常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究
【论文】线性三步法的性质及其应用
摘要本文主要研究线性三步法的性质及其应用问题，在已有线性多步法基本公式的及线性二步法的基础上，本文又推导出了一个线性三步法公式，并对其进行性质分析验证。
对构造出的线性三步法公式进行相容性、稳定性、收敛性的判断。
对于一些简单而典型的微分方程模型，是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可利用。
但在数学模型中遇到的常微分方程初值问题模型，通常很难直接求出结果，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。
因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义。
对此，本文对常微分方程初值问题模型用线性三步法进行了计算机实现。
本文工作如下：首先，介绍线性多步法公式的基本概念、构造方法、误差分析。
然后，在已有的线性多步法公式特别是线性二步法的基础上，推导出线性三步法的公式，并对其性质进行分析判断。
最后，对构造的线性三步法公式进行应用，主要分析出口服药物在体内吸收变化的情况，用Matlab程序对饮食和非饮食两种情况进行作图比较。
关键词：线性三步法,常微分方程数值解,初值问题,口服药AbstractThis paper studies the nature of the linear three-step method and its application,the existing basic formula of linear multi-step and linear two-step method,the paper has derived a linear three-step formula,and verify the nature of their conduct.Of the constructed linear three-step formula for compatibility,stability,convergence of the judge.For some simple and typical differential equation model,is to derive its analytical solution,and the results are theoretically available.However,mathematical models encountered in the ODEs model,the results are usually difficult to acquire,or even impossible to derive its analytical solution,but can only seek its approximate solution. Therefore,to study the numerical method to quickly obtain the numerical solution to be of significance.In this regard,this paper model of Ordinary Differential Equation of linear three-step method using a computer to achieve.This works as follows:First,the introduction of linear multi-step formula the basic concepts,construction methods,error analysis.Then,in the existing formula,especially linear multi-step linear two-step method based on the derived formula of linear three-step method,and the nature of its judgments.Finally,structural formula of linear three-step application,the main export services of the in vivo absorption of changing circumstances,using Matlab program on food and non food plot comparison of two situations.Key words：Linear three-step method,Numerical Solution of Ordinary Differential Equations,Initial Value Problem,Oral目录第一章绪论 (1)第二章线性多步法的基本理论 (3)2.1常微分方程的数值解法 (3)2.2线性三步法的构造 (4)第三章线性三步法相容性、稳定性、收敛性的研究 (7)3.1相容性 (7)3.2稳定性 (7)3.3收敛性 (8)第四章口服药物在体内的变化 (10)4.1问题的基本概述 (10)4.2建立口服药物的吸收模型 (11)4.2.1问题的提出 (11)4.2.2模型的假设 (11)4.2.3模型的符号及意义 (12)4.2.4应用线性三步法求解 (12)第五章结论与展望 (16)5.1结论 (16)5.2进一步展望 (16)参考文献 (17)致谢 (18)附录 (19)声明 (22)第一章绪论自然界和工程技术中的很多现象，例如自动控制系统的运行、电力系统的运行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等，都可以抽象成为一个常微分方程初值问题。
常微分方程数值解法2线性多步法
03
常见的线性多步法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是常微分方程数值解法中最简单的一种方法，它基于线性近似，通过已知的函 数值来估计新的函数值。
详细描述
欧拉方法的基本思想是利用已知的函数值来估计下一个点的函数值。具体来说，假设我 们有一个函数 (y = f(x))，在已知 (x_0) 处的函数值 (y_0 = f(x_0)) 的情况下，欧拉方法 通过线性插值来估计 (x_1) 处的函数值 (y_1)，即 (y_1 = y_0 + h f(x_0))，其中 (h) 是
05
线性多步法的优缺点
优点
稳定性好
线性多步法在处理常微分方程时具有较好的数值稳定性， 能够有效地抑制数值振荡，提高计算结果的精度。
01
易于实现
线性多步法的计算过程相对简单，易于 编程实现，适合于大规模数值计算。
02
03
精度可调
通过选择不同的步长和线性多步法公 式，可以灵活地调整计算结果的精度， 满足不同的数值模拟需求。
改进方法的收敛性
研究收敛性条件
深入研究线性多步法的收敛性条件，了解哪些情况下方法可能不收 敛，并寻找改进措施。
优化迭代算法
通过优化迭代算法，提高方法的收敛速度和精度，减少迭代次数， 提高计算效率。
引入预处理技术
利用预处理技术对线性系统进行预处理，改善系统的条件数，提高方 法的收敛性。
拓展应用领域
在工程问题中的应用
控制系统设计
在工程领域中，线性多步法可以用于控制系统设计，通过 建立控制系统的数学模型，设计控制算法和控制器，实现 系统的稳定性和性能优化。
8.4-8.5线性多步法及收敛性与稳定性分析
f x ( x0 , y0 )
]
在平移一下,即化成检验方程形式.
y' y y ( x0 ) y0
--------------(2)
y y0e
当 Re 0时, 当 Re 0时,
其关系式为
( x x0 )
( y0 0)
y ( x) | (as x ); y ( x) | 0 (as x ), 此时, 试验方程是稳定的.
(5) Simpson 2步4阶隐式公式
h yn 1 y n 1 ( f n 1 4 f n 2 f n 1 ) 3
1 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 90
多步方法的特点： (1)、 因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助 高阶的单步方法来开始. (2)、多步方法比较简单，只要在这几个点的函数 值的线性组合, 而且每步中所用函数值, 有些下一 步还可使用。
要使 |1 h | 1,
即 |1 h | 1 给出了绝对稳定区域 {z | z 1| 1|},
这是复平面上以 (1,0)为圆心的单位圆, 绝对稳定区间为(-2,0).
2. 隐式Euler公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) yn hyn1
2. 一个方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.
若某些引入的误差, 在以后的传播中被压缩, 衰减或增长 可以控制, 就认为数值方法 (1) 是数值稳定的, 反之, 若在传 播中被放大而无法控制, 就认为是数值不稳定.其中, 若误 差的传播可以被压缩, 衰减, 则称绝对稳定.
y ' =f ( x, y ), x D 定义8.5.2 对初值问题 对于固定的 y ( x0 ) y 0 , 步长 h,在数值计算中, 节点值 yi 产生一扰动 i (包括初值y 0 ), 而仅由这一个扰动引起的以后各节点值 y j ( j i ) 的变化 j 都不超过 i , 即 | j || i |, 就称这个数值方法是稳定的.
