈R ，i 是虚数单位，且(1＋a i)i ＝1－b i ，则在复平面内，复数a ＋b i 所对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 [答案] C

[解析] ∵(2＋a i)i ＝1－b i ，

∴－a ＋2i ＝1－b i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1－b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－1

b ＝－2

， ∴复数a ＋b i ＝－1－2i 所对应的点在第三象限． 4．设复数z ＝2＋i (1＋i )2，则复数z 的虚部是( )

A.12 B ．－1 C ．－i D ．1

[答案] B

[解析] z ＝2＋i 2i ＝－2i ＋12＝1

2－i ，∴复数z 的虚部是－1. 5．复数i 2＋i 3＋i 4

1－i ＝( )

A ．－12－12i

B ．－12＋1

2i C.12－12i D.12＋12i [答案] C

[解析] ∵i 2＋i 3＋i 4＝－1＋(－i)＋1＝－i ， ∴原式＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－1

2i.

6．已知复数z 满足2－i

z ＝1＋2i ，则z ＝( ) A ．4＋3i B ．4－3i C ．－i D ．i [答案] D

[解析] 由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i

＝(2－i )(1－2i )5＝2－4i －i －2

5

＝－i ，∴z ＝i.

7．复数⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－i 1＋i 10

的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－32 D ．32

[答案] A

[解析] 本题主要考查复数的基本运算，1－i

1＋i ＝－i ，(－i)10＝－1，

故选A.

8．复数z ＝2－i

2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为

( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[答案] D

[解析] ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )25＝4－4i －15＝35－4

5i. ∴z 在复平面内对应的点为 (35，－4

5)，故选D.

9．若复数z ＝a ＋3i

1－2i (a ∈R )，且z 是纯虚数，则|a ＋2i|等于( )

A. 5 B ．210 C ．2 5 D ．40 [答案] B

[解析] z ＝a ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )5＝a ＋2a i ＋3i －6

5＝a －6＋(2a ＋3)i

5

，

当z 为纯虚数时，⎩

⎪⎨⎪⎧

a －6＝0

2a ＋3≠0，得a ＝6，

∴a ＋2i ＝6＋2i ， ∴|a ＋2i|＝210.

10．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )

A.π

6 B.π4 C.π3 D.π2

[答案] D

[解析] ∵z 2

＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧

cos2θ＝－1

sin2θ＝0

，

∴2θ＝2k π＋π (k ∈Z )， ∴θ＝k π＋π

2.令k ＝0知，D 正确．

11．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( )

A ．1＋5

2i B ．－1＋5

2i C ．1－5

2i D ．－1－5

2i

[答案] D

[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－12t ＋1＝－(3－y )

，∴⎩⎨

⎧

t ＝－5

2y ＝－1

.

∴x ＋y ＝－1－52i.

12．定义运算⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪

⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )

A ．3－i

B ．1＋3i

C ．3＋i

D ．1－3i

[答案] A

[解析] 由定义知⎪⎪⎪⎪

⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝

4＋2i

1＋i ＝3－i.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)

13．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. [答案] 6－2i

[解析] 本题考查了复数的基本运算． ∵z ＝1－2i ，∴z －＝1＋2i ， ∴z ·z －＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i.

14．已知a 、b ∈R ，且a －1＋2a i ＝4＋b i ，则b ＝________. [答案] 10

[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝42a ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝5

b ＝10

.