数值模拟：第五讲 平面问题(二)——三角形单元分析
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有关，一般各单元应力值不相同，应力在单元之间不连续， 这是有限元解的近似性的反映。一般把单元上这个常应力值
作为单元中心的应力值较合理，有较高的精度。
2)百度文库理论和数值试验均可证明，用该单元求解问题时，误差随单元
尺寸的减小和单元数目的增加而减小，这就是有限元解的收敛
性。事实上，当单元变得越来越小时，结构在一个小单元区域 上的应力趋于均匀，而大量小单元拼接在一起就可能很精确地
0 Nl y 0 x
0 Nl
Nm 0
0 Nm
Nn 0
0 e Nn
N l x 0 N l y
0 N l y N l x
N m x 0 N m y
0 N m y N m x
p yl
p xm
p ym
p xn
p yn
T
•
下面要研究的问题是该三角形薄片弹性体在保持平衡时所受节 点力和节点位移的关系。
5.2.2 单元位移模式
• 按弹性力学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时，需 要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移 函数——位移模式。 通常用多项式函数作位移模式，对三节点三角形单元，有6个待定 节点位移分量，所以单元上的位移函数只能是含6个待定系数的完 全一次多项式：
x e e y D DB S xy
S e
S DB — 单元应力矩阵 D — 平面问题弹性矩阵
应力矩阵的分块形式：
S DBl
•
u ( x, y ) a1 a2 x a3 y v( x, y ) a4 a5 x a6 y
a1 ~ a6
为待定系数，称为广义坐标。
由于有限元法中未知量是节点位移，所以上面单
元位移模式需要转换为以节点位移分量为待定参量的 形式。过程如下：
位移多项式写成矩阵形式：
代入各节点取值条件后：
2）形函数在边界上的积分：
1 N l ds N m ds llm 2 l lm l lm
3）形函数在单元上的积分：
A Ni ( x, y )dxdy (i l , m, n) 3
5.2.4 单元应变和应力
• • 已知节点位移插值形式的单元位移模式：
u e N v
bn 0 cn
0 cn bn
由于上式中、bi、ci (i l , m, n)均为与单元节点坐标有关的常数， 所以该单元的应变矩阵是常数矩阵，该单元的应变在单元上是 常数，故该单元又称为常应变三角形单元。
•
把单元应变代入平面问题物理方程，即得到单元应力：
B e
5 三节点三角形单元解平面问题
目 标: 掌握平面问题 简单三角形单元位移模式。
5.1 离散化要解决的问题
1) 如何进行离散结构的求解？ 2) 如何得到小单元的刚度特性？
3) 为什么离散化结构的解能作为原连续问题的近似解？
研究上述问题就涉及到有限元法的基本原理和基本理论。
5.2 三节点三角形单元的特性分析
N l 是l节点发生单位位移，m, n节点固定不动时，单元的位移分布， 因此称为l节点的形状函数，简称形函数。单元每个节点对应一个 形函数。
• • 显然，形函数决定了单元上位移分布的形态。事实上，单元位 移模式就是所有形函数的线性组合。 一个单元的位移模式决定了该单元描述局部位移场的能力，决定 求解的精度、收敛性等，而形函数是最重要的因素。
Si DBi
Bm
Bn Sl
Sm
Sn
(i l , m, n)
对于平面应力问题，应力矩阵的子块为：
ci bi E b Si ci i 2 2(1 ) 1 1 ci bi 2 2
u 1 x
ul 1 al bl x cl y am bm x cm y an bn x cn y um 2 u n ul N l N m N n um N l ul N mum N nun N i ui i l , m , n u n
• 按前面结构矩阵位移法分析思想，要求解 平面问题的有限元离散结构，需要知道单 元（三角形薄片）在节点自由度上受力时 的弹性特性或刚度特性。这是一个新问题， 一个特殊的弹性力学问题。
下面研究有限元法中特有的求解该特 殊弹性力学问题的方法。
•
5.2.1 单元作为分析对象
有限元离散结构受力平衡后，取出一个典型三节点三角形单元e。 • 三角形顶点设为节点，其局部编号为l，m，n（逆时针）。 每节点有总体坐标x，y方向两个待求位移分量：u，v。单元共 有6个位移分量——6个自由度。
位移插值基函数，称为 形状函数（形函数）
u和v合并后用矩阵表示为： u N l v 0 0 Nl Nm 0 0 Nm Nn 0 0 e N Nn
N 称为形函数矩阵，是对单元节点位移进行插值得到单元位移
分布函数的转换矩阵。 • 用节点位移插值表示单元位移模式是有限元法中除了离 散化之外最具代表性，最重要的步骤!!!