线性多步法
常微分方程数值解的多步法。
从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
以下过程绘制解决方案。
单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
常微分方程数值解的多步法。
从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
以下过程绘制解决方案。
单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
具体定义常微分方程的数值方法近似地解决了形式初值的问题结果是离散时间ti处y（t）的近似值：其中h是时间步长，而i是整数。
多步方法使用上一个S步骤的信息来计算下一个值。
特别地，多步方法使用yi和f（ti，yi）来计算当前步骤所需的y值。
因此，多步方法是一种具有以下形式的方法：确定系数ai和bi的方法。
该方法的设计者选择系数来平衡对实际解决方案的需求，从而获得一种易于使用的方法。
通常，许多系数为零以简化方法。
可以区分显式和隐式方法。
如果bi = 0，则此方法称为“显式”，因为此公式可以直接计算yn + s。
如果bi≠0，则此方法称为“隐式”，因为yn + s的值取决于f（tn + s，yn + s），并且必须为yn + s。
迭代方法（例如牛顿法）通常用于求解隐式公式。
常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究及构造
5 结论 (54)致谢 (55)参考文献 (56)附录 (59)1 绪论解常微分方程在很多学科领域内都有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
但大部分的常微分方程其真解通常难以通过解析的方法来获得，至今有许多类型的微分方程还不能给出解的解析表达式，一般只能用数值的方法进行计算。
有关这一问题的研究早在十八世纪就已经开始了，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，从而能使人们认识解的种种性质及其数值特征。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
对于常微分方程初值问题的数值计算方法，许多学者已经做了大量的工作。
Dahlquist[1]，J.C. Butcher[2]，P. Henrici[3]，和C.W. Gear[4]对于定义在有限区间上的情形作了比较详细的讨论，对于无界区间上的情形没有涉及。
但是文献[5] [6] [7]讨论了无界区间上常微分方程初值问题数值解的稳定性和收敛性。
本章主要介绍了常微分方程初值问题的研究状况以及本文将要讨论的问题。
1768年，Euler提出了关于常微分方程初值问题的方法，1840年，Cauchy第一次对初值问题进行了仔细的分析，早期的常微分方程数值解的问题来源于天体力学。
在1846年，当Adams还是一个学生的时候，和Le Verrier一起根据天王星轨道中出现的已知位置，预测了它下一次出现的位置。
1883年，Adams提出了Adams-Bashforth和Adams-Moulton方法。
Runge、Heun和Kutta提出Runge-Kutta 方法。
二十世纪五十年代，Dahlquist[8][9]建立了常微分方程数值解法的稳定性理论，线性多步法是常微分方程初值问题的一种数值方法。
常微分方程初值问题RK法和多步法
常微分方程初值问题RK法和多步法科J教文}化●常微分方程初值问题科法和多步法李忠杰(山东商务职业学院,山东烟台264670)摘要:常微分方程的差分方法分为单步法和多步法,RK方法是最常用的单步法,而Adams方法是常用的多步法之一,本文探讨了求解常微分方程初值问题单步法和多步法,从运算量,计算精度两个方面分析和比较了同阶RK法和多步法.关键词:RK法;多步法;运算量;精度1概述求解常微分方程初值问题的方法分为单步法和多步法,单步法主要有欧拉法和Runge—Kutta法,多步法主要有Adams法和Milne法,本文仅以最常用的Runge—Kutta法和Adams法分别作为单步法和多步法的例子,对两种方法进行分析比较.2方法介绍2.1RK法Euler法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的数值方法,但其局部截断误差仅为O(h),是一阶方法,为了达到更高的精度,我们构造了RK法.通过构造高阶单步法来提高精度,而较高的精度意味着计算结果更加精确,误差随着的减小迅速减小,考虑常微分方程:Y=f(x,),y(0)=Y o,(2lj利用Taylor级数法构造(,y,h),使)'()=y()+,y(),^)+)中的局部截断误差尽可能高,最常用的就是四级四阶RK 法,其局部截断误差为O(h).单步法的一般形式是HY+hg(,,h)(n=0,1,2,?一,N一1)(2.2)这是因为单步法在计算时都只用到前一步的值,为了提高精度,需要重瓤计算多个点处的函数值(例如RK法),计算量较大.多步法的基本思想是如何通过较多地利用前面的已知信息(如Y,y一,Y…)来构造高精度的算法计算Y.四级四阶RK的常用基本格式有…y+【=Th(clKl十c2K2十f,+c4K4)K=f(x,Y)Ke=,(+ash,Y+b2】hKI)(2.3)1,23一f(x+a3h,y+b31hK14-2hK2)K4=fIx+d4h,+shKt+2hKz十3hX31通过取定不同的1和a会得到y+1=y+;(K1+2K2+2K3+K4)Kf(xK2,t十K,(j+K4,t+和hK.t)(2.4)hKhK)=++√2+(2一+1l=f(,):::曼hk"1+(1一./2x,~--1c:厂(+,,+——一—))k:,y一7-+mI以及=yH+h(O17476028KE0.55148053K2+017118478K:J=,(,)04矗O觚),2.6,=,+0.455737254hv.+0.29697~60^O15卵5966艋j=+by.to.2181oo38h~3.0509646470tK2十383286432hff3) 其中,式(24)是最为常用的经典四级四阶RK格式,式(25)称为Gill格式22多步法常用的多步法主要有Adams法和Milne法,本文仅以Adams法为例介绍多步法,其中Adams法又包括显式Adams法和隐式Adams法.显式Adams法:Adams～Bashforth公式:y=+△=_其中.出_卜1):ds,m:,公式(2_7)又称为Adams外插公为方便汁算,改用函数值表示后差:霉.c从而(2.7)式可以写成=)'+^∑(28)其中i=o&_(_km,j=0,l,2,…,足.