高二数学上学期第二次阶段测试试题
高二数学上学期第二次阶段性考试试题 理含解析 试题
一中2021～2021年度高二年级第一学期第二次阶段检测数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的．1. 假设a，b，c∈R，a>b，那么以下不等式成立的是( )A. B. C. D. a|c|>b|c|【答案】C【解析】A．取a=1，b=﹣2，那么不成立；B．取a=1，b=﹣2，那么a2＞b2不成立；C．∵a＞b，c2+1＞0，∴，成立．D．取c=0时，a|c|＞b|c|不成立．．应选：C．2. p:，q： >O，那么p是g的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得x2﹣3x＞4，即x2﹣3x﹣4＞0，得x＞4或者x＜﹣1，即p：x ＞4或者x＜﹣1，由得：x＞4或者x＜﹣1，即q：x＞4或者x＜﹣1，那么p是q的充要条件，应选：C3. 以下说法正确的选项是( )A. ，y R，假设x+y0，那么x且yB. a R，“〞是“a>1〞的必要不充分条件C. 命题“a R，使得〞的否认是“R，都有〞D. “假设，那么a<b〞的逆命题为真命题【答案】B【解析】∀x，y∈R，假设x+y≠0，那么x≠1且y≠﹣1的逆否命题为：∀x，y∈R，假设x=1或者y=﹣1，那么x+y=0，为假命题，故A错误；a∈R，“〞⇔“a＜0，或者a＞1〞是“a＞1〞的必要不充分条件，故B正确；命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0〞的否认是“∀x∈R，都有x2+2x+3≥0〞，故C错误；“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为“假设a＜b，那么am2＜bm2〞为假命题，故D错误；应选：B4. x>1，y>1，且lgx，2，lg y成等差数列，那么x+y有〔〕A. 最小值20B. 最小值200C. 最大值20D. 最大值200【答案】B【解析】解：由题意可知：，且：，由均值不等式有：，当且仅当时等号成立.此题选择B选项.5. 在等差数列{}中，假设a3，a7是函数f(x)=的两个零点，那么{}的前9项和等于〔〕A. -18B. 9C. 18D. 36【答案】C【解析】∵等差数列{a n}中，a3，a7是函数f〔x〕=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{a n}的前9项和S9=．应选：C．6. 设点(a,b)为区域内任意一点，那么使函数f(x)=在区间[，+〕上是增函数的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图：假设f〔x〕=在区间[，+〕上是增函数，那么，即，那么A〔0，4〕，B〔4，0〕，由得，即C〔，〕，那么△OBC的面积S==．△OAB的面积S=．那么使函数f(x)=在区间[，+〕上是增函数的概率为P==，应选：A．7. 祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异〞，它是中国古代一个涉及几何体体积问题，意思是两个等高的几何体，如在同高处的截面积恒相等，那么体积相等，设A，B为两个等高的几何体，p：A,B的体积相等，q：A,B在同高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，q 是-p的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.8. 等比数列{}中， =2，那么其前三项的和的取值范围是( )A. (-，-2]B. ( -,0)(1,+∞)C. [6, +)D. (-,-2][6，+)【答案】D【解析】∵等比数列{a n}中，a2=2，设公比为,∴其前三项和S3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是〔﹣∞，﹣2]∪[6，+∞〕．应选：D．点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误9. 一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1，x2，且0<x1<1,x2>1,那么的取值范围是( )A. 〔—2，一〕B. 〔—2，一〕C. 〔一1，一〕D. 〔一1，一〕【答案】A【解析】由方程x2+〔1+a〕x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f〔x〕=x2+〔1+a〕x+1+a+b图象开口方向朝上，又∵方程x2+〔1+a〕x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，代入方程可得：其对应的平面区域如以下图阴影示：表示阴影区域上一点与原点边线的斜率，由图可知，应选：A．点睛：此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.10. || =3，A，B分别在x轴和y p轴上运动，O为原点，，那么点P的轨迹方程为( )．A. B. C. D.【答案】A【解析】设动点P坐标为P〔x，y〕，A〔a，0〕，B〔0，b〕，........................∴a=3x．b=y，∵|| =3，∴a2+b2=9，∴，即．应选：A．11. 如图，在直角坐标系xoy中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，其中，那么的取值范围是〔〕A. [2,3+]B. [2,3+]C. [3-, 3+]D. [3-, 3+] 【答案】B【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系那么A〔0，0〕，D〔0，1〕，C〔1，1〕，B〔2，0〕直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的间隔 d=；∴以点C为圆心，以为半径的圆方程为〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2=，设P〔m，n〕那么=〔m，n〕，=〔2，0〕，=〔﹣1，1〕；∴〔m，n〕=〔2x﹣y，y〕∴m=2x﹣y，n=y，∵P在圆内或者圆上∴〔2x﹣y﹣1〕2+〔y﹣1〕2≤，设4x﹣y=t，那么y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣〔48t+16〕x+8t2+7≤0，设f〔x〕=80x2﹣〔48t+16〕x+8t2+7，x∈[，]，那么，解得2≤t≤3+，∴4x﹣y的取值范围是[2，3+]．应选：B．12. 函数f(x)=〔a为常数〕，对于定义域内的任意两个实数x1,x2，恒有|f(x1)-f(x2)|<1成立，那么正整数a可以取的值有〔〕个A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】由题意,=cosα,=sinα(α∈[0,],f(x)=cosα+sinα=sin(α+)，从而有f(x)max= ,f(x)min=,∴−<1解得a<3+2,∵a∈N∗，∴a=1，2，3，4，5，应选B.点睛：此题巧用了三角换元的方法，把函数的最值转化为三角函数的最值问题，对于定义域内的任意两个实数x1,x2，恒有|f(x1)-f(x2)|<1成立等价于,所以此题的关键是如何求函数的最值.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分13. 命题：“假设ab=0，那么a=0或者b=0〞的逆命题是 ______.【答案】假设a≠0且b≠0，那么ab≠0【解析】“假设ab=0，那么a=0或者b=0〞的逆否命题是：假设a≠0且b≠0，那么ab≠0 14. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A为钝角，且2a，假设，那么△ABC的面积的最大值为 ______.【答案】【解析】∵a，∴由正弦定理可得：2sin A sin A=(sin CcoB+sin B cos C)=sin(B+C)=sin A，∵A为钝角，sin A>0，∴sin A=,可得：cos A=−，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2+bc，①∵，②∴由①②联立可得：b+c=2,可得：b+c=2⩾2,(当且仅当b=c时等号成立)，可得：bc⩽1，∴S△ABC=bc sin A⩽×1×=.故答案为：.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.第三步：求结果.15. 函数f(x)=，假设正数a，b满足f(4a)+f(b-9)=0，那么的最小值为 ______. 【答案】【解析】由题意可知：f(x)=为奇函数且单调递增由f(4a)+f(b-9)=0可得：4a+ b-9=0即4a+ b=9，又a，b均为正数，∴∴的最小值为1故答案为：116. 函数f(x)=，假设对任意x R，f[f(x)]恒成立，那么实数a的取值范围是 ______.【答案】【解析】当a=0时,函数f(x)=2x+1,f[f(x)]=4x+3，不满足对任意x∈R,f[f(x)]⩾0恒成立，当a>0时,f(x)⩾=1−，解a−+1⩾0得：a⩽,或者a⩾，故a⩾，当a<0时,f(x)⩽=1−，不满足对任意x∈R,f[f(x)]⩾0恒成立，综上可得：a⩾故答案为：a⩾三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17. 命题p：和命题q：方程有两个不等的负实根，假设p∨q为真，p∧q 为假，务实数c的取值范围.【答案】c<0 或者【解析】试题分析：假设p或者q为真命题，p且q为假命题，那么p与q一真一假．进而可得满足条件的c的取值范围．试题解析：由不等式p：<1，得c<0或者c>l，所以命题-p：0<c<1又由题意可得 c> ，得命题q:c>所以命题-q：c .由题知：p和q必有一个为真，一个为假当p真q假时，c<0当q真p假时，故的取值范围是：c<0或者 .18. 设数列{}的前n项和为，且，(n N+).〔1〕求数列{}的通项公式；〔2〕假设，求数列{}的前n项和.【答案】〔1〕；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意得：当时，，①，②，①-②得，，易知：数列{}是等比数列，从而得到数列{}的通项公式；(2)利用错位相减法求数列{}的前n项和.试题解析：〔1〕当n=1时，，当时，，①，②，①-②得，，又，所以，所以数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，所以.〔2〕由〔1〕得，所以，①，，②，①-②得，，，所以点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n〞与“qS n〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“S n－qS n〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19. 动点P(x,y)(其中y)到x轴的间隔比它到点F(0,1)的间隔少1.(1)求动点P的轨迹方程；(2)假设直线l：x-y+1=0与动点P的轨迹交于A、B两点，求△OAB的面积.【答案】(1)；〔2〕【解析】试题分析：(1)由题意易得：|y|+1=|PF| 坐标化后化简即可得到动点P的轨迹方程；(2)联立方程，得到：，借助韦达定理表示△OAB的面积.试题解析：〔1〕由，|y|+1=|PF|即：，又∵，∴y=.〔2〕设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨令x1<0，x2>0，∵l：x-y+1=0过点F(0,1)，∴联立， x-y+1=0那么满足△>0，且x1-x2=∴20. 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-〔其中0x a，a为正常数〕，现假定消费量与销售量相等，消费该产品t万件还需投入本钱(10+2t)万元〔不含促销费用〕，产品的销售价格定为5+万元/万件.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【答案】〔1〕y=25-(+x)，〔， a为正常数〕;〔2〕当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当O<a<3时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．【解析】试题分析：〔1〕利润为总销售所得减去投入本钱和促销费用，得y=t(5+〕)﹣(10+2t〕﹣x=3t+10－x，又销售量t万件满足t=5－，整理化简可得y=25－〔+x〕；〔2〕将函数方程整理为对勾函数形式y =28－〔+x+3〕，利用根本不等式得到= x +3，即x =3时，得到利润最大值为。
2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期阶段性测试(二)数学试题
皖豫名校联盟2022-2023学年(上)高二年级阶段性测试(二)数 学一、选择题1.直线:20l x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A.5B.4C.3D.2答案：D解析：由题可知直线l 与两坐标轴的交点分别为(),()0,22,0-,所以该直线与两坐标轴围成的三角形的面积是12222⨯⨯=. 故选：D.2.已知在空间四边形ABCD 中,12CG CD =,则2BD BC AB ++=（ ） A.2AGB.2GCC.2BCD.12BC 答案：A解析： 因为12CG CD =.故G 为CD 的中点.如图,由平行四边形法则可得2BD BC BG +=. 所以2()2()2AB BD BC AB BG AG ++=+=.故选：A.3.已知圆229()(12)x y +++=关于直线10ax by ++=对称，且点(1,1)在该直线上，则实数a =（ ）A.3B.2C.2-D.3-答案：D解析：圆229()(12)x y +++=的圆心为(1,2)--.依题意,点(1,2)--在直线10ax by ++=上,因此210a b --+=.即21a b +=,又10a b ++=,所以3,2a b =-=.故选：D.4.已知点)1,2,()(5,8A B -,若过点()1,0C 的直线与线段AB 相交,则该直线的斜率的取值 范围是（ ）A.[]1,2-B.(),1][2,-∞-+∞C.(),2][1,-∞-+∞D.()(),12,-∞-+∞ 答案：B解析：过点C 的直线与线段AB 相交,20801,21151AC BC k k --==-==---,又该直线与x 轴垂直时.斜率不存在，所以该直线的斜率的取值范围是为(),1][2,-∞-+∞.故选：B.5.若圆229()1x y ++=与圆2224440x y mx m +-+-=有且仅有一条公切线,则实数m =（ ）A.1-B.1C.1±D.0答案：D解析：将2224440x y mx m +-+-=化为标准方程得2224()x m y -+=.即圆心为(2),0m .半径为2.圆22(1)1x y ++=的圆心为(0,)1-,半径为1.因为圆221()1x y ++=与圆2224440x y mx m +-+-=且仅有一条公切线.所以两圆的位置关系为内切,所以1=,即20m =.解得0m =.故选：D.6.在长方体1111ABCD A B C D -中,1112AB AD AA ===,则直线BC 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）B.23D.3 答案：C解析：以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则0()()()()1,0,0,0,2,0,0,0,0,,0,,1A C D D .∴(1,0,0)AD =-，(1,2,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-.设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则120,0,AC n x y AD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1y =，解得2,2x z ==，∴(2,1,2)n =. ∵||22|cos ,|,//133||||ADn AD n BC AD AD n ⋅〈〉===⨯⋅ ∴直线BC 与平面1ACD ,3AD n >=.故选：C.7.某公司要建一个以甲、乙、丙三地为顶点的大型三角形养鱼场，若甲、乙两地之间的距离为12 km ,且甲、丙两地的距离是乙、倍,则这个三角形养鱼场的面积最大是（ ）A.272 kmB.2C.278 kmD.2答案：B解析：以点,,A B C 分别表示甲、乙、丙地,以线段AB 的中点O 为原点,线段AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图,则)6,0,()(6,0A B -.设点,()C x y ,则|||AC BC =.=,整理可得22(18)288x y -+=.∴点C 的轨迹是以点(18,0)为圆心，为半径的圆除去与x 轴的交点后所得曲线.∴2)1122ABC ≤⨯⨯=.故选：B.8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点M 在C 上,点P 的横坐标为1-,点Q 的纵坐标为0,若MFQ MPF ≅,则||MF =（ ）A.4B.3C.D.2答案：A解析：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ,准线的方程为:1l x =-.因为点M 在C 上,设2(,)4y M y 由题可得||||||MF MP MQ ==.则MP l ⊥,即//MP x 轴,又因为MFQ MPF ≅. 所以MFQ 与MPF 均为等边三角形.不妨设0y >.则MF 所在的直线方程为1)y x =-.将2(,)4y M y 代入,得21)4y y =-.解得y =所以点M 的横坐标为3,||314MF =+=.故选：A.二、多选题9.已知空间中三点1,2,1,1,3)4()()(,1,2,,2A B C --,则（ ）A.向量AB 与AC 互相垂直B.与BC 方向相反的单位向量的坐标是(111111-C.AC 与BCD.BC 在AB答案：A 、B 、C解析：由已知可得(2,1,0),(1,2,1),(3,1,1)AB AC BC ==-=-.因为220AB AC ⋅=-+=. 所以AB 与AC 互相垂直,故A 正确；||11BC =所以与BC 方向相反的单位向量的坐标是3,1,1)(111111-=-,故B 正确；3216,||11,||6AC BC BC AC ⋅=++===,所以cos ,||||6AC BC AC BC AC BC ⋅〈〉===故C 正确；BC 在AB 上的投影向量的模为|||||BC AB AB ⋅==.故D 错误. 故选：ABC.10.已知曲线221():63x y k R k k C -=∈--,则（ ）A.若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则C 的焦距为B.若曲线C 表示椭圆,则k 的取值范围是(3,6)C.若2k =,则C 的焦点坐标是和()D.若5k =,则C 的渐近线方程为y =答案：A 、C解析：由题可得60,30k k ->->. 解得36k <<,则a b c ===则C 的焦距为正确；因为63k k ->-,若曲线C 表示椭圆,则6303k k k ->->⇒<.B错误；当2k =时,曲线22:14x C y +=.