• 针对三节点三角形单元，可以导出单元形函数 的下列性质。 性质1：单元上某节点的形函数在该节点的值为1，在其它节点 的值为零。
N l ( xl , yl ) 1 N l ( xm , ym ) 0 N l ( xn , yn ) 0
性质2：单元上所有形函数之和等于1。
(l，m，n)
yl a1 ym a2 a yn 3
a1 1 xl a2 1 xm a 1 x n 3
其中：
yl ym yn
1
ul al 1 bl um u 2 c n l
Nl N m N n 1
（简单三角形单元的形函数只有2个独立）
性质3（推论）：简单三角形单元的形函数在边界上的性质。 某节点的形函数在该点邻边上呈线性分布，取值在0~1之间， 在该点对边上值为零。
简单三角形单元形函数的几何意义
由形函数表达式和性质1可画出下列形函数几何图形。
根据位移模式表达式及其形函数的性质，可以推断出两个相邻 三角形单元上位移分布形状和公共边界上位移的情况：
a1 y a2 1 x a 3
v N l vl N m vm N n vn
i l , m, n
N v
i i
至此，单元位移模式已转换为节点位移的插值形式。
上式中：
1 Ni (ai bi x ci y ) （i l，m，n） 2
y l a 4 ym a5 a yn 6
1
a4 1 xl a5 1 xm a 1 x n 6
yl ym yn
vl al 1 bl vm v 2 c n l
代入平面问题几何方程（应变~位移关系）得到单元应变：
x x y 0 xy y
0 x u 0 y v x y
am bm cm
an vl bn vm v cn n
ak , bk , ck 分别是节点坐标行列式 的第k (k l，m，n)行第1， 2， 3个 元素的代数余子式，均为常数。
上面求出的待定系数 a1
~ a6 代回位移多项式，得到：
al 1 y bl 2 cl am bm cm a n ul bn um cn un
yl a1 ym a2 a yn 3
y l a 4 y m a5 a yn 6
v 1 x
分别解出6个待定系数： 由第一组方程求解
a1 ~ a3 :
ul 1 xl um 1 xm u 1 x n n
5.2.3 形函数及其性质
对于单元位移模式：
u N l ul N m u m N n u n v N l vl N m vm N n vn
ul 1
假设： u u 0 m n 得到：
1 Ni (ai bi x ci y ) 2
（i l，m，n）
u ( x, y ) N l
•
N i B 为应变矩 x 阵，其一个 0 B i 子块的计算 式为： N i y 对简单三角形单元，应变矩阵为：
0 N i y N i x
b l B 1 0 2 cl
0 cl bl
bm 0 cm
0 cm bm
（1）单元节点位移列阵
e
•
l m ul n
vl
um
vm
un
vn
T
单元平衡时要在节点处受到节点力（节点对单元的作用 力），每节点有2个节点力分量，单元有6个节点力分量。 （2） 单元节点力列阵
pl pe pm p xl p n
u 1 x
a1 y a2 坐标取节点值 a 3 a 4 y a5 坐标取节点值 a 6
ul 1 xl um 1 xm u 1 x n n
vl 1 xl vm 1 xm v 1 x n n
(i l , m, n)
对平面应变问题的应力矩阵，只要把上式中弹性系数作相应变换：
E E 1 2
1 u
由于均质材料的弹性系数为常数，应力矩阵也是常数矩阵，即该
单元上应力分布也是常数。
平面问题简单三角形单元应力的讨论
1) 单元上应力和应变均为常数，其大小与单元几何和节点位移
N n x 0 N n y
0 N n e Bl y N n x
Bm
Bn B
e
e
•
上式简写为：
B
e
该式建立了用单元节点位移表 达单元上应变分布的关系。
(i l , m, n)
am bm cm
an ul bn um u cn n
1
xl
yl ym yn
节点坐标行列式
2 1 xm 1 xn
为三角形面积
由第二组方程求解
a4 ~ a6 :
vl 1 xl vm 1 xm v 1 x n n
u N l ul N m u m N n u n v N l vl N m vm N n vn
两个单元上位移线性连续分布，各单 元在公共边界上位移线性分布，数值 相同——边界位移协调！
由图形几何性质可以推断简单三角形单元形函数的下列结论：
1）三角形形心上：
1 Nl N m N n 3
作为单元中心的应力值较合理，有较高的精度。