困(27)或(2.8)是显式公式,所以又称它们为显式Adams公式,易见显式Adams公式(2.7)或(2.8]是线性(+1)步公式.常刚的四阶盟式Adams公式为日+=+(55一59一十37A一一9.)(29)22.2隐式Adams法+△+(2.10)其中,,_(-_Im=0,.',.称(210)为Adams—Mouhon公式.NNN~-顿向后插值多项基点为,…,,而积分区问为f,+』,故上式又称为Adams内插公式,该式为隐式公式,故又称为隐式Adams公式. 闪V=喜c-¨1,故(2.1O)式可改写成+一+∑(2川)~.-ee,一五kmJ_U,1,2,…,常用的四阶隐式Adams公式=+(+1+)(2-12)这是一个关于+的隐式方程,在计算中,需要将式(2.12)写成显式格式,但一些方程难以求出其砬式格式,这就需要将四阶最式Adams法和四阶隐式Adams法结合起来,用显式公式(2.9)作为预测,然后用隐式公式(2.I2)作校正,构造Adams 预测一校正公武fb(55L-59,r甲3z,广2)l+=+(9+(州+)+19L5一+吨)式(2l3)为四阶公式,式中的初始值除yo已给定,y,y,y常用四阶RK法计算.3运算量及精度比较3.1运算量比较叫级RK法每前进一步需要计算四个函数值,对N级RK法,每计算一步,函数f需要计算N 次.闪此,对给定的N,我们总是希构造阶数最高的方法,记P(Ⅳ,是N级RK法所能达到的最高的阶数,已经得到下面的结:fN,当Ⅳ=l,2,3,4H,jP(Ⅳ)={N1,当=5,6,7时lN-2,当.v=8,州由此可见,当N25时,pON)<N,从而四级四阶RK法是较受欢迎的方法.对于显式Adams法, 已知Yn～3,一:,yn和Y,把它们代入到式(2_9)右端,就可以直接得到+,因而是一个四级四阶的方法,应用公式时需要提供主yo,y.,Y:和v=;4/b-N 始值,通常也是由经典RK公式提供.同样,对于四阶隐式Adams法.式(2.12)是一个三级四阶的,应用该公式需要提供3个初始值y0,Y和y2,通常由经典RK公式提供.32精度比较3.2.1RK法精度对四阶RK法,川测试方程分析其精度.Y=f(x,y)=0y(1)假设Y是已知的,y.的精确值为:(")=8(32)Tavh>r展开得:m)一刍寺{㈤+ll,●3jJ另一方面,将式(3.2){Jd.fi.(3.1)得:)f+ah+2~h)+寺^)+未(.){(34)比较上式与(3.3),表明四阶RK法精度的阶为4,一步迭代的误差与h成比例,即局部截断误差为O(h).3.2.2多步法精度式Adams法的局部截断误差是=l1出(=(一j"J1"(贝0,=+fo'(-1/+~--T—l}+()=^a}+1Y(∈)xn一<∈<(下转309页)一199—工I程I科I技浅谈地下室的防水赵春明郝力(哈尔滨大都会房地产开发有限公司,黑龙江哈尔滨150000)摘要:地下防水工程是地下工程建设中的一个重要组成部分,针对地下室的防水措施进行了论述.关键词:地下室;防水;措施地下防水工程是地下工程建设中的一个重要组成部分,地下室防水采用混凝土结构自防水与外墙全粘贴SBS高聚物改性沥青卷材防水相结合的施工技术,这里介绍防水混凝土,卷材防水及穿墙管道,施工缝的施工.工程是江北某高层地下室的防水,防水计划采用刚性防水和柔性防水相结合的防水体系.底板和外墙采用混凝土结构自防水与SBS高聚物改性沥青卷材防水相结合,混凝土抗渗品级为S6,柔性防水为4mm厚SBS高聚物改性沥青防水卷材.穿墙的管件防水采用满焊止水环及钢板封口,施工缝处的防水采用钢板板止水带和橡胶止水条.地下室防水混凝土施工,混凝土使用商品混凝土抗渗品级计划为s6,外加剂采用硅质密实剂防水剂,地下室底板混凝土属于大体积大面积施工,混凝土浇筑时应采用"分区定点,一个坡度,循序推进,一次到底"的浇筑工艺.浇筑时先在一个部位进行,直至达到设计标高,混凝土形成扇形向前流动,然后在其坡面上连续浇筑,循序推进.该要领能较好顺应泵送工艺, 制止通常拆卸运送混凝土管道,前进泵送屈从, 简化混凝土的泌水处理,并保证了上下层混凝土不超过初凝时间.墙体混凝土,浇筑时要严酷控制分层厚度,每次浇筑厚度应控在0.5m左右,每次浇筑墙体长度不大于30m,浇筑时应保证一连性.混凝土坍落度的控制,本工程采用商品混凝土,要严格控制混凝土的和易性,采用低坍落度混凝土,混凝土坍落度现场实测值控制在(120±20)ram;当混凝土运到现场后出现离析, 必须退还搅拌站进行二次搅拌,混凝土浇筑时要保证合理的分段分层施工,分层厚度为0.3m,分层的接头时间间隔不超过2h,施工中交接的临时结合的竖向缝,要互相错开.混凝土振捣:根据泵送浇筑时自然形成一个坡度,防水混凝土施工必须采用高频机械振捣,严格控制振捣的间距和时间.每一振点的振捣时间,应将混凝土捣实至表面呈现浮浆,不冒气泡和不再沉落为准,振捣时间为20～30s,避免漏振,少振和超振.混凝土的表面处理;大体积泵送混凝土,排除泌水和浮浆后,表面仍有较厚的水泥浆,在浇完4～5h后,要用长括尺括平,在初凝前用滚筒来回碾压数遍,待接近终凝前,用木抹子再打磨一遍,使收水裂缝闭合.混凝土养护; 大体积混凝土的内外温差大,必须做好养护工作.本工程采用浇水养护并覆盖塑料薄膜,防止混凝土水分蒸发和表面脱水而产生干缩裂缝, 养护时间不少于14d.SBS高聚物改性沥青防水卷材,地下室卷材防水层的施工要领基础上有两种:外防外贴法和外防内贴法.本工程接纳外防外贴法,即待墙体围护结构施工完成后,将立面卷材防水层直接铺贴在围护结构的外表面,最后采取保护措施的方法.施工前要将下层整理清洁,涂刷下层处理剂时,下层应平整牢固,清洁干燥,下层处理剂应与卷材的材性相容,涂刷时要匀称同等.下层处理干燥后,先按计划要求对有特别部位做防水附加层,如阴阳角处应做成圆弧或钝角,并贴上1层SBS卷材做附加层,宽度不小于500mm,卷材铺贴采用全粘贴热熔法施工, 铺贴卷材时应先铺贴平面,后铺贴立面,交接处应交织搭接,从平面折向立面时,应暂时贴附在该墙上或模板上.围护结构完成后,铺贴立面墙体卷材之前,应先将暂时性掩护墙区段内各层卷材的接搓揭开,并将其外貌整理清洁.如卷材有局部破坏,应进行修补后方可继续施工.铺贴卷材时必须满粘法施工.卷材防水层经检查及格后,应实时做好掩护层.底板卷材防水层的细石混凝土保厚度不应小于50ram,侧墙卷材防水层接纳2O厚l:3 的水泥砂浆掩护层.SBS高聚物改性沥青防水卷材应具有良好的耐水性,历久性,耐刺穿性和耐腐性.防水层的厚度不应小于3mm,单层使用时,厚度不应小于4mm;双层使用时,总厚度不小于6mm,地下室底板卷材长边搭接宽度不小于100mm,短边搭接宽度不小于150ram;同一层相邻两幅卷材铺贴时,短边搭接处应错开150mm以上.