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希尔伯特几何公理
佛山石门中学 高二（2） 邓乐涛
一、符号及一些说明
有三组不同的对象：点，直线，平面 点用 A,B,C,D……来表示； 直线用 a,b,c,d……来表示； 平面用 α,β,γ,δ……来表示。 点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为
立体几何的元素
那么点，几何元素之间又有一定的相互关系
同样与 A,B 的次序无关。 根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。
III4：对于
，和一条射线 O’A’，在射线 O’A’所在的一个平面内，有且只有一
条射线 O’B，使得
与
相等，记为
。而且有
。
如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的
然后先定义三角形：线段 AB,BC,CA 所构成的图形，记为
以上。 接下来定义射线
先定义同侧：设 A,A’,O,B 是直线 a 上的四点，而 O 在 A,B 之间，但不在 A,A’之间， 则 A 和 A’称为在 a 上点 O 的同侧，而 A,B 两点称为异侧。
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那么射线就定义为直线 a 上点 O 同侧的点的全体。比如与上图关于点 O 与 B 同侧 的射线我们记为 OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）
（存在性）； （唯一性）；
I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上； I4：对于不在同一直线的三点 A,B 和 C，恒有一平面 α，使得 对于任一平面 ，恒有一点 A，使得 ； I5：对于不在同一直线的三点 A,B 和 C，至多有一平面 α，使得
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；（存在性） ；（唯一
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性）
平面上的，空间上的点才有顺序可言。
II1：对于点 A,B,C，如果 也成立；（如图）
，则点 A,B,C 是直线上不同的三点；这时，
II2: 对于点
恒有一点 ，使得
；（如上图）
II3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；
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根据上面，我们就可以定义线段了： 对于直线 a 和直线上的两点 A,B；我们把这一点对{A,B}称为线段，用 AB 或 BA 表示。在 A 和 B 之间的点叫做线段 AB 的点；A 点和 B 点叫做线段 AB 的端点。 II4:设 A,B,C 是不在同一个平面的三点：对于在平面 ABC 且不经过点 A,B,C 的直 线 a，若 a 交于线段 AB 的一点，则它必定交于线段 AC 或 CB 的一点（如图）
其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何
图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。
我这里的关系符号 ， ， 并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们
本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。
总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，
① 点 A 在直线 a 上：
② 点 A 在平面 α 上：
③ 直线 a 在平面 α 上： （直线的每一点都在平面上）
④ 点 B 在点 A 与点 C 之间：
（我自己规定的符号）
⑤ 线段 AB 与 CD 相等：
（原书是用 号的，不过对于我们不常见，
所以我用了=号）
⑥
与
相等：
等等……
（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）
与
等
价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根
据 1,2 我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一
个等价关系。）
III3：线段 AB，BC 在同一直线 a 上，且无公共点；线段 A’B’，B’C’在同一直线 a’
上，且也无公共点。如果
,则
这条公理还要求线段能够相加，可以定义 AB+BC=AC（其中 A,B,C 共线）
相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。 我们先定义角的概念：
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对于不同一直线的三点 O,A,B，射线 OA，和射线 OB 的全体我们称为角，记为 。 O 称为 的顶点，射线 OA，和射线 OB 称为 的边。
公理 III 合同公理 本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。 III1：对于线段 AB 和一点 A’，恒有一点 B’，使得线段 AB 与线段 A’B’相等，记为
因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：
III2：若
且
，则
；
（根据 1,2，我们才能得到线段 AB 与自己相等，才能得到
（对于 4,5，我们可以说三点确定一平面）
I6：若
且
，则 ；
I7：若两平面 有一个公共点 A，则他们至少还有一个公共点 B；
I8：至少有四点不在同一个平面上。
以上。
其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以
放弃了。
公理 II 顺序公理
本组公理有四条，规定了“在……之间”这个关系。根据这个概念，直线上的，
我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几
何）
公理 I 关联公理
本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：
（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或
平面）
I1：对于两点 A 和 B，恒有一直线 a，使得 I2：对于两点 A 和 B，至多有一直线 a，使得 （对于 1,2，我们可以说两点确定一直线）
。
III5：若
与
，有下列等式
则有 这条公理可以理解为三角形全等（SAS），事实上 SAS 这个公理的直接推论。
公理 IV 平行公理 这条公理显得很苍白，但在历史上很重要…… 先定义平行： 对于同一平面上的两条直线线 a 和 b，a 与 b 无公共点，则称 a 与 b 平行，记为 . IV（欧几里得平行公理）：设 a 是任意一条直线，A 是 a 外的任意一点，在 a 和 A 所决定的平面上，至多有一条直线 b，使得 且 。
在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的
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最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希
尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简
wk.baidu.com
单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是