2)百度文库理论和数值试验均可证明，用该单元求解问题时，误差随单元
尺寸的减小和单元数目的增加而减小，这就是有限元解的收敛
性。事实上，当单元变得越来越小时，结构在一个小单元区域 上的应力趋于均匀，而大量小单元拼接在一起就可能很精确地
0 Nl y 0 x
0 Nl
Nm 0
0 Nm
Nn 0
0 e Nn
N l x 0 N l y
0 N l y N l x
N m x 0 N m y
0 N m y N m x
p yl
p xm
p ym
p xn
p yn
T
•
下面要研究的问题是该三角形薄片弹性体在保持平衡时所受节 点力和节点位移的关系。
5.2.2 单元位移模式
• 按弹性力学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时，需 要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移 函数——位移模式。 通常用多项式函数作位移模式，对三节点三角形单元，有6个待定 节点位移分量，所以单元上的位移函数只能是含6个待定系数的完 全一次多项式：
x e e y D DB S xy
S e
S DB — 单元应力矩阵 D — 平面问题弹性矩阵
应力矩阵的分块形式：
S DBl
•
u ( x, y ) a1 a2 x a3 y v( x, y ) a4 a5 x a6 y
a1 ~ a6
为待定系数，称为广义坐标。
由于有限元法中未知量是节点位移，所以上面单
元位移模式需要转换为以节点位移分量为待定参量的 形式。过程如下：
位移多项式写成矩阵形式：
代入各节点取值条件后：
2）形函数在边界上的积分：
1 N l ds N m ds llm 2 l lm l lm
3）形函数在单元上的积分：
A Ni ( x, y )dxdy (i l , m, n) 3
5.2.4 单元应变和应力
• • 已知节点位移插值形式的单元位移模式：
u e N v
bn 0 cn
0 cn bn
由于上式中、bi、ci (i l , m, n)均为与单元节点坐标有关的常数， 所以该单元的应变矩阵是常数矩阵，该单元的应变在单元上是 常数，故该单元又称为常应变三角形单元。
•
把单元应变代入平面问题物理方程，即得到单元应力：
B e
5 三节点三角形单元解平面问题
目 标: 掌握平面问题 简单三角形单元位移模式。
5.1 离散化要解决的问题
1) 如何进行离散结构的求解？ 2) 如何得到小单元的刚度特性？
3) 为什么离散化结构的解能作为原连续问题的近似解？
研究上述问题就涉及到有限元法的基本原理和基本理论。
5.2 三节点三角形单元的特性分析
N l 是l节点发生单位位移，m, n节点固定不动时，单元的位移分布， 因此称为l节点的形状函数，简称形函数。单元每个节点对应一个 形函数。
• • 显然，形函数决定了单元上位移分布的形态。事实上，单元位 移模式就是所有形函数的线性组合。 一个单元的位移模式决定了该单元描述局部位移场的能力，决定 求解的精度、收敛性等，而形函数是最重要的因素。
Si DBi
Bm
Bn Sl
Sm
Sn
(i l , m, n)
对于平面应力问题，应力矩阵的子块为：
ci bi E b Si ci i 2 2(1 ) 1 1 ci bi 2 2
u 1 x
ul 1 al bl x cl y am bm x cm y an bn x cn y um 2 u n ul N l N m N n um N l ul N mum N nun N i ui i l , m , n u n
• 按前面结构矩阵位移法分析思想，要求解 平面问题的有限元离散结构，需要知道单 元（三角形薄片）在节点自由度上受力时 的弹性特性或刚度特性。这是一个新问题， 一个特殊的弹性力学问题。
下面研究有限元法中特有的求解该特 殊弹性力学问题的方法。
•
5.2.1 单元作为分析对象
有限元离散结构受力平衡后，取出一个典型三节点三角形单元e。 • 三角形顶点设为节点，其局部编号为l，m，n（逆时针）。 每节点有总体坐标x，y方向两个待求位移分量：u，v。单元共 有6个位移分量——6个自由度。
位移插值基函数，称为 形状函数（形函数）
u和v合并后用矩阵表示为： u N l v 0 0 Nl Nm 0 0 Nm Nn 0 0 e N Nn
N 称为形函数矩阵，是对单元节点位移进行插值得到单元位移
分布函数的转换矩阵。 • 用节点位移插值表示单元位移模式是有限元法中除了离 散化之外最具代表性，最重要的步骤!!!