上下两层卷材禁垂直铺贴,且搭接缝宽应错开1/3 幅宽以上;地下室侧墙铺贴双层卷材接长时,应采用交叉法接缝,上层卷材接缝位置盖过下层150ram;在立面与平面的转角处,卷材的接缝应留在平面上,距立面不应小于600mm.穿墙管道,当结构变形或管道伸缩量较小时,穿墙管道可接纳直接埋人混凝土内的牢固式防水法,主管应满焊止水环.当结构变形或管科道伸缩量较大或有调换要求时,应采用套管式防水法,套管与止水环应满焊.当穿墙管线较多且密时,宜相对会集,接纳穿墙盒法,盒的封口钢板与墙上的预埋角钢焊严,并从钢板上的浇筑孔注人密封质料.各种穿墙管道,预埋件等位置要留置正确,穿墙管道和预埋件应在浇筑混凝土前预埋.穿墙管道与内墙角,凹凸部位的距离不小于250ram.金属止水环应与主管满焊密实,采用套管式穿墙管防水结构时,翼环与套管应满焊密实,并在施工前将套管内外表面清理干净.施工缝,底板与外墙的水平施工缝,应在缝处设置一圈宽200mm的钢板止水带.外墙间的垂直施工缝,可在缝处设置一竖直同墙高的宽200mm钢板止水带.防水混凝土施工应保证连续浇筑,尽量少留施工缝.当必须留置时,墙体水平施工缝不应留在剪力与弯矩最大处或底板与侧墙的交接处,应留在高出底板表面不小于300mm高的墙体上;当墙体有预留孔洞时,施工缝距孔洞边缘不小于300mm.水平施工缝浇筑混凝土时,应将其表面的浮浆和杂物扫除,先铺净浆,再铺30—50mm厚的l:1水泥砂浆或涂刷混凝土界面处理剂,并及时浇筑混凝土.垂直施工缝浇筑混凝土时,应将其表面清理干净,涂刷混凝土界面处理剂,并实时浇筑混凝土.施工缝采用遇水膨胀橡胶腻子止水条时,要将止水条牢固地安放在缝表面预留槽内.地下室防水工程在施工缝,穿墙构件等易渗点部位的施工质量,是关系到地下室防水质量的关键,必须制定周密的施工方案和采取切实有效的施工措施.特殊部位重点设防,施工时着力控制好每一环节,精心组织施工,在施工中进一步去完善就能达到预期要求,确保防水施工(上接199页)故,显式Adams法的局部截澎差的阶为矿).式(29)的局莉描毫塞为●C1RH=考+D(),利用牛顿后插值多项式的余项表达式,可得隐式Adams公式的局部截断误差的阶为D(^),因ll~(Zl2)的局部截断误差的阶为O(h),对照显式公式的局部截断误差阶为D(矿),可见同样步隐式公式较之显式公式更为精确,其局部截断误差阶高一阶.四阶四阶RK法的局部截断误差为O(h),而四级四阶显式Adams法的局部截断误差也为为01,这同三级四阶隐式Adams法的精度是一样的.由此可见,相同精度条件下,隐式Adams法的步数更少—些.参考文献【l】任玉杰.数值分析及其MA TLAB实现{北京: 高等教育出版社'2Oo73.闭戴嘉尊,邱建贤.微分方程数值解法南京:东南大学出版社20o22【3】袁慰平等计算方法与实习南京:东南大学出版毒±00o5'7.【4】李瑞遗何志庆等缀分方程数值方法呻上海: 华东理工大学~&2oo5.一309—。
2常微分方程数值解法(2)线性多步法
数值分析
数值分析
同样，如果过节点xn＋1 , xn , xn 1 , xn 2的F ( x )三次 插值多项式为 L3 ( x )
3
i 1
l ( x )F ( x
i
2
n i
)
其中li ( x )
( x xn 1 )( x xn )( x xn 1 )( x xn 2 ) ( x x n i ) ( x n i x n j )
数值分析
数值分析
如果令 1 2 3 3 0,由方程组可解得 9 19 5 1 0 =1， 1 , 0 , 1 , 2 24 24 24 24 相应的线性多步公式为 h yn 1 yn (9 f n 1 19 f n 5 f n 1 f n 2 ) 24 称其为四阶 Adams隐式公式，其局部截断误 差为 Rn 1 19 5 ( 5) h yn O ( h6 ) 720
Taylor展开为
'' y ' y ( x ) yn yn ( x xn ) n ( x xn )2 2 ( p) yn ( x xn ) p O(( x xn ) p 1 ) p!
假设前n步计算结果都是准确的，即yi y( xi ), y ' ( xi ) f ( xi , yi ) ( i n), 则有
' n
1 1 1 1 ''' 3 '' 2 ( 1 1 ) y n h ( ) yn h 2 6 2 2 1 1 1 (4) 4 1 1 1 (5) 5 ( ) yn h ( ) yn h 24 6 6 120 24 24 O ( h6 )
常微分方程初值问题线性多步法的实验阶研究
当步 长 ｈ足 够 小 时 ， 由微 分 概 念 可 知 ｙ （变 化 不 大 。因 此 当步 长 ｘ ） 适 当 变化 ， 比如 折 半一 次后 ， 似 认 为 Ｆ ’ 近 一 ｙ㈨ 的 变 化 可 以忽 略 不
计 。 以当步长 ｈ折半一次后 ， 所 原来由步长 ｈ计算所产生 的局部截断误 差就会变成 由步长 ｈ２ ／ 计算形成的局部截断误差所代替 ， 即 ｙｘ ｈ ￣Ｆｈ２ （＋～ ） （／） （） ６
（ ９ ）
然后再进行第 ｋ １ ＋ 次步长折半 ， 同理 可以有近似关系
Ｉ
ｌ ｋｈＩＦ２ Ｉ ￣ ／ ／￣（ Ｂ１ ２ Ｉ／ ／ 。 ｈ ２ “ ＋ ｌ
ｌ Ｉ ｌｉ １ ｌ ＋ Ｃ ｌ—
（） １ ｏ
其中对于某一组具体 的预估 一校 正公式 而言 ， 系数 Ａ和 Ｂ为已知 常数 ， 仅与该方法有关 ； 、 分别为预估 、 Ｙ１ 校正公 式中相应计算点上数 值解的组合 ； 、 Ｙ：Ｙ 分别为预估 、校正公式 中相应计算点上导数项 的组 合；。 ｅ分别 表示第 ｉ ｐ和 步精确 解 ｙ Ｏ （ 的预估值和校 正值 ； 和 ｃ ｘ Ｐ 分 别表示第 ｉｌ ＋ 步精确解 ｙ 的预估值和校正值。 （） ｘ
—
设现有一类 Ｐ 阶线性多步法 的预估 一校正公式
预估 ： ＝ ，ｈ Ｙ＋ Ｙ１ 修正 ： ＝ Ａｃ Ｐ ｍ ｐ ＋ （＿ ， ＿） 校 正 ：１－ ３ｈ ４ ｅ１Ｙ＋ Ｙ ．
修 正 ：ｉ ＣｌＢｃ１ Ｉ ｙｌ （＋ Ｐ １ ＋ ＋ ｜ ＋ ＝ 一 ） （ ２）
ｌ Ｂｈ ｈ Ｉ／ ｄ ／ ／ （ｋ ２ ＋ Ｆ２ Ｉ ２ ｋ ２ ｈ） ｆ ｆ ￣
Ｉ ． ｃ 一 １ Ｐ
表 １ 验 阶 实 例 分 析 实 四 阶 Ａ ａ ｓ 估 一校 正 法 ｄｍ 预
第3节稳定性、收敛性和误差估计
隐式的Euler方法。
例2 给定s(l)=l2,k=2，试确定相应的r(l)。
解：我们有
ρ(1 + z) = ln(1 + z)(1 + z)2 + (O z3 )
( ) ( ) =
⎜⎜⎝⎛
z
−
z2 2
⎟⎟⎠⎞(1 +
z )2
+
O
z3
= z + 3 z2 + O z3 2
+
L
+
k
pα k
)
−
(
p
1 −
1)!