则224,1a b ==,则c ==C 的焦点坐标是和(,C 正确；当5k =时,曲线22:12y C x -=表示双曲线.则其渐近线方程为y =.D 错误.故选：AC.11.已知圆221()():214C x y ++-=与圆2222:4440()C x y x my m m R ++++=∈,则（ ）A.若圆2C 与x 轴相切，则2m =±B.若1m =,则圆1C 与圆2C 相交C.当12m =时, D.直线320kx y k -++=与圆1C 始终有两个交点答案：B 、D解析：由题可知圆222:224()()C x y m +++=.若圆2C 与x 轴相切.则有|2|2m =.所以1m =±.故A 错误；当1m =时,034<==<,两圆相交,故B 正确； 当12m =时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为0y =,圆心1C 到直线0y =的距离为1,所以两圆的公共弦长为=故C 错误;直线320kx y k -++=过定点()3,2-,而22(32)(21)24-++-=<.故点()3,2-在圆1C 内部,所以直线320kx y k -++=与圆1C 始终有两个交点,故D 正确.故选：BD.12.已知椭圆22221(0):C x y a b a b+=>>的左顶点为A ,左、右焦点分别为12,F F ,点)M 在C 上,且直线AM 的斜率为33-,点P 是椭圆C 上的动点,则（ ）A.椭圆C 的离心率为2B.若||AP >,则点P 的横坐标的取值范围是()1,3-C.12PF PF ⋅的取值范围为[3,6]D.C 上有且只有4个点P ,使得12PF F 是直角三角形答案：C 、D解析：由題意可知直线AM 的方程为323y x --=-,令0y =,可得3x =-.则3a =,又椭圆C 过点M ,所以23419b+=,解得26b =.所以C 的方程为22196x y +=.设椭圆C 的半焦距为(0)c c >.则c =.椭圆C 的离心率为3c a =故A 错误;当点P 为椭圆C 的上下顶点时,||AP =,所以若||AP >,则点P 的横坐标的取值范围是(0,3],故B 错误;设000(,),||P x y y ≤则2200196x y +=,所以2200)916(y x =-，又12(F F则222212000000(1032)6)(PF PF x x y x y y ⋅=-+-=+-=-,因为0||y 所以20[0,6]y ∈.所以12[3,6]PF PF ⋅∈,故C 正确；分析可知，当点P 为椭圆C 的上下顶点时12F PF ∠最大.此时12F PF ∠为锐角,所以以点P 为直角顶点的12PF F 不存在,以点12,F F 为直角顶点的12PF F 分别有2个,所以C 上有且只有4个点P .使得12PF F 是直角三角形,故D 正确. 故选：CD.三、填空题13.已知空间向量(0,6,0),||1,|2|27a b a b ==+=,则a 与b 的夹角为 . 答案：23π 解析：由题可知||6a =.因为|2|27a b +=.所以22 443646cos ,428a a b b a b +⋅+=+⨯⨯〈〉+=, 所以1cos ,2a b <>=-，又,[0,]a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为23π. 14.已知椭圆22221(0):C x y a b a b+=>>的短轴长为126,,F F 是椭圆C 的两个焦点,点M 在C 上,若12||||MF MF ⋅的最大值为16,则椭圆C 的离心率为 .答案：4解析：因为122||||MF MF a +=,所以221212()16||||||||2MF MF MF MF a +⋅≤==(当且仅当12||||4MF MF ==时,等号成立).由题可知26b =,所以3b =.又222a b c =+,解得c =所以c e a ==. 15.已知直线)0(x y m m R ++=∈与圆22:9()2C x y +-=交于,A B 两点，则ABC 的面积的最大值为 .答案：92解析：圆22:9()2C x y +-=的圆心坐标为(0,2),半径3r =.由圆心到直线0x y m ++=的距离3d =<,解得22m --<<.直线0x y m ++=被圆截得的弦长为==所以ABC 的面积12S =⨯= 221(2)(2)9[9]2222m m ++⨯-+=，当且仅当22(2)(2)922m m ++-=, 即5m =-或1时取“=”.16.已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过点2F 且斜率为l 与双曲线C 的右支交于,P Q 两点,若1F PQ 是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 .答案：12- 解析：不妨设点P 在第一象限,双曲线C 的半焦距为()0c c >,因为l 与C 的右支有两个交点,C 的一条渐近线的斜率b a<则C 的离心率2e a =<.若1||||QF PQ =,根据双曲线的定义知12||||2QF QF a -=,所以22||||2||PQ QF PF a -==,所以1212||||24,||2PF a PF a F F c =+==.由题可知12120F F P ∠=︒,在12PF F 中,由余弦定理可得222116442222a a c a c =++⨯⨯⨯,整理得2230c ca a +-=,即230e e +-=,解得12e -=(负值舍去),此时2e <满足条件.若1||||PF PQ =, 则与上面的分析类似可得12||4,||2QF a QF a ==,在12QF F 中,1260F F Q ∠=︒.再出余弦定理求得12e =,此时2e >不满足条件.综上可得12e =. 四、解答题 17.已知在ABC 中,边BC 和AC 所在的直线方程分别为3100x y +-=和20x y +-=,边AB 的中点为17(,)22Q .(1)求点,A B 的坐标；(2)求BC 边上的中线所在的直线l 的方程.答案：见解析解析： (1)因为边AB 的中点为17(,)22Q ，设1122(,),(,)A x y B x y .则1122121220,3100,1,7,x y x y x x y y +-=⎧⎪+-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解得12121,2,3,4,x x y y =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩即)1,3,()(2,4A B -. (2)设边BC 的中点为G .由于边BC 和AC 所在的直线方程分别为3100x y +-= 和20x y +-=,所以两直线方程联立，解得4,2x y ==-,即C 点的坐标为(4,)2- 又B 点的坐标为(2,4),所以G 点的坐标为(3,1).又A 点的坐标为()1,3-，所以直线l 的方程为311(3)13y x --=---,即250x y +-=. 18.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,线段DB 的中点为F ,点G 在棱CD 上,且满足2CG GD =.(1)若E 为棱1CC 的中点,求证：1EF B C ⊥；(2)求直线1A F 与1C G 所成角的余弦值.答案：见解析解析：(1)如图,以D 为原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系Dxyz ,则10,2,1,2,2,2,0,2,()()()(0,1,)1,0E B C F .因为1(1,1,1),(2,0),2EF BC =--=--， 所以1(1,1,1)(2,0,2)2020EF BC ⋅=--⋅--=-++=. 所以1EF B C ⊥,故1EF B C ⊥.(2)由(1)中的坐标系及题意可知112()(),2,0,2,0,2,2(1,),(0,1,0,0)3F G A C . 因为114(1,1,2),(0,3),2A F C G =--=-- 所以11448(1,1,2)0,,24333()A F C G ⋅=--⋅--=-+=, 又113|2136,|||A C G F ==,111111,||||6A F G G G C A F C A F C ⋅>==故直线1A F 与 1C G 所成角的余弦值为239. 19.已知圆222:(3)(0)M x y r r -+=>过点)(0,4T ,且圆M 关于直线:10l x y --=对称的圆为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)若过点(4,4)P -的直线l '被圆C 截得的弦长为8,求直线l '的方程.答案：见解析解析：(1)由题可知(3,0)M .因为圆M 过点()0,4T .所以2223425r =+=.故5r =. 设M 关于直线l 的对称点C 的坐标为(),a b , 则310,221,3a b b a +⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得1, 2, a b =⎧⎨=⎩ 所以圆C的方程为22(1)(2)25x y -+-=.(2)因为过点 (4,4)P - 的直线l '被圆C 截得的弦长为8,故圆心(1,2)C 到直线l '的距离为3=. (i)当直线l '的斜率不存在时, 其方程为4x =, 满足题意；(ii)当直线l '的斜率存在时, 可设其方程为4(4)y k x +=-,即440kx y k ---=, 所以圆心(1,2)C 到l '的距离为3=, 解得34k =-. 综上所述, 直线l '的方程为4x =或3440x y ++=.20.已知抛物线2):0(2C y px p =>,直线20x y --=与抛物线C 相交于,A B 两点，且||AB =(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 的坐标为()2,4-,过抛物线焦点的直线l 交C 于,M N 两点,求PM PN ⋅的最 小值.答案：见解析解析：(1)设点,A B 的横坐标分别为,A B x x .由220,2,x y y px --=⎧⎨=⎩可得2(42)40x p x -++=.∴42,4A B A B x x p x x +=+=∴|||A B AB x x =-===解得2p =(负值舍去),∴抛物线C 的用程为24y x =. (2)设1122),,(),(M x y N x y .由题意知抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0), 直线l 的斜率不等于0,故可设直线l 的方程为1x ty =+,由24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩可得2440y ty --=,由根与系数的关系得12124,4y y t y y +==-,1212)2()()()(244PM PN x x y y ∴⋅=+++--12121212()6()2441x x x x y y y y =++++-++222212121212244164444()()y y y y y y y y =⋅++++-++ 221212121212()()()1[2]4416162y y y y y y y y y y =++-++-++ 2222(4)1[(4)8]441616816218(1)13162t t t t t -=+++--+=-+=-+,∴当1t =时,PM PN ⋅取得最小值, 且最小值为13.21.如图,在三棱锥P ABC -中,ABC 是斜边为AC 的等腰直角三角形，PAC 是边长为4的等边三角形,且4,PB O =为棱AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC .(2)问：在棱BC 上是否存在点M (不与棱BC 的端点重合),使得平面PAM 与平面PAC 的夹角为30︒？若存在,指出点M 的位置；若不存在,请说明理由.答案：见解析解析：（1）由题可知,AB BC AB BC ⊥=且4AC =.∴AB BC ==连接BO ,如图，则BO AC ⊥,且2BO =.∵PAC 是边长为4的等边三角形，∴4,PA PC AC PO AC ===⊥.且PO =从而有222PB PO BO =+,故PO OB ⊥.∵OB AC O =.∴PO ⊥平面ABC .(2)假设存在满足题意的点M .由(1)可知,可以O 为坐标原点,,,OB OC OP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则()(()()0,2,0,,0,2,0,2,0,0A P C B -.(2,2,0),(0,2,23),(2,2,0)BA PA BC =--=--=-.设(2,2,0),01BM BC λλλλ==-<<.则(2,2,0)(2,2,0)(22,22,0)AM BM BA λλλλ=-=----=-+设平面AMP 的法向量为(,,)n x y z =,则20,(22)(22)0,n PA y n AM x y λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩令1z =,得3((n λλ+= 易知平面PAC 的一个法向量为(1,0,0)m =.∵平面PAM 与平面PAC 的夹角为30︒,∴1)cos30|||||||m n m n λ+⋅︒=== 解得13λ=或3λ=(舍去), ∴点M在棱BC 的靠近点B 的三等分点处. 22.已知椭圆22221(0):E x y a b a b+=>>的左焦点为F ,左顶点为(),离心率为3. (1)求E 的方程；(2)若过坐标原点O 且斜率为()0k k ≠的直线l 与E 交于,A B 两点,直线AF 与E 的另一 个交点为C ,ABC,求直线AF的方程. 答案：见解析 解析： （1）设椭圆E 的半焦距为(0)c c >.因为椭圆E 的左顶点为(, 所以a =又离心率c e a ==, 所以1c =. 所以2222b a c =-=,所以E 的方程为22132x y +=.(2)由 (1)可知,左焦点F 的坐标为(1,0)-.当直线AF 垂直于x 轴时, 易知点A 的坐标为(1,-. 由椭圆的对称性知, 点,A B 关于原点O 对称,所以12212ABC AOC S S ==⨯⨯=,与题意不符. 所以直线AF 的斜率存在, 设其方程为1x ty =-. 由2236,1,2x x ty y ⎧⎨+==-⎩消去x 并整理得2223440()t y ty +--=. 设1122),,(),(A x y C x y ，则12122244,2323t y y y y t t -+==++,所以122|3|2y y t -===+. 因此1221231126||22325||AOC ABC t SOF y y S t ⋅+=-===+, 解得21t =, 即1t =±,所以直线AF 的方程为10x y -+=或10x y ++=.。
高二数学上学期第二次阶段性考试试题理试题
一中2021——2021学年上期第二次阶段性考试高二数学〔理科〕试卷本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，考试时间是是120分钟。
第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
〕 1．在等差数列{}n a 中,假设261,1a a ==-,那么4a = A ．1-B ．1C ．02．等差数列中,假设3456789420a a a a a a a ++++++=,那么210a a +等于A ．100B ．120C ．140D ．1603．以下命题正确的选项是A ．存在0x R ∈,使得00xe ≤的否认是:不存在0x R ∈,使得00x e>.B ．存在0x R ∈,使得2010x -<的否认是:任意0x R ∈,均有2010x ->.C ．假设3x =,那么2230x x --=的否命题是:假设3x ≠,那么2230x x --≠.D ．假设p q ∨为假命题,那么命题p 与q 必一真一假 4．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=间隔 的最小值是A ．43B ．75C ．85D ．35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且111a =-,466a a +=-,那么当n S 取最小值时,n 等于A ．6B ．7C ．8D ．96．函数()1ln f x x=的定义域为A. (](),42,-∞-+∞B. ()()4,00,1-C. [)(]4,00,1-D. [)()4,00,1-7．在ABC ∆中,3,4AB BC AC ===,那么AC 边上的高为ABC ．32D．8．假设实数,x y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9,那么实数m 等于A ．-2B ．-1C ．1D ．29．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,那么实数a 的取值范围为A ．(][),14,-∞-+∞ B ．(][),25,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞10．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,那么双曲线的方程为A.221520x y -= B. 221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -= 11．设,P Q 分别为圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点,那么,P Q 两点间的最大间隔是A．BC．7D．12．0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且函数()212sin sin 2x f x x +=的最小值为b ,假设函数()2864,041,42x bx x g x x πππ-+⎧⎪⎪⎨<≤=-<<⎪⎪⎩,那么不等式()1g x ≤的解集为 A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B．42π⎫⎪⎪⎣⎭C．42⎣⎦ D．,42π⎛⎝⎦第II 卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卷中横线上〕 13．不等式1x x≤的解集是_______________． 14．等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于 ．15．设命题:431p x -≤,命题()()2:2110q x a x a a -+++≤,假设p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,那么实数a 的取值范围是 ．16．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>相交于,A B ，假设M 是线段AB 的中点,那么椭圆C 的离心率为 ． 三、解答题〔本大题6小题，一共70分。
广东省佛山市南海区南海中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试数学试题
【详解】由 x²²+2 y -5 x0- = 可得， ( x -1)2 + y2 = 6 ，
所以圆心为 (1, 0) ，半径为 6 ， 故选:B. 2．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可.