，
希尔伯特几何公理
佛山石门中学 高二（2） 邓乐涛
一、符号及一些说明
有三组不同的对象：点，直线，平面 点用 A,B,C,D……来表示； 直线用 a,b,c,d……来表示； 平面用 α,β,γ,δ……来表示。 点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为
立体几何的元素
那么点，几何元素之间又有一定的相互关系
同样与 A,B 的次序无关。 根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。
III4：对于
，和一条射线 O’A’，在射线 O’A’所在的一个平面内，有且只有一
条射线 O’B，使得
与
相等，记为
。而且有
。
如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的
然后先定义三角形：线段 AB,BC,CA 所构成的图形，记为
以上。 接下来定义射线
先定义同侧：设 A,A’,O,B 是直线 a 上的四点，而 O 在 A,B 之间，但不在 A,A’之间， 则 A 和 A’称为在 a 上点 O 的同侧，而 A,B 两点称为异侧。
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那么射线就定义为直线 a 上点 O 同侧的点的全体。比如与上图关于点 O 与 B 同侧 的射线我们记为 OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）
（存在性）； （唯一性）；
I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上； I4：对于不在同一直线的三点 A,B 和 C，恒有一平面 α，使得 对于任一平面 ，恒有一点 A，使得 ； I5：对于不在同一直线的三点 A,B 和 C，至多有一平面 α，使得
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；（存在性） ；（唯一
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性）
平面上的，空间上的点才有顺序可言。
II1：对于点 A,B,C，如果 也成立；（如图）
，则点 A,B,C 是直线上不同的三点；这时，
II2: 对于点
恒有一点 ，使得
；（如上图）
II3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；
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根据上面，我们就可以定义线段了： 对于直线 a 和直线上的两点 A,B；我们把这一点对{A,B}称为线段，用 AB 或 BA 表示。在 A 和 B 之间的点叫做线段 AB 的点；A 点和 B 点叫做线段 AB 的端点。 II4:设 A,B,C 是不在同一个平面的三点：对于在平面 ABC 且不经过点 A,B,C 的直 线 a，若 a 交于线段 AB 的一点，则它必定交于线段 AC 或 CB 的一点（如图）
其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何
图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。
我这里的关系符号 ， ， 并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们
本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。
总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，
① 点 A 在直线 a 上：
② 点 A 在平面 α 上：
③ 直线 a 在平面 α 上： （直线的每一点都在平面上）
④ 点 B 在点 A 与点 C 之间：
（我自己规定的符号）
⑤ 线段 AB 与 CD 相等：
（原书是用 号的，不过对于我们不常见，
所以我用了=号）
⑥
与
相等：
等等……
（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）
与
等
价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根
据 1,2 我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一
个等价关系。）
III3：线段 AB，BC 在同一直线 a 上，且无公共点；线段 A’B’，B’C’在同一直线 a’
上，且也无公共点。如果
,则
这条公理还要求线段能够相加，可以定义 AB+BC=AC（其中 A,B,C 共线）
相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。 我们先定义角的概念：
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对于不同一直线的三点 O,A,B，射线 OA，和射线 OB 的全体我们称为角，记为 。 O 称为 的顶点，射线 OA，和射线 OB 称为 的边。
公理 III 合同公理 本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。 III1：对于线段 AB 和一点 A’，恒有一点 B’，使得线段 AB 与线段 A’B’相等，记为
因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：
III2：若
且
，则
；
（根据 1,2，我们才能得到线段 AB 与自己相等，才能得到
（对于 4,5，我们可以说三点确定一平面）
I6：若
且
，则 ；
I7：若两平面 有一个公共点 A，则他们至少还有一个公共点 B；
I8：至少有四点不在同一个平面上。
以上。
其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以
放弃了。
公理 II 顺序公理
本组公理有四条，规定了“在……之间”这个关系。根据这个概念，直线上的，
我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几
何）
公理 I 关联公理
本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：
（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或
平面）
I1：对于两点 A 和 B，恒有一直线 a，使得 I2：对于两点 A 和 B，至多有一直线 a，使得 （对于 1,2，我们可以说两点确定一直线）
。
III5：若
与
，有下列等式
则有 这条公理可以理解为三角形全等（SAS），事实上 SAS 这个公理的直接推论。
公理 IV 平行公理 这条公理显得很苍白，但在历史上很重要…… 先定义平行： 对于同一平面上的两条直线线 a 和 b，a 与 b 无公共点，则称 a 与 b 平行，记为 . IV（欧几里得平行公理）：设 a 是任意一条直线，A 是 a 外的任意一点，在 a 和 A 所决定的平面上，至多有一条直线 b，使得 且 。
在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的
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最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希
尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简
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单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是
，