(
β1
+
2
p −1
β2
+
L+
k
β p−1 k
)
（3.7）
L[u(tn ); h]—局部截断误差；
c p+1h p+1u ( p+1) (t) + O(h p+2 ) —局部截断误差主项；
Cp+1—局部截断误差主项系数 我们关心的是整体截断误差en=u(tn)-un 。 由于L[u(tn);h] →0 (h→0)。故用线性p阶k步法建立起了的 差分方程（3.2）是微分方程(3.1)a的逼近（即（3.5）中舍去 L[u(tn);h] ，用un+j代替u(tn+j)就得到（3.2））。 特别，若如下局部化假设成立： 用多步法（3.2）计算un+k时，un+j(j=0,1,…,k-1)精确。即
k
∑ ρ(λ) = α jλj （3.11） j=0
第一章常微分方程初值问题数值解法
（1.2.3）
其中rn,k(t)为插值余项。 代到（1.2.2）式中得
u ( tn +1 ) = u ( tn ) +
舍去余项 并用uj代替u(tj)即得
∫
tn+1 tn
Ln , k ( t ) dt + ∫ t rn , k ( t ) dt
tn+1
n
(1.2.4 (1.2.5)
Rn , k = ∫
⎡ ∑ ⎣α u
j =0
j =0
αk ≠ 0
（1.2.1）
j n+ j
⎤ − hβ j f n + j ⎦ = 0（数值解满足的差分方程）
因此称（1.2.1）为多步法 或 k-步法。 又因为(1.2.1)关于 u n + j , f n + j 是线性的，所以称为线性多步法。 为使多步法的计算能够进行，除给定的初值u0 外，还要 知道附加初值u1,u2,…,uk-1 ，这可用其它方法计算。 若 β k = 0 则称(1.2.1)是显式的； 若 β k ≠ 0 则方法（1.2.1）是隐式的。 例如，一般线性二步法可写成：
f ( t , u ( t ) ) = Ln , k +1 ( t ) + rn , k +1 ( t )
其中rn,k+1(t)为插值余项。 同理即
un +1 = un + h ∑ bk +1i f ( tn −i +1 , un −i +1 )
i =0
k +1
其中
bk +1i
=∫ ∏
−1
j =0 j ≠i
0
k +1
常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究
其次，应用常微分方程初值问题的线性多步法公式的构造理论和Ｍａｔｌａｂ的符 号运算，推导了求解常微分方程初值问题的２．３步法全部基本公式。
然后，应用线性多步法公式的收敛条件，筛选出其中收敛的公式，计算出了 公式的分数形式的系数，误差主项系数，阶数，绝对稳定区间。并且应用根轨迹 法绘制了其中绝对稳定的公式的稳定区域的图形，并对以上公式的性能作了分析。
线性理论虽然对一般问题具有指导作用，但其不能作为非线性刚性问题算法 的稳定性理论研究基础。为了将线性理论推广到非线性问题中，人们开始对非线 性模型问题进行研究。但是，早期文献主要致力于数值方法基于经典Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条 件下的经典收敛理论，即认为良好的稳定性加上经典相容性和经典相容阶就足以 描述方法的整体误差性态。直到１９７４年，Ｐｒｏｔｈｅｒｏ和Ｒｏｂｉｎｓｏｎ首先注意到算法 的经典误差估计由于受刚性问题巨大参数的影响而严重失真，产生阶降低现象， 这时人们认识到经典收敛理论对于非线性刚性问题以及线性模型的不足。于是， １９７５年，Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ和Ｂｕｔｃｈｅｒ Ｄ２］分别提出了单支方法和线性多步法的Ｇ．稳定概 念和Ｂ．稳定概念。这两个概念填补了非线性稳定性分析理论，引起了计算数学家 们的极大关注，在上述理论的基础上，１９７５年至１９７９年，Ｂｕｒｒａｇｅ和Ｂｕｔｃｈｅｒ【ｌ ３】提 出了ＡＮ．稳定性与ＢＮ．稳定性概念，并相应地建立了基本的Ｂ．稳定及代数稳定理 论。１９８１至１９８５年，Ｆｒａｎｋ，Ｓｃｌｍｅｉｄ和Ｕｅｂｅｒｈｕｂｄｌ４１ Ｄ５］建立Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法 的Ｂ．收敛理论。Ｂ．稳定与Ｂ．收敛理论统称Ｂ一理论，它是常微分方程数值解法研究 领域的巨大成就之一，是刚性问题算法理论的突破性进展，标志着刚性问题研究 从线性向非线性情形深入发展。国内也有众多学者致力于Ｂ．理论的研究，如李寿 佛、曹学年【ｔ６】【１７Ｊ等。 １９８９年，李寿佛将Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ的Ｇ一稳定概念推广到更一般 的（ｃ，Ｐ，Ｑ）。代数稳定，克服了Ｇ．稳定的线性多步法不能超过二阶的限制。对于一 般线性方法，李寿佛建立了一般线性方法的（Ｋ，Ｐ，Ｑ）一稳定性理论及（ＫＰ，Ｑ）．弱代数 稳定准则和多步Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法的一系列代数准则。此外，Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ，Ｂｕｔｃｈｅｒ和 Ｈａｉｒｅｒ分别深刻地揭示了单支方法、一般线性方法和Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法线性与非 线性稳定性之间的内在关系。
线性多步的推广及应用
线性多步的推广及应用线性多步法是求解常微分方程初值问题的一种数值方法，通过利用多个时间点上的信息，可以提高数值解的精度和稳定性。
线性多步法可以看作是显式欧拉法和隐式欧拉法的推广和组合，常用的线性多步法有Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。
Adams-Bashforth法是一种显式的线性多步法，它利用k个历史点上的信息来逼近下一个时间点上的解。
具体来说，Adams-Bashforth法的递推公式如下：\[y_{n+1} = y_n + h\sum_{i=0}^{k-1}b_i f_{n-i}\]其中，\(h\)是步长，\(y_n\)表示第n个时间点上的数值解，\(f_n\)表示在\(y_n\)上的导数，\(b_i\)是根据k个历史点上的解求得的权重系数。
Adams-Bashforth 法的精度取决于选择的k值，常用的是2阶和3阶的方法。
例如，2阶方法可以写成：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(3f_n - f_{n-1})\]Adams-Bashforth法的优点是计算简单，但它的稳定性较差，对于某些刚性问题可能会导致数值解发散。
Adams-Moulton法是一种隐式的线性多步法，它在Adams-Bashforth法的基础上进一步利用了下一个时间点上的导数信息。
递推公式如下：\[y_{n+1} = y_n + h\sum_{i=0}^k b_i f_{n+1-i}\]与Adams-Bashforth法类似，Adams-Moulton法的精度也取决于选择的k值。
例如，2阶方法可以写成：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(f_n + f_{n+1})\]Adams-Moulton法相比Adams-Bashforth法更为稳定，但计算复杂度较高，需要通过求解非线性方程来获得每个时间点上的解。