【详解】当直线 x + ay + 2 = 0 与直线 ax + (a + 2) y +1 = 0 互相垂直时，
(1)求 BC 边所在直线的方程； (2) BC 边上中线 AD 的方程为 2x - 3y + 6 = 0 ，且 S△ABC = 7 ，求点 A 的坐标．
18．已知圆心为 M 的圆经过 O (0, 0) ， M1 (1,1) ， M2 (4, 2) 这三个点．
(1)求圆 M 的标准方程；
(2)直线 l 过点 P (0, 5) ，若直线 l 被圆 M 截得的弦长为 6，求直线 l 的方程．
2
）
试卷第31 页，共33 页
A．当 E 点运动时， A1C ^ AE 总成立 B．存在点 E 的位置，使得 BF // AE C．当 E 点运动时，四面体 ABFE 的体积不变 D．存在点 E 的位置，使得点 B 到 AE 的距离为 2 2
3
三、填空题
13．已知直线
l
经过点
A
(
-1,
0)
，且其一个方向向量为
广东省佛山市南海区南海中学 2023-2024 学年高二上学期
第二次阶段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．圆 x²²+2 y -5 x0- = 的圆心和半径分别为（ ）
高二数学上学期第二次段考试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校“庐巢六校联盟〞二零二零—二零二壹高二数学上学期第二次段考试题理〔含解析〕第一卷〔选择题60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕(3,1,4)A --，()3,5,10B -，那么线段AB 的中点M 的坐标为〔〕A.()0,4,6-B.()0,2,3-C.(0,2,3)D.()0,2,6-【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求解即可. 【详解】解：因为点(3,1,4)A --，()3,5,10B -，线段AB 的中点M 的坐标为()0,2,3-，应选：B.【点睛】此题考察中点坐标公式，是根底题.210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么实数a =〔〕A.1B.2-C.23-D.13-【答案】B 【解析】 【分析】由直线的垂直关系可得()112a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解方程可得结果.【详解】直线210ax y ++=的斜率为2a -， 直线20x y +-=的斜率为1-，直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，()112a ⎛⎫∴-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2a =-，应选B. 1〕1212||l l k k ⇔=；〔2〕12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.3.在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么() A.M 一定在直线AC 上 B.M 一定在直线BD 上C.M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上D.M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 【答案】A 【解析】如图，因为EF∩HG=M， 所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.选A.点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公一共点，再确定直线是这两个平面的交线。
高二数学上学期第二次阶段考试试题 理 试题
智才艺州攀枝花市创界学校惠来一中2021--2021年度高二第一学期第二次阶段考数学试题〔理科〕本套试卷分第I卷〔选择题〕、第II卷〔非选择题〕两局部。
一共150分，考试时间是是120分钟。
本卷须知：1、2、必须用黑色字迹钢笔或者签字笔答题，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求答题之答案无效。
一、选择题[]{}2=12230M N x Z x x M N=∈--<⋂=，，，则()A．[1，2] B．(－1，3) C．{1} D．{l，2}2.〕A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数3.“12m=〞是“直线(2)310m x my+++=与直线(2)(2)30m x m y-++-=互相垂直〞的〔〕A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4.程序框图如右图所示，当12=13A时，输出的k的值是〔〕A.11B.12C.13D.14ABC ∆中，假设2sin cos sin()B A A B =+，那么ABC ∆的形状一定是〔〕A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形x 轴上，两条渐近线为12y x =±，那么双曲线的离心率e =〔〕 A ．5B ．5C ．52D ．54{}n a 中，0>n a ，且408321=++++a a a a ，那么54a a ⋅的最大值是()A.5B.10C.25D.508.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾,，初日织五尺，今一月织九匹三丈〔1匹=40尺，一丈=10尺〕，问日益几何？〞其意思为：“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织一样量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？〞假设一个月按30天算，那么每天增加量为〔〕 A ．12尺B ．815尺C ．1629尺D ．1631尺 1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开场沿直线运动，经椭圆壁反射〔无论经过几次反射速度大小始终保持不变，方向相反，小球半径忽略不计〕，假设小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是是最短时间是的5倍，那么椭圆的离心率为〔〕A.13B.512- C.35D.23 10.某几何体的三视图如下列图，那么在该几何体的所有顶点 中任取两个顶点，它们之间间隔的最大值为〔〕 A ．3B ．6 C ．23D ．26x 的不等式0ax b +>的解集为(),1-∞，那么关于x 的不等式02bx ax ->+的解集为〔〕A ．()2,1-B ．()(),21,-∞--+∞ C.()2,1--D ．()(),21,-∞-+∞ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．假设以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，那么该椭圆的离心率e =〔〕 A ．38B.12C.58D.78二、填空题x 人，男老师y 人，假设x 、y 满足2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，那么该今年方案招聘老师最多_______人．14.椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，假设焦距为4，那么m 等于．15.p ：[2,3]x ∀∈，20x a -≥；q ：x R ∃∈，2220x ax a ++-=．假设p q ∧，那么实数a 的取值范围为．ABCD 中，45,60,150,24A B D AB BC ∠=︒∠=︒∠=︒==，那么四边形ABCD 的面积为．三、解答题17.〔本小题总分值是12分〕 等比数列{}n a 满足38a =，416a =，1n n b a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)假设n S 为数列{}n b 的前n 项和，试判断n ，n b ，n S 是否成等差数列；(3)记1+=n n nnb b ac ，求数列}{n c 的前n 项和n T ． 18.〔本小题总分值是12分〕 如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，//,AB DC AB AD ⊥,DCBA且11,2AD CD AA AB ====,侧棱1A A ⊥底面ABCD ，E 为棱1AA 的中点.(1)证明：11B C CE ⊥；(2)求点C 到平面11B C E 的间隔. 19.〔本小题总分值是12分〕我国是世界上严重缺水的国家，某为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进展了调查.通过抽样， 获得了某年100位居民每人的月均用水量〔单位：吨〕，将数据按照[0，0.5〕，[0.5，1〕，…，[4，]分成9组，制成了如下列图的频率分布直方图. 〔1〕求直方图中a 的值；〔2〕设该有30万居民，估计全居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； 〔3〕估计居民月均用水量的中位数. 20.〔本小题总分值是12分〕椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且椭圆的右顶点为(2,0)，离心率为12e =﹒ (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左右顶点分别为A ，B ，P 为椭圆C 上一动点，直线PA ，PB 分别交直线4x=于点D ，E ．试探究D ，E 两点纵坐标的乘积是否为定值？假设是定值，求出该定值；假设不是，说明理由． 21.〔本小题总分值是12分〕函数2()2x x af x b+=+．〔1〕当4a =，2b =-时，求满足()2x f x =的x 的值；〔2〕假设函数()f x 是定义在R 上的奇函数． ①存在[1,1]t ∈-，使得不等式22()(2)f t t f t k -<-有解，务实数k 的取值范围；②假设函数()g x 满足[]()()222x x f x g x -⋅+=-，假设对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，务实数m 的最大值．22．〔此题总分值是10分〕选修4-5：不等式选讲. 函数(),0.f x x m m =-<(1)当1m =-时，解不等式()()2f x f x x +-≥-；(2)假设不等式()(2)1f x f x +<的解集非空，求m 的取值范围.高二理科数学第一学期二阶考试参考答案： 一、选择题二、填空题 1018]4,1[]2 , ( --∞6．6-三、解答题17.解：(1)设等比数列的公比为q ，那么2131816a q a q ⎧=⎨=⎩………………1分那么122a q =⎧⎨=⎩……………………3分 数列{}n a 的通项公式为2n n a =.………4分(2)由于12-=nn b 那么22212211--=---=++n n S n n n ………6分此时n n n nb n n n S 2222211=-=--+=+++………7分那么n ，n b ，n S 成等差数列………8分(3)由于121121)12)(12()12()12()12)(12(211111---=-----=--==+++++n n n n n n n n n n n n n b b a c ………10分 从而)121121()121121()121121()121121(1433221---++---+---+---=+n n n T ………11分12221211111--=--=+++n n n ．………12分 18.【解析】〔1〕由题易知侧棱1CC ⊥平面1111A B C D ，11B C ⊂平面1111A B C D ，111CC B C ∴⊥.〔1分〕1AD CD ==，12AA AB ==，且E 为棱1AA 的中点，1111B E BC EC ∴==〔3分〕 那么2221111B EB C EC =+，1190,B C E ∴∠=即111B C C E ⊥.〔4分〕又11,CC C E ⊂平面1CC E ，111CC C E C =，11B C ∴⊥平面1CC E .〔5分〕又CE⊂平面1CC E ，11B C CE ∴⊥.〔6分〕〔2〕解法一：由〔1〕知，111111122B C ESB C EC ∆=⋅==，1111113B CC E CC E V B C S -∆=⋅.〔7分〕取1CC 的中点M ，连接EM ，设点C 到平面11B C E 的间隔为d .11,CE C E EM CC =∴⊥，〔8分〕1112,33B CC E V -∴==〔9分〕11111.36C B C E B C E V d S -∆=⋅=〔10分〕由1111C B C EB CC E V V --=23=，解得3d =.∴点C 到平面11B C E .〔12分〕解法二：由〔1〕知11B C ⊥平面1CC E 及11B C ⊂平面11B C E ，∴平面11B C E ⊥平面1CC E .在平面1CC E 内作1CHEC ⊥交1EC 于H ，那么CH ⊥平面11B C E ，即CH 之长为点C 到平面11B C E 的间隔.〔8分〕 取1CC 的中点M ，连接EM ，由1CEC E =，知1EM CC ⊥，EM ∴===〔9分〕由等面积法，得11222633EM CC CH EC ⋅⨯===，∴点C 到平面11B C E 的间隔为263.〔12分〕19.解：〔1〕由频率分布直方图，可知：月用水量在[]0,05.的频率为0.080.5=0.04.⨯………2分同理，在[)(][)[)[)[)0.5,1 1.5,222.53,3.5 3.5,44,4.5，，，，，，等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.………4分由()10.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.020=0.5+0.5a a -⨯⨯，解得0.30.a =………5分〔2〕由（1）得，100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.………6分由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为3000000.13=36000.⨯………8分〔3〕设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.040.080.15+0.21+0.250.730.5++=>， 而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以2 2.5.x <………9分由()0.5020.50.48x ⨯-=-，解得 2.04.x =………11分故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.………12分20.解：〔1〕设椭圆E 的方程为222210)x ya b a b +=>>（,由得：212a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩………1分 21a c =⎧∴⎨=⎩………2分2223b a c ∴=-=………3分∴椭圆E 的方程为22143x y +=…………4分〔2〕由〔1〕可知A 〔﹣2，0〕，B 〔2，0〕，…………5分设P 〔x 0，y 0〕，那么直线PA 的方程为y=〔x+2〕①，…………6分直线PB 的方程为y=〔x ﹣2〕②．…………7分将x=4代入①②，可得y D =，y E =，…………8分∴y D •y E =•=，…………10分∵P 〔x 0，y 0〕在椭圆上，∴=﹣〔﹣4〕，…………11分∴y D •y E ==﹣9∴D ，E 两点纵坐标的乘积是定值﹣9．…………12分21.解：〔1〕因为4a =，2b =-，所以24222x x x+=-，化简得2(2)3240x x -⋅-=………………1分 解得()2124xx =-=舍或，…………………3分所以2x =．………………4分〔2〕因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以22022x x x x a ab b--+++=++，化简并变形得：()(22)220xxa b ab -++++=． 要使上式对任意的x 成立，那么010a b ab +=+=且，解得：1111a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩或，因为()f x 的定义域是R ，所以11a b =⎧⎨=-⎩舍去，所以1,1a b =-=，所以()2121x x f x -=+．…………………………………5分① ()21212121x x xf x -==-++． 对任意12,x x ∈R ，12x x <有：12212112222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++．因为12x x <，所以12220x x -<，所以()()12f x f x <，因此()f x 在R 上递增．………………………………………6分因为22()(2)f t t f t k -<-，所以222t t t k -<-，即2kt t <+在[1,1]t ∈-时有解．当[1,1]t ∈-时，2max ()2t t +=，所以2k<．…………………………8分②因为[]()()222x x f x g x -⋅+=-，所以()22x x g x -=+(0x ≠)，………9分所以()222222(22)2x x x x gx --=+=+-．不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立， 即2(22)222)10(xx xxm --+-+-⋅≥， 令22x x t-=+，2t >，那么8m t t+≤在2t >时恒成立．………………10分 因为2t>，由根本不等式可得：8t t+≥，当且仅当t =时，等号成立．所以m ≤m的最大值为12分 22.【解析】〔1〕当1m =-时，()()11f x f x x x +-=++-，设()2,1,112,11,2,1,x x F x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩当1x <-时，22x x -≥-，解得2x ≤-；当11x -≤<时，22x ≥-，解得01x ≤<；当1x ≥时，22x x ≥-，解得1x ≥.综上，原不等式的解集为{}20x x x ≤-≥或.〔5分〕〔2〕()()22,0.f x f x x m x m m +=-+-<设()()()2g x f x f x =+，当x m ≤时，()223g x m x m x m x =-+-=-，那么()g x m ≥-；当2m m x <<时，()2g x x m m x x =-+-=-，那么()2m g x m -<<-； 当2m x ≥时，()232g x x m x m x m =-+-=-，那么()2m g x ≥-.那么()gx 的值域为,2m ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 由题知不等式()()21f x f x +<的解集非空，那么12m>-，解得2m >-， 由于0m <，故m 的取值范围是()2,0-.〔10分〕。
高二数学上学期第2次阶段检测试题 文 试题(共9页)
民族中学高二上学期第二次阶段(jiēduàn)考试试卷高二文科数学一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合要求的.1. 方程表示一个圆，那么〔〕A. B. C. D.2. 某商场想通过检查发票及销售记录的来快速估计每月的销售总额并采取如下方法：从某月发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后取出65号，115号，165号，…，将发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是( )A.抽签法B.随机数表法C.系统抽样法D.其他方式的抽样3. 抛物线的准线方程是〔〕A. B. C. D.4．某地区高中分三类，类一共有学生2000人，类一共有学生3000人，类一共有学生4000人，假设采取分层抽样的方法抽取900人，那么A类中的学生甲被抽到的概率为〔〕A． B． C． D．5. 十进制数89化为二进制的数为( )A. B.C. D.6. 程序框图如右图所示，其输出结果是( )A. 123B. 125C. 127D. 1297. 下面(xi à mian)四个命题中为真命题的是〔 〕 ：“假设，那么〞的逆否命题是“假设，那么〞；：是假命题，那么都是假命题； ：“〞的否认是“〞；：设集合，，那么“a M 〞是“〞的充分不必要条件.A. 1p 和2pB.2p 和3pC.3p 和4pD.1p 和3p8. 抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，那么与A 的互斥的事件为〔 〕A ．恰有两件次品B ．恰有一件次品 C.恰有两件正品 D ．至少两件正品9. 某工厂消费某种产品的产量(吨)与相应的消费能耗(吨HY 煤)有如下几组样本数据： x 3 4 5 6 y34数据的回归直线方程是〔 〕A.B. C. D.10. 设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，假如直线斜率为，那么〔 〕A.B.C.D.11. 如下图,设是半径为的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点,连接,那么弦MN 的长超过的概率为 ( ) A.B.C.D.12. 设双曲线的渐近线与抛物线相切，那么该双曲线的离心率(xīn lǜ)等于( )A. B． C. D.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分.13. 方程表示椭圆，那么的取值范围是_________.14. 一物体的运动方程为,那么其在= 时的瞬时速度为1.15. 圆与直线都相切，圆心在直线上，那么圆C的方程为_________.16. 正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，那么这个正三角形的边长为_________.三、解答题：本大题一一共6小题，满分是70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17. 〔10分〕在中，角，，所对边的长分别为，，，且．〔1〕证明：.∆AB的面积．〔2〕假设，求C18. 〔12分〕等差数列(děnɡ chā shù liè)中，〔1〕求{}n a的通项公式. 〔2〕设19.〔12分〕如图，是边长为2的正方形，⊥平面ABCD,,//且.〔1〕求证：平面⊥平面.〔2〕求几何体的体积.20. 〔12分〕为了考察培育的某种植物的生长情况，从试验田中随机抽取株该植物进展检测，得到该植物高度的频数分布表如下：〔1〕写出表中①②③④处的数据.〔2〕用分层抽样法从第、、组中抽取一个(yīɡè)容量为的样本，那么各组应分别抽取多少个个体？〔3〕在〔2〕的前提下，从抽出的容量为6的样本中随机选取两个个体进展进一步分析，求这两个个体中至少有一个来自第4组的概率．21. 〔12分〕根据以下条件求抛物线的HY方程.〔1〕抛物线的焦点是双曲线的左顶点.〔2〕抛物线的焦点在x轴上,直线与抛物线交于点,.22. 〔12分〕椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，且经过点〔1〕求椭圆C的方程.〔2〕假设直线经过椭圆C的右焦点，且与椭圆C交于两点，使得，，依次成等差数列，求直线l的方程.民族中学高二上学期第二次阶段考试试卷高二文科(w énk ē)数学答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACBBACDBADDC二、填空题 13. (—16,4)(4,24) 14.15.16.三.解答题17. 解：〔Ⅰ〕∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－(A ＋B )，sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B －2cos A sin B ， sin A cos B ＝3cos A sin B ，tan A ＝3tan B ．〔Ⅱ〕解法一：由正、余弦定理及sin A cos B ＝3cos A sin B ，得，化简代入c=2b=2得△ABC 为直角三角形, ∴的面积S △ABC ＝＝32． 解法二：由正弦定理知sin C ＝2sin B ，那么2sin(A －B )＝2sin B ，A ＝2B ， 代入tan A ＝3tan B 中整理得2tan B 1－tan 2B ＝3tan B ，解得tan B ＝33，B ＝30°，A ＝60°， ∴ABC 的面积S △ABC ＝＝32． 18. 解：〔I 〕设等差数列{a n }的公差为d ∵a 7=4，a 19=2a 9，∴解得，a 1=1，d=12∴= 〔II 〕∵==∴s n ===19.解：〔Ⅰ〕∵ ED⊥平面(píngmiàn)ABCD，AC平面ABCD，∴ ED⊥AC．…………2分∵ABCD是正方形，∴ BD⊥AC，…………4分∴ AC⊥平面BDEF．…………6分又AC⊂平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF．〔Ⅱ〕连结FO，∵ EF DO，∴四边形EFOD是平行四边形．由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO，∴四边形EFOD是矩形．…………8分方法一：∴∥ED，而ED⊥平面ABCD，∴FO⊥平面ABCD．∵ABCD是边长为2的正方形，∴由〔Ⅰ〕知，点A、C到平面BDEF的间隔分别是、，从而；方法二：∵平面EAC⊥平面BDEF．∴点F到平面ACE的间隔等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，且高．…………10分∴几何体ABCDEF的体积==2．…………12分20.解：(1)在①②③④处的数据分别是12，10，0.30，0.10.(4分)(2)抽样(chōu yànɡ)比为630，第3、4、5组中抽取的个体数分别是0.2×10＝×15＝×5＝1.(7分)(3)设从第3组抽取的2个个体是a、b，第4组抽取的3个个体是c、d、e，第5组抽取的1个个体是f，记事件A为“两个个体都不来自第4组〞，那么从中任取两个的根本领件为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，一共15个，且各根本领件等可能，其中事件A包含的根本领件有3个，故两个个体中至少有一个来自第4组的概率21. (1)双曲线方程化为-=1,左顶点为(-3,0).由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,所以p=6,所以方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p≠0),A点坐标为(m,-3).由抛物线定义得5=|AF|=|m+|.又(-3)2=2pm,所以p=±1或者p=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或者y2=±18x.22.解：〔1〕设椭圆C的方程为所以椭圆C的方程为………………4分〔2〕由于依次成等差数列，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为又解得；………………9分当直线(zhíxiàn)l的斜率不存在时，，，不合题意，所以，直线l的方程为………………12分内容总结。