• 针对三节点三角形单元，可以导出单元形函数 的下列性质。 性质1：单元上某节点的形函数在该节点的值为1，在其它节点 的值为零。
N l ( xl , yl ) 1 N l ( xm , ym ) 0 N l ( xn , yn ) 0
性质2：单元上所有形函数之和等于1。
(l，m，n)
yl a1 ym a2 a yn 3
a1 1 xl a2 1 xm a 1 x n 3
其中：
yl ym yn
1
ul al 1 bl um u 2 c n l
Nl N m N n 1
（简单三角形单元的形函数只有2个独立）
性质3（推论）：简单三角形单元的形函数在边界上的性质。 某节点的形函数在该点邻边上呈线性分布，取值在0~1之间， 在该点对边上值为零。
简单三角形单元形函数的几何意义
由形函数表达式和性质1可画出下列形函数几何图形。
根据位移模式表达式及其形函数的性质，可以推断出两个相邻 三角形单元上位移分布形状和公共边界上位移的情况：
a1 y a2 1 x a 3
v N l vl N m vm N n vn
i l , m, n
N v
i i
至此，单元位移模式已转换为节点位移的插值形式。
上式中：
1 Ni (ai bi x ci y ) （i l，m，n） 2
y l a 4 ym a5 a yn 6
1
a4 1 xl a5 1 xm a 1 x n 6
yl ym yn
vl al 1 bl vm v 2 c n l
代入平面问题几何方程（应变~位移关系）得到单元应变：
x x y 0 xy y
0 x u 0 y v x y
am bm cm
an vl bn vm v cn n
ak , bk , ck 分别是节点坐标行列式 的第k (k l，m，n)行第1， 2， 3个 元素的代数余子式，均为常数。
上面求出的待定系数 a1
~ a6 代回位移多项式，得到：
al 1 y bl 2 cl am bm cm a n ul bn um cn un
yl a1 ym a2 a yn 3
y l a 4 y m a5 a yn 6
v 1 x
分别解出6个待定系数： 由第一组方程求解
a1 ~ a3 :
ul 1 xl um 1 xm u 1 x n n
5.2.3 形函数及其性质
对于单元位移模式：
u N l ul N m u m N n u n v N l vl N m vm N n vn
ul 1
假设： u u 0 m n 得到：
1 Ni (ai bi x ci y ) 2
（i l，m，n）
u ( x, y ) N l
•
N i B 为应变矩 x 阵，其一个 0 B i 子块的计算 式为： N i y 对简单三角形单元，应变矩阵为：
0 N i y N i x
b l B 1 0 2 cl
0 cl bl
bm 0 cm
0 cm bm
（1）单元节点位移列阵
e
•
l m ul n
vl
um
vm
un
vn
T
单元平衡时要在节点处受到节点力（节点对单元的作用 力），每节点有2个节点力分量，单元有6个节点力分量。 （2） 单元节点力列阵
pl pe pm p xl p n
u 1 x
a1 y a2 坐标取节点值 a 3 a 4 y a5 坐标取节点值 a 6
ul 1 xl um 1 xm u 1 x n n
vl 1 xl vm 1 xm v 1 x n n
(i l , m, n)
对平面应变问题的应力矩阵，只要把上式中弹性系数作相应变换：
E E 1 2
1 u
由于均质材料的弹性系数为常数，应力矩阵也是常数矩阵，即该
单元上应力分布也是常数。
平面问题简单三角形单元应力的讨论
1) 单元上应力和应变均为常数，其大小与单元几何和节点位移
N n x 0 N n y
0 N n e Bl y N n x
Bm
Bn B
e
e
•
上式简写为：
B
e
该式建立了用单元节点位移表 达单元上应变分布的关系。
(i l , m, n)
am bm cm
an ul bn um u cn n
1
xl
yl ym yn
节点坐标行列式
2 1 xm 1 xn
为三角形面积
由第二组方程求解
a4 ~ a6 :
vl 1 xl vm 1 xm v 1 x n n
u N l ul N m u m N n u n v N l vl N m vm N n vn
两个单元上位移线性连续分布，各单 元在公共边界上位移线性分布，数值 相同——边界位移协调！
由图形几何性质可以推断简单三角形单元形函数的下列结论：
1）三角形形心上：
1 Nl N m N n 3