线性多步法在许多科学工程问题中具有广泛的应用。
线性多步法
显式方法
显式方法定义 显式方法特点 显式方法实现步骤 显式方法优缺点
隐式方法
定义：需要解非线性方程组的数值方法 优点：精度高，稳定性好 缺点：计算量大，需要求解非线性方程组 应用：适用于非线性较强的系统
线性多步法的稳定性条件
稳定性定义：线性多步法在数值求解过程中保持解的稳定性和精度
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精度：线性多步法具有较高的计 算精度，能够得到较为精确的数 值结果。
易于实现：线性多步法易于实现， 可以通过简单的编程语言实现算 法。
线性多步法的基本结构
线性多步法的定义 线性多步法的特点 线性多步法的分类 线性多步法的应用场景
02
线性多步法的分类
基于位置的分类
06
线性多步法的未来发展
理论研究
线性多步法的理论分析 线性多步法的收敛性和稳定性 线性多步法的数值实现和算法优化 线性多步法在其他领域的应用前景
应用研究
线性多步法在科学计算中的应用
线性多步法在偏微分方程求解中 的应用
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线性多步法在控制系统中的应用
线性多步法在优化问题中的应用
应用：适用于解决初值问题，被广泛应用于科学计算和工程领域
与隐式方法的比较：隐式方法需要求解非线性方程组，而线性多步法可以直接使用线性方程组进 行计算
线性多步法的特点
稳定性：线性多步法具有较好的 数值稳定性和收敛性，能够避免 数值误差的积累。
适用范围广：线性多步法适用于 解决各种初值问题和边值问题， 具有较广的适用范围。
零阶方法：不使用历史信息
一阶方法：使用一个历史信息
常微分方程初值问题RK法和多步法
ｙ ＝ ＋ △＝ ＿
ｌ＋ ＋ ９＋ 州 １ ） ＝ （ ＋＋９ ５一 吨 （ ） Ｌ ＋
Ｅ ｌｒ ｕｅ 法是最简单 的一种求解 常微分方 程 初值问题 的数值方法 ， 但其局部截 断误差仅为 Ｏｈ） （ ， 是一 阶方法 ， 为了达到更高 的精度 ， 们 我 构造了 Ｒ Ｋ法 ．通过构造高阶单步法来提高精 度， 而较高的精 度意味着计算结果更加精确 ， 误 差 随 着 的减 小 迅 速 减 小 ， 虑 常 微分 方 程 ： 考
由此可见 ， 当Ｎ２５时 ， ） Ｎ， 而 四级 四 ｐＯ ＜ 从 Ｎ
的方法 ， 应用公式 时 需要提供 主 ｙ，。 ： ｖ４ ｂ ｏ ， 和 ＝／－ ｙＹ ； Ｎ 困（ ７或 （．） 显式公 式 ， 以 又称 它们 为 始值， ２） ２ 是 ８ 所 通常也是由经典 Ｒ Ｋ公式提供。 ｄｍｓ 易 ｄｍｓ ２） ７ 已 知信 息 （ Ｙ ， 一， … ） 构 造 高 精 度 的 显式 Ａ ａ 公 式 ， 见 显式 Ａ ａ 公式 （． 或 如 ｙ Ｙ 来 同样 ， 于四 阶隐式 Ａ ａ 法 ． （． ） 对 ｄｍｓ 式 ２ ２是一 １ 算 法计 算 Ｙ 。 （．］ 性 （＋１ ２ 是线 ８ ） 步公式 。 个三级四阶的，应用该公式需要提供 ３ 个初始值 常刚 的 四阶盟式 Ａ ａ ｓ ｄ ｍ 公式 为日 四级 四阶 Ｒ Ｋ的 常 用 基 本格 式 有 … ｙ， 和 ｙ， 常由经典 ＲＫ公式 提供 。 ０ ２ Ｙ 通 ＝ ＋ （ 一 ９ 十 ７ 一 ９ 。 ５ ５ ５ 一 ３Ａ ） 一 （９） ２ ３ 精度 比较 ２ ｙ＋ ＝ Ｔ ｈｃ 十ｃＫ２ ， ｃＫ ） 【 （ｌ Ｋｌ ２ 十ｆ ＋ ４ ４ 步法 的基 本 思 想 是 如何 通 过 较 多 地 利 用 前 面 的
常微分方程出值问题得数值解法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、离散化方法
建立常微分方程初值问题数值解法的过程，就是通 过一定的离散化方法，将对连续性问题的求解转化 为求解常微分方程在有限个离散节点上解的近似值 的过程，这个过程通常称为数值离散．常用的数值 离散化方法有： 差商代替微商法 Taylor展开法 数值积分法
2019/2/10
y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 )), n 0,1, 2,
y n 1 y n hf ( x n 1 , y n 1 ), n 0,1, 2,
上式是一个隐式的单步方法，称为隐式欧拉公式或后 退的欧拉公式。利用此公式，每一步都要把上式作为 yn+1的一个方程来求解。从数值积分的误差分析，很 难期望隐式欧拉法比显式欧拉法更精确。
2019/2/10 11
隐式Euler公式（续）
通常情况下，隐式欧拉公式很难直接求出yn+1的值， 故常用迭代法求解。在实际计算时，该公式通常与 显式Euler公式结合使用，并由显式Euler公式的结果 作为迭代的初始值，从而有如下数值格式 ( 0) yn 1 y n hf ( x n , y n ) ( s 1) (s) y y hf ( x , y n1 n n 1 n 1 ) n 1,2,, N 1 对 s 0,1,2, 循环计算，若 ( s 1) y 给定的误差限)，则取 n1 作为yn+1的近似值．
四、等价的积分方程
若y(x)是初值问题的解，对方程两边同时积分， 利用初始条件可得：
该方程为与初值问题同解的积分方程，我们可以 从积分方程出发去构造初值问题的求解公式。
2019/2/10 4
常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究的开题报告
常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究
的开题报告
研究背景与意义：
常微分方程初值问题是数学中一个重要的基础课程，其解法有多种。
其中，线性多步法是其中一种较为常见的解法之一。
线性多步法具有计
算精度高、计算复杂度低等优点，因此受到了广泛应用。
但是，线性多
步法不同于某些比较简单的解法，其基本公式较为复杂，常常需要通过
数值计算求解。
因此，对于线性多步法基本公式的研究，可以提高其应
用的效率，并且更好地推广其应用。
研究目的：
本次研究旨在探究线性多步法基本公式的数学原理，并通过实验模
拟等方法，对多种线性多步法进行比较，以找出适用于具体问题的最优
解法。
研究方法：
本次研究主要采用理论研究和实验模拟相结合的方法，利用计算机
编写程序，求解线性多步法的基本公式，并进行误差分析和准确度比较。
研究内容：
1. 常微分方程初值问题及线性多步法的数学原理介绍。
2. 线性多步法的基本公式的推导方法研究。
3. 对比分析各种常用线性多步法的准确度及适用范围。
4. 利用计算机模拟实验对各种线性多步法进行比较。
研究成果：
本次研究将提出关于线性多步法基本公式的新型推导方法，并提供不同线性多步法的实验模拟结果，为相关领域的研究提供参考。
同时，对于相关领域也可提出一些新的启示和思路，为后续研究者提供参考和借鉴。
常微分方程初值问题线性多步法的实验阶研究
9.908457536×10- 14 2.634849650×10 7.604643065×10
- 15 - 17
2.061528738×10- 18
2.2845777261×10- 18 （下转第 26 页 ）
h—步长； n—算法循环次数； 其它各符号的意义与前文及相应公式中的符号相同。 注： 表中 k—步长折半次数； 基金项目： 本文受华中农业大学引进人才科研启动基金 （52204- 04042 ） 资助。 作者简介： 胡伟 （1970- ） ， 男， 博士， 讲师， 工作单位： 湖北省武汉市华中农业大学工学院。