高二数学上学期第二次段考试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校渝水区第一二零二零—二零二壹高二数学上学期第二次段考试题理〔含解析〕一､选择题:本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.0ab <，且0a b +>，那么以下不等式中正确的选项是〔〕A.110a b+< > C.22a b <D.a b >【答案】A 【解析】 【分析】把不等式0a b +>的两边同时除以负数ab 可得<0a b ab +，化简可得11+<0a b，从而得出A 正确，再用举反例说明其他选项错误．【详解】110,0,0,0a b a b ab ab a b++><∴<∴+<，故A 正确；当1,2a b =-=时，不满足B 、D 选项；当2,1a b ==-时，不满足C 选项，应选A ．【点睛】此题主要考察不等式与不等关系，不等式的根本性质的应用，属于根底题．ABC ∆中，假设sin 2sin cos A C B =，那么ABC ∆是〔〕A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边得2cos ac B =，由余弦定理化角为边得22b c =，得解.【详解】解：因为sin 2sin cos A C B =，由正弦定理sin sin a cA C=可得2cos a c B =，由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=可得，22222a c b a c ac+-=⋅，即22b c =，即b c =，即ABC ∆是等腰三角形， 应选C.【点睛】此题考察了正弦定理及余弦定理，重点考察了运算才能，属根底题.3.在5212-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的二项展开式中,x 的系数为()A.10B.-10C.40D.-40【答案】D 【解析】分析：先求出二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中x 的项的系数.详解：∵1r T +r5C=()522rx -r1-x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()512r r --r5·C 103r x -, ∴当1031r -=时,3r =.∴()35312--⨯35C 40⨯=-,应选D.点睛：此题主要考察二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.比较1C r n r rr n T ab -+=；〔可以考察某一项，也可考察某一项的系数〕〔2〕考察各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用.2902x x -≥-的解集是〔〕. A.[]3,3-B.[][)3,23,-⋃+∞C.[)[)3,23,-⋃+∞D.(](],32,3-∞-⋃【答案】C 【解析】 【分析】把分式不等式2902x x -≥-，转化为等价不等式组29020x x ⎧-≥⎨->⎩或者29020x x ⎧-≤⎨-<⎩，即可求解. 【详解】由题意，分式不等式2902x x -≥-，等价于29020x x ⎧-≥⎨->⎩或者29020x x ⎧-≤⎨-<⎩， 即3320x x x ≥≤-⎧⎨->⎩或或者332x x -≤≤⎧⎨<⎩，解得3x ≥或者32x -≤<，所以不等式的解集为[)[)3,23,-⋃+∞.应选C.【点睛】此题主要考察了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法，转化为等价不等式组，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.5.将3名老师和3名学生一共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会理论活动，那么每个小组恰好有1名老师和1名学生的概率为〔〕 A.13B.25C.12D.35【答案】B 【解析】 【分析】此题可以先计算出6人平均分成3个小组一一共有多少种可能，在计算出每个小组恰好有1名老师和1名学生有多少种可能，然后得出结果．【详解】将3名老师和3名学生一共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会理论活动，根本领件总数222642n 90C C C ==，每个小组恰好有1名老师和1名学生包含的根本领件个数111111332211m 36C C C C C C ==，所以每个小组恰好有1名老师和1名学生的概率为362905m p n ===，应选B ．【点睛】在计算概率题的时候，可以先算出一一共有多少种可能性，再算出满足题目所给条件的有多少种可能性，两数相除，即可得出结果．{}n a 是等差数列，首项10a >，23240a a +>，23240a a ⋅<，那么使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是()A.46B.47C.48D.49【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出a 23＞0，a 24＜0，进而a 1+a 46=a 23+a 24＞0，所以可得答案． 【详解】∵{a n }是等差数列，并且a 1＞0，a 23+a 24＞0，a 23•a 24＜0 可知{a n }中，a 23＞0，a 24＜0，∴a 1+a 46=a 23+a 24＞0 所以46146471474647()0,()022S a a S a a =+>=+<， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是46， 故答案为：A【点睛】等差数列的性质灵敏解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式．“巧用性质、减少运算量〞在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“根本量法〞并树立“目的意识〞，“需要什么，就求什么〞，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目的，往往能获得与“巧用性质〞解题一样的效果．7.设全集I=｛1，2，3，4，5，6｝，集合A ，B 都是I 的子集，假设A ⋂B=｛1，3，5｝，那么称A ，B 为“理想配集〞，记作〔A ，B 〕，问这样的“理想配集〞〔A ，B 〕一共有〔〕A.7个B.8个C.27个D.28个【答案】C 【解析】试题分析：由于交集是1,3,5，所以A,B 集合中都必有1,3,5；分情况讨论：1〕当A 有3个元素，那么B 有种选择；2〕当A 有4个元素，那么A 要从1，3，5外再挑一个，有3种，这时B 有种选择，总一共有种；3〕当A 有5个元素，那么A 从1，3，5之外再挑两个，有3种，这时B 有种选择，总一共有种；4〕当A 有6个元素，B 只有唯一一种可能；由分类计数原理得一共有：8+12+6+1=27种；应选Ｃ． 考点：分类计数原理．8.在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB 3=，sinC 66=，那么BCBD=〔〕 A.2 B.323【答案】A 【解析】 【分析】ABD ∆中，由余弦定理222cos 2AB AD BD A AB AD+-=可求cos A ，然后结合同角平方关系可求 sin A ，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AB BCC A=，可求BC 即得解. 【详解】由题意可设AB AD x ==，23BD =， ABD ∆中由余弦定理可得，2222222413cos 223x x xAB AD BD A AB ADx +-+-===， (0,)A π∈，22sin A ∴=sin C =， ABC ∆中，由正弦定理可得，sin sin AB BCC A=，=那么2BC BD ==， 应选A ．【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是纯熟应用根本公式. 9.如图，一栋建筑物AB的高为(30-m ，在该建筑物的正向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M 〔,,B M D 三点一共线〕处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，那么通信塔CD 的高为〔〕 A.30m B.60mC.D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合直角三角形的性质和正弦定理求解塔的高度即可. 【详解】作AE ⊥CD ，垂足为E ，那么： 在△AMC 中，AM =sin15AB︒，∠AMC =105°，∠ACM =30°，∴sin105AC =︒， ∴AC，∴CD+AC sin30︒=60m .此题选择B 选项.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或者余弦定理求解．(4)将三角形问题复原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.10.数列{a n }满足：a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，且a n －1＝2a n －a n ＋1(n≥2)，那么数列11n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前13项和为A.113B.－113C.111 D.－111【答案】B 【解析】 【分析】根据题干变形可得到数列{a n }为等差数列，再由等差数列的公式得到通项，最终裂项求和即可. 【详解】a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，可得数列{a n }为等差数列，设公差为d ，由a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，即为2a 1＋12d ＝－2， 解得d ＝2，那么a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －15.()()1111112152132215213n n a a n n n n -⎛⎫==- ⎪----⎝⎭， 即有数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前13项和为1211111113111191113⎛⎫-+-+⋯+-⎪----⎝⎭＝12×111313⎛⎫-⎪-⎝⎭＝－113.应选B.【点睛】这个题目考察的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 11.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，假设ABC 的面积为ABC 的周长的最小值为〔〕A. B.3+C. D.3+【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理进展边角互化,得到222a b cab +-=,根据余弦定理可得3Cπ=,再由面积公式得到12ab =,利用均值不等式可得c ≥,进而a b c c ++=+,即为关于c 的函数关系,从而解得周长的最小值.【详解】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=,1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=〔当且仅当c =时取等号〕,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =,()f c 单调递增,c ≥,应选C.【点睛】此题考察利用正弦定理边角互化,考察余弦定理的应用,考察均值不等式的应用,考察三角形中的最值问题.a n =2n +1,其前n 项和为T n ,假设不等式nlog 2(T n +4)-λ(n +1)+7≥3n 对一切n ∈N *恒成立,那么实数λ的取值范围为() A.λ3≤ B.λ4≤C.2λ3≤≤D.3λ4≤≤【答案】A 【解析】 【分析】先由等比数列前n 项和公式求出n T ，不等式用别离参数法变形，然后由根本不等式求得最小值．可得λ的范围．【详解】由题意24(12)2412n n n T +-==--，不等式nlog 2(T n +4)-λ(n +1)+7≥3n 为：(2)(1)73n n n n λ+-++≥，即2791311n n n n n λ-+≤=++-++，913331n n ++-≥=+，当且仅当911n n +=+即2n =时等号成立， 所以9131n n ++-+的最小值为3，3λ≤． 应选：A.【点睛】此题考察等比数列的前n 项和公式，考察不等式恒成立问题及根本不等式求最值．别离参数法是解决不等式恒成立问题常用方法．二､填空题:本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，那么AB BC ⋅=______．【答案】3- 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可.【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：12cosB ∴=, 故答案为3-【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能. 14.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数一共有个.〔用数字答题〕 【答案】300 【解析】题目要求得到能被5整除的数字，注意0和5的排列，分三种情况进展讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，根据分步计数原理得到结果． 解：①四位数中包含5和0的情况： C 31C 41〔A 33+A 21A 22〕=120．②四位数中包含5，不含0的情况： C 31C 42A 33=108．③四位数中包含0，不含5的情况： C 32C 41A 33=72．∴四位数总数为120+108+72=300． 故答案为300．ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos cos A aB C b c=++,2sin C B -的取值范围为__________.【答案】11,2⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】 【分析】用正弦定理化边为角，由两角差的正弦公式可得3A π=，23B C π+=2sin C B -化为一个角的一个三角函数形式，再由正弦函数性质求得取值范围． 【详解】由正弦定理，cos sin cos cos sin sin A a AB C b c B C==+++， ∴sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C B -=-，sin()sin()A B C A -=-，∵,,A B C 都是锐角，∴A B C A -=-，即2B C A +=，∴2,33A B C ππ=+=，∴62B ππ<<，23C B π=-， 22sin cos()2sin 3C B B B π-=--221cos sin sin )2sin sin 332B B B B B ππ=+-=-sin()3B π=-+，∵62B ππ<<，∴5236B πππ<+<，1sin()123B π<+<，11sin()32B π-<-+<-． 故答案为：1(1,)2--． 【点睛】此题考察正弦定理，考察两角和与差的正弦、余弦公式，考察正弦函数的性质．三角函数范围问题常用方法是利用三角函数恒等变形，化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数〔或者余弦函数〕的性质求得结论．1,0a b b +=>,那么19||||a a b+的最小值是_________. 【答案】5 【解析】由10b a =->得1a <，注意0a≠，分类01a <<和0a <分别求最小值，然后比较．【详解】由题意10b a =->得1a <，又0a≠，当01a <<时，911919(1)199a a b a b a b a b a b -+=+=+=+-19()()9a b a b=++-9117b a a b =++≥=，当且仅当9b a a b =，即13,44a b ==时等号成立． 当0a <时，19||||a a b +21919819911a a a a a a a a+=--=--+=+---， 记281()9a f a a a+=+-，22(21)(41)()()a a f a a a +-'=--， ∵0a <，∴，当102a -<<时，()0f a '>，()f a 递增，当12a <-时，()0f a '>，，()f a 递减，12a =-时，()f a 获得唯一的极小值也是最小值1()()52f a f ≥-=，综上，19||||a a b+的最小值是5. 故答案为：5．【点睛】此题考察求最值，考察用根本不等式求最值，考察用导数求函数的最值．对于含绝对值的代数式，常用方法是分类讨论，按a 的正负分类，其中01a <<时用根本不等式求最小值，0a <时用导数求最小值．只是最后要比较取其中最小的一个为答案．三､解答题:本大题一一共6小题,一共70分.解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤. 17.等差数列{an}的前n 项和为Sn ，等比数列{bn}的前n 项和为Tn ，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)假设a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式； (2)假设T3＝21，求S3. 【答案】〔1〕12n nb -=；〔2〕当q=4时,S 3=﹣6；当q=﹣5时，S 3=21．【详解】试题分析：()1设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d q ，，即可得到所求通项公式；()2运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得答案．解析：〔1〕设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， a 1=﹣1，b 1=1，a 2+b 2=2，a 3+b 3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q 2=5， 解得d=1，q=2或者d=3，q=0〔舍去〕， 那么{b n }的通项公式为b n =2n ﹣1，n∈N*；〔2〕b 1=1，T 3=21，可得1+q+q 2=21，解得q=4或者﹣5， 当q=4时，b 2=4，a 2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣〔﹣1〕=﹣1，S 3=﹣1﹣2﹣3=﹣6； 当q=﹣5时，b 2=﹣5，a 2=2﹣〔﹣5〕=7， d=7﹣〔﹣1〕=8，S 3=﹣1+7+15=21．,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩.(1)求目的函数2yzx =+的取值范围 (2)假设目的函数z =ax +2y 仅在点(-1,1)处获得最小值,求a 的取值范围. 【答案】(1)[-15,1];(2)4a > 【解析】 【分析】 作出可行域， 〔1〕利用2yzx =+的几何意义：表示点可行域内动(,)P x y 与定点(2,0)Q -连线的斜率，由图形可得；〔2〕作出直线:20l ax y+=，变形22a zy x =-+，直线向下平移，z 才减小，因此可得题中直线斜率2a-的范围． 【详解】〔1〕作出可行域，如图ABC ∆内部〔含边界〕，2yzx =+表示点可行域内动(,)P x y 与定点(2,0)Q -连线的斜率，11(1,1),(,)33A B ---，1011(2)QA k -==---，11315(2)3QB k -==----，∴115PQ k -≤≤， ∴1[,1]5z ∈-；〔2〕12,2ABAC k k =-=-，作直线:20l ax y +=，由于22a z y x =-+，向下平移直线l ，z 减小，而向上平行直线l ，z 增大，因此要使(1,1)A -是唯一最小值点，22a-<-，4a >． 【点睛】此题考察简单的线性规划中非线性目的函数的范围问题，考察最优解问题．非线性目的函数问题一般要进展转化，利用其几何意义求解．此题是利用斜率，对平方和形式要利用两点间间隔进展转化求解．)22nx-．〔1〕假设展开式中第二项系数与第四项系数之比为1:8，求二项展开式的系数之和． 〔2〕假设展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项． 【答案】〔1〕-1〔2〕180 【解析】 【分析】(1)先求出n 的值，再求二项展开式的系数之和；(2)根据求出n 的值，再求出展开式中的常数项． 【详解】(1)二项式)22nx-的展开式的通项为5221(2)(2)n r rn rr rr r nnTC x C x---+=-=-，所以第二项系数为1(2)n C -，第四项系数为33(2)n C -，所以13(2)188n n C C -=-，所以5n =.所以二项展开式的系数之和)52211-⨯=-.(2)因为展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式有11项，所以10.n = 令1050,22rr -=∴=. 所以常数项为2210(2)180C -=.【点睛】此题主要考察二项式展开式的系数问题，考察指定项的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.20.随着城地铁建立的持续推进，民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间是间隔t 〔单位：分钟〕满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p(t)〔单位：人〕与发车时间是间隔t 近似地满足以下函数关系：()()21800159,491800,915t t p t t ⎧--≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈.(1〕假设平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间是间隔t 的值． (2〕假设平均每趟地铁每分钟的净收益为6()7920100p t Qt-=-〔单位：元〕，问当发车时间是间隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．【答案】〔1〕t =4.〔2〕当发车时间是间隔为7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元. 【解析】 【分析】 〔1〕分段考虑()1500p t ≤的解；〔2〕净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应t 的范围内的最大值. 【详解】解:〔1〕9≤t ≤15时，1800≤1500，不满足题意，舍去.4≤t <9时，1800-15(9-t )2≤1500，即218610t t -+≥解得t舍)或者t≤9∵4≤t <9，t ∈N. ∴t =4.(2〕由题意可得4410(90)1520,49,2880100,915,t t t N tQ t t N t⎧-++≤<∈⎪⎪=⎨⎪-≤≤∈⎪⎩4≤t <9，t =7时，1520Q≤-=260(元)9≤t ≤15，t =9时，28801009Q ≤-=220(元) 答:(1)假设平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，发车时间是间隔为4min.(2)问当发车时间是间隔为7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元. 【点睛】处理函数的实际应用问题时，假设.ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分別为a ,b ,c ,且a sin A cos C +c sin A cos A =13c . (1)假设c =1,sin C =13,求ABC 的面积S ;(2)假设D 是AC 的中点,且cos B,BD,求ABC 的三边长. 【答案】(1)16;(2)6a b c ===. 【解析】 【分析】〔1〕正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式及诱导公式，得1sin sin sin 3A B C =，结合c =1,sin C =13,及正弦定理可得1ab =，从而可求得三角形面积；〔2〕由〔1〕1sinsin sin 3A B C =，再由cos B =得sin 5B =，代入后由正弦定理得,a c 关系，ABC ∆中用余弦定理可得,,a b c 的一个关系式，然后利用180ADB CDB ∠+∠=︒，分别应用余弦定理又可得,,a b c 的一个关系，联立后可解得,,a b c ． 【详解】〔1〕由正弦定理，1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=得： 21sin cos sin sin cos sin 3A C C A A C +=，又1sin 3C =，1c =即21sin(sin cos sin cos )sin sin()sin sin sin sin 3A A C C A A A C ABC C +=+===，∴21ab c ==，所以1111sin 12236ABCS ab C ∆==⨯⨯=．〔2〕∵cos B =，∴sin B=，由〔1〕1sinsin sin 3A B C =1sin 3A C =13c =，3a =．①设2AC x =，ADB α∠=，那么ABD ∆中，22262c x α=+-，CBD ∆中，22262a x α=++，两式相加得222252a c x +=+，②在ABC ∆中，2222242cos x a c ac B a c =+-=+，③由①②③联立，解得6xa c ===，2b x ==【点睛】此题考察正弦定理，余弦定理，考察两角和的正弦公式，三角形面积公式等等．其中用正弦定理进展边角关系转化在其中起了关键性的作用，但要注意正弦定理转换边角关系时，必须是关于边的齐次或者关于sin,sin ,sin A B C 的齐次式，否那么不能随意代换．{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设数列()21nn b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ；〔3〕数列{}n c 满足()1111n n c n N a n n *⎛⎫=--∈ ⎪+⎝⎭，假设对任意n *∈N ，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()120n c c c f x a +++≤-成立，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕2n na =；〔2〕()16232n n T n +=+-⨯；〔3〕91,80⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】 〔1〕将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-，令1n =，由11a S =可求出1a 的值，令2n ≥，由22nn S a =-得1122n n S a --=-，两式相减得出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出数列{}n b 的通项公式；〔2〕求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和nT；〔3〕利用分组求和法与裂项法求出数列{}n c 的前n 项和n M ，由题意得出()max n M ≤()max f x a -⎡⎤⎣⎦，判断出数列{}n c 各项的符号，得出数列{}n M 的最大值为4M ，利用函数()f x a -的单调性得出该函数在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1a --，然后解不等式1a --4M ≥可得出实数a 的取值范围. 【详解】〔1〕将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-.当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =； 当2n ≥时，由22nn S a =-得1122n n S a --=-， 上述两式相减得122nn n a a a -=-，得12n n a a -=，即12nn a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n n n a -=⨯=；〔2〕()()21212n n n b n a n =-⋅=-⋅，n *∈N ， 因此()123123252212n nT n =⨯+⨯+⨯++-⨯，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n nT n +=+-⨯；〔3〕11111111112121n nn n c n n a n n n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪+=--=-+ ⎪+⎝⎭⎭+⎝． 令n M 为{}n c 的前n 项和，那么12111111111111221112222321112n n n M n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-++-+++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭-1112n n =-+. 因为10c =，20c >，30c >，40c >，当5n ≥时，()()()12112112nn n nn n c n n n n +-=-=++⋅，令()12n n d n n =+-，()()()()1112212212n n nn n d d n n n n n ++⎡⎤⎡⎤-=++--+-=+-⎣⎦⎣⎦， 令1nn n x d d +=-，那么()()1122221222n n nn n x x n n ++⎡⎤⎡⎤-=+--+-=-⎣⎦⎣⎦，当5n ≥时，10n n x x +-<，此时，数列{}n x 为单调递减数列，512320n x x ≤=-<，那么10n nd d +-<，即1n n d d +<，那么当5n ≥时，数列{}n d 为单调递减数列，此时530320n d d ≤=-<，那么0n c <.因此，数列{}n M 的最大值为4411115280M =-=. 又11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()y f x a =-单调递增， 此时，函数()y f x a =-的最大值为1a --．因为对任意的n *∈N ，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()max maxn M f x a ≤-⎡⎤⎣⎦.所以11180a≤--，解得9180a≤-，因此，实数a的取值范围是91,80⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.【点睛】此题考察利用等比数列前n项和求数列通项，同时也考察了错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题，解题时要充分利用数列的单调性求出数列的最大项或者最小项的值，考察化归与转化思想的应用，属于难题.。
2023-2024学年重庆市高二上学期第二次阶段考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年重庆市高二上册第二次阶段考数学模拟试题一、单选题1．已知()()3,2,5,1,,1a b y =-=- ，若a b ⊥，则y =（）A ．4B ．6C ．5D ．3【正确答案】A【分析】等价转化为0a b ⋅=,利用空间向量的坐标运算得到关于y 的方程，解之即可.【详解】由a b ⊥ 得0a b =，又∵()3,2,5a =- ，()1,,1b y =-，3125(1)280a b y y ⋅=-⨯+⨯+⨯-=-=,解得4m =,故选：A.2．过两点()1,1a a +-和(),a a 的直线的斜率为（）A ．aB ．1C ．a-D ．1-【正确答案】D【分析】利用两点间的斜率公式计算即可【详解】由()()1212111a ay y k x x a a---===--+-所以直线的斜率为：1-故选：D.3．若直线3290x y -+-=与直线5100x ay -+-=平行，则实数a 的值为()A ．103B ．103-C ．52D ．52-【正确答案】A【分析】根据“两直线平行，斜率相等”即可列式求解．【详解】若直线3290x y -+-=与直线5100x ay -+-=平行，则有352a=，解得103a =，经检验满足题设.故选：A ．4．已知{}n a 是等差数列，且8923a a =+，则7a =（）A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】B【分析】结合等差数列通项公式即可解决.【详解】设等差数列的公差为d ，由8923a a =+得，112(7)83a d a d +=++，则1763.a d a +==故选：B.5．2022年4月26日下午，神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（）A ．10秒B ．13秒C ．15秒D ．19秒【正确答案】D【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，结合等差数列的前n 项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =．故选：D.6．如图的平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 在1BB 上，点N 在1DD 上，且11111,23BM BB D N D D ==，若1MN xAB y AD z AA =++ ，则x y z ++=（）A ．17B ．16C ．23D ．32【正确答案】B【分析】利用向量的三角形法则，向量的运算性质即可得出.【详解】因为MN AN AM =- ，123AN AD AA =+ ，112AM AB AA =+，所以111211326MN AD AA AB AA AB AD AA =+--=-++ ，又因为1MN xAB y AD z AA =++，所以11,1,6x y z =-==.所以16x y z ++=.故选：B7．点(5,3)M 到抛物线2y ax =的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（）A ．2112x y =B ．2112x y =或2136x y =-C ．2136x y =-D ．212x y =或236x y=-【正确答案】D将2y ax =转化为21x y a=，分类讨论0a >和a<0两种情况，利用抛物线性质，列出关于a 的方程求解即可.【详解】将2y ax =转化为21x y a=,当0a >时，抛物线开口向上，准线方程14y a =-，点(5,3)M 到准线的距离为1364a+=，解得112a =，所以抛物线方程为2112y x =，即212x y =；当a<0时，抛物线开口向下，准线方程14y a=-，点(5,3)M 到准线的距离为1364a +=，解得136a =-或112a =（舍去），所以抛物线方程为2136y x =-，即236x y =-.所以抛物线的方程为212x y =或236x y =-故选：D易错点睛：本题考查求抛物线的标准方程，解题时要注意，已知抛物线方程，求它的焦点坐标，准线方程等，一定要注意所给方程是不是标准形式，若不是，一定要先转化为标准形式，然后根据标准形式的类型，确定参数p 的值及抛物线的开口方向等，然后给出结论.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段1BF 的中点，且12BF BF ⊥，则C 的离心率为（）AB ．2C 1D ．3【正确答案】B【分析】由题意可得12BF F △为直角三角形，再结合A 为线段1BF 的中点，可得AO 垂直平分1BF ，可表示出直线12BF BF ，，再联立渐近线方程可以得到a ，b ，c 的关系，进而得到双曲线离心率【详解】由题意可知，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A 为线段1BF 的中点，当交点在x 轴上方或x 轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.根据双曲线可得，1(,0)F c -，2(,0)F c ，两条渐近线方程b y x a=±， 12BF BF ⊥，O 为12F F 的中点，∴12BO OF OF c ===，又 A 为线段BF 1的中点，∴OA 垂直平分1BF，可设直线1BF 为()ay x c b =+①，直线2BF 为()b y x c a =--②，直线BO 为b y x a =③，由②③得，交点坐标(,)22c bc B a ，点B 还在直线1BF 上，∴()22bc a cc a b =+，可得223b a =，22224c a b a =+=，所以双曲线C 的离心率2ce a==，故选：B 二、多选题9．设双曲线C ：2221(0)3x y b b-=>的焦点为1F ，2F ，若点()2,1P 在双曲线C 上，则（）A ．双曲线C 的离心率为2B ．双曲线C 的渐近线方程为y x=±C ．12||||||PF PF -=D ．122PF PF ⋅=uuu r uuu r 【正确答案】BC【分析】根据给定条件，求出b ，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.【详解】依题意，24113b-=，解得b =，双曲线C ：22133y x -=的实半轴长a =半焦距c双曲线C 的离心率ce a==A 不正确；双曲线C 的渐近线方程为y x =±，B 正确；12||||||2PF PF a -==C 正确；1(F ，2F ，则12(2,1),2,1)PF PF =-=-uuu r uuu r，有12(2)(1)(1)1PF PF ⋅=--+-⋅-=-uuu r uuu r，D 不正确.故选：BC10．下列说法错误的是（）A ．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=必过定点()1,3B ．过点()2,3A --且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-C ．经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D ．已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为1322k -≤≤【正确答案】BCD【分析】A 选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B 选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C 选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D 选项计算出端点值后，由线段MN 与y 轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.【详解】A 选项，直线方程变形为(25)2370x y m x y +-+-+=，令2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1,3x y ==，即原直线必过定点(1,3)，A 正确；B 选项，当直线l 过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l 的方程为320x y -=，B 不正确；C 选项，当π2θ=时，tan θ无意义，故C 不正确；D 选项，直线10kx y k ---=经过定点(1,1)-，当直线经过M 时，斜率为1(1)1312k --==---，当直线经过N 点时，斜率为2(1)3312k --==-，由于线段MN 与y 轴相交，故实数k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥，D 不正确.故选：BCD.11．已知数列{}n a 的前n 项和()29n S n n n *=-+∈N ，则下列结论正确的是（）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值814【正确答案】AB【分析】由n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项，从而可判断AB ，根据数列性质可判断C ，根据前n 项和n S 的函数性质可判断D.【详解】当1n =时，118a S ==，当2n ≥时，2219[(1)9(1)]102n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-，符合18a =，故102,(N )n a n n *=-∈，所以1102(1)82n a n n +=-+=-，12n n a a +-=-，所以数列{}n a 是等差数列，首项为18a =，公差2d =-，A 正确；46520a a a +==，B 正确；因为公差20d =-<，所以数列{}n a 是递减数列，所以910a a >，C 错误；229819()24n S n n n =-+=--+，易知当4n =或5时，n S 有最大值4520S S ==，D 错误.故选：AB12．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：，C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点B 是短轴的一个端点，12BF F △1F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点（P ，Q 不在x 轴上），则（）A ．椭圆C 离心率为12B ．2PQF 的周长为定值8C ．PQ 的长度最小值为3D ．12PF F △的面积最大值为【正确答案】ABC【分析】根据12BF F △c 、b ，利用222a b c =+求出a ，再由ce a=可判断A ；由2PQF 的周长为22124a F F F P F P Q Q +++=可判断B ；设()()1122,,,P x y Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式PQ =241134t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，根据2344t +≥得出241134t ⎛⎫- +⎝⎭的范围可判断C ；设()11,P x y ，12PF F △的面积为11122c y y ⨯=⨯，当1y 最大时12PF F △面积最大可判断D.【详解】已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：，C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点B 是短轴的一个端点，对于A ，因为12BF F △b =，122c b ⨯⨯=即c =，解得1c =，b =所以2224a b c =+=，2a =，所以椭圆C 离心率为12c e a ==，故A 正确；对于B ，2PQF 的周长为22221248P P F F F F F F Q P Q P Q Q a ++=+++==，故B 正确；对于C ，根据A 可得()11,0F -，设()()1122,,,P x y Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =-，椭圆方程为22143x y +=，联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()2234690t y ty +--=，所以21212269,4433t y y t y t y -+==++，PQ =241341t ⎛⎫=- +⎝⎭，因为2344t +≥，所以2031144t -≤-<+，即23414134t ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭，故C 正确；对于D ，设()11,P x y ，根据A 可得1c =，b =则12PF F △的面积为11122c y y⨯=⨯，当1y b ==12PF F △D 错误.故选：ABC.三、填空题13．若双曲线221y x m-=的焦距为6，则实数m =__________．【正确答案】8【分析】1,a b m =1c m =+216m +，解出即可.【详解】双曲线221(0)y x m m-=>的1,a b m =1c m =+由焦距为6，可得216m +=，解得8m =.故8.14．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为22，则m =______．【正确答案】1根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d ，利用点到直线的距离公式可得122m d +==，解可得m 的值，即可得答案.【详解】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r =，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为22则圆心到直线l 的距离422d =-=，圆心到直线l 的距离231112m m d -++==+则有212m +=1m =或-3（舍），故1m =，故1．思路点睛：涉及直线与圆相交的弦长问题，主要是利用垂径定理，即圆心到直线的距离、弦长的一半以及圆的半径构成直角三角形来解.15．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，()*11N ,2n n n a a a n n -+=+∈≥，则2022a =__________．【正确答案】2-【分析】先由递推关系式推得{}n a 是周期数列，从而利用数列的周期性即可求得2022a .【详解】因为()*11N ,2n n n a a a n n -+=+∈≥，所以12n n n a a a ++=+，两式相加，得120n n a a -++=，则()*21N ,2n n a a n n +-∈-≥=，即()*3N n n a a n +=-∈，所以()*63N n n n a a a n ++=∈=-，故{}n a 是周期为6的周期数列，又11a =，23a =，213a a a =+，故3212a a a =-=，所以202233666632a a a a ⨯+===-=-.故答案为.2-16．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，其左焦点为F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点N ，且与另一条渐近线交于点M ，若MN NF =，则双曲线的渐近线方程为__________.