1985年全国统一高考数学试卷理科

1985年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）

A ．B

．

C

．

D

．

2．（3分）的（）

A ．必要条件B

．

充分条件

C ．充分必要条件D

．

既不充分又不

必要的条件

3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期

的偶函数？（）

A ．y=x2（x∈R） B

．

y=|sinx|（x∈R

）

C

．

y=cos2x（x∈

R ）

D

．

y=e sin2x（x∈R

）

4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（）

A ．B

．

C

．

D

．

5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有

重复数字的五位数，共有（）

A ．96个B

．

78个C

．

72个D

．

64个

二、解答题（共13小题，满分90分）

6．（4分）求方程解集．

7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．

8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．

9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x 2）的定义域．11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．

12．（7分）解不等式

13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设P Q与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．

14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；

（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB 在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

16．（14分）设，

（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；

（2）设，用定义证明

17．（12分）设a，b是两个实数，

A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，

B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，

C={（x，y）|x2+y2≤144}，

是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得

（1）A∩B≠φ（φ表示空集），

（2）（a，b）∈C

同时成立．

18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切

线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

1985年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）

A ．B

．

C

．

D

．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：计算题．

分析：画出图形，直接求解即可．

解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是

V=

故选D．

点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）

A ．必要条件B

．

充分条件

C ．充分必要条件D

．

既不充分又不

必要的条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：计算题．

分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．

解答：解：

由tanx=1

得，

当k=1时，x=，

固由前者可以推出后者，

所以tanx=1是的必要条件．

故选A．

点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．

3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）

A ．y=x2（x∈R） B

．

y=|sinx|（x∈R

）

C

．

y=cos2x（x∈

R）

D

．

y=e sin2x（x∈R

）

考点：三角函数的周期性及其求法．

专题：压轴题．

分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．

解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．

∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．

故选B ．

点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．

4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（）

A ．B

．

C

．

D

．

考点：简单曲线的极坐标方程．

专题：计算题；压轴题．

分析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．

解答：解：∵极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）

∴ρ2=aρsinθ，

∴x2+y2=ay，它表示圆心在（0，）的圆．

故选C．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．利用直

角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．

5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有

重复数字的五位数，共有（）

A ．96个B

．

78个C

．

72个D

．

64个

考点：排列、组合的实际应用．

专题：计算题；压轴题；分类讨论．

分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况

数目，由乘法原理，计算可得答案．

解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，

当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，

当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，

综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，

故选B．

点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．