在爆炸时断开测得的异常曲线，图中 30ms 时加速度猛地上升台阶， 以 及压力信号突降都是电源不能正常供电引起的。 为防止冲击时瞬时电池断电或电压降的过低，首先电路和电源的 连接不用接插件， 全用高温焊锡焊死； 其次依电池外形设计机械组件壳 体， 并用环氧胶灌封， 有效缓解变形引起的电池失效， 也能防止震动时 电池和电源线之间有相互运动引起挣断。进行改进以后电池组件基本 没有再出现冲击下连线断开的情况， 爆炸过程数据正常， 下图为测试的 正确结果。 2、 测试仪内部电源的优化 2.1 DC- DC 电源本征噪声的滤除 DC- DC 电源不可避免地在其开关切换时引入了跳变电压， 在滤除 该电压给模拟电路带来干扰和噪声。 （1 ） MAX860 有 6 种开关切换频率 可供选择。在选择切换频率时， 选用 50kHz 来远离实际信号的频率， 这 样便于采取措施滤波和处理。 （2 ） 针对这种电容的充放电产生的周期性 的纹波信号， 为减小干扰信号峰值， 在输入电源 +3.6V 加上 220μF 的 （7.2V ） 和 VFF （- 3.6V ） 上分别加 10μF 和 滤波电容， 在产生的电源 VGG 4.7μF 的极性滤波电容。 （3 ） 由于 MAX860 的开关切换比较快， 在进行 PCB 布板时还应该考虑其电磁兼容性问题[5]， 使 MAX860 尽可能远离其 它信号， 并且在整个芯片下加屏蔽使信号质量得到很大提高。 2.2 电压突然下降的解决 在四通道油井测压仪的电路设计过程中， 发现一个问题， 电路编程 后上电， 电路仍然直接触发， 经查找发现 CPLD 中编程值丢失。经过仔 细排查发现是上电的时候， CPLD 的供电电压有个突降造成的，如图 5 所示中数据是示波器捕捉到的典型曲线值，其中电压降的最低点低于 CPLD 工作的最低电压 2.7V 时， 电路的编程数据将会丢失， 成为默认的 零值， 这时电路就会直接触发。
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Ｋｕｔｔａ（１９０１年）提出Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ方法。 二十世纪五十年代，Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ［ｓ】【９】建立了常微分方程数值解法的稳定性理论，
ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｉｔ ｉｓ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｓｔａｂｌｅ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｆｏｒ
ｓｏｌｖｉｎｇ ｉｎｉｔｉａｌ—ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆｓｔｉｆｆｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．
重庆大学 硕士学位论文 常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究 姓名：刘冬兵 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：杨大地
420
重庆大学硕士学位论文
中文摘要
摘要
本文在常微分方程初值问题的线性多步法公式研究状况的基础上，进行了进 一步的研究。定义了线性多步法基本公式的概念；推导了求解常微分方程初值问 题的２．３步法全部基本公式，并筛选出其中收敛的公式；研究了这些公式的误差 和稳定性； 并给出了一类新的具有良好性质的公式。本文主要的工作有以下几个 方面：
保密（ ），在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于
不保密（√）。
（请只在上述一个括号内打“√”）
学位做储躲纠橼 导师签名：爿伽
签字日期：乙祈年，月谚日 ｛
签字日期：矿７年厂月刀日
重庆大学硕士学位论文
１绪论
１绪论
自然界和工程技术中的很多现象，例如自动控制系统的运行、电力系统的运 行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等，都可以抽象成为 一个常微分方程初值问题。其真解通常难以通过解析的方法来获得，至今有许多 类型的微分方程还不能给出解的解析表达式，一般只能用数值的方法进行计算。 有关这一问题的研究早在十八世纪就已经开始了，特别是计算机的普遍应用，许 多微分方程问题都获得了数值解，从而能使人们认识解的种种性质及其数值特征， 为工程技术等实际问题提供了定量的依据。
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｓ，ｅｒｒｏｒｓ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ｏｒｄｅｒｓ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｖａｌｓ ｏｆ ａｂｓｏｌｕｔｅ
ｓｔａｂｉｌｉｔｙ．
Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｗｅ ｄｒｅｗ ｔｈｅ ｆｉｇｕｒｅｓ ｏｆ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｓ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｉｎｉｔｉａｌ—ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ，Ｌｉｎｅａｒ ｍｕｌｔｉｓｔｅｐ ｍｅｔｈｏｄ，Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ，Ｓｔｉｆｆｏｒｄｉｎａｒｙ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ＩＩ
独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重废太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