【正确答案】y =【分析】求双曲线的渐近线方程转化为求MOE ∠，利用FM ON ⊥和双曲线的两条渐近线关于y 对称，可得FON MOE NOM ∠=∠=∠，即可求出答案.【详解】因为MN NF =，所以N 是FM 的中点，因为FM ON ⊥，所以ON 垂直平分FM ，所以FON NOM ∠=∠，因为双曲线的两条渐近线关于y 对称，所以FON MOE ∠=∠，因为180FON MOE NOM ∠+∠+∠=︒，所以60FON MOE NOM ∠=∠=∠=︒，所以双曲线的渐近线方程为tan 60y x =±︒=.故y =四、解答题17．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，60a =，376a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若0n S <，求n 的最小值.【正确答案】(1)318n a n =-+(2)12【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；（2）在第一问的基础上，求出n S ，得到不等式，求出11n >，结合*n ∈N ，得到n 的最小值.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为60a =，所以()()3766326a a a d a d d +=-++=-=.解得3d =-.所以()66318n a a n d n =+-=-+.（2）131815a =-+=，所以()215318333222n n n S n n +-+⋅⎡⎤⎣⎦==-+.令0n S <，得2333022n n -+<，解得：11n >（0n <舍去）.因为*n ∈N ，所以n 的最小值是12.18．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，π2BAC ∠=，,,D E F 分别是11A B ，1CC ，BC 的中点．(1)求证：AE DF ⊥；(2)求AE 与平面DEF 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)7014【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示即可证得线线垂直；（2）结合（1）中结论，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥面ABC ，又,AB AC ⊂面ABC ，故11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为π2BAC ∠=，所以AB AC ⊥，则1AA ,AC,AB 两两垂直，故以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()000201110012A ,,,E ,,,F ,,,D ,,，故()()201102AE ,,,DF ,,==- ，所以2020AE DF ×=+-=，所以AE DF ⊥ ，故AE DF ⊥..（2）由（1）得，()()201102AE ,,,DF ,,==- ,()211DE ,,=-- ，设平面DEF 的一个法向量为(),,m x y z = ，则2020DF m x z DE m x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令1z =，则2,3x y ==，故()2,3,1m = ，设AE 与平面DEF 所成角为θ，则sin cos ,14AE m AE m AE mθ⋅=== ，所以AE 与平面DEF所成角的正弦值为14.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()*4211Νn n S n a n =++∈．(1)求1a ，2a ；(2)求数列{}n a 的通项公式．【正确答案】(1)11a =；23a =(2)()*21Νn a n n =-∈【分析】（1）将=1n ，=2n 分别代入()()*4211Νn n S n a n =++∈中即可求得1a ，2a ；（2）利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列的递推关系，再由累乘法求得通项公式n a ，要注意1a 的验证．【详解】（1）依题意有1114431a S a ==+，得11a =，又()12224451a a S a +==+，得23a =；（2）因为()4211n n S n a =++，所以当2n ≥时，()114211n n S n a --=-+，两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--，化简得()121223n n a n n a n --=≥-，所以()12112121233121223251n n n n n a a a n n a a n n a a a n n -----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-≥-- ，又11a =满足上式，所以()*21Νn a n n =-∈．20．已知抛物线()220y px p =>的顶点为O ，焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线方程；（2）过点()1,0且斜率为1的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，求线段PQ 的值．【正确答案】（1）22y x =．（2）（1）由题得122p =，解之即得抛物线的方程；（2）设直线l 方程为1x y =+，利用弦长公式求解.【详解】解：（1）∵22y px =焦点坐标为,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴122p =，1p =，∴抛物线的方程为22y x =．（2）设直线l 方程为1x y =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立212x y y x=+⎧⎨=⎩消元得2220y y --=，∴120∆=>，122y y +=，122y y =-，∴21211PQ y y =+-()221212114y y y y =+⋅+-()()221124226=+⋅-⋅-=．∴线段PQ 的值为26．本题主要考查抛物线方程的求法，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.21．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD ∥BC ，1242AB AD AB AD BC PA ⊥====，，，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =(1)求证：DE ⊥平面PAC ；(2)求二面角A PC D --的余弦值；(3)设Q 为棱CP 上的点（不与C 、P 重合），且直线QE 与平面PAC求CQ CP的值.【正确答案】(1)证明见解析(3)23【分析】（1）以A 为原点，AB AD AP 、、所在的直线为z x y 、、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得0DE AP ⋅= ，0⋅= AC DE ，再由线面垂直的判定定理可得答案；（2）求出平面PAC 、平面PCD 的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；（3）设()01λλ=<<CQ CP ，利用λ= CQ CP 可得()22,44,4λλλ--Q，再由cos ,5⋅==⋅ QE DE QE DE QE DE可得答案.【详解】（1）以A 为原点，AB AD AP 、、所在的直线为,,z x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,1,0E ，()0,2,0D ，()2,4,0C ，()2,0,0B ，()004P ,,，所以()2,1,0=- DE ，()2,4,0= AC ，()0,0,4= AP ，所以0DE AP ⋅= ，440=-=⋅ D A E C ，所以DE AP ⊥，DE AC ⊥，且AP AC A ⋂=，所以DE ⊥平面PAC .（2）由（1）知，DE ⊥平面PAC ，()2,1,0=- DE 是平面PAC 的一个法向量，且()0,2,4=- PD ，()2,4,4=- PC ，，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，所以00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ PD n PC n ，即2402440y z x y z -=⎧⎨+-=⎩，令1z =，则2,2x y =-=，所以()2,2,1=- n，cos ,⋅== DE n DE n DE n由图二面角A PC D --的平面角为锐角，所以二面角A PC D --.（3）由（1）得()2,4,0C ，()004P ,,，()2,1,0E ，()2,4,4=--CP ，设()01λλ=<<CQ CP ，则()2,4,4λλλλ==-- CQ CP ，可得()22,44,4λλλ--Q ，所以()2,34,4λλλ=-+- QE ，()2,1,0=- DE 是平面PAC 的一个法向量所以cos ,⋅=⋅ QE DE QE DE QEDE 5=，解得23λ=.所以23CQ CP =.22．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点)F ，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点.O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值.【正确答案】（1）22186x y +=（2）最大值（1）根据通径22b a=c =（2）设直线MN 方程为2x my =+，联立椭圆，利用OAM OAN OMAN S S S =+ 四边形，用含m 的式子表示出OAM OAN OMAN S S S =+ 四边形，用t =换元，可得OMAN S t t==+四边形，最后用均值不等式求解.【详解】解：（1）依题意有c =a =b ，所以椭圆的方程为22186x y +=.（2）设直线MN 的方程为2x my =+，联立221862x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()223412120m y my ++-=.所以1221234m y y m -+=+，1221234y y m -=+.所以12121122OAM OAN OMAN S S S y =+=⨯+⨯=- 四边形234m ===+.令t，则t≥所以222OMAN S t t t ==++四边形，因t则2t t +≥，所以OMAN S ≤四边形当且仅当t =，即0m =时取得等号，即四边形OMAN 面积的最大值考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.。
高二数学上学期第二次阶段性测试试题
智才艺州攀枝花市创界学校吴江平望二零二零—二零二壹第一学期第二次阶段性测试高二数学试卷〔总分值是：160分，考试时间是是：120分钟〕2021年12月一．填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．请把答案填写上在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．抛物线24y x =的焦点坐标是▲．2、双曲线22186x y -=的渐近线方程为▲.3、焦距为8，短轴长为6，且焦点在x 轴上的椭圆的HY 方程为▲.4．以()1,2-的圆的HY 方程为▲．5、假设椭圆11322=++-ky k x 的焦点在x 轴上，那么实数k 的取值范围是▲.6．正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是为▲．7、过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，假设AB ＝7，那么AB 的中点M 到抛物线准线的间隔为▲.8、棱长为1的正方体的外接球的外表积为▲． 9、直线04:=+-y x l 与圆2)1()1(:22=-+-y x C ，那么C 上各点到l 的间隔的最小值为▲.10．直线m ，n ，平面α，β，且α⊥m ，β⊂n①假设α∥β，那么n m ⊥；②假设⊥αβ，那么m ∥n ；③假设n m ⊥，那么α∥β；④假设m∥n ，那么⊥αβ▲.11、设F 1、F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点.假设双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且212AF AF =，那么双曲线的离心率为▲.12.椭圆22142x y +=内部的一点为1(1,)3A ，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，那么MA +的最小值为▲．13、椭圆)012222>>=+b a by a x （的两个焦点分别为21F F ，，短轴的一个端点为P ，假设21PF F ∠为钝角，那么椭圆离心率的取值范围为▲.14.椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为23，过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A B ，两点，假设2AF FB =，那么k =▲．二、解答题：本大题一一共6小题，一共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15.(此题总分值是14分)求适宜以下条件的双曲线的HY 方程： (1)焦点在x 轴上，2a =，离心率为32； (2)焦点的坐标为(5,0)，(5,0)-，渐近线方程为43y x =±. 16.(此题总分值是14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，且60ABC ∠=︒，又PAB ∆是等边三角形，E F ， 分别是AB PD ，的中点． (1)求证：AB ⊥平面PEC ；(2)求证：//AF 平面PEC . 17．〔此题总分值是14分〕 圆C ：224440xy x y +--+=，点(3,4)E ．〔1〕过点E 的直线l 与圆交与,A B 两点，假设AB =l 的方程；〔2〕从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点记为M ，O 为坐标原点，且满足PMPO =，求使得PM 获得最小值时点P 的坐标．18.(此题总分值是16分)有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如下列图.为保证平安，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5AB 为8米.(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否平安通过隧道？ 19.〔此题总分值是16分〕椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过点A (2,1)．假设P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴. 〔1〕求椭圆C 的方程〔2〕试判断直线PQ 的斜率是否为定值？假设是，求出该值；假设不是，请说明理由． 20、〔此题总分值是16分〕椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；〔3〕在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．吴江平望二零二零—二零二壹第一学期第二次阶段性测试高二数学试卷〔总分值是：160分，考试时间是是：120分钟〕2021年12月许建冬审核人：丁莉萍一．填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．请把答案填写上在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．抛物线24y x =的焦点坐标是▲．）（0,12、双曲线22186x y -=的渐近线方程为▲.y = 3、焦距为8，短轴长为6，且焦点在x 轴上的椭圆的HY 方程为▲.221259x y +=4．以()1,2-的圆的HY 方程为▲．3)2122=-++y x （）（5、假设椭圆11322=++-ky k x 的焦点在x 轴上，那么实数k 的取值范围是)1,1(-.6．正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是为▲．727. 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设AB ＝7，那么AB 的中点M 到抛物线准线的间隔为▲.8、棱长为1的正方体的外接球的外表积为▲．π3 9、直线04:=+-y x l 与圆2)1()1(:22=-+-y x C ，那么C 上各点到l 的间隔的最小值为2.10．直线m ，n ，平面α，β，且α⊥m ，β⊂n①假设α∥β，那么n m ⊥；②假设⊥αβ，那么m ∥n ；③假设n m ⊥，那么α∥β；④假设m ∥n ，那么⊥αβ．211、设F 1、F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点.假设双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且212AF AF =，那么双曲线的离心率为5.12.椭圆22142x y +=内部的一点为1(1,)3A ，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，那么MA +的最小值为▲．113、椭圆)012222>>=+b a by a x （的两个焦点分别为21F F ，，短轴的一个端点为P ，假设21PF F ∠为钝角，那么椭圆离心率的取值范围为▲.），（12214.椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为23，过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A B ，两点，假设2AF FB =，那么k =▲．二、解答题：本大题一一共6小题，一共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15.(此题总分值是14分)求适宜以下条件的双曲线的HY 方程： (1)焦点在x 轴上，2a =，离心率为32； (2)焦点的坐标为(5,0)，(5,0)-，渐近线方程为43y x =±. 15.解：(1)因为焦点在x 轴上，设双曲线的HY 方程为()222210,0x ya b a b -=>>，其中222c a b =+.--------2分由2a =及离心率32c e a ==得，3c =，所以22222325b c a =-=-=，-------5分 所以，所求双曲线的HY 方程为22145x y -=.---------------7分(2)由焦点的坐标为(5,0)，(5,0)-知双曲线的焦点在x 轴上，故设双曲线的HY 方程为()222210,0x y a b a b-=>>，且222=25c a b =+，①----9分 因为渐近线方程为43y x =±，所以43b a =，② 由①②得29a =，216b =，--------12分 所以，所求双曲线的HY 方程为221916x y -=.-----------14分 16.(此题总分值是14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，且60ABC ∠=︒，又PAB ∆是等边三角形，E F ， 分别是AB PD ，的中点． (1)求证：AB ⊥平面PEC ；(2)求证：//AF 平面PEC .16.(1)证明：连结AC .因为ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，且ABC ∆是等边三角形， 因为E 是AB 的中点，所以CE AB ⊥.PAB ∆是等边三角形，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，--------------------4分因为PECE E =，PE ⊂平面PEC ，CE ⊂平面PEC ，所以AB ⊥平面PEC ，-------------------7分 (2)证明：取PC 中点G ，连结FG EG ，.在PCD ∆中，F G ，分别为PD PC ，的中点，所以//FG CD 且12FG CD =， 又ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =， 从而//FG AE 且FG AE =，故四边形AEGF 是平行四边形，------------10分 所以//AF EG ，又因为AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， 所以//AF 平面PEC .---------------------14分 17.(此题总分值是14分) 圆C ：224440xy x y +--+=，点(3,4)E ．〔1〕过点E 的直线l 与圆交与,A B 两点，假设AB =l 的方程；〔2〕从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点记为M ，O 为坐标原点，且满足PMPO =，求使得PM 获得最小值时点P 的坐标．17、解：圆C 方程可化为22(2)(2)4x y -+-=〔1〕当直线l 与x 轴垂直时，满足AB =:3l x =．．．．．．．2分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为4(3)y k x -=-，即34y kx k =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为AB =1d==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由点到直线的间隔公式得1=解得34k=所以直线l的方程为3744y x=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以所求直线l的方程为3x=或者3744y x=+．．．．．．．．．．．．．．7分〔2〕因为PM PO=，PM=，PO=化简得1110y x+-=即点11(,)P x y在直线10y x+-=上，．．．．10分当PM最小时，即PO获得最小，此时OP垂直直线10y x+-=所以OP的方程为0y x-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分所以10y xy x-=⎧⎨+-=⎩解得1212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点P的坐标为11(,)22．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18．〔此题总分值是16分〕有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如下列图.为保证平安，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5AB为8米.(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否平安通过隧道？17、解：(1)建立如下列图的坐标系，设抛物线的方程为22(0)x py p=->，--------------2分根据题意，此抛物线经过点(5,5)--，代入抛物线方程解得52p=，所以抛物线的方程为25x y =-.---------------------6分在此方程中令4x =-，得165y =-，-------------------8分 因此，1670.5 3.35--=， 所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3米.----------------10分 (2)对于抛物线25x y =-，令 3.5x =，得4920y =-，-------------13分 因为4970.5 4.05 4.220--=<，所以，该车不能平安通过隧道.---------16分 19.椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过点A (2,1)．假设P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴. 〔1〕求椭圆C 的方程〔2〕试判断直线PQ 的斜率是否为定值？假设是，求出该值；假设不是，请说明理由．19.解：〔1〕因为椭圆C 的离心率为23，且过点A(2,1)，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+2222223114c b a acb a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2822b a 所以椭圆C 的方程为12822=+y x --------6分 〔2〕因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称． 设直线PA 的斜率为k ，那么直线AQ 的斜率为－k.所以直线PA 的方程为y －1＝k(x －2)，直线AQ 的方程为y －1＝－k(x －2)．设点),(),,(2211y x Q y x P ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-128)2(122y x x k y 得041616)816()412222=--+--+k k x k k x k （①因为点A(2,1)在椭圆C 上，所以x ＝2是方程①的一个根，那么22141416162k k k x +--=，所以22141288k k k x +--=同理22241288k k k x +-+= 所以222122141416,4116k k x x k k x x +-=++-=-又22121418)4(k kx x k y y +-=-+=-，所以直线PQ 的斜率212121=--=x x y y k PQ，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为21.---------16分 20、〔此题总分值是16分〕椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；〔3〕在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 20.〔此题总分值是16分〕解⑴由题意知c e a ==，所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．…4分⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =-①联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：0)116(432)142222=-+-+k x k x k （， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或者0k <<10分 ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，那么11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+， 将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．………………………………16分。