线性理论虽然对一般问题具有指导作用，但其不能作为非线性刚性问题算法 的稳定性理论研究基础。为了将线性理论推广到非线性问题中，人们开始对非线 性模型问题进行研究。但是，早期文献主要致力于数值方法基于经典Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条 件下的经典收敛理论，即认为良好的稳定性加上经典相容性和经典相容阶就足以 描述方法的整体误差性态。直到１９７４年，Ｐｒｏｔｈｅｒｏ和Ｒｏｂｉｎｓｏｎ首先注意到算法 的经典误差估计由于受刚性问题巨大参数的影响而严重失真，产生阶降低现象， 这时人们认识到经典收敛理论对于非线性刚性问题以及线性模型的不足。于是， １９７５年，Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ和Ｂｕｔｃｈｅｒ Ｄ２］分别提出了单支方法和线性多步法的Ｇ．稳定概 念和Ｂ．稳定概念。这两个概念填补了非线性稳定性分析理论，引起了计算数学家 们的极大关注，在上述理论的基础上，１９７５年至１９７９年，Ｂｕｒｒａｇｅ和Ｂｕｔｃｈｅｒ【ｌ ３】提 出了ＡＮ．稳定性与ＢＮ．稳定性概念，并相应地建立了基本的Ｂ．稳定及代数稳定理 论。１９８１至１９８５年，Ｆｒａｎｋ，Ｓｃｌｍｅｉｄ和Ｕｅｂｅｒｈｕｂｄｌ４１ Ｄ５］建立Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法 的Ｂ．收敛理论。Ｂ．稳定与Ｂ．收敛理论统称Ｂ一理论，它是常微分方程数值解法研究 领域的巨大成就之一，是刚性问题算法理论的突破性进展，标志着刚性问题研究 从线性向非线性情形深入发展。国内也有众多学者致力于Ｂ．理论的研究，如李寿 佛、曹学年【ｔ６】【１７Ｊ等。 １９８９年，李寿佛将Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ的Ｇ一稳定概念推广到更一般 的（ｃ，Ｐ，Ｑ）。代数稳定，克服了Ｇ．稳定的线性多步法不能超过二阶的限制。对于一 般线性方法，李寿佛建立了一般线性方法的（Ｋ，Ｐ，Ｑ）一稳定性理论及（ＫＰ，Ｑ）．弱代数 稳定准则和多步Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法的一系列代数准则。此外，Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ，Ｂｕｔｃｈｅｒ和 Ｈａｉｒｅｒ分别深刻地揭示了单支方法、一般线性方法和Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法线性与非 线性稳定性之间的内在关系。
Ｔｈｅｎ，ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｍｕｌｔｉｓｔｅｐ ｍｅｔｈｏｄ， ｗｅ
ａｔｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ａｌｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ２－３ ｓｔｅｐ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｔｈｅ
首先，定义了线性多步法公式的基本公式概念，将ｋ步法中不少于ｋ阶的公 式称为基本公式。
其次，应用常微分方程初值问题的线性多步法公式的构造理论和Ｍａｔｌａｂ的符 号运算，推导了求解常微分方程初值问题的２．３步法全部基本公式。
然后，应用线性多步法公式的收敛条件，筛选出其中收敛的公式，计算出了 公式的分数形式的系数，误差主项系数，阶数，绝对稳定区间。并且应用根轨迹 法绘制了其中绝对稳定的公式的稳定区域的图形，并对以上公式的性能作了分析。
Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｈａｖｅ ｍａｒｋｅｄ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｉｎ ｂｏｔｈ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ—ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
关于常微分方程初值问题的数值计算方法，许多学者已经做了大量的工作。 Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ［１１，ＬＣ．Ｂｕｔｃｈ一２１，Ｐ．Ｈｅｎｔｉｃｉ【３１，和Ｃ．Ｗ．Ｇｅａｒ［４１对于定义在有限区间上 的情形作了比较详细的讨论，对于无界区间上的情形没有涉及。但是文献【５】【６】［７１ 讨论了无界区间上常微分方程初值问题数值解的稳定性和收敛性。
关键词：初值问题，线性多步方法，稳定性，刚性常微分方程
重庆大学硕士学位论文
英文摘要
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｍｕｌｔｉｓｔｅｐ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ—ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ
线性多步法是常微分方程初值问题的一种数值方法。由于通常的数值方法，其绝 对稳定区域是有限的，不适用于求解刚性常微分的初值问题。刚性微分方程常常 出现于航空、航天、热核反应、自动控制、电子网络及化学动力学等一系列与国 防和现代化建设密切相关的高科技领域，具有无容置疑的重要性。因此，刚性微 分方程的研究工作早在二十世纪五十年代就开始了，１９６５年，在爱丁堡举行的ＩＦＩＰ 会议后，更进一步地认识刚性方程的普遍性和重要性。自从六十年代初，许多数 值分析家致力于探讨刚性问题的数值方法及其理论，注意到刚性问题对传统数值 积分方法所带来的挑战。这一时期，人们的研究主要集中在算法的线性稳定性上， 就是基于试验方程，＝旯Ｙ，（Ａ∈ｃ）数值解的稳定性研究。在此领域发表了大量的 论文，取得了许多重要的理论成果。例如，１９６３年，Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ［”给出Ａ．稳定性理 论，１９６７年，ＷｉｄｌｌｌＩｌｄ［１０１给出一（回．稳定性理论，１９６９年，Ｇｅａｒｔｌｌ】将彳，稳定性减弱， 给出刚性（ｓｔｉｆｆ）稳定性理论，并找到了当后＜６的ｋ步ｋ阶的刚性稳定方法，１９６９
ｍｅｔｈｏｄｓ．ｉｓ ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅ ｆｒａｃｔａｌ ｃｅｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ２ ｔｏ ６ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｌａｓｓ ａｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ，ｔｈｅ ｏｒｄｅｒｓ ａｎｄ ｅｒｒｏｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ ａｌｓｏ ｇｏｔｔｅｎ．Ｔｈｅｎ ｗｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ爿（∞一ｓｔａｂｌｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｒａｄｉａｎｔ ａｎｇｌｅｓ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ口ａｒｅ ｇｉｖｅｎ．Ｉｎ ｔｈｅ ｅｎｄ，ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ
学位做储躲纠撕签字眺叼年朋四日
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重庆大学硕士学位论文
１绪论
年Ｄｉｌｌ找到刚性稳定的７阶和８阶以及１９７０年Ｊａｉｎ找到刚性稳定的９阶到１１阶， 但可用性没有检验。这些稳定性理论和概念都是在线性试验方程的框架下推导出 的，从严格的数学意义上来说，这些理论只适用于常系数线性自治系统。但从实 用的观点来说，这些理论无疑是合理和必要的，对刚性问题的算法设计具有重要 的指导意义。在八十至九十年代，国内也有一些学者研究线性理论，主要有匡蛟 勋、陈果良、项家祥、李寿佛、黄乘明、李庆扬和费景高等。