哈三中2023-2024学年度上学期高二学年第二次验收考试数学试卷
哈三中2023--2024学年度高二10月份阶段测试数学试题考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题,共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4.已知(1,0)F 为椭圆2219x y m+=的焦点，P 为椭圆上一动点，(1,1)A ，则||||PA PF +的最小值为（）A .6 B.1 C.6- D.6-7.已知点P 为圆221:(1)1C x y -+=上一动点，点Q 为圆2221:(4)()4C x y --+=上一动点，点R 在直线:10l x y -+=上运动，则||||PR QR +的最小值为（）A.3 B.3- C.3- D.28.已知M 为椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>上一点，12,F F 为左右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+，则椭圆的离心率e =（）A.14B.13C.12D.23二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．11.已知圆222:220y x x y M +---=，P 为直线220x y ++=上一动点，过P 作圆M的两条切线，切点分别为A B 、，则下列说法中正确的是（）A.PMB.直线AB 恒过定点(31,)55-C.PA PB ⋅的最小值为12- D.AB 的最小值为25512．已知圆1C ：222x y r +=，圆2C ：()()222x a y b r +++=（0r >，且a ，b 不同时为0）交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，下列结论正确的是（）A ．2211220ax by a b +++=B ．()()12120a x x b y y -+-=C ．12x x a +=-，12y y b+=-D ．若M ，N 为圆2C 上的两动点，且MN =，则OM ON + r 第Ⅱ卷（非选择题,共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．14.圆心在直线04=--y x 上，并且经过圆04622=-++x y x 与圆028622=-++y y x 的交点的圆的方程为.15.已知直线3y mx m =+和曲线y =有两个不同交点，则实数m 的取值范围是四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知在平面直角坐标系中的两点()()8,6,2,2A B -．（1）求线段AB 的中垂线的方程；（2）若直线l 经过点A ，且在两个坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.21.（12分）已知点(1,0)A -，(4,0)B -，动点P 满足||1||2PA PB =，设P 的轨迹为C .（1）求C 的轨迹方程；（2）若过点A 的直线与C 交于,M N 两点，求BM BN ⋅取值范围.22.（12分）如图所示，已知椭圆2219x y +=中()3,0A ，()0,1B ；P 在椭圆上且为第一象限内的点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N （1）求证：①AN BM ⋅为定值②PMN ∆与PAB ∆面积之差为定值（2）求MON ∆面积的最小值。
广东省佛山市第一中学2024-2025学年高二上学期第二次教学质量检测数学试题
广东省佛山市第一中学2024-2025学年高二上学期第二次教学质量检测数学试题一、单选题1．下列说法正确的有（）①随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．以()1,1A -为圆心，且经过点()1,2B 的圆的一般方程为（）A ．222270x y x y +-+-=B ．222270x y x y ++--=C ．222230x y x y +-+-=D ．222230x y x y ++--=3．两平行直线420mx y --=与34120x y --=之间的距离为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ．过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点．若2ABF △的周长为8，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2211615x y +=B ．22187x y +=C ．22143x y +=D ．22134x y +=5．椭圆221369x y +=的弦被点()2,2平分，则这条弦所在的直线的方程为（）A ．4100x y +-=B ．4100x y --=C ．44100x y -+=D ．4100x y --=6．点Q 为圆22420x y x y +-+=上的一个动点，则点Q 到动直线22y kx k =+-的距离的最大值为（）AB ．6CD ．77．圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形SAB ，O 为底面中心，AB 是底面的一条直径，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）.若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹的长度为（）AB ．32C ．3D 8．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若15AB =m ，6BC =m ，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角均为45︒，则该五面体的体积为（）A ．3126mB ．3117mC ．3108mD ．399m 二、多选题9．下列四个选项中，说法正确的有（）A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线260ax y ++=与直线()2110x a y a +-+-=互相平行，则1a =-C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为()()()()121211y y x x y y x x --=--D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．下面四个结论正确的是（）A ．空间向量(),,0a b a b ≠ ，若a b ⊥，则0a b ⋅= B ．对空间中四点,,,A B C D ，若存在点O ，使111632OD OA OB OC =++，则,,,A B C D 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D ．任意向量,,a b c满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G M N 、、、、均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A ．P 在BC 中点时，平面PEF ⊥平面GMNB ．异面直线EF GN 、所成角的余弦值为14C ．E F G M N 、、、、在同一个球面上D ．111112A P t A A A M t A B =+- ，则P 点轨迹长度为2三、填空题12．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.13．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m ,水面宽12m ,当水面下降1m 后,水面宽为m .14．已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点，椭圆C 1，P 是C 在第一象限上的一点.若12PF PF ⊥，则21cos PF F ∠=.四、解答题15．已知圆C 的圆心在直线320x y +-=上，且经过点()4,2E 和()2,0F .(1)求圆C 的标准方程；(2)过点()1,1A 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求.PQ16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F P 为C 上一点，12PF F 周长为2+，其中O 为坐标原点．(1)求C 的方程；(2)直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点，求OAB △面积的最大值．17．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为p ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为925．(1)求p 的值；(2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率；(3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．18．如图，已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上，下底面分别是边长为2和4的正方形，1A A =P 是棱11B C 上的动点（包括端点）．(1)证明：平面11A B C ⊥平面11ABB A ；(2)若平面11A B C 与平面PCD P 到平面11ABB A 的距离．19．已知点G 是圆T ：22(24x y +=上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，动点R 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若A 点坐标为()0,2，过点()0,1D -且斜率为k 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，直线1l 为过点D 且与AM 平行的直线，设1l 与直线52y =-的交点为Q ．证明：直线QN 过定点．。
2022-2023学年陕西省西安市高二上学期第二次考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年陕西省西安市高二上学期第二次考试数学（理）试题一、单选题1．“0m >”是“方程2212x y m+=表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据椭圆方程的定义即可判断结果．【详解】方程2212x y m +=表示椭圆的充要条件是0m >且2m ≠ 所以“0m >”是“方程2212x y m+=表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B2．命题“0x ∀>，有20x x ->”的否定是 A ．0x ∃>有20x x -≤ B ．0x ∃≤有20x x -< C ．0x ∀>有20x x -≤ D ．0x ∃≤有20x x -≤【答案】A【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题p ：∀x ＞0，2x x -＞0， 则它的否定是：∃x ＞0，20x x -≤． 故选A ．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 3．双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =± B ．49y x =± C ．94y x =±D ．32y x =±【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线22149x y -=得，224,9a b == ，即2,3a b == ， 所以双曲线22149x y -=的渐近线方程是32b y x x a =±=±， 故选：D ．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是b y x a =±；双曲线22221y x a b -=的渐近线方程是a y x b =±．4．过椭圆的右焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于A B ，两点，1F 为椭圆的左焦点，若1F AB 为正三角形，则椭圆的离心率为 A ．3 B ．33C ．23-D ．21-【答案】B【分析】由题意，由于1F AB ∆为正三角形，可得在12Rt AF F ∆中，有121222,23AF AF F F c AF ===，再结合椭圆的定义可得12223a AF AF AF =+=，再由椭圆离心率的公式，即可求解. 【详解】根据题意，如图所示，可得1F AB ∆为正三角形，可得在12Rt AF F ∆中，有121222,23AF AF F F c AF ===， 点A 在椭圆上，由椭圆的定义可得12223a AF AF AF =+=， 则该椭圆的离心率121233F F c c a AF AF ===+，故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中注意借助直角三角形的性质分析1212,,AF AF F F 之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中， AC 与BD 的交点为M .设11111,,,===A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c --+B ．1122a b c -++C ．1122a b c -+D ．1122a b c ++【答案】B【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD 代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c故选：B.6．已知A （3，2），点F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为（ ） A ．（0，0） B ．（2，2）C ．()1,2D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】设点P 到准线的距离为d ，根据抛物线的定义可知PA PF PA d +=+，即可根据点到直线的距离最短求出．【详解】如图所示：设点P 到准线的距离为d ，准线方程为12x =-，所以17322PA PF PA d AB +=+≥=+=，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，PA PF +取得最小值，此时点P 的坐标为()2,2． 故选：B ．7．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．3B ．9C ．92D ．12【答案】A【分析】结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义列方程，化简求得b 的值. 【详解】设12,PF m PF n ==, 依题意22221924m n a mn m n c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，整理得224364c a +=，即222244436,9,3a c b b b -====. 故选：A8．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB = AB ．6C ．12 D．【答案】C【详解】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB的方程为3)4y x -，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义得，12AB x x p =++=168312162+=，选C ． 【解析】1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．9．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是A ．OM OA OB OC =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++【答案】 D【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在,λμ使得AM AB AC λμ=+，由此得出正确选项.【详解】不妨设()()()()0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1O A B C .对于A 选项，()1,1,3OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标31>，故M 不在平面ABC 上，故A 选项错误.对于B 选项，()231,3,6OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标61>，故M 不在平面ABC 上，故B 选项错误.对于C 选项，111113,,222222OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标312>，故M 不在平面ABC 上，故C 选项错误.对于D 选项，11111,,133333OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标为1，故M 在平面ABC 上，也即,,,A B C M 四点共面.下面证明结论一定成立：由111333OM OA OB OC =++，得()()1133OM OA OB OA OC OA -=-+-，即1133AM AB AC =+，故存在13λμ==，使得AM AB AC λμ=+成立，也即,,,A B C M 四点共面.故选：D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】利用抛物线定义可得点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍，从而可得结果.【详解】解：依题意，得F （1,0），抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离， 因为点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，所以，点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍 设A 点横坐标为0x ，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1， 所以，｜AF ｜＝1－（－1）＝2 故选B【点睛】本题考查了抛物线定义，考查了数形结合的思想，属于基础题.11．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为.A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】C【详解】当P 是椭圆的上下顶点时,12F PF ∠最大, 121120180,6090,F PF F PO ∴︒≤∠<︒∴︒≤∠<︒12sin 60sin sin 90,F PF ∴︒≤∠<︒11,,1cF P a F O c a ==≤<则椭圆的离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭,故选C. 【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c 之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.12．已知P 为双曲线22143x y -=右支上的一点，12,F F 是该双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为A BC ．32D ．233【答案】B【详解】试题分析：设12PF F ∆内切圆的半径为r ，由双曲线的定义得12124,27PF PF F F -==，12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆===，由题意得1212111222PF r PF r F F r λ=+，所以1212427727PF PF F F λ-===. 故选 B.【解析】双曲线的简单性质.【思路点睛】设三角形12PF F ∆的内切圆的半径为r ，运用双曲线的定义和三角形的面积公式可得，124PF PF -=，和1212111222PF r PF r F F r λ=+，化简整理可得1212PF PF F F λ-=，即可得到所求值.本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率和定义的运用，同时考查三角形的面积公式的运用，运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．已知()1,2,1n =-为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=__________.【答案】32##1.5【分析】根据线面平行列方程，化简求得λ的值. 【详解】由于//l α，所以()()31,2,12,,12210,2n a λλλ⋅=-⋅-=-+-==. 故答案为：3214．抛物线2y ax =的焦点坐标为_____. 【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标.【详解】当0a >时，整理抛物线方程得21x y a=，即12p a =，由抛物线()220x py p =>的焦点为0,?2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所求焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭.当a<0时，同样可得. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：该题主要考查抛物线的性质，解题方法如下： （1）先将抛物线方程化为标准形式； （2）根据其性质得到其焦点坐标.15．以双曲线C ：()222103x y a a-=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为________． 【答案】3π【分析】根据双曲线方程可确定焦点坐标及渐近线方程，利用焦点F 到渐近线方程的距离为圆的半径，即可得圆的面积.【详解】解：双曲线()222103x y a a-=>的2223b c a ==-，则可设焦点F 为(),0F c ，渐近线方程为：y x =0ay ±=，则F==2π3π⨯=.故答案为：3π.16．已知1F ，2F 是椭圆C :22221x ya b+=（0a b >>）的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为_______. 【答案】14【解析】求得直线AP 的方程，根据题意求得P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率. 【详解】如图所示，由题意知：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --， 直线AP 的方程为)3y x a =+， 由12212120,2F F P PF F F c ∠===， 则(23)P c c 代入直线AP )332c c a =+， 整理得4a c =，∴所求的椭圆离心率为14c e a ==. 故答案为：14【点睛】本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题.三、解答题17．设抛物线()20y mx m =≠的准线与直线1x =的距离为8，求抛物线的方程．【答案】228y x =或236y x =-【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，列出关系式求解即可.【详解】抛物线()20y mx m =≠的准线为4m x =-， 由题意知，该直线与直线1x =的距离为8，即184m--=，解得28m =或36m =-. 当28m =时，抛物线的方程为228y x =；当36m =-时，抛物线的方程为236y x =-. 所以，抛物线的方程为228y x =或236y x =-.18．已知命题p ：221373x y m m +=+-表示焦点在x 轴的双曲线，命题q ：()()52xf x m =-是增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】3m ≤-或327m ≤< 【分析】利用双曲线方程的性质化简命题p 可得337m -<<，利用指数函数的性质化简命题q 可得m <2，由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，可得p 、q 一真一假，分两种情况讨论即可求得实数m 的取值范围．【详解】若p 是真，则30730m m +>⎧⎨-<⎩解得337m -<<，若q 是真，只需5－2m >1即m <2 ， 由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 故p 、q 中一个真，另一个为假命题， 因此，当p 真q 假时，3372m m ⎧-<<⎪⎨⎪≥⎩得m 无解； 当q 真p 假时，3m ≤-或327m ≤<；综上所述：3m ≤-或327m ≤<19．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A ，B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程．【答案】()2212263x y x +=-<< 【分析】设出直线方程，联立直线与椭圆方程，得出A ，B 两点坐标的关系式，代入1PA PB ⋅=整理，即可得到结果.【详解】将椭圆化为标准方程得，22142x y +=.设动直线l 方程为()00:22l x x x =-<<. 联立直线与椭圆方程22024x y x x ⎧+=⎨=⎩可得，220240y x +-=.设()1,A m y ，()2,B m y ，则120y y +=，201242x y y -=. 设()0,P m y ，则()100,PA y y =-，()200,PB y y =-由1PA PB ⋅=，可得()()()210201212001y y y y y y y y y y --=-++= 代入整理可得，()220002622x y x +=-<<.所以，点P 的轨迹是椭圆的一部分，方程为()2212263x y x +=-<< 20．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为()12,15N --，求E 的方程． 【答案】22145x y -=【分析】利用点差法求得E 的方程.【详解】由于()3,0F 是E 的焦点，所以双曲线焦点在x 轴上，3c =， 所以2229a b c +==①，设双曲线E 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减并化简得2121221212151505121234y y y y b a x x x x +----=⋅=⋅=+----， 所以2254a b =②， 由①②得224,5a b ==， 所以E 的方程为22145x y -=. 21．如图（1）图所示，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，π2BAD ∠=，1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，如图（2）所示．(1)证明:CD ⊥平面1A OC ；(2)若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1A CD 所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 6【分析】（1）先证BE ⊥平面1A OC ，又//CD BE ，得CD ⊥平面1A OC ；（2）由已知得1A OC ∠为二面角1A BE C --的平面角，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1A BC 的法向量()1111,,n x y z =，平面1A CD 的法向量()2222,,n x y z =，面1A BC 与面1A CD 锐二面角为θ，由1226cos cos ,323n n θ===⨯，即得平面1A BC 与平面1A CD 锐二面角的余弦值. 【详解】（1）在图（1）中，因为1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，2BAD π∠=，所以BE AC ⊥则在图（2）中，1BE OA ⊥，BE OC ⊥，1OA OC O ⋂=，1OA 平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ， 从而BE ⊥平面1A OC ，又//CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC ．（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，平面1A BE 平面BCDE BE =，又由（1）知，1BE OA ⊥，BE OC ⊥，所以1A OC ∠为二面角1A BE C --的平面角，所以12A OC π∠=．如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为111A B A E BC ED ====，//BC ED ， 则2BE =，122OB OE OC OA ====所以22B ⎫⎪⎪⎝⎭，22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，120,0,2A ⎛ ⎝⎭，22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，得BC ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，1AC ⎛= ⎝⎭，()CD BE ==-． 设平面1A BC 的法向量()1111,,n x y z =，平面1A CD 的法向量()2222,,n x y z =，锐二面角为θ， 则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100y y ⎧=⎪⎪=，取()11,1,1n =，22100n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200y ==，取()20,1,1n =，从而12cos ,3n n == 所以， 126cos =cos ,3n n θ=即平面1A BC 与平面1A CD ． 22．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，O 为坐标原点，A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA 、OB 的斜率之积为12-，求证：直线AB 过x 轴上一定点．【答案】(1)24y x =； (2)证明见解析.【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得p ，则抛物线方程得解； （2）设出直线AB 的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】（1）根据题意，12p=，则2p =，故抛物线方程为：24y x =. （2）显然直线AB 的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为(),0x my n n =+≠， 联立抛物线方程24y x =可得：2440y my n --=，216160m n =+>时， 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12124?,4y y m y y n +==-，()21221216y y x x n ==，由题可知，121212y y x x ⨯=-，即2412n n -=-，解得8n =，此时满足0>，8,0. 故直线AB恒过x轴上的定点()。
高二数学第一学期第二次段考
高二级 文科数学试题一，选择题（10个小题，共50分） 1．数列1111,,,,234--⋅⋅⋅的一个通项公式为 A. (1)n n - B. 1(1)n n -- C. (1)1n n -+ D. 1(1)1n n +-+2．不等式24410x x -+≤的解集是 A. 1{}2 B. 11(,)(,)22-∞+∞C. RD. ∅3．条件0p b =：，条件q ：函数2()f x ax bx c =++是偶函数，则p 是q 的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件 4．椭圆221625400x y +=的离心率为A ．1625B ． 45C ． 34D ． 355．在等差数列{}n a 中，若1289360a a a a +++=，则数列{}n a 的前9项的和为 A. 180 B. 405 C. 810 D. 16206．曲线192522=+y x 与曲线)259(192522<<=-+-k ky k x 的 A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 7. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01508. 对于函数f (x )=x 2+2x ，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值－1叫做f (x )=x 2+2x 的下确界. 则函数3()12,[0,3]f x x x x =-∈的下确界为 A. 0 B. －27 C. －16 D. 169．在平面直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6，0)，顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，sin sin sin BA C-则等于A.56 B. 65 C. 1125 D. 11610.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
高二数学上学期第二次段考试卷试题
x yO x yO x yO xyO卜人入州八九几市潮王学校一中二零二零—二零二壹第一学期高二第二次段考数学试卷本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟。
第一卷〔选择题一共40分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1.“假设x ＝3，那么x 2－2x －3＝0”〕A.假设x ≠3，那么x 2－2x －3≠0B.假设x ＝3，那么x 2－2x －3≠0C.假设x 2－2x －3≠0，那么x ≠3D.假设x 2－2x －3≠0，那么x ＝32.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的选项是〔〕A ．B ．C ．D ．3.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，那么异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是()．A ．515B ．22 C ．510 D ．04.“12x <〞是“12x >〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3题图)5.假设一条直线经过点)23,3(--M ,且被圆2522=+y x 截得的弦长等于8,那么这条直线的方程为〔〕A ．3x =-B ．332xy =-=-或C ．34150x y ++=D ．334150xx y =-++=或6.设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ ①假设m ⊥α，n //α，那么m n ⊥②假设αβ//，βγ//，m ⊥α，那么m ⊥γ ③假设m //α，n //α，那么m n //④假设αγ⊥，βγ⊥，那么//αβ()A ．①和②B.②和③C.③和④D.①和④7.如右图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =，8,BD cm CD ==，那么这个二面角的度数为〔〕A ．30B ．60C ．90D ．1208.用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形程度放置的直观图，那么该直观图面积为〔〕A.12B.24C.D.9.在平面直角坐标系中，不等式组00()x y x y a x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩为常数表示平面区域的面积为9，那么24y x -+的最小值为 A.－1B.27C.17D.－5710．P是双曲线22221x y a b-=〔a ＞0，b ＞0〕右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I为△P 1F 2F的内心，假设1212IPF IPF IF F S S ∆∆∆=+成立，那么该双曲线的离心率为A.4B.2C.2D.22第二卷〔非选择题一共110分〕二、填空题：本大题一一共7小题，第11—14题每一小题6分，第15—17题每一小题4分，一共36分。
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频率组距秒18171615141300.060.180.340.36射阳二中2016秋高二年级第二次阶段检测数学试卷
时间：120分钟 分值：160分
一、填空题（14*5=70）
1、不等式2
230x x -++>的解集是 .
2、命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是 .
3、设a R ∈，则1a >是
11a
< 的 条件.(充分必要,充分不必要,必要不充分，既不充分也不必要) 4、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 .
5、已知点(1，2)和(1，1)在直线03=+-m y x 的异侧，则实数m 的取值范围是 ．
6、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，测试结果绘制成频率分布
直方图（如图），若成绩介于14秒与16秒之间认为是良好，
则该班在这次测试中成绩良好的人数为_____.
7、如果执行右图的程序框图，那么输出的i ＝ 8、盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张
记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的
卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________． 9、椭圆22
1m 4
x y +=的焦距为2，则m 的值等于 . 开始 s =1 i =3 S ≥1000 s = s ×i
i = i +1 输出i 结束
N
Y
10、若点A （3，1）在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0,则n m 13+的最大值为 。
11、以椭圆 22
221x y a b
+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是
12、平面直角坐标系xoy 中，抛物线
22y x =的焦点为F ，设M 是抛物线上的动点，则MO
MF 的最大值是
13、若关于x 的不等式t x x --<22至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是 .
14、设椭圆C 22221(0)y x a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,,F F l 是右准线，若椭圆上存在一点P 使得1PF 是P 到直线l 的距离的3倍，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
二、解答题（14+14+15+15+16+16）
15． 已知p :方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根；q ：不等式01)2(442
>+-+x m x 的解集为R .若“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数m 的取值范围.
16、（1）已知椭圆的离心率为2
2，准线方程为8±=x ，求该椭圆的标准方程 (2) 求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．
17、 某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支
出增加4万元，从第一年起每年的蔬菜销售收入均为50万元，设()f n 表示前n 年的纯利润总和
（()f n =前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）.
（1）该厂从第几年开始盈利？
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：
① 当年平均利润达到最大时，以48万元出售该厂；
② 当纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，
问哪种方案更合算？
18.如图)0,(),0,(21c F c F -为双曲线E 的两焦点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线E 交于
11,,,,M N M N B 是圆O 与y 轴的交点，连接1MM 与OB 交于H ，且H 是OB 的中点，
（1）当1c =时，求双曲线E 的方程；
（2）试证：对任意的正实数c ，双曲线E 的离心率为常数．
19、已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+---,()0f x >的解集为(-3,2),
(1)求()f x 的解析式;
(2)1x >-时,()211f x y x -=
+的最大值; (3)若不等式20ax kx b +->的解集为A,且(1,4)A ⊆,求实数k 的取值范围.
20、设椭圆方程+=1（a ＞b ＞0），椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x 轴
的直线交椭圆于A ，B 两点，AB=2． （1）求椭圆方程；
（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为﹣，是否存在动点P （x 0，y 0），
若
=+2，有x 02+2y 02为定值．
射阳二中2016秋高二年级第二次阶段检测数学试卷答案
命题人：崔常娥 时间：120分钟 分值：160分
1、（-1，3）
2、2
,0x R x x ∀∈+> 3、充分不必要条件 4、（1, 0） 5、（-2，-1） 6、27 7、8 8、59 9、5或3 10、-l6 11、6 12、233 13、9(,2)4- 14、(72,1)- 15、解：p 为真：2m <，
q 为真：31m m ><或
当p 真q 假：12m ≤<
当p 假q 真：3m >
综上：12m ≤<或3m >
16、（1）2213216x y +=（2）22
124y x -=
17、（1）2(1)()50[124]72240722n n f n n n n n -=-+⋅-=-+-，
令()0f n >，则220360n n -+<，∴ 218n <<， ∴ 该厂从第3年开始盈利.
（2）按方案①，年平均利润为
2()24072362(20)f n n n n n n n -+-==-+-，
∵ 3612n n +≥，当且仅当6n =时取等号，∴ 当6n =时，()f n n 取最大值16， ∴ 第6年出售该厂时，可盈利61648144⨯+=（万元）.
按方案②，
2()2(10)128f n n =--+，
当10n =时，()f n 取最大值128，
∴ 第10年出售该厂时，可盈利12816144+=（万元）. 两种方案虽然盈利总额相同，但方案①时间短，
∴ 方案①更合理.
18、解．（1）由c =1有(0,1)B )21,23(),21,0(,M H 设E ：22
221(0,0),x y a b M E a b -=>>在上，
2222221123111442
a a
b b a b ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎪⎩则解得 122:22=-y x E （2）)2,23(
),2,0(),,0(),0,(1c c M c
H c B c F - 设E 22222422222221(0,0),,38403144a b c x y a b e e c c a b a b
⎧+=⎪-=>>-+=⎨-=⎪⎩即 2),(3
2222=∴=
=e e e 舍或为常数
19、解：（1）由题可知0(3)0(2)0a f f <⎧⎪-=⎨⎪=⎩
⇒35a b =-⎧⎨=⎩ 则2
()3318f x x x =--+； （2）由（1）()211
f x y x -=+23331x x x ---=+ 令1,10t x x t =+>->则,1
3(1)3y t t
=-+-≤-
当且仅当1t t =取等号，此时1,0t x ==则
则y 最大值为3-；
（3）由题可知，不等式20ax kx b +->在(1,4)x ∈上恒成立， 即235(1,4)kx x x <+∈在上恒成立
即53(1,4)k x x x <+
∈在上恒成立， 又55323215x x x x +≥=5153,(1,4)x x x ==∈即时有最小值215 则215k <
20、解：（1）因为2a=4，所以，a=2，（2分）
∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB=2．
∴由椭圆的对称性知，椭圆过点（c ，1），即，（4分） c 2=4﹣b 2，解得b 2=2，椭圆方程为．（7分）
（2）存在这样的点P （x 0，y 0）．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则k OM •k ON ==﹣，化简为x 1x 2+2y 1y 2=0，（9分） ∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴，， 由
=，得，（12分） ∵
=（x 1+2x 2）2+（y 1+2y 2）2 =（）+4（）+4（x 1x 2+2y 1y 2）=4+4×4+0=20， 即存在这样的点P （x 0，y 0）．（16分）。